Metode Simplex. Toha Ardi Nugraha

Transkripsi

1 Metode Simplex Toha Ardi Nugraha

2 Pendahuluan Metode simpleks merupakan salah satu teknik penyelesaian dengan program linier yang digunakan sebagai teknik pengambilan keputusan dalam permasalahan yang berhubungan dengan pengalokasian sumberdaya secara optimal Metode simpleks digunakan untuk mencari nilai optimal dari program linier yang melibatkan banyak constraint (pembatas) dan banyak variabel (lebih dari dua variabel).

3 Metode Simplex Ubah seluruh pertidaksamaan menjadi persamaan dengan menambahkan variabel slack pada kendala <=, dan mengurangi variabel slack dari kendala >=. Contoh : a k1 X 1 + a k2 X a kn X n <= b k Pengubahan : a k1 X 1 + a k2 X a kn X n + S k = b k Contoh : a k1 X 1 + a k2 X a kn X n >= b k Pengubahan : a k1 X 1 + a k2 X a kn X n - S k = b k

4 Contoh Kasus MAX: 350X X 2 S.T.: 1X 1 + 1X 2 + S 1 = 200 9X 1 + 6X 2 + S 2 = X X 2 + S 3 = 2880 X 1, X 2, S 1, S 2, S 3 >= 0 } keuntungan } pompa } jam kerja } pipa } nonnegatif Jika terdapat n variabel pd sebuah sistem dengan m persamaan (dimana n>m), kita dapat memilih beberapa variabel m dan menyelesaikan persamaan tsb. (mengatur sisa n-m variabel menjadi nol.)

5 Langkah Umum Metode Simplex 1. Identifikasi beberapa solusi layak basis (titik-titik ekstrim) untuk sebuah PL, kemudian berpindah pd titik ekstrim yang berdekatan, jika perpindahan tsb. betul-betul meningkatkan nilai f. tujuan. 2. Perpindahan titik ekstrim tsb. Terjadi dgn mengganti sebuah variabel basis dgn sebuah var non-basis untuk membuat sebuah solusi layak basis yang baru. 3. Ketika tak ada lagi titik-titik ekstrim yg berdekatan mempunyai nilai f. tujuan yg lebih baik, proses dihentikan berarti titik ekstrim terakhir adalah solusi optimal.

6 Proses Pencarian Kenungkinan Solusi Layak Basis iabel iabel Nilai Basis Non-Basis Solusi Tujuan 1 S 1, S 2, S 3 X 1, X 2 X 1 =0, X 2 =0, S 1 =200, S 2 =1566, S 3 = X 1, S 1, S 3 X 2, S 2 X 1 =174, X 2 =0, S 1 =26, S 2 =0, S 3 =792 60,900 3 X 1, X 2, S 3 S 1, S 2 X 1 =122, X 2 =78, S 1 =0, S 2 =0, S 3 =168 66,100 4 X 1, X 2, S 2 S 1, S 3 X 1 =80, X 2 =120, S 1 =0, S 2 =126, S 3 =0 64,000 5 X 2, S 1, S 2 X 1, S 3 X 1 =0, X 2 =180, S 1 =20, S 2 =486, S 3 =0 54,000 6* X 1, X 2, S 1 S 2, S 3 X 1 =108, X 2 =99, S 1 =-7, S 2 =0, S 3 =0 67,500 7* X 1, S 1, S 2 X 2, S 3 X 1 =240, X 2 =0, S 1 =-40, S 2 =-594, S 3 =0 84,000 8* X 1, S 2, S 3 X 2, S 1 X 1 =200, X2=0, S 1 =0, S 2 =-234, S 3 =480 70,000 9* X 2, S 2, S 3 X 1, S 1 X 1 =0, X 2 =200, S 1 =0, S 2 =366, S 3 = ,000 10* X 2, S 1, S 3 X 1, S2 X 1 =0, X 2 =261, S 1 =-61, S 2 =0, S 3 = ,300 * Solusi tak layak (mengandung nilai negatif)

7 Solusi Layak Basis & Titik-Titik Ekstrim X Solusi Layak Basis 1 X 1 =0, X 2 =0, S 1 =200, S 2 =1566, S 3 = X 1 =174, X 2 =0, S 1 =26, S 2 =0, S 3 =792 3 X 1 =122, X 2 =78, S 1 =0, S 2 =0, S 3 =168 4 X 1 =80, X 2 =120, S 1 =0, S 2 =126, S 3 =0 5 X 1 =0, X 2 =180, S 1 =20, S 2 =486, S 3 = X 1

8 Sambungan metode simplex Berapa banyak solusi basis yang terjadi?!!!

9 Kemungkinan Banyaknya Solusi Basis Yg Dapat Dibuat Mis. n = jumlah variabel m = jumlah kendala Sesudah penambahan variabel slack, terdapat : (n + m)! n! m! cara untuk mendapatkan kemungkinan solusi basis. Contoh: Jika n = 2 dan m = 3, maka 5!/(2! 3!) = 10.

10 Beberapa Istilah Solusi Augmented : solusi masalah sesudah variabel slack ditambahkan. Solusi Basis : solusi titik sudut augmented dengan mengatur sejumlah menjadi nol dan menyelesaikan sisa variabel lainnya. Solusi Layak Basis (SLB) : solusi basis yang layak menjadi kandidat solusi optimal iabel Basis : variabel yang diselesaikan dalam solusi basis iabel Non-Basis : iabel yg sama dengan nol pada solusi basis 10

11 Outline Algoritma Simplex Mulai pada Solusi Layak Basis (SLB) / basic feasible solution (BFS) (biasanya pd titik asal) Pindah ke SLB yg lebih baik Mengembangkan fungsi tujuan Berhenti ketika bertemu SLB yg lebih baik dibandingkan seluruh SLB yg ada Solusi Optimal ditemukan

12 Tabel Simplex Max Subj. to: z - 6x 1-4x 2 = 0 x 1 + x 2 + x 3 = 12 x 1-2x 2 + x 4 = 6 x 2 + x 5 = 8 0 z x x x

13 Algoritma Simplex z = 6x 1 + 4x 2 Step 1: Pilih sebuah variabel baru untuk masuk basis. Pilihlah variabel non-basis yg punya nilai negatif terbesar 0 z x x x

14 Step 2a: Pilih sebuah variabel basis untuk meninggalkan basis 0 z x x x

15 Step 2b: Pilih sebuah variabel basis untuk meninggalkan basis Pilihlah variabel basis yg punya rasio paling kecil pd pembagian solusi terhadap koefisien positif dari variabel non-basis yg akan masuk 0 z x x Ratio 12/1 6/1 3 x

16 Step 2c: Select a basic variable to leave the basis. Pilihlah variabel basis yg punya rasio paling kecil pd pembagian solusi terhadap koefisien positif dari variabel non-basis yg akan masuk 1x 1-2x 2 + x 4 = 6 Ratio 0 z x x /1 6/1 3 x pivot point 16

17 Step 3e: Gunakan operasi baris untuk menentukan solusi basis yg baru. 0 z x x x z x 3 2 x 1 3 x

18 x z (4,8) Max z = 6x 1 + 4x 2 Subj. to: x 1 + x 2 <= 12 x 1-2x 2 <= 6 x 2 <= 8 z (10,2) 6 12 x 1-3

19 Iterasi selanjutnya z = 6x 1 + 4x 2 Sekarang kamu ambil lagi variabel baru yang akan masuk basis! 0 z x x x

20 Iterasi selanjutnya z = 6x 1 + 4x 2 Pilihlah variabel non-basis yg punya nilai negatif terbesar. 0 z x x x

21 Iterasi selanjutnya z = 6x 1 + 4x 2 Tentukan rasio minimum Ratio 0 z x /3 2 x x /1

22 Iterasi selanjutnya z = 6x 1 + 4x 2 Find minimum ratio Ratio 0 z x /3 2 x x /1 Pivot point

23 Iterasi selanjutnya 0 z x x x z /3 2/ x 2 2 x 1 3 x /3-1/ /3 1/ /3 1/3 1 6

24 Iterasi selanjutnya 0 z /3 2/ x 2 2 x 1 3 x /3-1/ /3 1/ /3 1/3 1 6

25 x 2 Ini lho... Gambaran optimalmya 12 Max z = 6x 1 + 4x 2 Subj. to: x 1 + x 2 <= 12 x 1-2x 2 <= 6 x 2 <= 8 8 (4,8) Pd x1 = 10 & x2 = 2, nilai optimalnya adalah 68 (10,2) 6 12 x