METODA ELEMEN HINGGA UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFUSI NEUTRON SATU DIMENSI DUA GRUP

Transkripsi

1 METODA ELEMEN HINA UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFUSI NEUTRON SATU DIMENSI DUA RUP Utaja *, Topan Setiadipura **, Khairina Ns ABSTRAK METODA ELEMEN HINA UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFUSI NEUTRON SATU DIMENSI DUA RUP. Distribusi neutron di dalam teras reaktor nuklir harus dapat ditentukan dengan teliti, karena menyangkut keselamatan reaktor maupun lingkungan. Penelitian ini menguraikan pemakaian metoda elemen hingga untuk menyelesaikan distribusi neutron berdasarkan teori difusi. Konsep dasar penyelesaian dengan metoda elemen hingga adalah membagi bentuk yang dianalisis menjadi sejumlah besar bentuk kecil yang dinamakan elemen. Untuk ini diambil elemen berbentuk batang. Di dalam elemen diberlakukan persamaan linier untuk menyatakan distribusi neutron. Karena persamaan ini bukan persamaan sebenarnya maka substitusi ke persamaan distribusi neutron akan menimbulkan sisa. Agar harga sisa sekecil-kecilnya, dipakai teori alerkin. Hasil penyelesaian akhir berupa sejumlah persamaan linier yang disusun dalam persamaan matrik. Penyelesaian persamaan matrik dilakukan dengan komputer, yang program komputernya disusun sendiri. Pada dasarnya penyelesaian difusi neutron adalah penyelesaian persoalan eigen, maka hasil akhir adalah nilai eigen dan vektor eigen. Kata-kata kunci: elemen hingga, difusi neutron, alerkin, nilai eigen, vektor eigen. ABSTRACT. FINITE ELEMENT METHOD FOR ONE DIMENSION TWO ROUPS NEUTRON DIFFUSION SOLUTION. The neutron distribution in the reactor core should be determined accurately, because it will affect both the reactor and environment safety. This research describes the finite element method application for neutron distribution solution based on the diffusion theory. The fundamental concept solution with finite element method is geometrical discretisation to the finite shape that was named the element. In this research the bar element shape is choosen. Along the element, the linier function will applied for neutron distribution equation. Off the non exact equation, so that the substitution linier function to the neutron distribution equation will give any residuel. To minimized the residual, the alerkin method should be used. The results are the amount of linier equations which are arranged on a matrix equation. The matrix solution is done by computer, where the software is custom made. The base of neutron diffusion solution is eigen problem, so the final results are eigen value and eigen vector. Keywords: finite element, neutron diffusion, alerkin, eigen value, eigen vector * Pusat Rekayasa dan Perangkat Nuklir - BATAN ** Pusat Pengembangan Informatika Nuklir - BATAN 77

2 PENDAHULUAN Salah satu faktor yang penting di dalam disain reaktor nuklir adalah penentuan distribusi neutron. Distribusi neutron harus dapat ditentukan dengan teliti karena menyangkut pengoperasian reaktor nuklir. Salah satu teori yang dipakai untuk menentukan distribusi neutron di dalam teras reaktor nuklir adalah teori difusi. Model matematik difusi neutron berupa persamaan diferensial biasa orde dua homogen. Umumnya persamaan difusi neutron diselesaikan dengan metoda beda hingga (finite different). Di dalam makalah ini persamaan difusi diselesaikan dengan metoda elemen hingga, dengan harapan dapat diperoleh hasil yang lebih teliti. Hal ini disebabkan pada metoda elemen hingga ditribusi neutron di dalam elemen merupakan suatu fungsi, sedangkan pada metoda beda hingga harga distribusi neutron di dalam sebuah elemen merupakan konstanta. Pada penyelesaian dengan metoda elemen hingga, diperoleh sejumlah persamaan linier (sesuai dengan jumlah nodal yang dipakai) yang disusun dalam bentuk persamaan matrik. Syarat batas yang dikenakan adalah harga distribusi neutron di ujung adalah nol. Karena persamaan matrik yang didapat pada dasarnya merupakan persamaan homogen (di bagian kanan merupakan vektor berharga nol), maka penyelesaiannya merupakan penyelesaian untuk memperoleh nilai eigen dan vektor eigen. Ada dua penyelesaian pokok pada persoalan ini, yaitu penyelesaian invers matrik dan penyelesaian eigen. Invers matrik diselesaikan dengan metoda dekomposisi LU, sedangkan penyelesaian eigen dilakukan dengan metoda Invers iteration. Pemakaian dekomposisi LU sangat menguntungkan karena dapat mempercepat penyelesaian Invers iteration. Seluruh proses perhitungan dilakukan dengan komputer, yang perangkat lunaknya dikembangkan sendiri dengan memakai Visual Basic. Dengan metoda elemen hingga yang diselesaikan dengan komputer diharapkan penyelesaian difusi neutron dapat dilakukan dengan cepat dan hasil yang lebih teliti. DASAR TEORI Uraian di dalam makalah ini dibatasi pada uraian distribusi neutron satu dimensi dengan dua grup energi. Persamaan distribusi neutron satu dimensi dua grup dinyatakan dengan [1] : - D g Φ g + Σ g Φ g = χ/k eff νσf g Φ g + Σ sg g Φ g (1) dengan: D g = konstanta difusi grup, Φ g = fluks neutron grup, Σ g = konstanta absorbsi neutron grup, ν = kecepatan neutron, keff = faktor perlipatan, Σ sg g = konstanta moderasi grup g ke g, = jumlah grup, χ=1 78

3 Persamaan (1) dapat ditulis dengan notasi diferensial lain: -d{d g d(φ g )/dr}/dr + Σ g Φ g = χ/k eff νσf g Φ g + Σ sg g Φ g (2) Di dalam teori elemen hingga, fluks neutron suatu grup Φ g, dapat dinyatakan dengan : i x (l-x) j i,j = adalah node x = posisi antara i dan j Fluks neutron di x dinyatakan dengan: [ 2 ] ambar 1. Elemen garis Φ g1 = N i Φ i(g1) + N j Φ j(g1) (3) Φ g2 = N i Φ i(g2) + N j Φ j(g2) dengan: N i, N j = fungsi bentuk atau fungsi parameter (fungsi linier) Φ i(g1) = fluks grup 1 di node i, Φ j(g1) = fluks grup 1 di node j Φ i(g2) = fluks grup 2 di node i, Φ j(g2) = fluks grup 2 di node j N i = (X j X)/(X j -X i ), N j = (X-X i )/(X j -X k ) Persamaan 3) dapat ditulis dengan bentuk : Φ = N a e (4) dengan: N = N i 0 N j 0 0 N i 0 N j a e = [ Φ i(g1) Φ i(g2) Φ j(g1) Φ j(g2) ] T Ruas kiri persamaan (2) merupakan persamaan yang tidak terkopel (Φ g1 dan Φ g2 tidak terhubung), sedangkan ruas kanan merupakan persamaan yang terkopel. Baik ruas kiri maupun ruas kanan mengandung suku Φ g, sehingga ruas kanan dapat dipindahkan ke ruas kiri, sehingga persamaan (2) menjadi persamaan homogen (ruas kanan = (0) Substitusi persamaan (4) ke dalam persamaan (2) akan memberikan sisa R [2]: d{d g d(na e )/dr}/dr - Σ g Na e - χ/k eff νσf g Na e + Σ sg g Na e 0 = R (5) 79

4 Untuk mendapatkan sisa R sekecil-kecilnya (penyelesaian mendekati harga benar), dipakai metoda alerkin, dimana persamaan (5) dikalikan dengan N e dan diintegralkan ke seluruh panjang elemen [ 2 ]: Le N T [d{d g d(na e )/dr}/dr - Σ g Na e - χ/k eff νσf g Na e - Σ sg g Na e ] dr = 0..(6) Penyelesaian persamaan (6) akan memberikan: (K e - M e ) Φ e = 0 (7) dengan: K e = K e r + K e ab (7a) M e = M e fg1 + M e fg2 + M e tr K e r = D le (dn T /dr) (dn/dr) dr K e ab = Σa N T N dr M e fg1 = 1/k eff νσ fg1 N T N dr M e fg2 = 1/k eff νσ fg2 N T N dr M e tr = Σ sg _g N T N dr Penyelesaian integral persamaan (7a) dengan bantuan sitem kordinat Serendipity [2] memberikan: K e r = D/L (7b) K e ab = ΣaL / Σs 1->2 L / Perbedaan antara M e fg1 dengan M e fg2 dan M e tr terletak pada posisi koefisien matrik, dimana koefisien matrik dari M e fg1 terletak seperti hasil integral persamaan (7a). Koefisien matrik M e fg2 seperti pada matrik M e fg1 tetapi posisinya digeser satu baris ke atas, sedangkan untuk matrik M e tr posisi koefisien matrik digeser satu baris ke bawah M e fg1 = LνΣ fg1 /keff

5 M e fg2 = LνΣ fg2 /keff M e tr = LΣ sg _g Persamaan (7) adalah persamaan matrik (4x4) yang berlaku pada setiap elemen, dimana setiap elemen memiliki dua buah nodal (simpul). Untuk seluruh panjang yang ditinjau, perlu dilakukan assemblage (penggabungan) seluruh matrik dari setiap elemen. Setelah proses assemblage akan diperoleh persamaan matrik berikut: ( K - M ) Φ = 0 (8) Persamaan (8) akan memberikan harga Φ bukan nol, hanya bila determinan (K M) nol. Penyelesaian persamaan 8) merupakan penyelesaian untuk mencari nilai eigen dan vektor eigen. Nilai eigen adalah kebalikan dari harga k eff, atau dengan istilah lain harga k eff adalah kebalikan harga eigen. Penentuan harga eigen Untuk menentukan harga eigen, matrik K dan M persamaan 8) dipisah menjadi persamaan berikut. K Φ = M Φ (9) Persamaan (9) diselesaikan dengan metoda iterasi dengan mengambil harga Φ awal sebagai harga coba-coba. Untuk itu dipakai metoda Invers iteration yang algoritma nya sebagai berikut. [ 3 ] 1. Mula-mula diambil harga awal vektor kolom Φ sebagai harga coba-coba (sebarang. harga). 2. Harga vektor kolom dikalikan dengan matrik M untuk memperoleh harga y k. y k = MΦ 3. Lakukan evaluasi perhitungan berikut untuk harga k = 1, 2, 3 dan seterusnya. KΦ (k+1) = y k Penyelesaian persamaan di atas dilakukan dengan metoda dekomposisi L-U. 4. Bentuk harga y k dengan: y (k+1) = MΦ (k+1) 81

6 5. Bentuk harga eigen dengan: λ(x k+1 ) = (x T k+1 y k ) / (x T k+1 y k+1 ) 6. Bentuk harga y k baru dengan y k+1 = y k+1 / (x T k+1 y k+1 ) 1/2 Setelah didapat harga Yk+1, diulang lagi proses 2 sampai dengan 6. Untuk harga k ~ akan didapat : y k+1 vektor eigen λ(x k+1 ) harga eigen Seluruh proses dikerjakan dengan komputer yang programnya dikembangkan sendiri dengan Visual Basic 5.0 [4] PERANKAT LUNAK Perangkat lunak yang dikembangkan terdiri dari dua bagian, yaitu perangkat lunak untuk penyiapan data (PRE PROCESSOR), dan perangkat lunak untuk proses penyelesaian matrik dan analisis eigen (PROCESSOR) Pada program PRE PROCESSOR dilakukan diskretisasi geometri, meliputi jumlah nodal (simpul) dan jumlah elemen, kordinat nodal, data elemen, pemberian data material, dan pemberian syarat batas. Pada akhir proses, data yang sudah disusun disimpan dalam file data. Pemberian data material dapat dilakukan dengan mengambil data material yang sudah disiapkan, atau dengan membuat data baru. Program PROCESSOR akan membaca data yang dibuat oleh program PRE PROCESSOR. Mula-mula dibaca jumlah nodal dan jumlah elemen, dilanjutkan pembacaan data kordinat nodal. Selanjutnya dibaca data material, kemudian dilanjutkan dengan pembacaan data elemen. Pada pembacaan data elemen, dilakukan pembentukan matrik K e r, K e ab, M e fg1, M e fg2, dan M e tr. Pada saat pembentukan matrik, dilakukan optimasi, yaitu mengubah matrik bujur sangkar (n x n) menjadi matrik satu kolom dan sekali gus dilakukan proses assemblage. Metoda penyimpanan matrik K e r dan K e ab berbeda dengan metoda penyimpanan matrik M e fg1, M e fg2 dan M e tr, dimana matrik K e r dan K e ab disimpan dengan metoda skyline, sedangkan matrik M e fg1, M e fg2, dan M e tr disimpan dengan metoda banded. Proses selanjutnya adalah proses penentuan harga eigen dan vektor eigen. Pada proses ini invers matrik K dilakukan dengan metoda dekomposisi LU. Metoda ini menguntungkan karena pada proses iterasi untuk mendapatkan harga eigen, hanya bagian substitusi balik saja yang diperlukan. Proses penentuan eigen, dilakukan seperti algoritma di atas, dan dilakukan dengan memakai variabel dobel prosisi. Untuk membatasi proses iterasi, dilakukan pemberian toleransi berikut: TOL = (λ k+1 - λ k ) / λ k+1 82

7 Besarnya toleransi dapat dipilih, dianjurkan kurang dari Harga k eff merupakan kebalikan dari λ. Seluruh program komputer didulis dengan Visual Basic 5.0 [ 4 ] HASIL DAN BAHASAN. Analisis dilakukan pada difusi neutron satu dimensi dua grup dengan data material berikut: Tabel 1. Data material No D 1 D 2 Σ 1 Σ 2 Σ 12 νσ f1 νσ f2 1 1,4360 0, , , , , , Keterangan: D 1 = koefisien difusi neutron cepat, D 2 = koefisien difusi neutron termal Σ 1 = tampang lintang absorbsi neutron cepat Σ 2 = tampang lintang absorbsi neutron termal Σ 12 = koefisien transfer dari neutron cepat ke neutron termal νσ f1 = koefisien fisi neutron cepat νσ f2 = koefisien fisi neutron termal Panjang yang dianalisis 50 cm, dibagi menjadi 20 elemen dan mempunyai 21 nodal. Seluruh panjang dianggap terdiri dari satu macam material seperti Tabel 1. Elemen memiliki panjang yang sama, setiap elemen memiliki dua nodal di ujungnya. Seluruh data disiapkan dengan program penyiapan data (PRE PROCESSOR). Hasil analisis dinyatakan denan Tabel 2. Tabel 2. Hasil distribusi fluks relatif No Neutron cepat Neutron No Neutron Neutron ltermal termal cepat ,7017 9,0825 E-3 2 0,1113 1,4604 E ,6756 8,7457 E-3 3 0,2197 2,8498 E ,6330 8,1937 E-3 4 0,3226 4,1784 E ,5748 7,4400 E-3 5 0,4177 5,4070 E ,5024 6,5032 E-3 6 0,5024 6,5035 E ,4177 5,4063 E-3 7 0,5748 7,4401 E ,3226 4,1762 E-3 8 0,6330 8,1938 E ,2197 2,8432 E-3 9 0,6566 8,7457 E ,1113 1,4396 E ,7017 9,0825 E ,7104 9,1956 E-3 83

8 Hasil yang ditampilkan pada Tabel 2 adalah harga relatip distribusi neutron, baik neutron cepat maupun neutron termal. Kedua hasil distribusi memiliki kecenderungan sama, yaitu berharga nol pada kedua ujungnya dan berharga maksimum di bagian tengah. Hal ini dapat dilihat pada ambar 1 dan ambar 2 berikut. ambar 1. rafik Fluks cepat vs Posisi ambar 2. afik Fluks termal vs Posisi Harga koefisien efektip k eff sebesar , yang dicapai pada iterasi ke 10. Untuk sementara hasil pada Tabel 2 belum divalidasi. Seberapa jauh perbedaan hasil antara metoda elemen hingga dengan metoda beda hingga dapat dilihat pada Tabel 3 berikut untuk perhitungan difusi satu dimensi. Hasil pada Tabel 3 didapat dari perhitungan untuk panjang 20 cm, material seperti Tabel 1, dengan diskretisasi 20. Tabel 3. Perbandingan hasil distribusi fluks relatip antara MEH dan MBH No MEH MBH No MEH MBH ,1154 E-3 2,9066 E-3 2 4,9381 E-4 4,9353 E ,9999 E-3 2,7458 E-3 3 9,7507 E-4 9,7360 E ,8105 E-3 2,5101 E-3 4 1,4323 E-3 1,4271 E ,5519 E-3 2,2060 E-3 5 8,8542 E-3 8,8471 E ,2306 E-3 1,8471 E-3 6 2,2306 E-3 2,2060 E ,8543 E-3 1,4271 E-3 7 2,5519 E-3 2,5101 E ,4323 E-3 9,7360 E-4 8 2,8104 E-3 2,7457 E ,7507 E-4 4,9353 E-4 9 2,9999 E-3 2,9881 E ,9383 E ,1154 E-3 2,9881 E ,1541 E-3 2,9066 E-3 MEH = metoda elemen hingga, MBH = metoda beda hingga 84

9 Dari Tabel 3 dapat dilihat adanya perbedaan hasil dari MEH dengan MBH, di daerah maksimum (nomer 11) sebesar 8%. Hal ini disebabkan adanya perbedaan pendekatan penyelesaian seperti yang sudah diuraikan di atas. Perbandingan lain antara hasil dengan MEH dan MBH dapat dilihat pada harga eigen untuk beberapa diskretisasi, seperti ditampilkan pada Tabel 4. Tabel 4. Harga eigen dari tiga macam diskretisasi Jumlah MEH MBH diskretisasi 10 0, , , , , ,12650 Dari Tabel 4 dapat dilihat konvergensi ( eigen/ diskretisasi) pada MEH ratarata 0,1 dari MBH, yang berarti MEH lebih cepat konvergen dibanding MBH. KESIMPULAN Metoda elemen hingga dapat dipakai untuk menghitung distribusi neutronik satu dimensi dua grup, berbasis teori difusi. Program yang dikembangkan masih perlu diverifikasi dan divalidasi dengan program sejenis yang sudah teruji, misal dengan bench marking. Untuk pemakaian dengan jumlah elemen yang tinggi, dan bermacam material yaitu lebih dari 2000 elemen dengan berbagai material masih perlu penelitian lebih lanjut. UCAPAN TERIMA KASIH Kami sampaikan terima kasih pada KPTF PRPN-BATAN yang telah membantu perbaikan dan editing pada makalah kami. DAFTAR PUSTAKA 1. WESTON M.STACEY, Nuclear Reactor Physics, John Wiley & Sons, INC, New York, USA, FRANK L.STASA, Applied Finite Element Analysis for Engineers, CBS College Publishing, New York, USA,

10 3. KLAUS-JUREN BATHE, Finite Elemen Procedure, Prentice Hall. International, New York, USA, EVANELOS PETROUTSOS, Visual Basic 5.0, Sybex, San Fransisco, USA, DAFTAR RIWAYAT HIDUP 1. Nama : Ir Utaja 2. Tempat/Tanggal Lahir : Wates, 28 Nopember Instansi : PRPN-BATAN 4. Pekerjaan / Jabatan : Peneliti Utama 5. Riwayat Pendidikan : S1 Teknik Mesin UM (1983) 6. Pengalaman Kerja : Ka. Sub bidang disain, Ka. Sub bidang komponen Nuklir, Peneliti Madya 2007 Peneliti Utama (2007) - sekarang 7. Publikasi Ilmiah : Pemakaian koordinat luasan pada FEM Analisis lintasan elektron dalam medan elektrostatik MEH berbasis elemen beam untuk analisis defleksi poros turbin 86