BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN. grup kristalografi, dan Graphical User Interface (GUI) untuk pembentukan

Transkripsi

1 BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN Pada bab ini akan dijelaskan mengenai definisi grup kristalografi dan grup yang termasuk didalamnya, langkah-langkah pembentukan motif batik dengan grup kristalografi, dan Graphical User Interface (GUI) untuk pembentukan motif batik. A. Grup Kristalografi Definisi 4.1 (Umble, 2015 hal. 157) Grup kristalografi merupakan grup simetri tak hingga yang menggunakan dua translasi yaitu ττ vv, ττ ww (yang disebut dengan translasi dasar) yang memenuhi: i. Vektor vv dan ww adalah dua vektor yang berbeda ii. Jika ττ adalah translasi pada suatu grup simetri, terdapat mm dan nn bilangan bulat sedemikian sehingga ττ = ττ ww nn ττ vv mm = ττ mmmm ττ nnnn Contoh 4.1 Grup pp1 = {ττ 1 nn, ττ 2 mm mm, nn Z} adalah suatu grup kristalografi. Sebab: a. Himpunan pp1 Bersifat asosiatif Ambil sembarang ττ 1 nn, ττ 1 nn+1, ττ 1 nn+2 pp1 b. Terdapat elemen identitas ττ 1 nn ( ττ 1 nn+1 ττ 1 nn+2 ) = ττ 1 nn ττ 1 (nn+1)+(nn+2) = ττ 1 (nn)+(nn+1) +(nn+2) = (ττ 1 nn ττ 1 nn+1 )ττ 1 nn+2 ττ 1 nn ττ 1 0 = ττ 1 0 ττ 1 nn = ττ 1 nn ττ 2 mm ττ 2 0 = ττ 2 0 ττ 2 mm = ττ 2 mm 32

2 nn 0 mm 0 Elemen identitas untuk ττ 1 adalah ττ 1 dan untuk ττ 2 adalah ττ 2 c. Setiap elemen mempunyai invers ττ nn 1 ττ nn 0 1 = ττ 1 ττ mm 2 ττ mm 0 2 = ττ 2 nn nn mm mm Jadi invers untuk ττ 1 adalah ττ 1 dan untuk ττ 2 adalah ττ 2 Ide dari grup kristalografi bermula dari sebuah masalah bagaimana mengisi sebuah bidang dengan poligon-poligon yang kongruen sehingga setiap sisi dari poligon-poligon tersebut tidak saling tumpang tindih. Kemudian didapat bahwa poligon poligon yang memenuhi bidang tersebut hanyalah segi empat, segitiga, dan heksagonal (segi enam) seperti pada Gambar 4.1. Gambar 4.1 Poligon-poligon yang memenuhi bidang Sebuah bidang yang luas dapat diisi dengan poligon-poligon yang kongruen ini sehingga seluruh bidang terisi dengan melakukan isometri pada poligon-poligon tersebut. Untuk mengisi bidang dengan menggunakan segi empat dapat dilakukan dengan translasi sebuah segi empat ke atas, ke bawah, ke kanan dan ke kiri seperti pada Gambar 4.1 (c). Pada kasus segi enam, maka pengisisan bidang dapat dilakukan dengan translasi ke arah sudut 60 derajat. Pada Gambar 4.1 (a) Pengisian bidang menggunakan segitiga dilakukan dengan cara yang sama dan ditambahkan 33

3 dengan rotasi atau refleksi. Rotasi dengan sudut 60 derajat akan membentuk segienam dan translasi akan memenuhi seluruh bidang. Dengan cara tersebut akan didapatkan pola-pola simetri tertentu. Pola pola tersebut akan membentuk suatu grup simetri. Menurut (Scattschneider, 1978) terdapat tepat 17 grup yang memenuhi kriteria tersebut. Ke-17 grup tersebut sering disebut dengan grup kristalografi dua dimensi atau juga wallpaper group. B. Kisi Satuan Definisi 4.2 (Umble, 2015 hal. 157) Misalkan WW adalah grup krstalografi dengan translasi dasar ττ vv, ττ ww. Diberikan sebarang titik AA, misalkan ττ vv (AA) = BB, ττ ww (BB) = CC, dan ττ ww (AA) = DD. Kisi satuan pada AA adalah daerah yang dibatasi oleh segiempat AAAAAAAA. Sebuah kisi satuan dapat memiliki lebih dari satu pusat rotasi lipatn. Sebuah kisi satuan dikatakan mempunyai orde-nn jika mempunyai pusat rotasi lipat-nn yang tertinggi. Nilai nn yang memenuhi orde tersebut adalah 2, 3, 4, atau 6. Hal ini dikarenakan poligon kongruen yang dapat digunakan hanyalah segitiga, segiempat dan segi enam. Jika sebuah pola tidak mengandung rotasi, tetapi terdapat refleksi dan glide dalam grup simetri tersebut maka kisi satuan harus mempunyai barisan titik titik yang saling sejajar. Hal ini mengakibatkan hanya terdapat 5 tipe kisi satuan yang berbeda ( Schattschneider, 1978). Kelima kisi tersebut adalah jajar genjang, persegipanjang, belah ketupat, persegi, dan segi enam (yang tersusun dari dua segitiga sama sisi), seperti pada Gambar

4 Gambar 4.2 Kisi-kisi satuan Setiap jenis kisi satuan dapat membentuk pola dengan bantuan suatu isometri tertentu. Pola pola tersebut membentuk 17 grup kristalografi yang berbeda ( Schattschneider, 1978). Ketujuh belas grup kristalografi tersebut adalah : 1. Grup pp1 Grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu ττ 1 = ττ AA,BB dan ττ 2 = ττ AA,CC, sehingga dapat dituliskan sebagai pp1 = {ττ nn 1, ττ mm 2 mm, nn Z}. Kisi satuan dalam grup pp1 adalah jajargenjang seperti pada Gambar

5 Gambar 4.3 Kisi satuan untuk pp1 Contoh untuk grup pp1 terdapat pada Gambar 4.4. Gambar 4.4 Contoh motif grup pp1 2. Grup pp2 Grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu ττ 1 = ττ AA,BB dan ττ 2 = ττ AA,CC dengan arah translasi yang saling berlawanan. Dapat dinyatakan dengan pp2 = ττ AA,BB, ττ AA,CC, σσ AA. Kisi satuan dalam grup pp2 sama seperti grup pp1 yaitu jajargenjang. Gambar 4.5 Kisi satuan untuk pp2 Contoh untuk pola grup pp2 terdapat pada Gambar

6 Gambar 4.6 Contoh motif grup pp2 3. Grup pppp Grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu ττ 1 = ττ AA,BB, ττ 2 = ττ AA,CC dan refleksi dengan satu sumbu sehingga dapat dituliskan sebagai pppp = ττ nn, ττ mm 1 2, σσ kk mm, nn Z, kk = 0 atau 1. Kisi satuan dalam grup pppp berupa persegi panjang. Gambar 4.7 Kisi satuan untuk pppp Contoh dari grup pppp ada pada Gambar 4.8 Gambar 4.8 Contoh motif grup pppp 37

7 4. Grup pppp Grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu ττ 1 = ττ AA,BB, ττ 2 = ττ AA,CC, dan glide sehingga dapat dinyatakan sebagai pppp = ττ nn, ττ mm 1 2, γγ kk mm, nn, kk Z.. Kisi satuan dalam grup pppp berupa persegi panjang. Gambar 4.9 Kisi satuan untuk pppp Contoh dari grup pppp ada pada Gambar Grup cccc Gambar 4.10 Contoh motif grup pppp Grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu ττ 1 = ττ AA,BB, ττ 2 = ττ AA,CC dan refleksi sehingga dapat dituliskan sebagai cccc = ττ nn, ττ mm 1 2, σσ kk mm, nn Z, kk = 0 atau 1. Kisi satuan dalam grup cccc berupa belah ketupat. 38

8 Gambar 4.11 Kisi satuan untuk cccc Contoh dari pola grup cccc ada pada Gambar Grup pppppp Gambar 4.12 Contoh motif grup cccc Grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu ττ 1 = ττ AA,BB, ττ 2 = ττ AA,CC, refleksi terhadap garis horisontal yaitu σσ AAAA, dan refleksi terhadap vertikal yaitu σσ AAAA sehingga dapat dituliskan sebagai pppppp = ττ nn, ττ mm kk 1 2, σσ 1 σσ ll 2 mm, nn Z, kk, ll = 0 atau 1. Kisi satuan dalam grup pppppp berupa persegi panjang. Gambar 4.13 Kisi satuan untuk pppppp Contoh dari grup pppppp ada pada Gambar

9 Gambar 4.14 Contoh motif grup pppppp 7. Grup pppppp Grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu ττ 1 = ττ AA,BB, ττ 2 = ττ AA,CC, dan refleksi. Translasi yang digunakan adalah translasi dengan arah yang berlawanan, sehingga dapat dituliskan sebagai pppppp = ττ nn, ττ mm kk 1 2, σσ 1 σσ ll 2 mm, nn Z, kk, ll = 0 atau 1. Kisi satuan dalam grup pppppp berupa persegi panjang atau persegi. Gambar 4.15 Kisi satuan untuk pppppp Contoh dari grup pppppp ada pada Gambar Gambar 4.16 Contoh motif grup pppppp 40

10 8. Grup pppppp Grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu ττ 1 = ττ AA,BB, ττ 2 = ττ AA,CC dan glide ke dua arah, sehingga dapat dituliskan sebagai pppppp = ττ nn, ττ mm 1 2, γγ kk σσ ll mm, nn, kk Z, ll = 0 atau 1. Kisi satuan dalam grup pppppp berupa persegi panjang. Gambar 4.17 Kisi satuan untuk pppppp Contoh dari grup pppppp ada pada Gambar Grup cccccc Gambar 4.18 Contoh motif grup pppppp Grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu ττ 1 = ττ AA,BB, ττ 2 = ττ AA,CC, glide dan refleksi, sehingga dapat dituliskan sebagai cccccc = ττ nn, ττ mm 1 2, γγ kk σσ ll mm, nn, kk Z, ll = 0 atau 1. Kisi satuan dalam grup cccccc berupa belah ketupat. 41

11 Gambar 4.19 Kisi satuan untuk cccccc Contoh dari grup cccccc ada pada Gambar Grup pp4 Gambar 4.20 Contoh motif grup cccccc Grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu ττ 1 = ττ AA,BB, ττ 2 = ττ AA,CC, dan rotasi 90 searah perputaran jarum jam, sehingga dapat dituliskan sebagai pp4 = ττ nn, ττ mm 1 2, ρρ kk mm, nn Z, kk = 0,1,2, atau 3. Kisi satuan dalam grup pp4 berupa persegi. Gambar 4.21 Kisi satuan untuk pp4 Contoh dari grup pp4 ada pada Gambar

12 Gambar 4.22 Contoh motif grup pp4 11. Grup pp4mm Grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu ττ 1 = ττ AA,BB, ττ 2 = ττ AA,CC, rotasi 90 searah perputaran jarum jam dan refleksi dengan 4 sumbu refleksi, sehingga dapat dituliskan pp4mm = ττ nn, ττ mm 1 2, ρρ kk σσ ll mm, nn Z, kk = 0,1,2, atau 3, ll = 0 atau 1. Kisi satuan dalam grup pp4mm berupa persegi. Gambar 4.23 Kisi satuan untuk pp4mm Contoh dari grup pp4mm ada pada Gambar Gambar 4.24 Contoh motif grup pp4mm 43

13 12. Grup pp4gg Grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu ττ 1 = ττ AA,BB, ττ 2 = ττ AA,CC, rotasi 90 searah perputaran jarum jam dan refleksi dengan 4 sumbu refleksi, sehingga dapat dituliskan sebagai pp4gg = ττ nn, ττ mm 1 2, ρρ kk σσ ll mm, nn Z, kk = 0,1,2, atau 3, ll = 0 atau 1. Kisi satuan dalam grup pp4gg berupa persegi. Gambar 4.25 Kisi satuan untuk pp4gg Contoh dari grup pp4gg ada pada Gambar Grup pp3 Gambar 4.26 Contoh motif grup pp4gg Pada grup ini kisi satuan berupa segienam. Pola pada grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu ττ 1 = ττ AA,BB, ττ 2 = ττ AA,CC, dan rotasi 120 searah perputaran jarum jam, sehingga grup pp3 dapat dinyatakan sebagai pp3 = ττ nn, ττ mm 1 2, ρρ kk mm, nn Z, kk = 0,1, atau 2. 44

14 Gambar 4.27 Kisi satuan untuk pp3 Contoh untuk grup pp3 terdapat pada Gambar Gambar 4.28 Contoh motif grup pp3 14. Grup pp3mm1 Pada grup ini kisi satuan berupa segienam. Pola pada grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu ττ 1 = ττ AA,BB, ττ 2 = ττ AA,CC, rotasi 120 searah perputaran jarum jam, dan refleksi, sehingga grup pp3mm1 dapat dinyatakan sebagai pp3mm1 = ττ nn, ττ mm 1 2, ρρ kk σσ ll mm, nn Z, kk = 0,1, aaaaaaaa 2, ll = 0 atau 1. 45

15 Gambar 4.29 Kisi satuan untuk pp3mm1 Contoh untuk grup pp3mm1 ada pada Gambar Grup pp31mm Gambar 4.30 Contoh motif grup pp3mm1 Pada grup ini kisi satuan berupa segienam. Pola pada grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu ττ 1 = ττ AA,BB, ττ 2 = ττ AA,CC, rotasi 120 searah perputaran jarum jam, dan refleksi, sehingga grup pp31mm dapat dinyatakan sebagai pp31mm = ττ nn, ττ mm 1 2, ρρ kk σσ ll mm, nn Z, kk = 0,1, atau 2, ll = 0 atau 1. Gambar 4.31 Kisi satuan untuk pp31mm Contoh untuk grup pp31mm ada pada Gambar

16 16. Grup pp6 Gambar 4.32 Contoh motif grup pp31mm (Durbin, 1985) Pada grup ini kisi satuan berupa segienam. Pola pada grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu ττ 1 = ττ AA,BB, ττ 2 = ττ AA,CC, dan rotasi 60 searah perputaran jarum jam, sehingga grup pp6 dapat dinyatakan sebagai pp6 = ττ nn, ττ mm 1 2, ρρ kk mm, nn Z, kk = 0,1,2,3,4 atau 5 Gambar 4.33 Kisi satuan untuk pp6 Contoh untuk grup pp6 ada pada Gambar Gambar 4.34 Contoh motif grup pp6 (Martin, 1982) 47

17 17. Grup pp6mm Pada grup ini kisi satuan berupa segienam. Pola pada grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu ττ 1 = ττ AA,BB, ττ 2 = ττ AA,CC, rotasi 60 searah perputaran jarum jam, dan refleksi, sehingga grup pp6mm dapat dinyatakan sebagai pp6mm = ττ nn, ττ mm 1 2, ρρ kk σσ ll mm, nn Z, kk = 0,1,2,3,4 atau 5, ll = 0 atau 1. Gambar 4.35 Kisi satuan untuk pp6mm Contoh untuk grup pp6mm ada pada Gambar Gambar 4.36 Contoh motif grup pp6mm (Gallian, 2006) Penamaan grup kristalografi tersebut menggunakan penamaan internasional. Untuk keterangan gambar dari tiap tiap kisi dapat dilihat pada tabel berikut. 48

18 Tabel 4.1 Keterangan kisi satuan Pusat rotasi lipat-2 Pusat rotasi lipat-3 Pusat rotasi lipat-4 Pusat rotasi lipat-6 Untuk memudahkan dalam membedakan setiap pola, maka Tabel 4.2 digunakan untuk mengenali pola pada grup kristalografi. Tabel 4.2 Klasifikasi grup kristalografi Jenis Grup Model Kisi Satuan Pusat rotasi lipatn Refleksi Glide p1 jjg 1 tidak ada tidak ada p2 jjg 2 tidak ada tidak ada pm ppj 1 ada tidak ada pg ppj 1 tidak ada ada cm bkt 1 ada ada pmm ppj 2 ada tidak ada pmg ppj 2 ada ada pgg ppj 2 tidak ada ada cmm bkt 2 ada ada p4 psg 4 tidak ada tidak ada 49

19 p4m psg 4 ada ada p4g psg 4 ada ada p3 s6 3 tidak ada tidak ada p3m1 s6 3 ada ada p31m s6 3 ada ada p6 s6 6 tidak ada tidak ada p6m s6 6 ada ada Keterangan : a. jjg : jajargenjang b. bkt : belah ketupat c. ppj : persegi panjang d. psg : persegi e. s6 : segienam C. Penerapan Grup Kristalografi untuk Motif Batik Untuk dapat membentuk suatu motif dari pola dasar, maka perlu untuk mengetahui daerah generator dari setiap grup kristalografi. Daerah generator pada sebuah pola adalah daerah terkecil pada bidang dimana grup simetri daerah tersebut memenuhi seluruh bidang ( Schattschneider, 1978). Daerah generator dari setiap grup kristalografi dapat dilihat pada Gambar

20 Gambar 4.37 Daerah generator untuk setiap grup kristalografi ( Schattschneider, 1978). Kemudian untuk membentuk motif dengan pola dasar tertentu maka dibutuhkan langkah langkah sebagai berikut : 1. Tempatkan pola dasar pada daerah generator. 2. Operasikan pola dengan isometri yang terdapat pada grup kristalografi. 3. Pola di translasikan searah dengan vektor yang membentuk rusuk kisi satuan. 51

21 Contoh 4.1. Membentuk motif dengan grup kristalografi 1. Membentuk motif dengan pola dasar menggunakan grup pp3mm1. Gambar 4.38 Langkah-langkah pembentukan motif menggunakan grup pp3mm1 Pola dasar ditempatkan pada daerah generator seperti pada Gambar 4.38 (a). Karena isometri yang terdapat pada grup pp3mm1 adalah ττ AA,BB, ττ AA,CC, ρρ 120, σσ AAAA, selanjutnya pola di refleksikan terhadap garis AAAA seperti pada Gambar 4.38 (b). Kemudian pola tersebut dirotasikan 120 dengan pusat rotasi GG sebanyak dua kali dan dilanjutkan dengan translasi searah dengan sisi/rusuk kisi satuan yaitu garis AAAA dan AAAA sehingga menghasilkan motif batik pada Gambar 4.38 (d). 2. Membentuk motif dengan pola pada Gambar 4.39 menggunakan grup pp4. 52

22 Gambar 4.39 Pola dasar Langkah-langkah yang dilakukan untuk membuat motif dari pola dasar tersebut adalah: a. Pola dasar ditempatkan pada daerah generator seperti pada Gambar 4.40 (a). b. Pola dasar dirotasikan dengan sudut 90 sebanyak tiga kali seperti pada Gambar 4.40 (b). c. Pola tersebut ditranslasikan vertikal dan horizontal sehingga menghasilkan motif pada Gambar 4.40 (c). Gambar 4.40 Langkah-langkah pembentukan motif menggunakan grup pp4 D. Graphical User Interface (GUI) untuk Pembentukan Motif Batik Untuk mempermudah dalam mengaplikasikan grup kristalografi untuk pembentukan motif batik, maka dibuat program menggunakan Graphical User Interface (GUI) pada MATLAB. Program ini dapat membentuk motif batik menggunakan grup kristalografi. Pada program ini pola dasar yang berupa gambar akan diproses menjadi suatu matriks 53

23 persegi. Dikarenakan gambar diproses menjadi matriks persegi maka grup kristalografi yang mempunyai kisi satuan berupa segienam tidak dapat diproses secara maksimal. Pola dasar dengan kisi satuan segienam apabila disatukan menjadi sebuah motif maka terdapat celah antar kisi satuan, sehingga menyebabkan motif batik yang dibentuk tidak memenuhi kriteria grup kristalografi. Terdapat 6 grup yang menggunakan kisi satuan berupa segienam. Oleh karena itu dari 17 grup yang ada, grup kristalografi yang dapat digunakan pada program ini hanyalah 11 grup. Kesebelas grup tersebut adalah pp1, pp2, pppp, pppp, pp4gg, pppppp, pppppp, pppppp, cccc, cccccc, dan pp4. Pada Gambar 4.41 merupakan tampilan program pembentukan motif batik menggunakan grup kristalografi. Gambar 4.41 Tampilan awal GUI untuk pembentukan motif batik Pada program tersebut tombol browse digunakan untuk memasukkan pola dasar yang akan diproses menjadi motif batik. Setelah pola dasar dipilih maka pola dasar akan tampil di layar utama seperti pada gambar Untuk membentuk motif batik maka pengguna dapat 54

24 memilih grup kristalografi yang akan digunakan menggunakan 11 tombol di sebelah kanan. Gambar 4.42 Tampilan pola dasar pada layar utama Setelah grup kristalografi dipilih maka motif batik akan muncul di layar utama dan layar figure seperti pada Gambar 4.43 Gambar 4.43 Hasil motif batik menggunakan grup pppp Untuk menyimpan hasil motif batik maka dapat menggunakan tombol save pada layar figure. Motif batik akan disimpan dalam bentuk gambar. 55

25 Program ini dapat menghasilkan beberapa motif batik dari satu pola dasar. Namun tidak setiap grup kristalografi menghasilkan motif yang berbeda. Pada beberapa pola dasar menghasilkan motif batik yang sama dengan menggunakan grup kristalografi yang berbeda, seperti pada Gambar 4.44 dan Gambar 4.44 Motif batik menggunakan grup pppppp Gambar 4.45 Motif batik menggunakan grup pp4 Pada Gambar 4.44 dan 4.45 motif batik yang dihasilkan sama, padahal menggunakan grup kristalografi yang berbeda. Hal ini disebabkan 56

26 karena hasil operasi pola dasar pada kedua grup sama, sehingga menghasilkan motif yang sama. Dari beberapa pola dasar yang digunakan pada penelitian ini, ada 3 grup yang dapat menghasilkan motif yang sama. Grup tersebut adalah, grup pp4, grup pp4gg dan grup pppppp. Grup pp4 akan menghasilkan motif yang sama dengan grup pppppp jika rotasi 270 pada pola dasar sama dengan pencerminan terhadap garis horizontal seperti pada Gambar 4.46, rotasi 180 sama dengan pencerminan pola dasar terhadap garis horizontal kemudian dilanjutkan pencerminan terhadap garis vertikal, rotasi 90 sama dengan pencerminan pola dasar terhadap garis vertikal. Gambar 4.46 (a) Pola dasar direfleksikan terhadap garis vertikal (b) pola dasar dirotasikan dengan sudut 270 o Motif yang dihasilkan oleh grup pp4 dan pppppp dapat dilihat pada Gambar 4.47 dan

27 Gambar 4.47 Motif batik menggunakan grup pp4 Gambar 4.48 Motif batik menggunakan grup pppppp Grup pp4 akan menghasilkan motif yang sama dengan grup pp4gg jika pola dasar dirotasikan 90 o kemudian direfleksikan terhadap sumbu vertikal akan kembali menghasilkan pola dasar. Grup pppppp dapat menghasilkan motif yang sama dengan grup pp4gg jika rotasi 270 pada pola dasar sama dengan pencerminan terhadap garis horizontal, rotasi 180 sama dengan pencerminan pola dasar terhadap garis horizontal kemudian dilanjutkan pencerminan terhadap garis vertikal, rotasi 90 sama dengan pencerminan pola dasar terhadap garis vertikal. Pada penelitian ini digunakan sebanyak 21 pola dasar. Sebanyak 9 pola dasar dapat menghasilkan 11 motif batik berbeda dan 12 pola dasar 58

28 lainnya menghasilkan 9 motif batik yang berbeda. Oleh karena itu pada penelitian ini dihasilkan 207 motif batik dari 21 pola dasar.. 59