METODA ELEMEN HINGGA BERBASIS ELEMEN BEAM UNTUK ANALISIS DEFLEKSI POROS TURBIN. Utaja *

Transkripsi

1 METODA ELEMEN HINGGA BERBASIS ELEMEN BEAM UNTUK ANALISIS DEFLEKSI POROS TURBIN Utaja * ABSTRAK METODA ELEMEN HNGGA BERBASIS ELEMEN BEAM UNTUK ANALISIS DEFLEKSI POROS TURBIN. Poros turbin merupakan bagian turbin yang cukup kritis, karena merupakan bagian yang harus menahan beban sudu turbin dengan de-fleksi sekecil mungkin. Poros turbin mempunyai ukuran berbeda pada setiap bagian, sehingga defleksi setempat sulit ditentukan dengan cara analitis. Makalah ini akan menguraikan analisis defleksi poros turbin dengan metoda elemen hingga berbasis elemen beam. Penyelesaian dengan metoda elemen hingga akan menghasilkan sejumlah besar persamaan linier yang hanya layak dikerjakan dengan komputer. Untuk itu penyelesaiannya memakai program komputer AREB 2.3 yang dikembangkan sen-diri. Dengan cara ini penentuan defleksi poros turbin dapat dilakukan dengan lebih mudah dan cepat. Kata-kata kunci: poros turbin, elemen hingga, elemen beam ABSTRACT FINITE ELEMENT METHOD WITH THE BEAM ELEMENT FOR TURBINE SHAFT DEFLECTION ANALYSIS. The turbine shaft is a critical turbin part, because it should support the turbine blades with minimum deflection. The turbine shaft have different size at each position, so it is difficult to determine the local deflection by analytical method. This paper will describe the analysis of the turbine shaft deflection by finite element method with the beam element. The solution proses with finite element method will produce great amount of the linier equation, which only can be done efficient by computer. For this purpose the computation process will be done by the AREB 2.3 software, which was developed locally. With this method the turbine shaft deflection calculation can be done easily and faster. Keywords: turbine shaft, finite element, beam element PENDAHULUAN Poros turbin adalah bagian turbin yang menyangga sudu turbin dengan defleksi sekecil-kecilnya, disamping harus meneruskan tenaga ke bagian lain misal generator. Defleksi poros turbin akan mengakibatkan ujung sudu rotor turbin bergeser, dengan * Pusat Pengembangan Perangkat Nuklir - BATAN 201

2 resiko menyinggung sudu stator sehingga merusak turbin. Hal ini harus dicegah dengan cara menentukan defleksi poros secara teliti. Poros turbin umumnya mempunyai penampang melintang bentuk undak dengan penampang setiap bagian undak yang tidak sama. Penampang yang tidak sama akan memberikan luas penampang, momen inersia penampang, dan hambatan yang berbeda beda di setiap undak. Hal ini mengakibatkan penentuan defleksi secara manual dengan mekanika teknik akan sulit dilakukan karena menyangkut perulangan perhi-tungan atau iterasi dalam jumlah besar. Makalah ini akan menguraikan penentuan defleksi poros turbin dengan metoda elemen hingga dengan basis elemen beam. Elemen beam didasarkan pada teori batang lengkung (bending) sehingga cocok dipakai untuk analisis defleksi poros karena masalah defleksi adalah masalah batang lengkung. Beberapa parameter pada batang lengkung misal momen inersia penampang, luas penampang, modulus elastisitas, dan hambatan momen penampang, dapat diakomodasikan pada elemen beam. Penyelesaian dengan metoda elemen hingga akan menghasilkan sejumlah besar persamaan linier yang disusun dalam matrik. Penyelesaiannya menyangkut proses penyediaan data, mulai dari data geometri, material, beban, dan syarat batas, kemu-dian dilanjutkan pembentukan matrik dan penyelesaiannya. Ini semua sulit dilakukan secara manual (dengan perhitungan tangan), sehingga diperlukan komputer. Untuk itu dikembangkan program AREB 2.3 yang dapat dipakai untuk menyelesaikan analisis defleksi terutama defleksi poros turbin. Program AREB 2.3 ini divalidasi dengan perhitungan di beberapa pustaka [ 1, 2, 3, 4 ]dan juga dengan NISA II/90. Dengan metoda elemen hingga berbasis beam yang diproses dengan program AREB 2.3, diharapkan penentuan defleksi poros turbin dapat dilakukan dengan lebih mudah dan lebih cepat. DASAR TEORI ELEMEN HINGGA BERBASIS BEAM. Beam mempunyai arti batang tekuk, adalah sebuah struktur yang bekerja atas dasar momen batang. Beban yang bekerja pada beam akan mengakibatkan defleksi (lendutan) pada setiap bagian dari beam. Oleh adanya defleksi yang umumnya tidak sama di setiap bagian, maka akan timbul slope (kemiringan sudut beam) yang disetiap bagiannya juga tidak sama. Analisis beam ditujukan untuk mengetahui defleksi dan slope yang timbul, dan dari kedua besaran ini dapat dihitung tegangan pada beam. 202

3 Untuk ini akan ditinjau sebuah beam yang mengalami beban terpusat, beban terbagi rata dan juga beban momen. Pada kedua ujung terdapat tumpuan, dapat berupa tumpuan roll, sendi ataupun jepit. Ini dapat dilihat pada Gambar 1. Y Beban terbagi Beban terpusat Momen Jepit Roll X Gambar 1. Elemen beam dengan beban terpusat dan beban terbagi Teori beam didasarkan pada teori garis elastisitas yang dinyatakan dengam persamaan [1 ], [ 2 ] M = EI d 2 W/dx 2 (1)) Dengan: M = momen batang di setiap titik (gaya x panjang) E = Modulus elastisitas Young dari bahan (gaya/luas) I = momen inersia penampang beam (panjang 4 ) W = defleksi ke arah tegak lurus beam di setiap titik (panjang) x = kordinat ke arah sumbu beam Defleksi W pada beam akan menerbitkan slope yang dinyatakan dengan persamaan: θ = dw/dx (2) Pada beam bekerja gaya melintang yang dikenal dengan gaya geser (shear force) dan dinyatakan dengan persamaan dv /dx = p(x) (3) V = dm/dx (4) dengan: V = gaya geser beam; p(x) = gaya melintang beam; θ = slope 203

4 Substitusi persamaan (3) dan 4) ke persamaan (1) akan memberikan persamaan: d 2 { EI( d 2 W/dx 2 )}/dx 2 = p(x) (5) Penyelesaian persamaan (5) adalah mencari harga defleksi W, dan selanjutnya harga slope pada persamaan (2) dapat ditentukan. Penyelesaian dengan metoda elemen hingga dilakukan dengan membagi beam menjadi sejumlah elemen dan menentukan terlebih dahulu persamaan defleksi W yang berlaku pada suatu elemen. Harga defleksi W sebagai fungsi x dinyatakan dengan: W = C 1 + C 2 x + C 3 x 2 + C 4 x 3 (6) Dari ini persamaan slope dapat dinyatakan dengan: θ = C 2 + 2C 3 x + 3C 4 (7) dengan: C 1, C 2, C 3 dan C 4 = konstanta yang akan ditentukan kemudian Persamaan (6) dan 7) didasarkan pada kordinat Cartesian setempat, di mana sumbu X diambil searah dengan sumbu beam dan sumbu Y diambil pada arah defleksi W. Untuk mempermudah penyelesaian matematik pada proses selanjutnya, perlu dipakai kordinat lokal dan untuk ini dipakai kordinat Serendipiti, seperti pada uraian berikut. i x i j x j i, j = node (simpul) x L = panjang elemen x L - x x i = kordinat node i x j = kordinat node j Gambar 2. Kordinat Serendipiti Untuk ini didefinisikan : ξ = (x x i ) / L (8) L = x j - x i Harga defleksi W dinyatakan dengan persamaan : W = Na e = N wi W i + N θi θ i + N wj W j + N θj θ j (9) 204

5 dengan : N = [ N wi N θi N wj N θj ] a e = [ W i θ i W j θ j ] T N wi, N wj = persamaan parameter di node i dan node j θ i, θ j = slope di node i dan node j Persamaan (9) harus memenuhi kondisi: 1. Di x = x i (ξ = 0), N wi = 1, N θi = 0, N wj = 0, N θj = 0 2. Di x = x j ((ξ = 1), N wj = 1, N θj = 0, N wi = 0, N θi = 0 Substitusi persamaan (8) ke dalam persamaan (9) akan memberikan persamaan: [ 1,2 ] N wi = 1-3ξ 2 + 2ξ 3. (10) θ i = L(ξ - 2ξ 2 + ξ 3 ) N wj = 3ξ 2-2ξ 3 θ j = L(- ξ 2 + ξ 3 ) Substitusi persamaan (9) ke dalam persamaan (5), akan memberikan harga sisa (residu). Harga residu ini akan diusahakan sekecil mungkin dengan metoda Galerkin, untuk itu dapat dituliskan: N T [ d 2 {EI (d 2 W/dx 2 )}/dx 2 - p] dx = 0 (11) Dengan kordinat Serendipity persamaan 11) dapat dituliskan dengan: [ 1,2 ] N T [(1/L) d 2 {( 1/L 2 )EI (d 2 W/dξ 2 )}/dξ 2 - p] dx = 0 (12) Pengerjaan lebih lanjut dari persamaan 11) akan memberikan: K e a e = f e (13) Dengan: K e = matrik kekakuan, a e = vektor defleksi dan slope, f e = vector beban K e L = ( EI / L ) 12 6L 6L 4L2 6L 2L2 12 6L 12 6L 6L 2L 6L 4L2 (14) 205

6 f e = [ f e VM + f e p + f e t ] T (15) f e VM = [ -V xi -M xi V xj M xj ] T f e p = [ pl/2 12p/L 2 pl/2-12p/l 2 ] T dengan: V xi = gaya melintang elemen di node i V xj = gaya melintang elemen di node j M xi = momen batang di node i M xj = momen batang di node j p = beban terbagi f e t = beban terpusat di node T = tanda transpose matrik Tanda e menyatakan persamaan berlaku pada setiap elemen. Persamaan (14) dan (15) berlaku pada elemen di mana sumbu x berimpit dengan ele-men. Agar gaya dan perpanjangan ke arah aksial (searah elemen) dapat ikut diperhi-tungkan seperti pada portal, maka persamaan (14) dan (15) harus dimodifikasi Untuk matrik kekakuan dapat ditulis: EA/ L 0 0 EA/ L EI / L 6EI / L 0 12EI / L 6EI / L EI / L 4EI / L 0 6EI / L 2EI / L, (16) EA/ L 0 0 EA/ l EI / L 6EI / L 0 12EI / L 6EI / L EI / L 2EI / l 0 6EI / L 4EI / L K E dan untuk vector beban dapat ditulis: f e VM = [ 0 -V xi -M xi 0 V xj M xj ] T (17) f e p = [ 0 pl/2 12p/L 2 0 pl/2-12p/l 2 ] T f e t = [ 0 p yi 0 0 p yj 0 ] T f e = [ f e VM + f e p + f e t ] T Di mana K e, f e VM, dan f e p adalah modifikasi dari K e, f e VM, dan f e p. Bila dipakai kordinat Cartesian di mana X mendatar, maka perlu matrik rotasi untuk K e, f e VM, dan f e p yang dinyatakan dengan persamaan (18). Pada persamaan 206

7 (18) koe-fisien matrik N1 dan N2 adalah: N1 = Cos(α), N2 = Sin(α) Sedangkan harga α adalah sudut antara sumbu X global dengan sumbu beam. N1 N N2 N R = (18) N1 N N 2 N Rotasi matrik K e pada persamaan (16) dan f e pada persamaan (17) memberikan matrik kekakuan baru seperti dinyatakan pada persamaan: K e = R T K e R f e = R T f e (19) (19a) Persamaan (19) dan (19a) berlaku untuk setiap elemen pada poros turbin. Untuk seluruh elemen pada poros turbin atau portal perlu penggabungan (assemblage) matrik pada persamaan (19) dan (19a), dan matrik gabungan dinyatakan dengan: K a = f (20) dengan: K = matrik kekakuan (matrik bujur sangkar dengan: (3n x 3n) f = vektor beban pada node a = vektor elonggasi, defleksi, dan slope pada node n = banyaknya node Penyelesaian persamaan (20) akan memberikan hasil defleksi dan slope di node i dan j. Berdasarkan hasil ini tegangan pada pertengahan elemen dapat dicari dengan persamaan: M = (EI/L 2 ) d 2 N/dξ 2 a e = (EI/L)( θ 2 - θ 1 ) (21) V = -(EI/L 3 ) [ 12Wi + 6Lθ 1 12Wj + 6Lθ 2 ] σ = M / Ch dengan: Ch = hambatan momen 207

8 Penyelesaian persamaan (20) untuk mencari perpindahan aksial, defleksi, dan slope hanya layak dilakukan dengan komputer, karena menyangkut pengolahan data dalam jumlah besar. Untuk ini akan dipakai program AREB 2.3 yang dikembangkan sendiri dan sudah divalidasi dengan program NISA II/90 dan beberapa pustaka. Dengan metoda elemen hingga berbasis beam yang penyelesaianya memakai program AREB 2.3, analisis defleksi poros turbin diharapkan lebih mudah dan lebih cepat. PROGRAM KOMPUTER AREB 2.3 Program komputer ini terdiri dari tiga buah program yaitu program untuk penyiap-an data (pre processor), program untuk analisis (processor = solver), dan program in-terpretasi data (post processor). Pre proccessor bertugas menyiapkan data yang terdi-ri dari data kordinat node, data material, data elemen, data beban, dan data tumpuan. Proses penyiapan data ini dilakukan interaktip dan dapat diikuti lewat monitor. Hasil penyiapan data oleh pre proccessor berupa file data, yang akan dibaca dan diselesai-kan oleh program solver. Program solver akan membaca file data yang disiapkan oleh pre processor, melakukan proses penomeran ulang node untuk persiapan optimasi, optimasi perhitungan dengan membentuk peubah (variabel) kunci, penyusunan ma-trik kekakuan dan matrik beban, pemberian syarat batas yang berupa tumpuan, penye-lesaian matrik dan dilanjutkan dengan penulisan hasil analisis. Sedangkan program post processor akan membaca file data hasil analisis, kemudian memperlihatkan hasil dalam bentuk kontur warna, blok diagram, dan grafik akan diuraikan alur logika program solver yang tertera pada Lampiran. Proses dimulai dengan membaca file data, renumbering (penomeran ulang node), membuat variable kunci untuk optimasi, membaca data kordinat node, dan membaca data material. Proses dilanjutkan dengan membaca data elemen dan membentuk matrik keka-kuan. Pembentukan matrik kekakuan dilakukan bersamaan dengan proses optimasi. di mana matrik bujur sangkar 3n x 3n disimpan ke dalam vektor kolom dengan melibatkan variable kunci. Ini dilakukan karena matrik kekakuan merupakan matrik simetri, spars, dan banded, sehingga dapat disimpan dan diproses secara ekonomis. Proses dilanjutkan dengan membaca dan memproses beban, mulai dari beban pe-gas, beban terpusat, beban terbagi, dan momen. Langkah selanjutnya adalah pembacaan tumpuan yang merupakan syarat batas disertai dengan prescribe (memodifikasi) matrik kekakuan sehingga dapat diselesaikan. Penyelesaian matrik dilakukan dengan metoda dekomposisi LU, dan hasil yang didapat dituliskan ke file data hasil. File data berisi data kordinat node, data elemen, data defleksi, data slope, data gaya tiap elemen dan gaya node, dan tegangan baik tegangan elemen maupun tegangan node. 208

9 Program AREB 2.3 ditulis dengan Visual Basic 5.0 [ 4 ]dan hasilnya divalidasi dengan Program NISA II/90, dan contoh soal di kepustakaan. [1, 2, 3, 5] HASIL DAN BAHASAN Analisis dilakukan pada beberapa kasus pembebanan, yaitu konstruksi satu batang yang terdiri dari beberapa elemen misal pada poros dan konstruksi portal 1. Batang dengan tumpuan jepit dan pegas [ 1 ] Batang pada Gambar 3 terdiri dari delapan elemen dan sembilan node, ujung kiri dengan jepit sedang ujung kanan ditumpu oleh pegas. Setengah batang di bagian kiri mengalami beban terbagi merata sebesar 4800 N/m, sedang di tengah 4800 N/m Jepit 200kN N Pegas dengan C 200 kn/m Gambar 3. Batang dengan tumpuan jepit dan pegas beban terpusat sebesar 3000 N. Konstanta pegas sebesar 200 kn/m. Material batang mempunyai modulus elastisitas E sebesar 2.0 x N/m 2, batang mempunyai lebar 3 cm, tinggi 4 cm dan panjang 2 m. Hasil eksekusi AREB 2.3 akan dibandingkan dengan hasil pada acuan 1, untuk ini dapat dilihat pada Tabel 1. Tabel 1. Hasil analisis dengan AREB 2.3 dan acuan 1 Besaran Node 1 Node 2 Node 3 AREB Acuan 1 AREB Acuan 1 AREB Acuan Defleksi W Slope θ Shear V

10 Dari harga defleksi W dan Slope θ dapat dicari momen batang dan tegangan berdasar persamaan 21). Superposisi beam akibat pembebanan dapat dilihat pada Gambar 4. Keterangan : = posisi poros tanpa beban = posisi poros akibat beban Gambar 4. Superposisi beam akibat pembebanan Pada Gambar 4, defleksi beam diperbesar agar posisi beam akibat pembebanan dapat dibedakan dengan posisi beam semula. Tampak bahwa defleksi terbesar tidak ditengah batang tetapi di node nomer 6. Hal ini diakibatkan oleh tumpuan pegas pada node nomer 9, yang memberikan reaksi gaya ke atas yang memperkecil defleksi. 2. Portal dengan dua tumpuan jepit [ 2 ] Portal seperti pada Gambar 5, batang kiri, batang tengah dan batang kanan mempunyai 4 elemen. Pada node 5 terdapat gaya aksial sebesar 3000 lb, sedang batang tengah menahan beban terbagi rata 500 lb/ft. Ketiga batang memiliki material dengan modulus elastisitas ( E ) 30 juta psi, momen inertia bidang ( I ) 65 in 2 dan luas penampang ( A ) 6.8 in 2. Batang kiri dan kanan mempunyai panjang 8 ft, dan batang tengah 12 ft. Hasil eksekusi AREB 2.3 akan dibandingkan dengan hasil pada acuan 2 dan hasilnya.dapat dilihat pada Tabel 2. Tabel 2. Hasil analisis dengan AREB 2.3 dan acuan 2 Besaran Node 5 Node 9 AREB 2.3 Acuan 2 AREB 2.3 Acuan 1 Strain_ X Defleksi W Slope θ ,9899E E-5 210

11 3000 lb 500 lb/ft ft ft Jepit Jepit Gambar 5. Portal dengan tumpuan jepit Pada Tabel terlihat bahwa pergeseran aksial, defleksi dan slope pada node 5 dan node 9 tidak sama (tidak simetri) walaupun bebannya simetri. Hal ini diakibatkan oleh adanya pergeseran aksial oleh gaya 3000 lb ke arah kanan, yang kemudian menimbulkan momen yang tidak simetri pada batang mendatar. Hal ini tampak pada gambar 6. Superposisi pada portal yang merupakan superposisi dari portal gambar 5. Pada gambar 6. Pada gambar 6, jumlah node yang diambil sebanyak 29 agar gambar portal setelah defleksi menjadi lebih baik. Pada gambar 6, node nomor 9 adalah node nomor 5 pada gambar 5 dan node nomor 21 adalah node nomor 9 pada gambar 5. Keterangan: = posisi portal tanpa beban = posisi portal akibat beban 211

12 Tampak pula defleksi yang tidak simetri pada batang horizontal maupun batang vertical akibat gaya 3000 lb ke kanan di node 5. Portal ini dimaksudkan untuk validasi pemakaian program pada batang yang bukan horisontal seperti dinyatakan pada persamaan (19) dan (19a). Dua kasus pembebanan di atas menunjukkan bahwa metoda elemen hingga dengan elemen beam dapat dipakai untuk menentukan defleksi poros turbin dan juga portal. 3. Cantilever dengan tumpuan jepit dan beban terpusat [ 5 ] Suatu cantilever seperti pada Gambar 7, dengan penampang lintang 3 cm x 3cm dan panjang 100 cm, mengalami pembebanan terpusat pada ujungnya dengan gaya 1000 N, sedangkan ujung lain dijepit. Material cantilever ini mempunyai modulus elastisitas 207 Gpa. Hasil eksekusi AREB 2.3 akan dibandingkan dengan hasil pada acuan 5 dan hasilnya.dapat dilihat pada Tabel 3, di tempat gaya 1000 N bekerja. Jepit 1000 N 100 cm 3 cm Gambar 7. Cantilever dengan tumpuan jepit 3 cm Tabel 3. Hasil analisis dengan AREB 2.3 dan NISA II / 90 Besaran AREB 2.3 NISA II/90 Defleksi W ujung cantilever 2,3856 2,3856 Bending momen jepit -1,0 x ,0 x 10 5 Stress pada jepit 2,2222 x ,2222 x 10 4 Dari Tabel 3 terlihat harga anlisis dengan AREB 2.3 sama dengan hasil dengan NISA II/90, karena kedua penyelesaian menggunakan metoda yang sama walaupun dengan program komputer yang berbeda. 212

13 Implikasi Litbang Penyelesaian defleksi poros turbin dengan metoda elemen hingga berbasis elemen beam menjadi dasar untuk analisis getaran poros tubin. Analisis getaran poros turbin dapat dipakai untuk menentukan tingkat keamanan operasi turbin, salah satu cara ada-lah dengan membandingkan frekwensi alam (natural frequency) hasil analisis dengan FEM terhadap frekwensi operasi. UCAPAN TERIMA KASIH. Kami sampaikan terima kasih atas bantuan KPTF P2PN dalam menyempurnakan makalah kami. DAFTAR PUSTAKA 1. FRANK L.STASA, Applied Finite Element Analysis for Engineers, CBS College Publishing, New York TIRUPATHI R. CHANDRAPATLA at all, Introduction to Finite Element in Engineering, Pristice Hall, Englewood Cliff, New Jersey, C.T.F. ROSS, Finite Element Methods in Engineering Science, Ellis Horwood, England EVANGELOS PETROUTSOS, Mastering Visual Basic 5, Sybec, San Fransisco, USA, EMRC, NISA Verification Manual, EMRC, Michigan, USA

14 Lampiran MULAI BACA DATA - Data elemen RENUMBERING - Nomer node baru OPTIMASI - Variabel kunci - JSTK,JDIAG, ISTK FILE DATA Data kordinat node Data material Data elemen Data pegas Data beban..beban terpusat. Beban terbagi... Beban momen Data tumpuan PEMBENTUKAN MATRIK KEKAKUAN - Baca material - Baca elemen - Matrik kekakuan Optimasi storage PEMBENTUKAN MATRIK BEBAN - Baca tumpuan - pegas - Baca beban - Baca Sendi & Roll LU DECOMPOSISI Forward substitution Backward Substitution TULIS HASIL SELESAI Gambar 8. Diagram alir program PROCESSOR (PRE) AREB