SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT KABUPATEN/KOTA TAHUN 2008 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA TAHUN 2009

Transkripsi

1 SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT KABUPATEN/KOTA TAHUN 008 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA TAHUN 009 Bidng Mtemtik Wktu : 3,5 Jm DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL MANAJEMEN PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DIREKTORAT PEMBINAAN SEKOLAH MENENGAH ATAS TAHUN

2 OLIMPIADE MATEMATIKA NASIONAL SELEKSI TINGKAT KOTA/KABUPATEN TAHUN 008 Bgin Pertm Pilih stu jwn yng enr. Dlm hl terdpt leih dri stu jwn yng enr, pilih jwn yng pling ik.. Jik ilngn rel, mk A. B. C. ± D. E.. Bnykny fktor positif dri 5! dlh A. 4 B. 5 C. 6 D. 4 E Bnykny susunn huruf B, I, O, L, A sehingg tidk d du huruf hidup (vowel) yng erturutn dlh A. 8 B. 0 C. D. 4 E Lingkrn T merupkn lingkrn lur gi segitig ABC dn lingkrn dlm gi segitig PQR. Jik ABC dn PQR keduny segitig smsisi, mk rsio keliling ABC terhdp keliling PQR dlh A. B. C. D. E Jumlh empt ilngn sli erturutn senntis his digi p. Mk nili p teresr dlh A. B. C. 4 D. 5 E Bnykny himpunn X yng memenuhi {, } X {,, 3, 4, 5} dlh A. 3 B. 4 C. 8 D. 6 E Segitig ABC sm kki, yitu AB AC, dn memiliki keliling 3. Jik pnjng gris tinggi dri A dlh 8, mk pnjng AC dlh A. 9 B. 0 C. 0 D. E Jik f(x) A. f ( x) x, mk untuk x, f(x) x B.f(x) C. f(x) D. f(x) E. f ( x) 37

3 9. Pd trpesium ABCD, sisi AB sejjr sisi DC dn rsio lus segitig ABC terhdp lus segitig ACD dlh /3. Jik E dn F erturut-turut dlh titik tengh BC dn DA, mk rsio lus ABEF terhdp lus EFDC dlh 3 5 A. B. C. D. E Dikethui hw,, dn d dlh ilngn-ilngn sli yng memenuhi Jik dn d, mk A. < d B. ( d ) D. < d( ) E. < d < d C. ( d ) < d( ) < dn <. d Bgin Kedu Isikn hny jwn sj pd tempt yng disedikn. Sutu pertujukn dihdiri oleh sejumlh penonton. Setip penonton dews memyr tiket sehrg 40 riu rupih, sedngkn setip penonton nk-nk memyr tiket 5 riu rupih. Jik jumlh ung penjuln tiket dlh 5 jut rupih, dn nykny penonton dews dlh 40 % dri seluruh penonton, mk nykny penonton nk-nk dlh. Dikethui FPB (, 008) 5. Jik > 008 mk nili terkeil yng mungkin gi dlh 3. Setip dung dlh ding. Ad lim ding yng jug dong. Tidk d dung yng dong. Jik nykny ding dlh 5, dn tig di ntrny tidk dung dn tidk dong, mk nykny dung dlh 4. Du uh ddu identik (sm persis) dilemprkn ersmn. Angk yng munul dlh dn. Pelung dn terletk pd sisi-sisi yng ertolk elkng (di ddu yng sm) dlh 5. Bilngn 4-ngk dientuk dri, 4, 7 dn 8 dimn msing-msing ngk digunkn tept stu kli. Jik semu ilngn 4-ngk yng diperoleh dengn r ini dijumlhkn, mk jumlh ini mempunyi ngk stun 6. Titik A dn B terletk pd prol y 4 x x. Jik titik sl O merupkn titik tengh rus gris AB, mk pnjng AB dlh 7. Jik dn dlh ilngn-ilngn ult dn x x merupkn fktor dri x 3 x, mk 8. Kuus ABCDEFGH dipotong oleh idng yng mellui digonl HF, mementuk sudut 30 o terhdp digonl EG dn memotong rusuk AE di P. Jik pnjng rusuk kuus dlh stun, mk pnjng rus AP dlh 38

4 9. Himpunn semu ilngn sli yng sm dengn enm kli jumlh ngk-ngkny dlh 0. Dikethui hw dn dlh esr du sudut pd seuh segitig. Jik sin sin dn os os 6, mk sin ( ) 39

5 SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT KABUPATEN/KOTA 008 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 009 Prestsi itu dirih ukn didpt!!! SOLUSI SOAL Bidng Mtemtik Disusun oleh : Eddy Hermnto, ST 40

6 Olimpide Mtemtik Tk Kupten/Kot 008 BAGIAN PERTAMA. (Jwn : E) Akr dri sutu ilngn positif dlh jug ilngn positif, mk jik ilngn rel positif jik ilngn rel negtive Kren ilngn rel mk. (Jwn : C) 5! Bnykny fktor positif (3 )( )( ) 6 Bnykny fktor positif dri 5! dlh (Jwn : C) Agr huruf hidup tidk erdektn mk ketig huruf hidup terseut hrus erd pd urutn ke-, ke-3 dn ke-5. Sisny hrus diisi oleh huruf konsonn. Mk nykny susunn 3!! Bnykny susunn. 4. (Jwn : C) Mislkn jri-jri lingkrn terseut dlh R, sisi ABC x dn sisi PQR y. x R sehingg 3x 3R 3 sin 60 Lus PQR ½ R (3y) ½ y sin 60 o ½ R 3y sehingg 3y 6R 3 Keliling ABC : Keliling PQR 3x : 3y : Rsio keliling ABC terhdp keliling PQR dlh. Eddy Hermnto, ST 4

7 Olimpide Mtemtik Tk Kupten/Kot (Jwn : B) (n) (n ) (n ) (n 3) (n 3) n 3 dlh ilngn gnjil. Mk nili p teresr dlh. 6. (Jwn : C) {, } X {,, 3, 4, 5} X terdiri dri sedikitny unsur dn mksiml 5 unsur dengn unsur di ntrny hruslh dn. Sedngkn sisny dipilih dri unsur-unsur 3, 4 tu 5. Jik X terdiri dri unsur mk nykny himpunn X 3 C 0 Jik X terdiri dri 3 unsur mk nykny himpunn X 3 C 3 Jik X terdiri dri 4 unsur mk nykny himpunn X 3 C 3 Jik X terdiri dri 5 unsur mk nykny himpunn X 3 C 3 Bnykny himpunn X Bnykny himpunn X yng memenuhi dlh (Jwn : B) Mislkn pnjng AB AC x mk pnjng BC x 64 mk x x 64 6 x 64 (6 x) x 3x 56 3x 30 x 0 Pnjng AC 0 Pnjng AC dlh (Jwn : E) x f(x) x x f(x) x f(x) f ( x) x x f ( x) 9. (Jwn : D) Eddy Hermnto, ST 4

8 Olimpide Mtemtik Tk Kupten/Kot 008 ABC dn ACD memiliki tinggi yng sm mk perndingn lus keduny dpt dinytkn segi perndingn ls. AB : DC : 3 Mislkn pnjng sisi AB x mk pnjng sisi DC 3x. E dlh pertenghn BC dn F pertenghn DA sehingg FE sejjr AB dn DC. Mk FE ½ (x 3x) x Mislkn tinggi trpesium t. ( AB FE) t 3tx Lus ABEF 4 ( FE DC) t 5tx Lus EFDC 4 Rsio lus ABEF terhdp lus EFDC 3 : 5. Rsio lus ABEF terhdp lus EFDC dlh (Jwn : A) d Kren < mk >. d d > sehingg < d < d BAGIAN KEDUA. Misl penonton dews x dn penonton nk-nk y mk x 5.000y x 3y 000 () x 40% (x y) 3x y () Sutitusikn persmn () ke () 6y 9y 3000 y 0 Bnykny penonton nk-nk dlh dn 5 k dengn k dn 8 reltif prim sert k ilngn sli. Kren k > 8 dn du ilngn sli erurutn kn reltif prim mk k min 9. minimum k min 5 minimum Nili terkeil yng mungkin dlh 59. Eddy Hermnto, ST 43

9 Olimpide Mtemtik Tk Kupten/Kot Klu persoln terseut digmrkn dlm digrm venn mk Mk nykny dung dlh Psngn ilngn yng munul dlh dn 6 tu dn 5 tu 3 dn 4. Bnykny psngn yng mungkin d 6. Pelung Bnykny ilngn yng mungkin d 4! 4. Msing-msing ngk, 4, 7 dn 8 kn munul 6 kli segi ngk stun. Angk stun ilngn terseut ngk stun Angk stun ilngn terseut dlh Mislkn koordint A dlh (p, q) mk kren pertenghn AB dlh titik (0, 0) mk koordint B dlh (p, q). Titik A dn B terletk pd prol mk q 4 p p () q 4 p p () Jumlhkn persmn () dn () didpt 0 8 p sehingg p ± Jik p mk q 4 Jik p mk q 4 Koordint A dn B dlh (, ) dn (, ) Pnjng AB Pnjng AB 4. ( ( )) ( ( )) 7. Kren koefisien x 3 dlh dn konstntny dlh mk hruslh (x 3 x ) (x x )(x ) (x 3 x ) x 3 ( )x ( )x Mk 0 sehingg ( ) sehingg ( ) Nili yng memenuhi dlh. Eddy Hermnto, ST 44

10 8. Perhtikn gmr. Olimpide Mtemtik Tk Kupten/Kot 008 Perpotongn idng yng mellui HF terseut dengn kuus dlh segitig PFH. Mislkn pnjng AP x mk PE x. E.PFH dlh ngunn prism dengn ls erentuk segitig sm kki. Kren PF PH dn FE HE mk proyeksi E pd idng PFH kn erd pd gris tinggi PK. Sudut ntr gris EG dengn idng PFH dlh EKP. EK Pd KEP siku-siku di E. tn EKP EK x AP 6 EP 3 Pnjng rus AP dlh Mislkn ilngn terseut dlh N. Mislkn N dlh ilngn n ngk dengn ngk-ngk N dlh x, x, x 3,, x n. N 0 n dn N 6(x x x n ) 54n Lemm : Akn diuktikn hw jik terukti 54k < 0 k mk 54(k ) < 0 k untuk k ilngn sli 3. Andikn hw 54k < 0 k. Kren k 3 mk 54 < 9 0 k sehingg 54k 54 < 0 k 9 0 k 54(k ) < 0 k Terukti hw untuk k sli 3 mk jik 54k < 0 k mk 54(k ) < 0 k. Pemuktin di ts sm sj dengn memuktikn hw untuk k 3 mk jik tidk d N yng terdiri dri k ngk yng memenuhi niliny sm dengn 6 kli jumlh ngk-ngkny mk tidk kn d jug N terdiri dri k ngk yng memenuhi niliny sm dengn 6 kli jumlh ngk-ngkny. 45 Eddy Hermnto, ST

11 Olimpide Mtemtik Tk Kupten/Kot 008 Jik N terdiri dri ngk N x 6(x ) sehingg tidk d N sli yng memenuhi. Jik ilngn terseut dlh ilngn du ngk N 0x x 6(x x ) 4x 5x Kren x dn x sli mk psngn (x, x ) yng memenuhi hny (5,4). Bilngn yng memenuhi hny 54. Jik N terdiri dri 3 ngk Mislkn N 00x 0x x 3 6(x x x 3 ) 94x 4x 5x 3 Kren x mk tidk d tripel (x, x, x 3 ) yng memenuhi. Sesui dengn lemm mk untuk n 3 mk tidk d N yng memenuhi niliny sm dengn 6 ngk jumlh ngk-ngkny. Himpunn semu ilngn yng memenuhi hny {54}. Himpunn semu ilngn yng memenuhi dlh {54}. 0. (sin sin ) sin sin sin sin (os os ) os os os os () () Jumlhkn () dn () dn dengn mengingt sin α os α mk (sin sin os os ) sin sin os os 0 os ( ) 0 (3) (sin sin )(os os ) 6 3 sin os sin os sin os os sin 3 ½ (sin sin ) sin ( ) 3 sin ( ) os ( ) sin ( ) 3 Mengingt os ( ) 0 mk sin ( ) 3. sin ( ) 3. Cttn : Jik yng diri dlh nili dn. Tnp mengurngi keumumn mislkn. Eddy Hermnto, ST 46

12 Olimpide Mtemtik Tk Kupten/Kot 008 Berdsrkn os ( ) 0 mk 90 o (4) Kren sin ( ) 3 mk : 60 o (5) Berdsrkn (4) dn (5) mk didpt 75 o dn 5 o yng tidk memenuhi hw dn dlh esr du sudut pd seuh segitig. 0 o Berdsrkn (4) dn (6) mk didpt 5 o dn 5 o. Tetpi il 5 o dn 5 o disutitusikn ke persmn sin sin dn persmn os os 6 ternyt tidk memenuhi keduny. Dpt disimpulkn hw tidk d psngn (, ) yng memenuhi. Eddy Hermnto, ST 47

13 SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 008 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 009 Bidng Mtemtik Bgin Pertm Wktu : 90 Menit DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL MANAJEMEN PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DIREKTORAT PEMBINAAN SEKOLAH MENENGAH ATAS TAHUN

14 SELEKSI TINGKAT PROVINSI CALON PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 008 MATEMATIKA SMA BAGIAN PERTAMA. Bnykny pemgi positif dri 008 dlh. Cr menyusun huruf-huruf MATEMATIKA dengn kedu T tidk erdektn d senyk 3. Jik 0 < < dn 6, mk 4. Du dri pnjng gris tinggi segitig ABC lnip, erturut-turut sm dengn 4 dn. Jik pnjng gris tinggi yng ketig dri segitig terseut merupkn ilngn ult, mk pnjng mksimum gris tinggi segitig terseut dlh 5. Dlm idng XOY, nykny gris yng memotong sumu X di titik dengn sis ilngn prim dn memotong sumu Y di titik dengn ordint ilngn ult positif sert mellui titik (4, 3) dlh 6. Dierikn segitig ABC, AD tegk lurus BC sedemikin rup sehingg DC dn BD 3. Jik BAC 45 o, mk lus segitig ABC dlh 7. Jik x dn y ilngn ult yng memenuhi y 3x y 30x 57, mk 3x y 8. Dierikn segitig ABC, dengn BC, AC dn C 60 o. Jik 3, mk esrny sudut B dlh 9. Sertus sisw sutu Provinsi di Pulu Jw mengikuti seleksi tingkt Provinsi dn skor rtrtny dlh 00. Bnykny sisw kels II yng mengikuti seleksi terseut 50% leih nyk dri sisw kels III, dn skor rt-rt sisw kels III 50% leih tinggi dri skor rt-rt sisw kels II. Skor rt-rt sisw kels III dlh 0. Dierikn segitig ABC, dengn BC 5, AC, dn AB 3. Titik D dn E erturut-turut pd AB dn AC sedemikin rup sehingg DE memgi segitig ABC menjdi du gin dengn lus yng sm. Pnjng minimum DE dlh. Mislkn,, dn d ilngn rsionl. Jik dikethui persmn x 4 x 3 x x d 0 mempunyi 4 kr rel, du di ntrny dlh dn 008. Nili dri d dlh 49

15 . Dierikn segitig ABC dengn sisi-sisi,, dn. Nili sm dengn 6 kli lus segitig ABC. Besrny nili tg A tg B tg C dlh 3. Dierikn f(x) x 4. Mislkn x dn y dlh ilngn-ilngn rel positif yng memenuhi f(xy) f(y x) f(y x). Nili minimum dri x y dlh 4. Bnyk ilngn ult positif n kurng dri 008 yng mempunyi tept n ilngn kurng dri n dn reltif prim terhdp n dlh 5. Sutu polinom f(x) memenuhi persmn f(x ) x 3 f(x) (x 3 ) untuk setip x ilngn rel. Derjt (pngkt tertinggi x) f(x) dlh 6. Anggp stu thun 365 hri. Pelung dri 0 orng yng dipilih ser k d du orng yng erulng thun pd hri yng sm dlh 7. Tig ilngn dipilih ser k dri {,,3,,008}. Pelung jumlh ketigny genp dlh 8. Mislkn X menytkn nykny nggot himpunn X. Jik A B 0 dn A 4, mk nili yng mungkin untuk B dlh 9. Dikethui AD dlh gris tinggi dri segitig ABC, DAB ACD, AD 6, BD 8. Lus segitig ABC dlh 004 k Nili dri 3 k 0 k 50

16 SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 008 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 009 Bidng Mtemtik Bgin Kedu Wktu : 0 Menit DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL MANAJEMEN PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DIREKTORAT PEMBINAAN SEKOLAH MENENGAH ATAS TAHUN 008 5

17 SELEKSI TINGKAT PROVINSI CALON PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 008 MATEMATIKA SMA BAGIAN KEDUA. Crilh semu psngn ilngn sli (x, n) yng memenuhi x x x n 40. Dierikn polinom rel P(x) x 008 x 007 x x 008 dn Q(x) x x 008. Mislkn persmn P(x) 0 mempunyi 008 selesin rel dn P(008). Tunjukkn hw persmn P(Q(x)) 0 mempunyi selesin rel. 3. Lingkrn dlm dri segitig ABC, menyinggung sisi-sisi BC, CA, dn AB erturut-turut di D, E, dn F. Mellui D, ditrik gris tegk lurus EF yng memotong EF di G. Buktikn hw FG BF EG CE 4. Bilngn,, 3,, 9 disusun melingkr ser k. Buktikn hw d tig ilngn erdektn yng jumlhny leih esr dri Tentukn nykny ilngn positif 5-ngk plindrom yng his digi 3. Plindrom dlh ilngn/kt yng sm jik di dri kiri ke knn tu selikny. Segi ontoh dlh ilngn plindrom, sedngkn 44 ukn. 5

18 SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 008 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 009 Prestsi itu dirih ukn didpt!!! SOLUSI SOAL Bidng Mtemtik Bgin Pertm Disusun oleh : Eddy Hermnto, ST 53

19 Solusi Olimpide Mtemtik Tk Provinsi 008 Bgin Pertm BAGIAN PERTAMA Bnykny pemgi positif dri 008 (3 )( ) Bnykny pemgi positif dri Alterntif : 0! Bnykny r menyusun huruf-huruf MATEMATIKA dlh 500 3!!! Bnykny r menyusun huruf-huruf MATEMATIKA dengn syrt kedu T erdektn dlh 9! sm dengn nykny r menyusun huruf-huruf MATEMAIKA, yitu !! Bnykny r menyusun huruf-huruf MATEMATIKA dengn kedu T tidk erdektn dlh Bnykny r menyusun Alterntif : Kren T tidk oleh erdektn mk kedu huruf T hny dpt ditemptkn ke dlm 9 dri 0 tempt. Bnykny r memilih 9 tempt 9 C 36 r Ke-8 tempt yng lin kn diisi oleh ke-8 uruf tersis yng terdiri dri huruf M, 3 huruf A 8! dn msing-msing stu huruf yitu E, I dn K. Bnykny r 3360 r.! 3! Bnykny r menyusun huruf-huruf MATEMATIKA dengn kedu T tidk erdektn dlh 36 x Bnykny r menyusun Kren 0 < < mk kn ernili positif Mislkn pnjng sisi-sisi segitig ABC dlh BC, AC dn AB. Eddy Hermnto, ST 54

20 Solusi Olimpide Mtemtik Tk Provinsi 008 Bgin Pertm Mislkn jug pnjng gris tinggi dri A dlh x dengn x ilngn sli. Ad du kemungkinn pemhmn terhdp pertnyn pd sol. i) Yng ditnykn dlh mks (x, 4, ). [ABC] ½ AC ½ AB 4 AB 4 AB 3 [ABC] ½ x ½ 4 3 x () Akn diuktikn hw x sehingg pnjng mksimum dri gris tinggi segitig ABC dlh. Andikn hw x >. Dri persmn () kn didpt hw < () Pd segitig siku-siku ACF jels hw AC > AF Kren AB 3 mk FB > Pd segitig siku-siku BCF erlku hw BC > FB Kren BC < sedngkn FB > mk ketksmmn tidk mungkin terjdi. Kontrdiksi dengn pengndin wl. Jdi, x. Mk pnjng mksimum gris tinggi segitig ABC dlh. ii) Yng ditnykn dlh pnjng mksimum dri gris tinggi yng ketig dri segitig ABC Pnjng gris tinggi-gris tinggi yng erturut-turut sepdn dengn sisi-sisi, dn dlh x, dn 4. Dengn rumus lus segitig ABC didpt huungn x 4 Dengn ketksmn segitig didpt < sehingg < 4 < sehingg didpt x < 6. x 3 Jik x 5 mk 5 4 : : : : : 5 : Kren 5 < 5 mk segitig terseut tumpul. Kontrdiksi. Jik x 4 mk 4 4 : : : : 3 : : Segitig terseut dlh segitig lnip se 3 > 3. Jdi, pnjng mksimum gris tinggi yng ketig dri segitig ABC dlh 4. Dri du kemungkinn ini Penulis leih enderung pd kemungkinn pertm yng sesu dengn kt-kt pd sol. Pnjng mksimum gris tinggi dri segitig ABC dlh. 5. Mislkn persmn gris terseut dlh y mx Mislkn jug gris memotong sumu X di (p, 0) dn sumu Y di (0, q) dengn p dlh ilngn prim dn q dlh ilngn ult positif. Kren gris memotong sumu X di (p, 0) dn sumu Y di (0, q) mk persmn gris terseut q dlh y x. p 55 Eddy Hermnto, ST

21 Solusi Olimpide Mtemtik Tk Provinsi 008 Bgin Pertm q Gris mellui (0, q) mk q. Jdi persmn gris terseut dlh y x q p Kren gris mellui (4, 3) mk erlku 3p 4q pq (p 4)(q 3) * Jik p genp mk p sehingg q 3. Tidk memenuhi q ult positif. * Jik p gnjil mk p 4 gnjil. Nili p 4 yng mungkin memenuhi dlh ± tu ±3. - Jik p 4 mk p 3 dn q 9. Tidk memenuhi q ult positif. - Jik p 4 mk p 5 dn q 5. Jdi persmn gris dlh y 3x 5 yng mellui titik (4, 3) - Jik p 4 3 mk p yng tidk memenuhi hw p dlh ilngn prim. - Jik p 4 3 mk p 7 dn q 7. Jdi persmn gris dlh y x 7 yng mellui titik (4, 3) Persmn gris yng memenuhi dlh y 3x 5 dn y x 7. Bnykny gris yng memenuhi d. 6. Perhtikn gmr. Dikethui dri sol BAC 45 o. Alterntif : Mislkn lus segitig ABC [ABC] Dengn dlil pitgors didpt : AC AD 4 () AB AD 9 () Persmn () jumlhkn dengn () didpt AB AC AD 3 (3) [ABC] ½ BC AD Kren BC 5 mk AD [ ABC] 5 (4) Pd segitig ABC erlku BC AB AC AB AC os 45 o AB AC AB AC sin 45 o 5 AD 3 4[ABC] (5) Sutitusikn persmn (4) ke (5) 8 [ ABC] 4 [ ABC] 5 ([ABC] 5)([ABC] 5) 0 Mk [ABC] 5 Lus segitig ABC dlh 5. Eddy Hermnto, ST 56

22 Solusi Olimpide Mtemtik Tk Provinsi 008 Bgin Pertm Alterntif : Mislkn AD t BAD CAD 45 o tn BAD tn CAD tn 45 o tn BAD tn CAD 3 t t yng ekivlen dengn 3 t t (t 6)(t ) 0 [ABC] ½ BC AD ½ 5 6 Lus segitig ABC dlh Persmn terseut dpt diuh menjdi (3x )(y 0) Kren 3x ult positif mk y 0 jug ilngn ult positif. Fktor positif dri 507 d 6 yitu, 3, 3, 39, 69 dn 507. y 0 dlh fktor dri 507 mk y, 3, 3, 49, 79 tu 57 dn yng merupkn ilngn kudrt sempurn hny 49. Mk y 49. Sehingg 3x 3. 3x y x Alterntif : tn 45 tn 30 tn 5 tn( ) tn 45 tn tn5 () 3 3 Dengn dlil osinus sin A sehingg 3 sin A sin B sin B sin A ( 3) sin B () Kren C 60 o mk A 0 o B sin A sin (0 o B) sin 0 o os B os 0 o sin B ( 3) sin B 3 os B sin B 3 3 sin B 3 os B 3 o tn B tn5 3 3 Besrny sudut B dlh 5 o Eddy Hermnto, ST 57

23 Solusi Olimpide Mtemtik Tk Provinsi 008 Bgin Pertm Alterntif : Misl AB dn dengn dlil osinus didpt os 60 Sutitusikn ( 3) yng didpt dri sol. ( 3) ( 3) ( ) Dengn dlil sinus didpt sin C sin B ( ) ( ) ( 6 3 3) 3 sin B 4 sin B 4 ( 3) 4 B 5 o Besrny sudut B dlh 5 o Kren nykny sisw 00 orng sedngkn nykny sisw kels II 50% leih nyk dri sisw kels III mk nykny sisw kels II yng mengikuti seleksi 60 orng sedngkn sisw kels III 40 orng. Mislkn skor rt-rt kels III dlh x mk skor rt-rt kels II dlh 3 x. 60 x 40 x x 5 Skor rt-rt sisw kels III dlh Mislkn pnjng AD x dn pnjng AE y 5 Lus ABC (5)() 30 dn sin A sert os A 3 3 Lus ADE xy sin A 5. Mk xy 78. Sesui dlil osinus pd ADE mk : DE x y xy os A x y 44 Dengn AM-GM mk DE xy 44 DE kn minimum sm dengn jik x y 78 DE minimum 3 Eddy Hermnto, ST 58

24 Solusi Olimpide Mtemtik Tk Provinsi 008 Bgin Pertm. Mislkn ke-4 kr terseut dlh x, x, x 3 dn x 4 dengn x dn x Alterntif : x 4 x 3 x x d (x x ) (x x ) (x x 3 ) (x x 4 ) 0 x x x 3 x 4 yng merupkn ilngn rsionl. Mk d kemungkinn nili x 3 dn x 4. x 3 p 50 dn x 4 q untuk p dn q ilngn rsionl. x x x 3 x 4 d yng merupkn ilngn rsionl. 50 p 50 q ilngn rsionl untuk p, q rsionl ( )( )( )( ) 4 p ilngn rsionl. Mk tidk d p rsionl yng memenuhi x 3 p dn x 4 q 50 untuk p dn q ilngn rsionl. x x x 3 x 4 d yng merupkn ilngn rsionl. 50 p q 50 ilngn rsionl ( )( )( )( ) 4 pq p 4q ilngn rsionl Kesmn di ts kn terpenuhi hny jik p q 0 sehingg x 3 dn x x 4 x 3 x x d (x ) (x 008 ) (x ) (x 008 ) x 4 x 3 x x d (x )(x 008) x 4 00x 406 Mk 0, 00, 0 dn d 406 d Nili d dlh 006. Alterntif : Jik disutitusikn ke persmn x 4 x 3 x x d 0 didpt ( ) ( d 4) Kren,, dn d rsionl mk kesmn hny mungkin terjdi jik 0 () Sehingg d 4 0 () Jik disutitusikn ke persmn x 4 x 3 x x d 0 didpt ( 008 ) ( 008 d ) Kren,, dn d rsionl mk kesmn hny mungkin terjdi jik (3) Sehingg 008 d (4) Dri persmn () dn (3) didpt 0 dn 0 Dri persmn () dn (4) didpt 00 dn d 406 d Nili d dlh Mislkn [ABC] menytkn lus ABC. AB AC BC Berdsrkn dlil osinus, os A. AB AC os A AB AC BC AB AC BC Mk tg A sin A AB AC sin A 4 ABC [ ] Eddy Hermnto, ST 59

25 Solusi Olimpide Mtemtik Tk Provinsi 008 Bgin Pertm Dengn r yng sm didpt : AB BC AC tg B 4 ABC tg C AC [ ] BC 4 [ ABC] AB AB AC tg A tg B tg C 4 tg A tg B tg C 4. [ ABC] BC f(x) x 4 f(xy) x y 4 f(y x) (y x) 4 f(y x) (y x) 4 f(xy) f(y x) f(y x) x y 4 (y x) 4 (y x) 4 x y y x xy 4 y x xy x y 4 4xy (xy ) 0 Jdi xy Dengn ketksmn AM-GM mk x y xy Dengn memnftkn ilngn kudrt tk mungkin negtif x y x x x x tnd kesmn terjdi jik x y Nili minimum dri x y dlh 4. Jels hw n hrus genp. Mislkn n y p x p x p k xk dengn p i untuk i,,, k semuny ilngn prim gnjil dn x i untuk i i,,, k semuny ilngn ult tk negtif sert y sli. Kren slh stu fktor dri n dlh mk semu ilngn genp n tidk kn reltif prim dengn n. Bnykny ilngn genp n d tept senyk n dn nykny ilngn gnjil kurng dri n jug d senyk n. Tetpi untuk semu < p i < n dengn i,,, k jug merupkn fktor dri n yng mengkitkn semu < p i < n dengn i,,, k tidk kn reltif prim dengn n. Mk gr terpenuhi d tept n ilngn kurng dri n dn reltif prim terhdp n mk n tidk oleh memiliki fktor gnjil selin. Jdi p i untuk semu i,,, k. Mk n y untuk sutu ilngn sli y. Eddy Hermnto, ST 60

26 Solusi Olimpide Mtemtik Tk Provinsi 008 Bgin Pertm Kren n < 008 mk y < 008. Jdi y 0. Mk nili n yng memenuhi dlh, 4, 8, 6, 3, 64, 8, 56, 5, 04. Bnykny ilngn ult positif n yng memenuhi d Mislkn f(x) erderjt n mk f(x ) kn erderjt n. x 3 f(x) kn erderjt n 3. Jik n > 3 mk n > n 3 sehingg f(x ) x 3 f(x) kn erderjt n > 6. Jdi, tnd kesmn tidk mungkin terjdi. Jik n 3 mk f(x ) dn x 3 f(x) kn erderjt sm yitu 6 sehingg msih dimungkinkn f(x ) x 3 f(x) kn erderjt 3. Jik f(x) x 3 mk f(x ) x 3 f(x) (x 6 ) x 3 (x 3 ) (x 3 ) yng memenuhi. Jik n < 3 mk n < n 3 sehingg f(x ) x 3 f(x) kn erderjt n 3. Kren rus knn erderjt 3 mk n 0. Derjt f(x) dlh Bnykny kemungkinn tnggl lhir dri 0 orng Bnykny kemungkinn dri 0 orng terseut tidk d stupun yng erulng thun di hri yng sm P 0. Pelung yng ditnykn pd sol dpt diri dengn r komplemen. Pelung dri 0 orng yng dipilih ser k d du orng yng erulng thun pd hri yng sm dlh 365 P P0 Pelung dri sol Ad du kemungkinn jumlh ketig ilngn terseut genp Ketig ilngn terseut semuny genp C3 67 Pelung C Ad stu ilngn genp dn du linny gnjil C 004 C C Pelung jumlh ketig ilngn terseut genp Pelung jumlh ketig ilngn terseut genp Eddy Hermnto, ST 6

27 Solusi Olimpide Mtemtik Tk Provinsi 008 Bgin Pertm 8. A B A B A B 0 4 B A B B A B 6 Jels hw 0 A B A sehingg 0 A B 4. Jdi 6 B 0 Kren B ult tk negtif mk B 6, 7, 8, 9 tu 0. B 6, 7, 8, 9 tu Mislkn DAB ACD α AD CD tg α BD AD 6 CD 9 sehingg CD Lus segitig ABC ½ (BD CD) AD 75 Lus segitig ABC 0. Dengn inom Newton didpt k ( 3 ) L k 0 k 004 k k 0 k Eddy Hermnto, ST 6

28 SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 008 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 009 Prestsi itu dirih ukn didpt!!! SOLUSI SOAL Bidng Mtemtik Bgin Kedu Disusun oleh : Eddy Hermnto, ST 63

29 Solusi Olimpide Mtemtik Tk Provinsi 008 Bgin Kedu BAGIAN KEDUA. x x x n 40 x x x n 39 x( x x x n ) 39 Kren x dn n ilngn sli mk x merupkn fktor dri 39 Nili x yng mungkin memenuhi dlh, 3, 3 tu 39. Jik x mk n 39. Jdi, n 39 Jik x 3 x n Kren x mk x x x n 40 Untuk x 3 mk 3 n 80 Nili n yng memenuhi dlh n 3. Jik x 3 x x n Kren x mk x x x n 40 x Untuk x 3 mk 3 n n Kren 37 tidk his digi 3 mk tidk d n sli yng memenuhi. Jik x 39 x n Kren x mk x x x n 40 x Untuk x 39 mk 39 n n 5 39 Nili n yng memenuhi dlh n. Semu psngn ilngn sli (x, n) yng memenuhi dlh (, 39), (3, 3), (39, ). Kren P(x) 0 mempunyi 008 selesin rel mk erlku P(x) (x x )(x x )(x x 3 ) (x x 008 ) dengn x i semu rel untuk i,,, 008. Kren P(008) mk tidk mungkin semu x i < 007. P(Q(x)) P(x x 008) P(Q(x)) (x x 008 x )(x x 008 x ) (x x 008 x 008 ) 0 Diskriminn x x 008 x i dlh Diskriminn 4 4(008 x i ) Diskriminn 4(x i 007) untuk i,,, 008. Kren tidk semu x i < 007 mk kn terdpt x k sehingg Diskriminn 4(x i 007) 0. Kren diskriminn 0 mk terukti d sedikitny ilngn x rel yng memenuhi P(Q(x)) 0 Terukti hw persmn P(Q(x)) 0 mempunyi selesin rel. Eddy Hermnto, ST 64

30 Solusi Olimpide Mtemtik Tk Provinsi 008 Bgin Kedu 3. Mislkn O dlh pust lingkrn dlm segitig ABC. Mk gris gi dri B dn C kn mellui titik O. Kren CO dn BO dlh gris gi mk ECO DCO dn DBO FBO Mislkn ECO DCO γ () dn DBO FBO β () Jels hw CEO CDO 90 o sehingg EOD 80 o γ (3) Jels jug hw BDO BFO 90 o sehingg DOF 80 o β (4) Mk EOF 360 o EOD DOF (γ β) (5) Segitig EOF dlh segitig sm kki sehingg OEF OFE 90 o (γ β) (6) Lingkrn dlm menyinggung segitig ABC di D, E dn F sehingg CE CD dn BD BF. Kren CE CD dn OE OD mk segiempt CEOD dlh lyng-lyng. Jdi, CO ED. ED CE sin γ (7) CED 90 o γ sehingg OED γ GED OEF OED (90 o (γ β)) (γ) 90 o β (8) EG ED os GED ( CE sin γ)(os (90 o β) EG sin γ sin β (9) CE Kren BD BF dn OD OF mk segiempt BDOF dlh lyng-lyng. Jdi, BO DF. DF BF sin β (0) BFD 90 o β sehingg OFD β GFD OFE OFD (90 o (γ β)) (β) 90 o γ () FG DF os GFD ( BF sin β)(os (90 o γ) FG sin γ sin β () BF Dri persmn (9) dn () dpt disimpulkn hw Terukti hw FG EG BF CE FG EG FG BF sehingg. BF CE EG CE Eddy Hermnto, ST 65

31 Solusi Olimpide Mtemtik Tk Provinsi 008 Bgin Kedu 4. Alterntif : Andikn hw tidk d tig ilngn erdektn yng jumlhny leih esr dri 5. Jik terdpt tig ilngn dengn du dintrny dlh 7, 8 tu 9 mk ketig ilngn terseut kn memiliki jumlh leih dri 5. Mk hruslh terdpt du ilngn di ntr 7, 8 dn 9. Kemungkinn susunn hny d, yitu : Rt-rt enm ilngn,, 3, 4, 5 dn 6 dlh 3,5. Mk mks (A B, C D, E F) 7. Jik mks (A B, C D, E F) 7 mk A B C D E F 7 Mk 9 jik dipsngkn dengn slh stu dri psngn (A, B), (C, D) tu (E, F) kn mementuk tig ilngn yng jumlhny leih dri 5. Kontrdiksi dengn nggpn semul. Jik mks (A B, C D, E F) > 7 mk mks (A B, C D, E F) 8 Psngn ilngn yng memiliki nili mks terseut psti kn erdektn dengn 8 tu 9 yng penjumlhn ketig ilngn terseut kn ernili leih esr dri 5. Kontrdiksi dengn nggpn semul. Terukti hw d tig ilngn erdektn yng jumlhny leih esr dri 5. Alterntif : Mislkn i {,, 3,, 9} untuk i,,, 9. Ke-9 ilngn i, i,, 9 disusun segi erikut. Mislkn S 3 S 3 4 M S 9 9 Dengn demikin S S S 9 3( 9 ) Kren 4 mk S S. Andikn tidk d 3 ilngn erdektn yng jumlhny leih esr dri 5, yitu S i 5 untuk semu i,,, 9. Kren S S mk S tu S kurng dri 5. Akitny S S S 9 < 9 x Kontrdiksi. Terukti hw d tig ilngn erdektn yng jumlhny leih esr dri 5. Eddy Hermnto, ST 66

32 Solusi Olimpide Mtemtik Tk Provinsi 008 Bgin Kedu 5. Seuh ilngn kn his digi 3 pil penjumlhn ngk-ngkny his digi 3. Ad 4 ngk/digit yng his digi 3 dn msing-msing d 3 ngk/digit yng ersis tu jik digi 3. Mislkn ilngn plindrom terseut dlh. Penjumlhn ngk ( ). Kren ngk pertm tidk oleh 0 mk nykny r memilih digit 0 (mod 3) hny d 3 kemungkinn. Jik 0 (mod 3) Mk ( ) 0 (mod 3) sehingg 0 (mod 3) Tig kemungkinn psngn (, ) dlh 0 (mod 3) dn 0 (mod 3), (mod 3) dn (mod 3) tu (mod 3) dn (mod 3) Bnykny r memilih digit dlh 4. Mk nykny r memilih ilngn plindrom jik 0 (mod 3) 4 ( ) Mk nykny r memilih ilngn plindrom jik 0 (mod 3) 0. Jik (mod 3) Mk ( ) (mod 3) sehingg (mod 3) Tig kemungkinn psngn (, ) dlh 0 (mod 3) dn (mod 3), (mod 3) dn 0 (mod 3) tu (mod 3) dn (mod 3) Bnykny r memilih digit dlh 3. Mk nykny r memilih ilngn plindrom jik (mod 3) 3 ( ) Mk nykny r memilih ilngn plindrom jik (mod 3) 90. Jik (mod 3) Mk ( ) (mod 3) sehingg (mod 3) Tig kemungkinn psngn (, ) dlh 0 (mod 3) dn (mod 3), (mod 3) dn (mod 3) tu (mod 3) dn 0 (mod 3) Bnykny r memilih digit dlh 3. Mk nykny r memilih ilngn plindrom jik (mod 3) 3 ( ) Mk nykny r memilih ilngn plindrom jik (mod 3) 90. Bnykny ilngn plindrom yng memenuhi dlh Bnykny ilngn plindrom 5-ngk yng his digi 3 dlh 300. Eddy Hermnto, ST 67

33 SELEKSI TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 009 OLIMPIADE SAINS NASIONAL 008 MAKASSAR (SULAWESI SELATAN), 8 4 AGUSTUS 008 Bidng Mtemtik Hri Pertm Wktu : 4 Jm DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL MANAJEMEN PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DIREKTORAT PEMBINAAN SEKOLAH MENENGAH ATAS TAHUN

34 OLIMPIADE SAINS NASIONAL AGUSTUS 008 MAKASSAR, SULAWESI SELATAN BIDANG : MATEMATIKA HARI PERTAMA WAKTU : 4 JAM. Dierikn segitig ABC. Titik-titik D, E, dn F di lur segitig ABC sedemikin sehingg segitig ABD, segitig BCE, dn segitig CAF dlh segitig sm sisi. Buktikn hw ketig lingkrn lur segitig terseut erpotongn di stu titik.. Buktikn hw untuk x dn y ilngn rel positif, erlku x y x y ( ) ( ) 3. Crilh semu ilngn sli yng dpt dinytkn dlm entuk untuk sutu,, dn ilngn sli dengn FPB (, ) FPB (, ) FPB (, ) 4. Mislkn A {,,, 008} () Tentukn h suhimpunn dri A yng hsilkli semu nggotny his digi 7. () Mislkn N(i) menytkn h suhimpunn dri A yng jumlh semu nggotny ersis I jik digi 7. Buktikn hw 7 i ( ) i 0 N ( i) 0 69

35 SELEKSI TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 009 OLIMPIADE SAINS NASIONAL 008 MAKASSAR (SULAWESI SELATAN), 8 4 AGUSTUS 008 Bidng Mtemtik Hri Kedu Wktu : 4 Jm DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL MANAJEMEN PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DIREKTORAT PEMBINAAN SEKOLAH MENENGAH ATAS TAHUN

36 OLIMPIADE SAINS NASIONAL AGUSTUS 008 MAKASSAR, SULAWESI SELATAN BIDANG : MATEMATIKA HARI KEDUA WAKTU : 4 JAM 5. Mislkn m, n > ilngn-ilngn ult sedemikin hingg n memgi 4 m dn m memgi n. Hruskh n m? Jelskn. 6. Ad orng erhuungn ser rhsi dengn menggunkn frekuensi gelomng rdio yng ered. Ad psngn du orng yng dpt erhuungn, mungkin d yng tidk dpt. Setip psng yng erhuungn hny menggunkn stu frekuensi tertentu yng ered dengn frekuensi yng digunkn psngn lin. Setip tig orng sellu d du orng di ntrny yng tidk dpt erhuungn. Tentukn nyk mksimum frekuensi ered yng diperlukn dn jelskn. 7. Dierikn segitig ABC dengn pnjng sisi-sisiny,, dn. Gris-gris singgung lingkrn dlm segitig ABC yng sejjr dengn sisi-sisi segitig ABC mementuk tig segitig keil. Pd msing-msing segitig keil diut lingkrn dlm. Buktikn hw jumlh lus dri lingkrn dlm segitig ABC dn ketig lingkrn dlm segitig keil dlh π ( )( )( )( ) ( ) 3 8. Tentukn semu fungsi f : N N yng memenuhi f(mn) f(m n) f(m)f(n) untuk semu m, n N. 7

37 SELEKSI TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 009 OLIMPIADE SAINS NASIONAL 008 MAKASSAR (SULAWESI SELATAN), 8 4 AGUSTUS 008 Prestsi itu dirih ukn didpt!!! SOLUSI SOAL Bidng Mtemtik Disusun oleh : Eddy Hermnto, ST 7

38 Solusi Olimpide Sins Nsionl 008 Bidng : Mtemtik. Mislkn lingkrn lur ACF dn lingkrn lur BCE erpotongn di titik C dn K. Kren terletk pd stu lingkrn, segi empt AKCF dlh segiempt tli usur. Mk AKC 80 o AFC 0 o. Kren terletk pd stu lingkrn, segi empt BKCE dlh segiempt tli usur. Mk BKC 80 o BEC 0 o. Jdi, AKB 360 o AKC BKC 0 o. Kren AKB ADB 0 o 60 o 80 o mk segiempt BKAD dlh segiempt tliusur. Jdi d seuh lingkrn yng mellui titik D, B, K dn A. Mk lingkrn lur ACF, lingkrn lur BCE dn lingkrn lur ABD mellui titik K. Terukti hw ketig lingkrn lur segitig ACF, BCE dn ABD erpotongn di stu titik. Alterntif : Dengn AM-GM mk x x y y x y x y Dengn AM-HM mk x y ( x ) ( y ) x y x y ( x ) ( y ) ( x ) ( y ) ( x ) ( y ) x y ( x ) ( y ) (terukti) Eddy Hermnto, ST 73

39 Solusi Olimpide Sins Nsionl 008 Bidng : Mtemtik Alterntif : Dengn ketksmn AM-GM didpt x x () Tnd kesmn terjdi jik x ( x ) x x ( x ) mk () ( x ) ( x ) Dengn r yng sm didpt (3) mk y y ( ) ( ) ( x ) ( y ) x y Dengn ketksmn AM-HM didpt 4 4 mk x y x y x y (terukti) x y x y ( ) ( ) 3. Tnp mengurngi keumumn, mislkn mks (,, ) Mislkn jug k untuk sutu ilngn sli k. ( ) ( ) ( ) k untuk sutu ilngn sli k. Kren ( ) ( ) mk ( ) Kren FPB(, ) FPB(, ) mk ( ) Dengn r yng sm didpt ( ) ( ) Kren dn mk Ksus, Kren ( ) mk Jdi Kren FPB(, ) mk. Jdi, tu Kren ( ) mk Jdi Kren FPB(, ) mk. Jdi, tu Eddy Hermnto, ST 74

40 Solusi Olimpide Sins Nsionl 008 Bidng : Mtemtik Jik dn mk 7 Jik dn tu dn mk 3 8 Jik dn tidk memenuhi hw FPB(, ) Ksus, Kesmn hny terjdi jik dn. Kren FPB(, ) FPB(, ) FPB(, ) mk 6 Nili dri dlh 6, 7 tu A {,,, 008} () Kren h nggot A senyk 008 mk h suhimpunn A 008. Jik sutu himpunn memiliki nggot yng merupkn keliptn 7 mk hsil kli semu nggotny merupkn keliptn 7. Jdi gr hsil kli semu nggot dri sutu himpunn tidk his digi 7 mk nggotny tidk d yng merupkn keliptn 7. Bnykny nggot A yng merupkn keliptn 7 d 86, yitu 7, 4, 8,, 00. Jdi h suhimpunn dri A yng hsilkli nggotny his digi 7 dlh Ch suhimpunn dri A yng hsilkli nggotny his digi 7 dlh () Mislkn x i A mk 009 x i A. Akn diuktikn hw jik d senyk k ilngn yng merupkn nggot A yng memenuhi jumlh k ilngn terseut ersis i jik digi 7 mk d senyk k ilngn yng jug merupkn nggot A dn memenuhi jumlh k ilngn terseut kn ersis 7 i jik digi 7. Mislkn d senyk k ilngn yng merupkn nggot A dn memenuhi x x x k 7p i untuk sutu ilngn sli p. (009 x ) x (009 x ) x (009 x k ) x k 009k 7m untuk sutu m sli. (009 x ) (009 x ) (009 x k ) 7n 7 i untuk sutu ilngn sli n. Jdi d k ilngn 009 x i untuk i,,, k yng memenuhi jumlh k ilngn terseut ersis 7 i jik digi 7. Terukti hw N(i) N(7 i) 7 i ( ) i 0 N ( i) N(0) N() N() N(3) N(4) N(5) N(6) N(7) 0 i Terukti hw ( ) 7 i 0 N( i) 0 Eddy Hermnto, ST 75

41 Solusi Olimpide Sins Nsionl 008 Bidng : Mtemtik 5. Kren m n mk n k m untuk sutu ilngn sli k. Kren n 4 m mk n 4 m k m 4 m < 4 m Mk k < m () Kren n 4 m mk n (4 m ) k (k m ) k. Sehingg n (n ) k n n k. Kren n n n mk n k. Jdi, n k untuk k () n k < k < k m < k m n kontrdiksi untuk k. Jik k mk n m yng memenuhi m n dn n 4 m. Jdi, hruslh n m. 6. Mislkn terdpt 3 orng di ntrny, yitu A, B dn C dn memiliki huungn tept d du frekuensi di ntr merek dn yng erhuungn dlh AB dn AC. Tentuny kit dpt memgi ketig orng ini menjdi du kelompok, mislkn A kelompok merh sert B dn C pd kelompok putih sehingg ketigny hny erhuungn jik ered kelompok. Mislkn jug D erhuungn dengn A mk tentuny A tidk dpt erhuungn C sehingg A dpt dimsukkn ke dlm kelompok yng ered dengn A. Mislkn jug E erhuungn dengn C mk tentuny E dpt erhuungn dengn B tetpi tidk dpt erhuungn dengn A sehingg E dpt dimsukkn ke dlm kelompok yng sm dengn A. Jdi, kit dpt memgi orng terseut ke dlm du kelompok sehingg yng dpt erhuungn hny jik ered kelompok. Mislkn nykny nggot msing-msing kelompok dlh k dn k. Bnykny frekuensi yng mungkin k( k) k 4 Kren k ilngn sli Mk nykny frekuensi kn mksiml dlh jik k 0 tu. Bnykny mksimum frekuensi ered yng diperlukn Perhtikn gmr! Kren DE sejjr BC mk ADE sengun dengn ABC. Eddy Hermnto, ST 76

42 Solusi Olimpide Sins Nsionl 008 Bidng : Mtemtik Eddy Hermnto, ST Mislkn jri-jri lingkrn dlm ABC r, jri-jri lingkrn dlm ADE r, jri-jri lingkrn dlm BFG r dn jri-jri lingkrn dlm CHJ r 3. Mislkn jug jrk dri A ke BC t A dn jrk dri A ke DE t. Mislkn s ½ ( ). Lus ABC ( ) ( )( )( ) s s s s r. ( )( )( )( ) ( ) r ( )( )( ) s s s s t A ( )( )( )( ) t A Kren jrk dri A ke DE t mk t t A r Kren ADE sengun dengn ABC mk perndingn sisi jug merupkn perndingn gris tinggi kedu segitig. A A A t r t t t r r DE AE AD Dengn rumus lus ABC mk t r A sehingg r r r r Dengn r yng sm didpt r r r r 3 Mislkn jumlh lus dri lingkrn dlm segitig ABC dn ketig lingkrn dlm segitig keil dlh L. ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 r r r r L π π Mislkn P ( ) ( ) ( ) ( ) P ( ) ( ) ( ) ( ) P ( )( )( ) ( ) ( ) L π ( )( )( )( ) ( ) 3 L π Terukti hw jumlh lus dri lingkrn dlm segitig ABC dn ketig lingkrn dlm segitig keil dlh ( )( )( )( ) ( ) 3 π 77

43 Solusi Olimpide Sins Nsionl 008 Bidng : Mtemtik 8. Jik m n mk f() f() f()f() () Jik m dn n mk f() f(3) f()f() () Jik m n mk f(4) f()f() (3) Jik m dn n 3 mk f(3) f(4) f()f(3) (4) Mislkn f(), f(), f(3) dn f(4) d sert sutitusikn persmn () dn (3) ke (4). ( ) ( ) 4 0 (5) Dri persmn () didpt (6) ( ) ( ) 4( ) ( ) 0 ( 4 3 ) ( 4 3 ) ( ) ( ) 0 ( 4 3 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 Kren f : N N mk nili f() yng mungkin memenuhi hny tu. Jik f() Untuk n mk f(m) f(m ) f(m)f() Kren f() mk f(m ) Jdi, f(x) untuk x N. Jik f(x) untuk x N mk f(mn) f(m n) dn f(m)f(n). Memenuhi. Jik f() Untuk n mk f(m) f(m ) f(m)f() Kren f() mk f(m ) f(m) Jik m mk f() f() Jik m mk f(3) f() Jik m 3 mk f(4) f(3) M Jik m x untuk x N mk f(x) f(x ) Jumlhkn seluruh persmn didpt : f(x) f() x Kren f() mk f(x) x Jdi, f(x) x untuk x N. Jik f(x) x untuk x N mk f(mn) f(m n) mn m n (m )(n ) dn f(m)f(n) (m )(n ). Memenuhi. Semu fungsi f : N N yng memenuhi dlh f(x) dn f(x) x untuk x N. Eddy Hermnto, ST 78