BAB 2 LANDASAN TEORI

Transkripsi

1 BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Evaporasi Pengertian Evaporasi adalah salah satu komponen siklus hidrologi, yaitu peristiwa menguapnya air dari permukaan air, tanah,dan bentuk permukaan bukan dari vegetasi lainnya.evaporasi merupakan proses penguapan air yang berasal dari permukaan bentangan air atau dari bahan padat yang mengandung air (Lakitan, 1994). Sedangkan menurut Manan dan Suhardianto (1999), evaporasi (penguapan) adalah perubahan air menjadi uap air. Air yang ada di bumi bila terjadi proses evaporasi akan hilang ke atmosfer menjadi uap air. Evaporasi dapat terjadi dari permukaan air bebas seperti bejana berisi air, kolam, waduk, sungai ataupun laut. Proses evaporasi dapat terjadi pada benda yang mengandung air, lahan yang gundul atau pasir yang basah. Pada lahan yang basah, evaporasi mengakibatkan tanah menjadi kering dan dapat memengaruhi tanaman yang berada di tanah itu. Mengetahui banyaknya air yang dievaporasi dari tanah adalah penting dalam usaha mencegah tanaman mengalami kekeringan dengan mengembalikan sejumlah air yang hilang karena evaporasi Faktor-Faktor yang Memengaruhi Evaporasi Faktor meteorologi yang memengaruhi evaporasi adalah radiasi matahari, suhu udara, kelembaban udara dan angin. Tempat-tempat dengan radiasi matahari tinggi mengakibatkan evaporasi tinggi karena evaporasi memerlukan energi. Umumnya radiasi matahari tinggi diikuti suhu udara tinggi dan kelembaban udara rendah. Kedua hal ini dapat memacu terjadinya evaporasi. Angin yang kencang membuat kelembaban udara rendah, hal inipun memacu evaporasi (Manan dan Suhardianto, 1999). Laju evaporasi

2 sangat tergantung pada masukan energi yang diterima. Semakin besar jumlah energi yang diterima, maka akan semakin banyak molekul air yang diuapkan. Sumber energi utama untuk evaporasi adalah radiasi matahari. Oleh sebab itu, laju evaporasi yang tinggi tercapai pada waktu sekitar tengah hari (solar noon). Selain masukan energi, laju evaporasi juga dipengaruhi oleh kelembaban udara di atasnya. Laju evaporasi akan semakin terpacu jika udara diatasnya kering (kelembaban rendah), sebaliknya akan terhambat jika kelembaban udaranya tinggi (Lakitan, 1994). Evaporasi sangat bergantung kepada karakteristik lokasi sehingga faktor-faktor meteorologi yang berperan dalam proses evaporasi dapat berbeda dari tempat ke tempat lainnya. Faktor-faktor utama yang berpengaruh terhadap evaporasi adalah (Ward, 1967) : 1. Faktor-faktor meteorologi a. Radiasi Matahari b. Temperatur udara dan permukaan c. Kelembaban d. Angin e. Tekanan Barometer 2. Faktor-faktor Geografi a. Kualitas air (warna, salinitas dan lain-lain) b. Jeluk tubuh air c. Ukuran dan bentuk permukaan air 3. Faktor-faktor lainnya a. Kandungan lengas tanah b. Karakteristik kapiler tanah c. Jeluk muka air tanah d. Warna tanah e. Tipe, kerapatan dan tingginya vegetasi f. Ketersediaan air (hujan, irigasi dan lain-lain Penelitian ini membahas faktor-faktor meteorologi yang memengaruhi evaporasi, yaitu: radiasi matahari, suhu udara, tekanan udara, kelembaban dan kecepatan angin.

3 Radiasi matahari (%) Pada setiap perubahan bentuk zat; dari es menjadi air (pencairan), dari zat cair menjadi gas (penguapan) dan dari es lengsung menjadi uap air (penyubliman) diperlukan panas laten (laten heat). Panas laten untuk penguapan berasal dari radiasi matahari dan tanah. Radiasi matahari merupakan sumber utama panas dan memengaruhi jumlah evaporasi di atas permukaan bumi, yang tergantung letak pada garis lintang dan musim. Radiasi matahari di suatu lokasi bervariasi sepanjang tahun, yang tergantung pada letak lokasi (garis lintang) dan deklinasi matahari. Pada bulan Desember kedudukan matahari berada paling jauh di selatan, sementara pada bulan Juni kedudukan matahari berada palng jauh di utara. daerah yang berada di belahan bumi selatan menerima radiasi maksimum matahari pada bulan Desember, sementara radiasi terkecil pada bulan Juni, begitu pula sebaliknya. Radiasi matahari yang sampai ke permukaan bumi juga dipengaruhi oleh penutupan awan. Penutupan oleh awan dinyatakan dalam persentase dari lama penyinaran matahari nyata terhadap lama penyinaran matahari yang mungkin terjadi Temperatur udara ( C) Temperatur (suhu) udara pada permukaan evaporasi sangat berpengaruh terhadap evaporasi. Semakin tinggi suhu semakin besar kemampuan udara untuk menyerap uap air. Selain itu semakin tinggi suhu, energi kinetik molekul air meningkat sehingga molekul air semakin banyak yang berpindah ke lapis udara di atasnya dalam bentuk uap air. Oleh karena itu di daerah beriklim tropis jumlah evaporasi lebih tinggi, di banding dengan daerah di kutub (daerah beriklim dingin). Untuk variasi harian dan bulanan suhu udara di Indonesia relatif kecil Tekanan udara (mb)

4 Tekanan udara adalah tenaga yang bekerja untuk menggerakkan massa udara dalam setiap satuan luas tertentu. Diukur dengan menggunakan barometer. Satuan tekanan udara adalah milibar (mb). Tekanan udara akan berbanding terbalik dengan ketinggian suatu tempat sehingga semakin tinggi tempat dari permukaan laut semakin rendah tekanan udarannya. Kondisi ini disebabkansemakin tinggi tempat akan semakin berkurang udara yang menekannya Kelembaban udara (%) Pada saat terjadi penguapan, tekanan udara pada lapisan udara tepat di atas permukaan air lebih rendah di banding tekanan pada permukaan air. Perbedaan tekanan tersebut menyebabkan terjadinya penguapan. Pada waktu penguapan terjadi, uap air bergabung dengan udara di atas permukaan air, sehingga udara mengandung uap air. Udara lembab merupakan campuran dari udara kering dan uap air. Apabila jumlah uap air yang masuk ke udara semakin banyak, tekanan uapnya juga semakin tinggi. Akibatnya perbedaan tekanan uap semakin kecil, yang menyebabkan berkurangnya laju penguapan. Apabila udara di atas permukaan air sudah jenuh uap air tekanan udara telah mencapai tekanan uap jenuh, di mana pada saat itu penguapan terhenti. Kelembaban udara dinyatakan dengan kelembaban relatif (RH). Indonesia yang merupakan negara kepulauan dengan perairan laut cukup luas mempunyai kelembaban udara tinggi. Kelembaban udara tergantung pada musim, di mana nilainya tinggi pada musim penghujan dan berkurang pada musim kemarau. Di daerah pesisir kelembaban udara akan lebih tinggi daripada di daerah pedalaman Kecepatan angin (m/s)

5 Penguapan yang terjadi menyebabkan udara di atas permukaan evaporasi menjadi lebih lembab, sampai akhirnya udara menjadi jenuh terhadap uap air dan proses evaporasi terhenti. Agar proses penguapan dapat berjalan terus lapisan udara yang telah jenuh tersebut harus diganti dengan udara kering. Penggantian tersebut dapat terjadi apabila ada angin. Oleh karena itu kecepatan angin merupakan faktor penting dalam evaporasi. Di daerah terbuka dan banyak angin, penguapan akan lebih besar daripada di daerah yang terlindung dan udara diam. Di Indonesia, kecepatan angin relatif rendah. Pada musim penghujan angin dominan berasal dari barat laut yang membawa banyak uap air, sementara pada musim kemarau angin berasal dari tenggara yang kering. 2.2 Aljabar Matriks Definisi Matriks Matriks adalah suatu kumpulan angka-angka yang juga sering disebut elemen-elemen yang disusun secara teratur menurut baris dan kolom sehingga berbentuk persegi panjang, dimana panjang dan lebarnya ditunjukkan oleh banyaknya kolom dan baris serta dibatasi tanda [ ] atau ( ). Suatu matriks dinotasikan dengan symbol huruf besar seperti A, X, atau Z dan sebagainya. Sebuah matriks A yang berukuran m baris dan n kolom dapat ditulis sebagai berikut: aa 11 aa 12 aa 1nn aa AA mmmmmm = 21 aa 22 aa 2nn aa mm1 aa mm2 aa mmmm Atau dapat juga ditulis:

6 AA = aa iiii ; ii = 1, 2,, mm; jj = 1, 2,, nn Skalar Skalar adalah besaran yang hanya memiliki nilai, tetapi tidak memiliki arah. Vektor Baris Suatu matriks yang terdiri dari satu baris dan n kolom disebut vektor baris. XX = XX iiii mmmmmm disebut vektor baris m = 1 Vektor Kolom Suatu matriks yang hanya terdiri dari m baris dan satu kolom disebut vektor kolom. XX = XX iiii mmmmmm disebut vektor kolom n = 1 Kombinasi Linier Vektor w merupakan kombinasi linier dari vektor-vektor vv 1, vv 2,, vv nn jika terdapat skalar kk 1, kk 2,, kk nn sehingga berlaku: ww = kk 1 vv 1 + kk 2 vv kk nn vv nn (2.1) Jika vektor w = 0, maka disebut persamaan homogen dan vv 1, vv 2,, vv nn disebut vektor yang bebas linier, yang mengakibatkan kk 1 = kk 2 = = kk nn = 0, tetapi jika ada bilangan kk 1, kk 2,, kk nn yang tidak semuanya sama dengan nol, maka vv 1, vv 2,, vv nn disebut vektor yang bergantung linier Jenis-jenis Matriks Matriks Kuadrat Matriks kuadrat adalah matriks yang memiliki baris dan kolom yang sama banyak. Dalam suatu matriks kuadrat, elemen-elemen aa 11, aa 22,, aa nnnn disebut elemen diagonal utama.

7 aa 11 aa 12 aa 1nn aa AA mmmmmm = 21 aa 22 aa 2nn aa nn1 aa nn2 aa nnnn Matriks Diagonal Matriks kuadrat AA = aa iiii ; ii, jj = 1, 2,, nn disebut matrik simetris jika semua elemen di luar diagonal utama adalah nol, aa iiii = 0 untuk i j dan paling tidak satu elemen pada diagonal pokok aa iiii 0 untuk i = j. Jumlah elemen-elemen diagonal utama suatu matriks kuadrat A disebut trace A ditulis tr(a). tttt(aa) = nn ii=1 aa iiii, (ii = jj) aa 11 aa 12 aa 1nn aa AA mmmmmm = 21 aa 22 aa 2nn aa nn1 aa nn2 aa nnnn tttt(aa) = aa 11 + aa aa nnnn Matriks Simetris Suatu matriks kuadrat AA = aa iiii ; ii, jj = 1, 2,, nn disebut matriks simetris jika elemen di bawah diagonal utama merupakan cermin dari elemendi atas diagonal utama. Matriks AA TT = AA artinya aa iiii = aa jjjj Contoh: 2 3 AA = Matriks Identitas Matriks A disebut matriks identitas dan biasa diberi simbol I. AA = aa iiii = 1 ii = 1, 2,, nn <=> mm = nndan untuk aa iiii = 1 ii = jj aa iiii = 1 ii jj Matriks Nol

8 Matriks nol suatu matriks dengan semua elemennya mempunyai nilai nol. Biasanya diberi simbol 0, dibaca nol. Matriks Elementer Suatu matriks nxn dikatakan matriks elementer jika matriks tersebut dapat diperoleh dari matriks identitas nxn yakni I n dengan melakukan operasi baris elementer tunggal. Matriks Segitiga Matriks LL = aa iiii suatu matriks bujur sangkar dikatakan segitiga bawah (lower triangular) jika aa iiii = 0 untuk i < j dan matriks UU = aa iiii suatu matriks bujur sangkar dikatakan segitiga atas (upper triangular) jika aa iiii = 0 untuk i > j. Contoh: 5 Segitiga bawah LL = , segitia atas UU = Matriks Singular Matriks kuadrat AA = aa iiii dikatakan singular jika semua elemen pada salah satu baris atau kolom adalah nol atau jika semua kofaktor dari elemen suatu baris atau kolom sama dengan nol. Untuk melihat kesigularan suatu matriks adalah dengan menghitung determinan matriks tersebut. Apabila determinannya sama dengan nol, maka matriks tersebut singular. Matriks Ortogonal Matriks kuadrat AA = aa iiii dikatakan dapat didiagonalisasi secara ortogonal jika terdapat matriks ortogonal P sehingga berlaku PP 1 AAAA = PP 1 AP. Matriks ortogonal didefinisikan sebagai matriks kuadrat yang inversnya sama dengan transposenya, sehingga: PP 1 = PP maka P adalah matriks ortogonal.

9 2.2.3 Operasi Matriks Perkalian Matriks dengan Skalar Jika AA = aa iiii adalah matriks mxn dan k adalah suatu skalar, maka hasil kali A dengan k adalah BB = bb iiii matiks mxn dengan bb iiii = kkaa iiii (1 ii mm, 1 jj nn). Perkalian Matriks dengan Matriks Jika AA = aa iiii adalah matriks mxp dan BB = bb iiii adalah matriks pxn maka hasil kali dari matriks A dan matriks B yang ditulis dengan AB adalah C matriks mxn. Secara matematik dapat ditulis sebagai berikut: cc iiii = aa ii1 bb 1jj + aa ii2 bb 2jj + + aa iiii bb pppp pp = kk=1 aa iiii bb kkkk (1 ii mm, 1 jj nn) (2.2) Penjumlahan Matriks Jika AA = aa iiii adalah matriks mxn dan BB = bb iiii adalah matriks mxn maka penjumlahan matriks dari matriks A dan matriks B yang ditulis dengan CC = cc iiii dengan: cc iiii = aa iiii + bb iiii (ii = 1, 2,, mm; jj = 1, 2,, nn). Pengurangan Matriks Jika AA = aa iiii adalah matriks mxn dan BB = bb iiii adalah matriks mxn maka pengurangan matriks dari matriks A dan matriks B yang ditulis dengan CC = cc iiii dengan: cc iiii = aa iiii bb iiii (ii = 1, 2,, mm; jj = 1, 2,, nn). Transpose Suatu Matriks Jika AA = aa iiii adalah matriks mxn maka matriks nxm dengan AA = aa iiii dan aa iiii = aa jjjj (1 ii mm, 1 jj nn) disebut dengan transpose dari matriks A. Matriks secara umum dapat ditulis: aa 11 aa 12 aa 1nn aa AA mmmmmm = 21 aa 22 aa 2nn = aa iiii dimana (ii = 1, 2,, mm; jj = 1, 2,, nn) aa mm1 aa mm2 aa mmmm

10 aa 11 aa 12 aa 1mm aa makaaa mmmmmm = AA nnnnnn = 21 aa 22 aa 2mm aa nn1 aa nn2 aa nnnn Determinan Matriks Misalkan AA = aa iiii adalah matriks nxn. Fungsi determinan dari A ditulis dengan det(a) atau AA. Secara matematis ditulis: Det(A) = AA = (±) aa 1jj 1 aa 2jj 2 aa nnjjjj dengan jj 1, jj 2,, jj nn merupakan himpunan S = {1, 2,..., n}. Invers Matriks Misalkan A matiks nxn disebut matriks non singular (invertible) jika terdapat matriks B sehinga menyebabkan: AAAA = BBBB = II, maka matriks B disebut invers matriks A. Jika tidak terdapat matriks B yang menyebabkan kejadian tersebut, maka matriks A disebut matriks singular (non-invertible). Secara umum invers matriks A adalah: AA 1 = 1 AAAAAA (AA) det(aa) Adjoint matriks A adalah suatu matriks yang elemen-elemmennya terdiri dari semua elemen-elemen kofaktor matriks A, dengan KK iiii adalah kofaktor elemen-elemen aa iiii, ii, jj = 1, 2,, nn. Sehingga dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut: dengan: KK 11 KK 12 KK nn1 KK aaaaaa(aa) = 21 KK 22 KK nn2 KK 1nn KK 2nn KK mmmm KK iiii = ( 1) ii+jj detmm iiii Sifat-sifat Invers: a. Jika A adalah matriks non singular, maka (A -1)-1 adalah non singuar dan (A -1)-1 = A b. Jika A dan B adalah matriks non singular, maka AB adalah non singular dan (AB) -1 = B -1 A -1

11 c. Jika A adalah matriks singular, maka (A T)-1 = (A -1 ) 2.3 Nilai Eigen dan Vaktor Eigen Jika A adalah matriks nxn, maka vektor tak nol X di dalam R n dinamakan vektor eigen (eigen vector) dari A jika AX adalah kelipatan skalar dari X, yakni: AX = λx (2.3) untuk suatu skalar λ. Skalar λ ini dinamakan nilai eigen (eigen value) dari A dan X dinamakan vektor eigen yang bersesuaian dengan λ. Untuk mencari nilai eigen matriks A yang berukuran nxn, dari persamaan (2.3) dapat ditulis kembali sebagai suatu persamaan homogen: (A λi) X = 0 (2.4) Dengan I adalah matriks identitas yang berordo sama dengan matriks A, dalam catatan mariks: aa 11 aa 12 aa 1nn xx 1 aa AA nnnnnn = 21 aa 22 aa 2nn, II nnnnnn = xx 2, XX = aa mm1 aa mm2 aa mmmm xx nn AX = λx, X 0 AX = λ IX AX - λ IX = 0 (A - λ I)X = 0 X 0 A - λ I = 0 (2.5) Untuk memperoleh nilai λ, A - λ I = ff(λλ) = aa 0 λλ nn + aa 1 λλ nn aa nn 1 λλ + aa nn = 0 maka didapatlah n buah akar λ 1, λ 2,, λ n. Jika nilai eigen λλ nn disubstitusi pada persamaan (A - λ I)X = 0, maka solusi dari vektor eigen XX nn adalah (A - λ n I)X n = 0. (2.6)

12 Jadi apabila matriksaa mmmmmm mempunyai akar karakteristik λ 1, λ 2,, λ n dan ada kemungkinan bahwa diantaranya mempunyai nilai yang sama, bersesuaian dengan akarakar karakteristik ini adalah himpunan vektor-vektor karakteristik yang ortogonal (artinya masing-masing nilai akar karakteristik akan memerikan vektor karakteristik) X 1, X 2,, X n sedemikian sehingga: XX ii XX jj = 0; ii jjii, jj = 1, 2,, nn Tanpa menghilangkan sifat umum, vektor-vektor tersebut dapat dibuat normal (standard) sedemikian rupa sehingga XX ii XX jj = II untuk semua i, suatu himpunan vektorvektor ortogonal yang telah dibuat normal (standard) disebut ortogonal set. Apabila X merupakan matriks nxn, dimana kolom-kolomnya terdiri dari vektorvektor XX ii dan kemudian bisa ditulis dengan dua syarat berikut: 1. XX ii XX jj = 0, jika ii jj XX ii XX jj = 1, jika ii = jj 2. XX XX = II nn sehingga XX = XX 1 Matriks yang mempunyai sifat demikian dinamakan matriks ortogonal. Definisi: Misalkan AA = aa iiii matriks nxn. aa 21 λλ aa 1nn Determinan ff(λλ) = det(aa λλλλ nn ) = aa nn1 aa nnnn λλ dikatakan karakterisitik polinom dari A. Persamaan ff(λλ) = det(aa λλλλ nn ) = 0 dikatakan persamaan karakterstik dari A. 2.4 Matriks Korelasi

13 Matriks korelasi adalah matriks yang di dalamnya terdapat korelasi-korelasi Andaikan X adalah matriks data, xx adalah matriks rata-rata dan Σ adalah matriks ragam pragam. Dengan: xx = xx ii1 + xx ii2 + + xx iiii nn = yy ii nn yy 1 nn xx 1 xx 11 xx 12 xx 1nn yy 2 xx 2 xx = = nn = 1 1 nn xx 21 xx 22 xx 2nn 1 xx ii x pp1 xx pp2 xx pppp 1 yy 3 nn xx = 1 XX1 (2.7) nn xx dihitung dari matriks yang dikalikan dengan vektor 1 dan kostanta 1 nn. matriks xx 1. Selanjutnya persamaan (2.7) dikalikan dengan vektor 1, sehingga dihasilkan xx 1 xx 1 xx 1 xx 1 = 1 XX11 = xx 2 xx 2 xx 2 (2.8) n xx PP xx PP xx PP Kurangkan matriks X dengan persamaan matriks (2.8) yang menghasilkan matriks baku pxn yang dinotasikan dengan V. xx 11 xx 1 xx 12 xx 1 xx 1nn xx 1 VV = XX 1 xx nn XX11 = 21 xx 2 xx 22 xx xx 2 2nn xx 2 (2.9) xx pp1 xx pp xx pp2 xx pp xx pppp xx pp Matriks (nn 1)SS adalah perkalian silang antara matriks (2.9) dengan matriks transposenya. (nn 1)SS = xx 11 xx 1 xx 12 xx 1 xx 1nn xx 1 xx 11 xx 1 xx 12 xx 1 xx 1nn xx 1 xx 21 xx 2 xx 22 xx xx 2 2nn xx 2 xx xx 21 xx 2 xx 22 xx xx 2 2nn xx 2 xx pp1 xx pp xx pp2 xx pp xx pppp xx pp xx pp1 xx pp xx pp2 xx pp xx pppp xx pp = (XX 1 nn XX11 )(XX 1 nn XX11 ) = XX 1 1 nn 11 XX

14 Karena 1 1 nn nn 11 = 1 1 nn nn nn 2 11 = 1 1 nn 11 Sehinga didapat SS = 1 nn 1 XX 1 1 nn 11 XX (2.10) Persamaan (2.10) menunjukkan dengan jelas hubungan operasi perkalian matriks data dengan 1 1 nn 11 dan transpose matriks data. Jika S telah diketahui dari persamaan (2.10), maka S dapat dihubungkan ke matriks korelasi ρ dengan cara: 1. menghitung matriks Σ SS iikk = nn 1 nn 1 (xx iiii xx ii)(xx kkkk xx kk ) SS 11 = (xx 1 xx 1)(xx 1 xx 1) = (xx 1 xx 1) 2 SS 12 = (xx 1 xx 1)(xx 2 xx 2) SS 1pp = (xx 1 xx 1)(xx pp xx pp) SS 2pp = (xx 2 xx 2)(xx pp xx pp) SS pppp = (xx pp xx pp)(xx pp xx pp)=(xx pp xx pp) 2 rr=1 (xx 1 xx 1) 2 Σ = (xx 1 xx 1)(xx pp xx pp) ss 11 Σ = ss 1pp ss 12 ss 2pp ss 1pp ss pppp (xx 1 xx 1)(xx 2 xx 2) (xx 2 xx 2)(xx pp xx pp) (xx 1 xx 1)(xx pp xx pp) (xx pp xx pp) 2 2. menghitung matriks baku yang isinya adalah simpangan baku, dengan asumsi ii k dihasilkan cccccc (ii, kk) = 0 sehingga dapat ditulis ke dalam bentuk matriks sebagai berikut: 1 2 VV (pppppp ) = ss ss ss menghitung invers dari matriks deviasi dengan cara (VV 1 2 ) 1

15 1 2 (VV (pppppp ) ) 1 = 1 ss ss ss pppp maka dapat dihasilkan matriks korelasi dengan rumus VV = (VV 1 2 ) 1 (VV 1 2 ) 1 ρρ = 1 0 ss ss ss pppp ss 11 ss 1pp ss 12 ss 2pp ss 1pp ss pppp 1 0 ss ss ss pppp ρρ = ss 11 ss 11 ss 11 ss 1pp ss 11 ss pppp ss 12 ss 11 ss 22 ss 2pp ss 22 ss pppp ss 1pp ss 11 ss pppp ss pppp ss pppp ss pppp = 1 rr 1pp rr 12 rr 2pp rr 1pp 1 dengan: rr iiii = 1 nn nn 1 xx kkkk xx kk rr=1 (2.11) xx iiii xx ii ss iiii ss kkkk Untuk i = k menghasilkan r =1 Dan untuk i k rr 11 = xx 1 xx 1 ss 11 rr pppp = xx pp xx pp ss pppp rr 12 = xx 1 xx 1 ss 11 rr 1pp = xx 1 xx 1 ss 11 rr 2pp = xx 2 xx 2 ss 22 xx 1 xx 1 = (xx 1 xx 1)(xx 1 xx 1) = 1 ss 11 ss 11 ss 11 xx pp xx pp = (xx pp xx pp)(xx pp xx pp) = 1 ss pppp ss pppp ss pppp xx 2 xx 2 = (xx 1 xx 1)(xx 2 xx 2) ss 22 ss 11 ss 22 xx pp xx pp = (xx 1 xx 1)(xx pp xx pp) ss pppp ss 11ss pppp xx pp xx pp ss pppp = (xx 1 xx 1)(xx pp xx pp) ss 22ss pppp

16 2.5 Analisis Regresi Linier Berganda Dalam perkembangannya, terdapat dua jenis regresi yang sangat terkenal, yaitu regresi linier sederhana dan regresi linier berganda. Regresi linier sederhana digunakan untuk menggambarkan hubungan antara suatu variabel bebas (X) dengan satu variabel tak bebas (Y) dalam bentuk persamaan linier sederhana. ββ 0 + ββ 1 XX 1 i = 1,2,, n (2.12) Regresi linier berganda merupakan perluasan dari regresi linier sederhana. Perluasannya terlihat dari banyaknya variabel bebas pada model regresi tersebut. Bentuk umum persamaan regresi linier berganda dapat dinyatakan secara statistik sebagai berikut: YY ii = ββ 0 + ββ 1 XX 1ii + ββ 2 XX 2ii + + ββ kk XX kkkk + ɛ ii (2.13) dengan: YY ii = variabel tak bebas XX II = variabel bebas ββ 0,, ββ kk = parameter regresi ɛ ii = variabel gangguan Asumsi Regresi Linier Berganda Dalam model regresi linier berganda ada beberapa asumsi yang harus dipenuhi, asumsi tersebut adalah: 1. Nilai rata-rata kesalahan pengganggu nol, yaitu E(εε ii ) = 0, untuk i= 1, 2,, n 2. Varian (εε ii ) = E(εε 2 ii ) = σσ 2, sama untuk semua kesalahan pengganggu (asumsi heterokedastisitas) 3. Tidak ada autokorelasi antara kesalahan pengganggu, berarti kovarian (εε ii, εε jj ) = 0, ii jj

17 4. Variabel bebas XX 1, XX 2,, XX kk, konstan dalam sampling yang terulang dan bebas terhadap kesalahan pengganggu εε ii. 5. Tidak ada multikolinieritas dalam variabel bebas X. 6. εε ii ~ NN (0; σσ 2, artinya kesalahan pengganggu mengikuti distribusi normal dengan rata-rata 0 dan varian σσ Metode Kuadrat Terkecil (MKT) Metode kuadrat terkecil merupakan suatu metode yang paling banyak digunakan untuk menduga parameter-parameter regresi. Pada model regresi linier berganda juga digunakan metode kuadrat terkecil untuk menduga parameter. Biasanya metode kuadrat terkecil ini diperoleh dengan meminimumkan jumlah kuadrat galat. Misalkan model yang akan diestimasi adalah parameter dari persamaan dengan n pengamatan, maka diperoleh: YY ii = ββ 0 + ββ 1 XX 1ii + ββ 2 XX 2ii + + ββ kk XX kkkk + ɛ ii YY ii = ββ 0 + ββ 1 XX 1ii + ββ 2 XX 2ii + + ββ kk XX kkkk + ɛ ii YY ii = ββ 0 + ββ 1 XX 1ii + ββ 2 XX 2ii + + ββ kk XX kkkk + ɛ ii Persamaan-persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk matriks: YY = XXXX + ɛ (2.14) dengan: yy 1 yy 2 YY = yy 3 yy 4 1 XX 11 XX 11 XX 11 ββ 0 1 XX XX = 11 XX 11 XX 11 ββ ββ = 0 ββ 0 1 XX 11 XX 11 XX 11 ββ 0 ɛ 1 ɛ 1 ɛ = ɛ 1 ɛ 1 Untuk mendapatkan penaksir-penaksir MKT bagi ββ, maka dengan asumsi klasik ditentukan dua vektor (ββ dan ee ) sebagai:

18 ββ 1 ββ 1 ββ 1 ee 1 ee 1 ββ = ee = ee 1 ββ ee 1 1 Persamaan hasil estimasi dari persamaan (2.14) dapat ditulis sebagai: YY = XXββ + ɛ atau ee = YY XXββ (2.15) Karena tujuan MKT adalah meminimumkan jumlah kuadrat dari kesalahan, yaitu kk 2 ii =1 ee ii = minimum, maka: ee 1 ee 1 kk ee 2 2 ii = ee ii ii=1 + ee ii ee ii 2 = [ee 1 ee 1 ee 1] ee = cc (2.16) 1 ee 1 jadi, kk 2 ee ii = ee ee ii=1 = (YY XXββ ) (YY XXββ ) = YY YY ββ XX YY YY XXββ + ββ XX XXββ Oleh karena ββ XX YY adalah skalar, maka matriks transposenya adalah: ββ XX YY = YY XXββ jadi, ee ee = YY YY 2ββ XX YY + ββ XX XXββ (2.17) Untuk menakar parameter ββ,maka ee ee harus diminimumkan terhadap ββ, maka: kk 2 ee ii ii=1 = YY YY 2ββ XX YY + ββ XX XXββ

19 kk ββ ee ii 2 = YY YY 2ββ XX YY + ββ XX XXββ = 0 ii=1 atau: XX XXββ = XX YY ββ = (XX XX) 1 XX YY dengan ketentuan det (XX XX) 0 (2.18) Sifat Penduga Kuadrat Terkecil Menurut Sembiring (2003), metode kuadrat terkecil memiliki beberapa sifat yang baik. Untuk menyelidiki sifatnya, pandang kembali model umum regresi linier pada persamaa (2.14). Dalam hal ini, dianggap bahwa εε bebas satu sama lain dan E(εε) = 0, var = 2. Dengan demikian, maka EE(YY) = XXββ dan cccccc(yy) = σσ 2 II. Jadi sifat penduga kuadrat terkecil adalah: 1. Tak bias Jika EEββ = ββ maka ββ adalah penduga tak bias dari ββ. Dari persamaan (2.15) diketahui: ββ = (XX XX) 1 XX YY = (XX XX) 1 XX (XXXX + εε) = (XX XX) 1 XX XXXX + (XX XX) 1 XX εε = ββ + (XX XX) 1 XX (2.19) dengan (XX XX) 1 XX XX = 1 EEββ = EE[(XX XX) 1 XX YY] = (XX XX) 1 XX EE(YY) = (XX XX) 1 XX (XXXX) = (XX XX) 1 XX XXXX = IIII = ββ 2. Varian minimum

20 Jika cccccc(yy) = σσ 2 II maka matriks kovarian untuk ββ diberikan oleh σσ 2 = (XX XX) 1. Jika EE(YY) = XXXX dan cccccc(yy) = σσ 2 II, maka penduga kuadrat terkecil ββ mempunyai varian minimum diantara semua variabel penduga tak bias linier. Bukti: ccccccββ = EE ββ EEββ ββ EEββ = EE[( ββ + (XX XX) 1 XX εε ββ)(ββ + (XX XX) 1 (XX )εε) ββ ] = EE[((XX XX) 1 XX εε)((xx XX) 1 XX εε) ] = EE[(XX XX) 1 XX εεεε XX(XX XX) 1 ] = (XX XX) 1 XX XX(XX XX) 1 EE(εε εε) = (XX XX) 1 IIII 2 = (XX XX) 1 σσ 2 (2.20) 2.6 Uji Regresi Linier Pengujian nyata regresi adalah sebuah pengujian untuk menentukan apakah ada hubungan linier antara varaiabel tak bebas Y dan variabel bebas XX 1, XX 2,, XX kk. Uji yang digunakan adalah uji mengggunakan statistik F berbentuk: FF HHHHHHHHHHHH = JJJJJJ kk JJJJJJ (nn kk 1) (2.21) dengan: JKR JKS k (n k- 1) = Jumlah Kuadrat Regresi = Jumlah Kuadrat Sisa = Derajat kebebasan JKR = Derajat kebebasan JKS Dalam uji hipotesis, digunakan daerah kritis: HH 0 ditolak jika FF HHHHHHHHHHHH dengan: > FF TTTTTTTTTT FF TTTTTTTTTT = FF kk,(nn kk 1),αα

21 Selanjutnya, jika model regresi layak digunakan akan dilakukan lagi uji terhadap koefisien-koefisien regresi secara terpisah untuk mengetahui apakah koefisien tersebut layak dipakai dalam persamaan atau tidak. Rumusan hipotesis untuk menguji parameter regresi secara parsial adalah sebagai berikut: HH 0 ββ jj = 0 artinya koefisien regresi ke-jj tidak signifikan atau variabel bebas ke-jj tidak berpengaruh nyata terhadap YY. HH 1 ββ jj 0 artinya koefisien regresi ke-jj signifikan atau variabel bebas ke-jj berpengaruh nyata terhadap YY. adalah: Statistik uji yang digunakan untuk menguji parameter regresi secara parsial tt HHHHHHHHHHHH ββ jj = ββ jj vvvvvv ββ jj (2.23) Jika tt HHHHHHHHHHHH ββ jj > tt (nn pp 1);αα /2, maka HH 0 ditolak yang artinya variabel bebas ke-jj berpengaruh nyata terhadap YY. 2.7 Analisis Klaster Konsep Dasar Analisis klaster merupakan suatu kelas teknik, dipergunakan untuk mengklasisfikasi objek atau kasus (responden) ke dalam kelompok yang relatif homogen, yang disebut klaster (cluster). Objek/ kasus/ variabel dalam satu klaster cenderung mirip satu sama lain dan berbeda jauh (tidak sama) dengan objek dari klaster lainnya. Analisis klaster disebut juga analisis klasifikasi atau taksonomi numerik (numerical taxonomy). Setiap objek hanya masuk ke dalam 1 klaster saja, tidak terjadi tumpang tindih (overlapping) (Supranto, 2010). Gambar 2.1: Pengklasteran Ideal

22 (X 2 ) (X 1 ) Gambar 2.1 menunjukkan hasil pengklasteran yang ideal, di mana setiap objek/ variabel/ kasus hanya masuk atau menjadi anggota dari salah satu klaster (tidak mungkin menjadi anggota dari dua klaster atau lebih). Gambar 2.1 menunjukkan situasi di mana klaster dipisahkan secara berbeda (distincly separated) pada dua variabel. Perhatikan bahwa setiap objek/ kasus/ variabel hanya masuk ke dalam1 klaster dan tidak terjadi tumpang tindih, kalster saling meniadakan (mutually exclusive). Sebaliknya pada gambar 2.2 menunjukkan hasil pengklasteran yang sering terjadi dalam praktik, yaitu terjadi tumpang tindih, artinya objek/ variabel yang seharusnya menjadi anggota klaster 1, menjadi anggota klaster 2, dan sebaliknya. Gambar 2.2: Pengklasteran dalam praktik (X 2 ) (X 1 )

23 2.7.2 Melakukan Analisis Klaster Adapaun langkah-langkah yang diperlukan untuk melakukan analisis klaster adalah: 1. Merumuskan Masalah Hal yang paling penting dalam perumusan masalah analisis klaster ialah pemilihan variabel-variabel yang akan digunakan untuk pengklasteran Memasukkan satu atau dua varaiebel yang tidak relevan akan mendistorsi hasil pengklasteran yang kemungkinan besar sangat bermanfaat. Pada dasarnya set variabel yang dipilih harus menguraikan kemiripan (similarity), yang memang benar-benar relevan dengan permasalahn yang akan dibahas. 2. Memilih Ukuran Jarak Oleh karena tujuan analisis klaster adalah untuk mengelompokkan objek/ variabel yang mirip dalam klaster yang sama, maka beberapa ukuran diperlukan untuk mengakses seberapa mirip atau berbeda objek/ objek atau varaiabel/ varaiabel tersebut.pendekatan yang paling biasa ialah mengukur kemiripan dinyatakan dalam jarak (distance) antara pasangan objek. Ukuran kemiripan yang yang paling biasa dipakai ialah jarak euclidean (euclidean distance) atau nilai kuadratnya yang merupakan akar dari jumlah kuadrat perbedaan/ deviasi di dalam nilai untuk setiap variabel. Rumusnya adalah sebagai berikut: DD(XX, YY) = ( XX ii YY ii ) 2 (2.25) 3. Memilih Suatu Prosedur Pengklasteran Gambar 2.3: Klasifikasi Prosedur Pengklasteran Clustering Procedure Hierarchical Non- Hierarchical Agglomerative Devisive Sequential Paralle Optimizing

24 Linkage Variance Centroid Ward s Method Single Linkage Complete Linkage Average Linkage Prosedur pengklasteran bisa hierarki dan bisa juga non hierarki. Pengklasteran hierarki ditandai dengan pengembangan suatu hierarki atau struktur mirip pohon (tree like structure). Metode hierarki bisa aglomeratif atau devisif (agglomerative or divisive). Pengklasteran agglomeratif dimulai dengan setiap objek dalam suatu klaster yang terpisah. Klaster dibentuk dengan mengelompokkan objek/ variabel ke dalam klaster yang semakin membesar., yaitu semakin banyak elemen atau objek yang menjadi anggotanya. Proses ini dilanjutkan sampai semua objek menjadi anggota dari suatu klaster tunggal. Sebaliknya pengklasteran devisif dimulai dari semua objek dikelompokkan menjadi klaster tunggal. Kemudian klaster dibagi atau dipisah, sampai setiap objek berada di dalam klaster yang terpisah. Hasil dari kedua metode agglomeratif dan devisif bisa disajikan dalam bentuk dendogram, sebagai suatu diagram dua dimensi. Di sini akan dibahas prosedur agglomerasi hierarkis, khususnya metode pertalian (linkage method), yaitu single linkage method (metode pertalian tunggal), complete linkage method (metode pertalian lengkap), average linkage method (metode pertalian rata-rata). Berikut adalah langkah-langkah di dalam pengklasteran agglomeratif hierarkis untuk mengelompokkan N objek (responden/ kasus/ variabel). a. Mulai dengan N kelompok (klaster), masing-masing kelompok suatu objek tunggal dan matriks simetris N x N berjarak D = {di k }.

25 b. Selidiki jarak matriks untuk pasangan kelompok yang paling mirip atau paling dekat. Misalkan jarak yang paling mirip yaitu U dan V = d uv. c. Gabungkan kelompok atau klaster U dan V. Klaster ini disebut klaster (UV). Perbaharui entry di dalam matriks jarak dengan: i. Menghapus/ menghilangkan baris dan kolom, sesuai dengan klaster U dan V. ii. Tambah satu baris dan kolom memberikan jarak antara klaster (UV) dan sisa klaster. d. Ulangi langkah (2 dan 3) sebanyak (N-1) kali. Seluruh objek akan berada dalam 1 klaster/ kelompok setelah algoritma selesai. Catat identitas klaster yang digabung dan tingkatan (distance or similarities) pada saat mana penggabungan terjadi. Jenis prosedur pengklasteran yang kedua yaitu metode nonhierarki atau yang sering disebut K-means clustering sangat berbeda dengan metode hierarki. Dalam metode ini, kita terlebih dahulu menentukan jumlah klaster dan pusat klaster sembarang, sehingga hasil klaster bergantung pada bagaimana pusat (center) dipilih. 4. Menentukan Banyaknya Klaster Isu utama dalam analisis klaster ialah menetukan berapa banyaknya klaster. Dalam kenyataannya, tidaka ada aturan baku untuk menentukan berapa sebetulnya banyaknya klaster, namun demikian ada beberapa petunjuk yang bisa dipergunakan, yaitu: a. Pertimbanngan teoritis, konseptual, praktis, mungkin bisa diusulkan/ disarankan untuk menetukan berapa banyaknya klaster yang sebenarnya. b. Di dalam pengklasteran hierarki, jarak dimana klaster digabung bisa dipergunakan sebagai kriteria. Hal paling mudah adalah dengan melihat dendogram. c. Di dalam pengklasteran nonhierarki, rasio jumlah varian dalam klaster dengan jumlah varian antarklaster dapat diplotkan melawan banyaknya klaster, di luar titik ini biasanya tidak perlu. d. Besarnya relatif klaster harus berguna.

26 5. Menginterpretasi dan Memprofil Klaster 2.8 Analisis Komponen utama Analisis komponen utama merupakan teknik statsistik yang dapat digunakan untuk mereduksi sejumlah variabel bebas menjadi beberapa variabel baru yang bersifat orthogonal dan tetap mempertahankan total keragaman dari variabel asalnya. Analisis komponen utama bertujuan untuk mengubah dari sebagian besar variabel asli yang digunakan yang saling berkorelasi menjadi satu set variabel baru yang lebih kecil saling bebas dan merupakan kombinasi linier dari variabel asalnya. Selanjutnya variabel baru ini dinamakan komponen utama (principal component). Secara umum tujuan dari analisis komponen utama adalah mereduksi dimensi data sehingga lebih mudah untuk menginterpretasikan data tersebut Menentukan Komponen Utama Komponen utama ditentukan melalui matriks kovarian (Ʃ) dan matriks korelasi (ρρ) dari xx 1, xx 2,, xx pp. Matriks kovarian Ʃdigunakan untuk membentuk komponen utama apabila semua variabel yang diamati mempunyai satuan pengukuran yang sama. Sedangkan matriks korelasi ρρ digunakan apabila variabel yang diamati tidak mempunyai satuan pengukuran yang sama. Variabel tersebut perlu dibakukan, sehingga komponen utama berdasarkan matriks korelasi ditentukan dari variabel baku Komponen Utama Berdasarkan Matriks Kovarian (Ʃ) Dipunyai matriks kovarianʃdari pp buah variabel, xx 1, xx 2,, xx pp. Total varian dari variabel-variabel tersebut didefinisikan sebagai tttt(ʃ) = tttttttttt(ʃ) yaitu penjumlahan dari unsur diagonal matriks Ʃ. Melalui matriks kovarian Ʃ bisa diturunkan akar ciri-akar

27 cirinya, yaitu: λλ 1 λλ 2 λλ pp 0 dan vektor ciri-vektor cirinya αα 1, αα 2,, αα pp. Komponen utama dari vektor berukuran pp 1, xx = xx 1, xx 2,, xx pp adalah kombinasi linier terbobot dari variabel asal yang dapat menerangkan keragaman terbesar. Komponen utama pertama dapat dituliskan sebagai: YY 1 = αα 11 XX 1 + αα 12 XX αα 1pp XX pp YY 1 = αα 1 XX (2.29) dengan: αα 1 XX = αα 11, αα 12,, αα 1pp dan αα 1 αα 1 = 1 Varian dari komponen utama pertama adalah: pp pp σσ 2 YY 1 = αα ii1 αα jj1 ss iiii ii=1 = αα 1 αα 1 (2.30) jj =1 Vektor pembobot αα adalah vektor normal, koefisisen αα ii1 adalah unsur-unsur dari vektor ciri yang berhubungan dengan akar ciri terbesar λλ 1 yang diturunkan dari matriks kovarian Ʃ dipilih sedemikian sehingga σσ 2 YY 1 mencapai maksimum dengan kendala αα 1 αα 1 = 1. Menggunakan teknik pemaksimuman berkendala Lagrange diperoleh persamaan: ff(αα 1, λλ 1 ) = σσ 2 YY 1 λλ 1 (αα 1 αα 1 1) = αα 1 αα 1 λλ 1 (αα 1 αα 1 1) Fungsi ini mencapai maksimum jika turunan parsial pertama ff(αα 1, λλ 1 ) terhadap αα 1 sama dengan nol. (αα 1,λλ 1 ) αα 1 = 2 αα 1 2λλ 1 αα 1 = 0 atau αα 1 = λλ 1 αα 1 (2.31) Persamaan (2.31) dipenuhi oleh λλ 1 dan αα 1 yang merupakan pasangan akar ciri dan vektor ciri matriks Ʃ. Akibatnya, αα 1 αα 1 = αα 1 λλ 1 αα 1 =λλ 1 αα 1 αα 1 = λλ 1. Oleh karena itu,

28 varian YY 1 = σσ 2 YY 1 = αα 1 αα 1 = λλ 1 harus maksimum, maka λλ 1 adalah akar ciri yang terbesar dari matriks Ʃdanαα 1 adalah vektor ciri yang bersesuaian dengan λλ 1. Komponen utama kedua adalah kombinasi linier terbobot variabel asal yang tidak berkorelasi dengan komponen utama pertama, serta memaksimumkan sisa kovarian data setelah diterangkan oleh komponen utama pertama. Komponen utama kedua dapat dituliskan sebagai: YY 2 = αα 21 XX 1 + αα 22 XX αα 2pp XX pp YY 2 = αα 2 XX (2.32) dengan: αα 2 XX = αα 21, αα 22,, αα 2pp dan αα 2 αα 2 = 1 Vektor pembobot αα adalah vektor normal yang dipilih sehingga keragaman komponen utama kedua maksimum, serta orthogonal terhadap vektor pembobot αα 1 dari komponen utama pertama. Agar varian dari komponen utama kedua maksimum, serta antara komponen utama kedua tidak berkorelasi dengan komponen utama pertama, maka vektor pembobot αα 2 dipilih sedemikan sehingga YY 2 = αα 2 XX tidak berkorelasi dengan YY 1 = αα 1 XX. Varian komponen utama kedua (YY 2 ) adalah: pp pp σσ 2 YY 2 = αα ii2 αα jj2 ss iiii ii=1 = αα 2 αα 2 (2.33) jj =1 Varian tersebut akan dimaksimumkan dengan kendala αα 2 αα 2 = 1 dan cccccc(yy 1, yy 2 ) = cccccc(αα 1 xx, αα 2 xx) = αα 1 αα 2 = 0. Karena αα 1 adalah vektor ciri dari Ʃ dan Ʃ adalah matriks simetris, maka: αα 1 Ʃ = (Ʃαα 1 ) = (λλαα 1 ) = λλαα 1. Kendala αα 1 αα 2 = λλαα 1 αα 2 = 0 dapat dituliskan sebagai αα 1 αα 2 = 0. Jadi fungsi Lagrange yang dimaksimumkan adalah: ff(αα 2, λλ 2, λλ) = (αα 2 αα 2 ) λλ 2 (αα 2 αα 2 1) λλ(αα 1 αα 2 0) (2.34)

29 Fungsi ini mencapai maksimum jika turunan parsial pertama ff(αα 2, λλ 2, λλ) terhadap αα 2 sama dengan nol, sehingga diperoleh: (αα 1,λλ 1,λλ) αα 2 = 2 αα 2 2λλ 2 αα 2 λλ αα 1 = 0 (2.35) Jika persamaan (2.35) dikalikan dengan αα 1 maka diperoleh: 2αα 1 αα 2 2λλ 2 αα 1 αα 2 λλαα 1 αα 1 = 0 (karena αα 1 = λλ 1 αα 1 ) 2αα 1 αα 2 2λλ 2 αα 1 αα 2 λλλλ 1 αα 1 αα 1 = 0 2αα 1 αα 2 0 λλλλ 1 = 0 Oleh karena 2αα 1 αα 2 = 0 maka λλ = 0. Dengan demikian persamaan (2.35) setelah diturunkan terhadap αα 2 menjadi (αα 1, λλ 1, λλ) = 2 αα αα 2 2λλ 2 αα 2 = 0 2 αα 2 λλ 2 αα 2 = 0 (2.36) Jadi λλ 2 dan αα 2 merupakan pasangan akar ciri dan vektor ciri dari matriks varian kovarian Ʃ. Seperti halnya penurunan pada pencarian αα 1, akan diperoleh bahwa αα 1 adalah vektor yang bersesuaian dengan akar ciri terbesar kedua dari matriks Ʃ. Secara umum komponen utama ke-j dapat dituliskan sebagai berikut: YY jj = αα 1jj XX 1 + αα 2jj XX αα pppp XX pp YY jj = αα jj αα (2.37) dengan: αα jj = αα jj1, αα jj2,, αα jjjj dan αα jj αα jj = 1 vektor pembobot αα jj diperoleh dengan memaksimumkan keragaman komponen utama ke-j, yaitu: σσ 2 YY jj = αα jj αα jj (2.38) dengan kendala: αα jj αα jj = 1 serta αα jj αα jj = 0 untuk i j

30 Dengan kendala ini, maka akar ciri λλ jj dapat diinterpretasikan sebagai ragam komponen utama ke-j sesama komponen utama tidak berkorelasi. Vektor pembobot αα jj yang merupakan koefisien pembobot variabel asal bagi komponen utama ke- j diperoleh dari matriks peragam Ʃ yang diduga dengan matriks S berikut: SS = 1 nn 1 (xx h xx )(xx h xx ) nn h=1 (2.39) Komponen Utama Berdasarkan Matriks Korelasi (ρρ) Jika variabel yang diamati tidak mempunyai satuan pengukuran yang sama, maka varaiabel tersebut perlu dibakukan sehingga komponen utama ditentukan dari variabel baku (Vincent Gasperz, 1991). Variabel asal perlu ditransformasi ke dalam variabel baku Z, dalam catatan matriks adalah: ZZ = XX µ σσ dengan: Z = variabel baku X = variabel asal µ = rata-rata variabel asal σ = standard deviasi (2.40) Komponen utama dari Z dapat ditentukan dari vektor ciri yang diperoleh melalui matriks korelasi yang diduga dengan matriks ρρ, dimana vektor pembobot αα jj diperoleh dengan memaksimumkan keragaman komponen utama ke- j dengan kendala: αα jj αα jj = 1, serta αα jj αα jj = 0, untuk ii jj. Semua formula yang telah diturunkan berdasarkan variabel-variabel xx 1, xx 2,, xx pp dengan matriks Ʃ akan berlaku untuk peubah-peubah zz 1, zz 2,, zz pp dengan nilai matriks ρρ.

31 Sehingga diperoleh komponen utama ke- jdengan menggunakan variabel baku yaitu: YY jj = αα jj ZZ dengan: YY jj = komponen utama ke- j αα jj ZZ = vektor ciri ke- j = variabel baku Kriteria Pemilihan Komponen Utama Salah satu tujuan dari analisis komponen utama adalah mereduksi dimensi data asal yang semula terdapat p variabel bebas menjadi k komponen utama (dimana kk < pp). Kriteria pemilihan k didasarkan pada akar ciri yang lebih besar dari satu, dengan kata lain hanya komponen utama yang memiliki akar ciri lebih besar dari satu yang dilibatkan dalam analisis. 2.9 Analisis Regresi Komponen Utama Aroef, M. A. (1991) mengatakan bahwa analisis komponen utama bertujuan untuk menyederhanakan variabel yang diamati dengan cara menyusutkan dimensinya. Hal ini dilakukan dengan menghilangkan korelasi variabel melalui transformasi variabel asal ke variabel baru yang tidak berkorelasi. Variabel baru (y) disebut komponen utama yang merupakan hasil transformasi dari variabel asal x yang modelnya dalam catatan matriks adalah: y= Ax dimana A adalah matriks yang melakukan transformasi terhadap variabel asal x, sehingga diperoleh vektor komponen y. Secara umum komponen utama ke-j dapat dituliskan sebagai berikut:

32 YY JJ = aa 1jj XX 1 + aa 2jj XX 2 + aa pppp XX pp Regresi komponen utama adalah teknik yang digunakan untuk meregresikan komponen utama dengan variabel tak bebas melalui metode kuadrat terkecil. Tahap pertama pada prosedur regresi komponen utama yaitu menentukan komponen utama yang merupakan kombinasi linier dari beberapa variabel X, dan tahap kedua adalah variabel tak bebas diregresikan pada komponen utama dalam sebuah model regresi linier. Persamaan regresi komponen utama berdasarkan matriks kovarian pada dasarnya hampir sama dengan persamaan regresi komponen utama berdasarkan matriks korelasi yaitu variabel X 1, X 2,, X p diganti dengan variabel baku Z 1, Z 2,, Z p. Kedua persamaan tersebut digunakan sesuai dengan pengukuran variabel-variabel yang diamati. Apabila diberikan notasi W 1, W 2,, W k sebagai banyaknya komponen utama yang dilibatkan dalam analisis regresi komponen utama, dimana k lebih kecil daripada banyaknya variabel penjelas asli X, yaitu sejumlah p(k<p). Maka bentuk umum persamaan regresi komponen utama adalah: YY = δδ 0 + δδ 1 WW 1 + δδ 2 WW δδ kk WW kk (2.41) dengan: Y = variabel tak bebas W i δ i = variabel komponen utama = parameter model regresi komponen utama Komponen utama merupakan kombinasi linier dari variabel Z: WW 1 = αα 11 ZZ 1 + αα 21 ZZ αα PP1 ZZ PP WW 2 = αα 12 ZZ 1 + αα 22 ZZ αα PP2 ZZ PP....

33 WW KK = αα 1KK ZZ 1 + αα 2KK ZZ αα PPPP ZZ PP dengan: W i α ij Z i = komponen utama =koefisien komponen utama = variabel baku Komponen utama W 1, W 2,, W k dalam persamaan di atas disubstitusikan ke dalam persamaan bentuk umum regresi komponen utama, kemudian diselesaikan secara aljabar, maka diperoleh: Ŷ = ββ 0 + ββ 1 ZZ 1 + ββ 2 ZZ ββ PP ZZ pp (2.42) dengan: β 0 β 1 = δ 0 = Ŷ = δ 1 α 11 + δ 2 α δ k α 1k β p = δ 1 α p1 + δ 2 α p2 + + δ k α pk