Persen adalah lambang bilangan rasional yang berpenyebut seratus (100). Lambang dari persen adalah : %,

Transkripsi

1 MELAKUKAN OPERASI BILANGAN REAL. Menghitung hsil opersi bilngn rel (Persen). Menghitung hsil opersi bilngn berpngkt. Menederhnkn pechn bentuk kr. Menghitung nili logritm. Menghitung Persen Persen dlh lmbng bilngn rsionl ng berpenebut sertus (). Lmbng dri persen dlh : %, jdi mkn persen dlh per sertus. Jdi % berrti bgin dri jumlh dsr. Contoh : Limbh dri pembutn pintu plt bj dlh,8 m. Jik seluruh bhn ng tersedi dlh, m, hitunglh persentse limbh tersebut! Penelesin : Lus dsr :, m (%) jdi untuk m = %, Jdi,8 m,8 %, = % Contoh : Seorng pedgng membeli stu sk semen ng berisi kg dengn hrg Rp.. Semen tersebut dijul secr ecern sehrg Rp./kg. Jik semu semen telh terjul hbis, hitunglh persentse lb ng diperoleh pedgng! Penelesin: Hrg beli = Rp. Hrg jul = kg Rp./kg = Rp. Lb = Rp. Rp. = Rp. Persentse Lb = % = %. Menghitung Bilngn Berpngkt Pengertin pngkt berdsrkn perklin bergnd. Misln : rtin Pd umumn : n = sebnk n fktor. Dlm bentuk n, mk : disebut : bilngn pokok n disebut : eksponen n disebut : bilngn berpngkt dn dibc : pngkt n tu pngkt n dri. Pngkt Sebenrn. Pngkt sebenrn dlh bilngn berpngkt dengn eksponen bilngn Asli. Rumus-rumus :. m n mn Misl : ()() Sumdi, S.Pd., M.Si MGMP Mtemtik SMK Klten P g e

2 b. m : m n mn c. n mn ( ) Misl : : () : () : ( ) Misl : ( ) ( )( ) ( ). Pngkt Tk Sebenrn Pngkt tk sebenrn dlh bilngn berpngkt dengn eksponen bilngn Bult negtif, nol tu pechn positif mupun negtif. Rumus-rumus :. ( ) Misl : : () : () : n b. (n ) Misl : : n m n m c. () n Cttn : : Misl : 9 9. p ( dimn p sembrng ). ( dimn sembrng ). p ( dimn p ). ( dimn ). tk tentu. 7. tk terdefinisi = 8. Bilngn-bilngn tk tentu selin, dlh :,,, Beberp rumus ng perlu diperhtikn :. m n n m. b m n m.b n m m n m.n m. n n m p. ( b ).b 7..b.b n m m.n n. ( ) (b ) 8. m m. n b b q q (p ). ( p ) ( ) 9.. ( b n m ) n.b m m n b n n m n m n p b. Bentuk bku (notsi Ilmih) dlh n n n dimn < Contoh sol :. 8 Sumdi, S.Pd., M.Si MGMP Mtemtik SMK Klten P g e

3 . (-) = (-).(-).(-).(-) = 8.. : 8 ( ) ( ). (. ) ( ).( )... 8 ( ) ( ) () ( ) ( ) () ( ) () ( ) ( ) kren bil. pokok telh sm, mk :.(- ) = -.( + ) - 8 = = = = - 8. Menederhnkn pechn bentuk kr Penebut stu suku (stu fktor) b b b b b b Penebut ng terdiri dri du suku c c c b c b b b = = c c b b c = b c = b b c.( b b b c.( b b b c.( b ) b b b c.( b) b b b) b) Contoh sol: ( ).( ) ( ). 8( ) Sumdi, S.Pd., M.Si MGMP Mtemtik SMK Klten P g e

4 ( ). ( ). Menghitung nili logritm Rumus Dsr Logritm. log b log b log. log b c berlku : c b. log(b.c) log b log c b c. log log b log c n. log b n. log b g n g. log log n. log g 7. log g log g log 8. g Contoh sol: g n. log log. log.. log log. log.. log log log( ). log.. log log. log. Tentukn nili dri log.. log.. Penelesin : log berrti. Tentukn nili ( bilngn nt positif ) dri : log - log = log Penelesin : log - log = log log log Sumdi, S.Pd., M.Si MGMP Mtemtik SMK Klten P g e

5 Ltihn Sol. Sebuh bju setelh dikenkn potongn hrg dijul dengn hrg Rp.. Jik pd lbeln Rp 7. mk besr persentse potongn tersebut dlh. % b. % c. 7, % d. % e. %. Seseorng menjul mobil dengn hrg Rp.., jik i menderit kerugin % mk hrg pembelin mobil tersebut dlh. Rp.. b. Rp.. c. Rp.. d. 7.. e. Rp... Sutu kopersi membeli lusin buku tulis dengn hrg Rp. tip lusin, kemudin buku tulis tersebut dijul kembli dengn hrg Rp. per buh. Persentse keuntungn tersebut dlh (no., Un ). % b.,7% c. % d. % e. %. Nili dri log + log log dlh (no., Un ). b. c. 8 d. e.. Nili ng memenuhi : = 9 + dlh (No., Un ). b. c. d. e.. Bentuk sederhn dri : ( ) ( ) - dlh (no., Un ). b. 8 c. d. / e. /8 7. Jik log =,77 dn log =,99, mk log dlh (no., Un )., b.. c.,7 d.,7 e., 8. Nili ng memenuhi : ( ) = + dlh (no., Un ). b. c. d. e. 9. Bentuk sederhn dri : dlh (no., Un. 99-). b. 9 c. 8 d. 7. Nili dri log log 7 + log dlh (no., Un. 99-). b. c. d. e.. Nili ng memenuhi persmn. b. c. dlh (no., Un. 99-) d. e.. Nili dri : log + log log dlh (no., Un. -). 8 b. c. d. e.. Himpunn penelesin dri persmn : log + log ( + ) = dlh. { -, } b. { - } c. { } d. { ½ } e. { }. Bentuk kr dri. dlh (no., Un. -) 7.. b.. c.. d.. e.. Jik log =,77 dn log =,99, mk log dlh (no., Un. -) Sumdi, S.Pd., M.Si MGMP Mtemtik SMK Klten P g e

6 .,7 b., c.,9 d., e.,9. Nili dri : log 8 log, log 7 log dlh (no., Un. -). b. c. d. e. 7. Bentuk sederhn dri :. () dlh (no., Un. -) b. c. d. e Nili dri : log log8 log dlh (no., Un. -) 9. - b. - c. d. e. 9. Jik = 7, b = dn c =, mk nili dri (.b ).c dlh (no., Un. -). 7 b. -8 c. d. 8 e. 7. Nili dri : log 7 log log + log dlh (no. 8, Un -). b. c. /7 d. e.. Bentuk sederhn dri pechn dlh A..( ) B..( ) C..( ) D..( ) E..( ). Bentuk rsionl dlh A. B. C..( ) D..( ) E..( ). Bentuk rsionl dri 7 7 dlh.. A. + 7 B. - 7 C. + 7 D. + 7 E Bentuk sederhn dri pechn dlh A..( ) B..( ) C..( ) D..( ) E..( ). Bentuk rsionl dlh A. B. C..( ) D..( ) E..( ) Sumdi, S.Pd., M.Si MGMP Mtemtik SMK Klten P g e

7 MEMECAHKAN MASALAH YANG BERKAITAN SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN. Menentukn himpunn penelesin pertidksmn liner dengn stu vribel. Menelesikn sistem pertidksmn liner dengn du vrible. Persmn Linier Persmn Linier Vribel Bentuk Umum : + b =, dimn,b R, Sift-sift : (i). Nili persmn tidk berubh jik kedu rus ditmbh tu dikurngi dn diklikn tu dibgi dengn bilngn ng sm. (ii). Jik slh stu elemen dipindh rus, mk :. penjumlhn berubh menjdi pengurngn dn seblikn. b. perklin berubh menjdi pembgin dn seblikn. Contoh : + = 8 + = 8 ( kedu rus dikurngi ) =. / =. / ( kedu rus diklikn /) = Persmn Linier Vribel Bentuk Umum : + b + c =, dimn,b,c R,, b p + q + r =, dimn p,q,r R, p, q Cr penelesin : Metode Eliminsi dn Substitusi Contoh : Tentukn himpunn Penelesin dri + = () = () Jwb : Eliminsi pd () dn () + = + = = = - = = Substitusi = ke (): = = = Jdi Himpunn penelesin: {, } Sumdi, S.Pd., M.Si MGMP Mtemtik SMK Klten P g e 7

8 Pertidksmn Linier Bentuk Umum : + b < + b > + b + b dimn, b R,. Contoh : Tentukn Himpunn penelesin dri : < Penelesin : < < < Jdi Hp : { < }. Contoh : Tentukn Himpunn Penelesin dri : - +. Penelesin : Jdi Hp : { 7 }. Ltihn Sol. Jik dn merupkn penelesin dri sstem persmn + = = -, mk nili + dlh. - b. - c. - d. - e. -. Jik p dn q merupkn penelesin dri sstem persmn p + q = p q =, mk nili p q dlh. - b. - c. d. e.. Himpunn penelesin dri sstem persmn - = - + =, dlh. {( ; )( ; )} c. {( ; )( ; )} e. {(8 ; )( ; )} b. {( ; )( ; )} d. {( ; )( ; )}. Himpunn penelesin dri 9 dlh. { - } c. { } e. { - < < } b. { } d. { < < - }. Nili ng memenuhi dlh. / c. /7 e. -/ b. / d. /7. Himpunn Penelesin pertidksmn 7 dlh. { } c. { / } { / } b. { } d. { < / } 7. Himpunn Penelesin dri pertidksmn <, R dlh. { > - } c. { > } e. { > -8 } Sumdi, S.Pd., M.Si MGMP Mtemtik SMK Klten P g e 8

9 b. { < } d. { < - } 8. Himpunn Penelesin pertidksmn dlh. { - } c. { - } e. { - } b. { - } d. { - } 9. Nili obektif z = ng memenuhi sistem persmn + = dn = dlh. b. c. d. e. 7. Jik dn dlh penelesin dri sistem persmn linier + = dn + = mk =. b. c. d. e.. Hrg kg mngg dn kg jeruk dlh Rp., sedng hrg kg mngg dn kg jeruk Rp.,. Hrg kg mngg dlh.. Rp., b. Rp., c. Rp 8., d. Rp 9., e. Rp.,. Hrg tiket bus Jkrt Surb untuk kels ekonomi Rp., dn kels eksekutif Rp.,. Jik dri tiket ng terjul diperoleh ung Rp 9..,, mk bnkn penumpng kels ekonomi dn kels eksekutif msing-msing dlh.. 7 orng dn orng c. 8 orng dn orng e. orng dn 8 orng b. 8 orng dn orng d. orng dn 9 orng. Sebuh hotel mempuni du tipe kmr ng msing-msing berd tmpung orng dn orng. Jik jumlh kmr seluruhn kmr dengn d tmpung seluruhn 8 orng, berp bnk kmr ng berd tmpung orng? ( no., Un ). b. c. d. e.. Hrg buh buku dn buh penggris dlh Rp. sedngkn hrg buh buku dn buh penggris Rp 7.7. Hrg sebuh penggris dlh ( no. 7, Un 99- ). Rp. b. Rp. c. Rp. d. Rp 9 e. Rp 8. Himpunn penelesin > +, Himpunn bilngn Rel dlh (no.8, Un 99-). { > -} b. { > } c. { - } d. { < } e. { - }. Hrg buh buku dn buh pensil Rp 8.8. Jik hrg sebuh buku Rp lebih murh dripd hrg sebuh pensil, mk hrg sebuh buku dlh ( no., Un - ). Rp. b. Rp. c. Rp.9 d. Rp. e. Rp. 7. Himpunn penelesin dri pertidksmn, R dlh (no., Un - ). { > -} b. { < } c. { > } d. { < -} e. { > -8} Sumdi, S.Pd., M.Si MGMP Mtemtik SMK Klten P g e 9

10 MEMECAHKAN MASALAH YANG BERKAITAN FUNGSI, PERSAMAAN FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI KUADRAT. Menetukn persmn gris. Menggmbr grfik fungsi kudrt. Persmn Gris Secr umum persmn fungsi liner ditulis : = + b, dengn dn b R. Contoh : Gmbrlh grfik ng persmnn =. Untuk menggmbr grfik fungsi liner dpt digunkn cr, itu dengn :. dengn tbel = X Titik - - (-, -) - (, -) (, ) (, ) (, ) b. dengn titik potong sb- dn sb-. perpotongn dengn sumbu- mk srt : = = = = = ½ Jdi koordint titik potongn : ( ½, ). perpotongn dengn sumbu- mk srt : = = =. = - Jdi koordint titik potongn : (, -) Titik potong sumbu- dn titik potong sumbu- dihubungkn, mk terbentuklh gris = - Grdien Grdien dlh ngk kemiringn grfik itu kemiringn terhdp sumbu- positif. Grdien dinotsikn dengn huruf m. Jik sudut ng dibentuk ntr gris terhdp sumbu- positif dlh tg m, mk : komponen tg m komponen Sift-sift grfik fungsi liner :. Jik m = mk grfik sejjr sumbu-. b. Jik m > mk grfik condong ke knn ( < < 9 ). c. Jik m < mk grfik condong ke kiri (9 < < 8 ). Menentukn Persmn Gris Mellui Stu Titik dengn Grdien m Persmn gris mellui stu titik P (, ) dn mempuni grdient m, dpt ditentukn dengn persmn : = m ( ) Contoh : Sumdi, S.Pd., M.Si MGMP Mtemtik SMK Klten P g e

11 Tentukn persmn gris ng mellui P (, ) dn mempuni grdien. Penelesin : = m ( ) =. ( ) = + = - Menentukn Persmn Gris ng Mellui Du Titik Persmn gris ng mellui du titik P (, ) dn Q (, ) dpt ditentukn dengn persmn : tu = m ( ) dengn m = Contoh : Tentukn persmn gris ng mellui titik P (, -) dn Q (-, )! Penelesin : ( ) ( ) ( ) = ( -) 7 = - + = - + Menentukn Sudut ng Dibentuk oleh Grfik Fungsi Untuk menentukn sudut ng dibentuk oleh grfik fungsi terhdp sumbu- positif dpt ditentukn dengn grdienn. ( tg m ) Contoh : Tentukn sudut ng dibentuk oleh gris =! Penelesin : = - = - = - ½ Dengn meliht hsil khir persmn, mk m = tg = = Menentukn Titik Potong Du Gris Untuk menentukn titik potong dpt digunkn cr eliminsi, substitusi tu determinn. Contoh : Tentukn titik potong gris + = dengn gris = -. Penelesin : - = = mk nili : = - () = - = - + = mk nili = Jdi kedu gris berpotongn di koordint (, ). Hubungn Du Gris Berpotongn Tegk Lurus. Du buh gris berpotongn tegk lurus jik : m. m = - Contoh : Sumdi, S.Pd., M.Si MGMP Mtemtik SMK Klten P g e

12 Tentukn persmn gris ng mellui titik (-, ) dn tegk lurus terhdp gris =! Penelesin : Mengubh persmn gris = ke bentuk umum persmn gris : ke bentuk = m + c, itu : = =. grdien gris (m ) = Tegk lurus berlku : m. m = - m = - mk m = - ½ Persmn gris ng dicri dlh : = m ( ) = - ½ ( (-)) = - ½ - + = - ½ + tu = - + Hubungn Du Buh Gris ng Sejjr Du buh gris diktkn sejjr jik : m = m Contoh : Sebuh gris mellui titik (, -) dn sejjr dengn gris =. Tentukn persmn gris tersebut! Penelesin : Mengubh persmn gris = ke bentuk umum persmn gris : ke bentuk = m + c, itu : = - = -9 = + grdien gris (m ) = Du buh gris sejjr berlku : m = m Mk grdien m = Persmn gris ng dicri dlh : = m ( ) (-) = ( ) = 8 =. Grfik Fungsi Kudrt Bentuk umum fungsi kudrt : f() = + b + c, dengn, b, dn c bilngn rel. D = b c disebut diskriminn. f() = + b + c dpt jug ditulis = + b + c. Grfik fungsi kudrt berrbentuk prbol dengn sift : (i) Jik > mk prbol terbuk ke ts dn mempuni nili blik minimum (ii) Jik < mk prbol terbuk ke bwh dn mempuni nili blik minimum (iii) Jik D > mk prbol memotong sumbu di du titik (iv) Jik D = mk prbol memotong sumbu di stu titik (meninggung sumbu ) (v) Jik D < mk prbol tidk memotong sumbu Lngkh-lngkh Menggmbr Grfik Fungsi Kudrt. Menentukn sumbu simetri itu b b. Menentukn titik punck itu P (,) dengn b dn c. Menentukn titik potong dengn sumbu untuk = d. Bil D > tentukn titik potong dengn sumbu untuk = Bil D tentukn beberp titik di sekitr sumbu simetri. Contoh : Gmbrlh grfik dri = - + Penelesin : = - + = -, b =, c = D = b c D = () (-) () = D Sumdi, S.Pd., M.Si MGMP Mtemtik SMK Klten P g e

13 Sumbu simetri b = ( ) D = Nili blik mksimum : ( ) Jdi titik punck (, ) Titik potong dengn sumbu-, = - + =.(- + ) = - = tu = Jdi titik potong sumbu- dlh : (, ) dn (, ). Titik potong dengn sumbu-, = = - () + () = Jdi titik potong dengn sumbu dlh (, ). Contoh : Tentukn persmn prbol mellui titik (, -) dn titik punck (, )! Penelesin : =.( p ) + q p dn q : titik punck dn : titik ng dillui - =.( ) + - = = 9 = - mk persmn prbol : = - ( ) + = - ( + 9) + = Ltihn Sol = - +. Persmn gris ng mellui titik (-, ) dn titik (-, ) dlh (no. 8, Un ). = b. = + c. = - - d. = - + e. = - -. Nili mksimum dri fungsi kudrt f() = dlh (no. 9, Un ). b. c. d. e.. Grfik = memotong sumbu di titik (no. 8, Un ). (-/, ) dn (, ) c. (, ) dn (-, ) e. (/, ) dn (-, ) b. (/, ) dn (-, ) d. (, ) dn (-, ). Titik punck (ekstrim) grfik = - + dlh (no. 9, Un ). (, -) b. (, ) c. (-, ) d. (-, 7) e. (-, ). Persmn gris ng mellui titik A (, ) dn tegk lurus dengn persmn + = - dlh (no., Un. 99-). = b. + = c. = d. + = e. =. Koordint titik blik grfik fungsi f() = + 8 dlh (no., Un. 99-). (, -) b. (-, -) c. (, -) d. (, 8) e. (-, -8) 7. Persmn gris ng mellui titik potong gris dengn persmn + = dn = - sert tegk lurus pd gris dengn + = dlh (no. 8, Un. -). + = b. + = c. = - + d. + + = e. = - ½ + 8. Nili m gr grfik fungsi = (m - ) m + (m ) sellu berd di bwh sumbu- (definit negtif) dlh (no. 9, Un. -). m = b. m > c. m < d. m > / e. m < / Sumdi, S.Pd., M.Si MGMP Mtemtik SMK Klten P g e

14 9. Gmbr grfik ng sesui dengn persmn dlh (no. 8, Un. -). b. c. d. e.. Sebuh peluru ditembkkn vertikl dengn persmn lintsn h(t) = t t. Tinggi mksimum peluru dlh (No. 9, Un. -). 9 m b. m c. m d. m e. m. Grfik fungsi = 8 memotong sumbu, sumbu dn mempuni titik blik P berturut-turut dlh (no. 8, Un. -). = - /, = 7/, = dn P (, ) d. = /, = - 7/, = - dn P (, - ) b. = /, = - 7/, = dn P (-, ) e. = /, = - 7/, = - dn P (-, - ) c. = - /, = 7/, = - dn P (, - ) - -. Persmn grfik fungsi kudrt pd gmbr dismping dlh (no. 7, Un. -). = + d. = (,) b. = 8 + e. = + c. = + +. Persmn fungsi pd grfik di smping dlh (no., Un. -). = + 8 d. = 8 (,-) (,8) b. = 8 e. = - 8 c. = (,). Gmbr skets grfik fungsi = dlh. b. c. d. d. (,) (,) (,-) (,-) (,-). Gmbr grfik di smping dlh grfik dri. = + c. = + + e. = + = Sumdi, S.Pd., M.Si MGMP Mtemtik SMK Klten P g e

15 b. = + d. = 8 + Sumdi, S.Pd., M.Si MGMP Mtemtik SMK Klten P g e

16 MENYELESAIKAN MASALAH PROGRAM LINEAR. Menuliskn model mtemtik. Menghitung nili optimum sutu mslh progrm liner Progrm liner dlh sutu metode untuk mencri nili mksimum tu minimum dri bentuk liner pd derh ng dibtsi oleh grfik-grfik fungsi liner. Model Mtemtik dlh sutu cr untuk memndng sutu permslhn tu sutu persoln dengn menggunkn sistem pertidksmn Mtemtik. Mslh mslh ng kn diselesikn dengn kidh progrm liner bisn memenuhi beberp srt untuk dipenuhi oleh peubh-peubh seperti dn. Oleh kren itu dlm progrm liner lngkh pertm dlh menterjemhkn srt-srt tersebut ke bentuk sostem pertidksmn. Sistem pertidksmn ng mengungkpkn semu srt ng hrus dipenuhi oleh dn disebut Model Mtemtik. Cttn : Untuk menusun sutu model mtemtik diperlukn ketrmpiln memhmi impliksi dri semu perntn ng memenuhi srt-srt tertentu. Perntn Pertidksmn Dinotsikn tidk kurng dri = tu > sekurng-kurngn 7 = 7 tu > 7 7 mksimum = tu < dintr dengn 8 > dn < 8 < < 8 kurng kurng dri tetpi tidk kurng dri dn < < Contoh : Jwb : Tentukn derh himpunn penelesin untuk peubh dn ng memenuhi srt-srt berikut :. dn msing-msing tidk kurng dri.. Jumlh dn tidk lebih dri.. Jumlh dn sekurng-kurngn. Sistem pertidksmn :. ; Melukis Grfis : = + = Sumdi, S.Pd., M.Si MGMP Mtemtik SMK Klten P g e

17 Contoh : Jwb : Derh himpunn penelesin sistem pertidksmn di ts ditunjukkn dlm gmbr berikut ini : Untuk membut sutu jenis roti A diperlukn grm tepung dn grm menteg dn untuk roti jenis B diperlukn grm tepung dn grm menteg. Jik tersedi kg tepung dn, kg menteg, tulisknlh dlm model mtemtik untuk permslhn tersebut. Mislkn : Jenis Roti A = Jenis Roti B = Mk permslhn di ts dpt ditungkn dlm rbel sebgi berikut : Bhn Roti Jenis A Roti Jenis B Persedin Bhn ( grm ) ( grm ) ( grm ) Tepung. Menteg. Mk terjdi hubungn : Kebutuhn tepung : +. + Kebutuhn menteg : Kren dn mentkn bnkn roti, mk hrus berlku (,)Cch dn (,). Jdi model mtemtikn dlh : + ; + 8 ; ; dn (,)Cch. Lngkh/lngkh untuk menentukn nili optimum sutu mslh progrm liner dlh:. mengubh sol verbl ke dlm bentuk model mtemtik.. menggmbr grfik dri model mtemtik. menentukn derh penelesin. menentukn nili optimum dri fungsi obektif Contoh : Seorng pengrjin ptung kn membut beberp ptung Dewi Sri dn beberp ptung Gnesh. Sebuh ptung Dewi Sri membutuhkn grm ems dn grm perk untuk lpisn lurn. Sedngkn sebuh ptung Gnesh membutuhkn grm ems dn grm perk untuk lpisn lurn. Persedin ems dn perk pengrjin msing-msing grm dn 8 grm. Berp bnk msing-msing ptung ng dpt dibut dengn persedin bhn tersebut? Berp bnk msing-msing ptung ng hrus dibut sehingg memperoleh jumlh mksimum? Jik ptung Dewi Sri kn dijul dengn hrg Rp. perbuh dn untuk ptung Gnesh Rp. perbuh, berp bnk msing-msing jenis ptung ng hrus dibut gr pengrjin memperoleh pendptn sebnk-bnkn? Jwb : Sumdi, S.Pd., M.Si MGMP Mtemtik SMK Klten P g e 7

18 . Untuk menjwb persoln tersebut, terlebih dhulu kit menterjemhkn ke dlm model mtemtik. Andikt bnk ptung Dewi Sri dlh dn ptung Gnesh dlh, mk bhn ng dibutuhkn sert persedin ng d dpt disjikn pd tbel berikut : Ems Perk Ptung Dewi Sri Ptung Gnesh Persedin 8 Dengn meliht berikut : tbel tersebut kit dpt dengn mudh menusun model mtemtikn sebgi + dn + 8 Oleh kren dn dlh bilngn ( Cch ) non negtif, mk dn. Sehingg sistem pertidksmn tersebut selengkpn dlh : () + ; () + 8 ; () ; () Selnjutn kit gmbr derh himpunn penelesin sistem pertidksmn di ts dengn bntun tbel berikut : + = + = Penelesin ng mungkin dri persoln di ts dlh psngn berurutn bilngn cch (,) ng memenuhi sistem tersebut. Derh ng memenuhi psngn berurutn tersebut dinmkn derh fisibel (fesible). Nili ng kit cri dpt dintkn dengn bentuk fungsi ssrn itu : f (,) =. +. Perhtikn tbel jenis ptung ng mungkin dpt dibut besert hsil pendptnn : (,). +. (,).. (,).. (,).. Dri tbel hsil pendptn ng mungkin tmpk bhw pendptn ng terbnk dlh.. jik pengrjin membut buh ptung Dewi Sri dn ptung Gnesh, itu pd titik (,) f (,) =. ( ) +. ( ) =.. Rp Sumdi, S.Pd., M.Si MGMP Mtemtik SMK Klten P g e 8

19 Ltihn sol. Tempt prkir selus m dpt menmpung tidk lebih dri kendrn. Untuk prkir sebuh sedn diperlukn rt-rt m dn sebuh bus m. Jik bnk sedn dintkn dlm dn bus dlm, mk model mtemtik dri perntn di ts dlh (no. 9, Un 97-98). +, +, ;,, B d. + <, + <, ;,, B b. +, +, ;,, B e. +, + <, ;,, B c. + <, +, ;,, B. Derh penelesin dri sistem pertidksmn, terletk pd derh (no., Un 97-98) +. I d. IV + b. II e. V, c. III 8 III V II IV I 8. Derh ng dirsir pd gmbr di smping merupkn derh penelesin sistem pertidk-smn linier. Nili mksimum fungsi obektif f(,) = + dlh (no., Un 97-98). 8 c. e. b. d. 8 (,) (,) (,) (,). Serorng pemborong pengectn rumh mempuni persedin 8 kleng ct putih dn kleng ct bu-bu. Pemborong tersebut mendpt twrn untuk mengect rung tmu dn rung tidur. Setelh dihitung ternt rung tmu menghbiskn kleng ct putih dn kleng ct bu-bu, sedngkn rung tidur menghbiskn ct msing-msing wrn sebnk kleng. Jik bnk rung tmu dintkn dengn dn rung tidur dengn, mk model mtemtik dri perntn di ts dlh (no. 9, Un 98-99). + 8 ; + ; ; d. + 8 ; + ; ; b. + 8 ; + ; ; e ; + ; ; c. + 8 ; + ; ; `. Derh penelesin model mtemtik ng ditunjukkn sistem pertidksmn : ;, dlh derh (no., Un 98-99). I b. II c. III d. IV e. V. Nili minimum fungsi obektif f (,) = + dri sistem pertidksmn + + ;,, dlh (no., Un 98-99). b. c. d. d. 7. Seorng penjul buh-buhn ng menggunkn gerobk mempuni modl Rp... I telh membeli jeruk dengn hrg Rp. per kg dn pisng Rp. per kg. Jik bnk jeruk ng dibeli kg, bnk pisng kg sedngkn mutn gerobk tidk dpt melebihi kg mk sistem pertidksmn di ts dlh (no., Un 99-). + ; + ; ; b. + ; + ; ; c. + ; + ; ; Sumdi, S.Pd., M.Si MGMP Mtemtik SMK Klten II V IV I P g e 9 II 8 I 7 I I I II I V IV

20 d. + ; + ; ; e. + 7 ; + ; ; 8. Derh ng merupkn penelesin dri sistem pertidksmn : + ; + 8 ; 8 ;, seperti pd gmbr di smping dlh (no.,un 99-).. I b. II c. III d. IV e. V 9. Pk Dud membeli es krim jenis I dengn hrg per buh Rp dn es krim jenis II dengn hrg Rp per buh. Lemri es ng dipuni Pk Dud untuk menimpn es krim tersebut tidk dpt memut lebih dri buh dn ung ng dipuni Pk Dud hn Rp.. Jik es krim tersebut dijul kembli dengn mengmbil untung msing-msing jenis Rp per buh mk bnk es krim jenis I dn II ng hrus dibeli Pk Dud gr jik terjul seluruhn mendpt untung sebesrbesrn, msing-msing dlh (no., Un 99-). buh dn buh c. buh dn buh e. buh dn buh b. buh dn buh d. 7 buh dn buh. Sutu peswt udr mempuni tempt duduk tidk lebih dri 8 penumpng.setip penumpng kels utm boleh membw bgsi kg sedng untuk kels ekonomi kg. Peswt itu hn dpt membw bgsi. kg, bil dn berturut-turut mentkn bnk penumpng kels utm dn ekonomi, mk model mtemtik dri persoln di ts dlh (no. 9, Un -). + 8 ; + 7 ;, d. + 8 ; + 7 ;, b. + 8 ; + 7 ;, e. + 8 ; + 7 ;, c. + 8 ; + 7 ;,. Derh ng dirsir pd gmbr di smping dlh himpunn penelesin dri sistem pertidksmn (no., Un -). + ; ; ; b. + ; ; ; c. + ; ; ; d. + ; ; ; e. + ; ; ;. Derh ng dirsir pd gmbr dismping dlh himpunn penelesin sutu sistem pertidk-smn. Nili mksimum untuk + dri derh penelesin tersebut dlh (no., Un -). c. e. b. 8 d. 8. Derh ng dirsir pd grfik di smping dlh derh penelesin sutu sistem pertidksmn, nili mksimum fungsi P = + dlh. c. e. 8 b. d. - (, ) Sumdi, S.Pd., M.Si MGMP Mtemtik SMK Klten P g e

21 . Derh ng dirsir dlh derh himpunn penelesin permslhn progrm liner. Nili mksimum dri fungsi tujun z = + dlh (no., Un -). c. e. 9 b. 7 d. (,) (,) (,). Nili optimum z = + dri model mtemtik berikut : ;, dlh (no., Un -).. b.. c.. d. 8. e.. (,) (,). Derh penelesin model mtemtik : + + ; dlh derh (no., Un -). I b. II c. III d. IV e. V I II V III IV 7. Pengush perumhn kn membngun du mcm tipe rumh. Untuk tipe lus tnh ng diperlukn m dn tipe lus tnh 9 m. Jik bnkn rumh ng kn dibngun tidk lebih dri 8 unit dn lus tnh ng tersedi dlh. m, mk model mtemtik dri permslhn tersebut dlh (no., Un -). +. ; + 8 ; ; d. + 8 ; + 8 ; ; b. + 8 ; + 8 ; ; e. + 8 ; + 8 ; ; c. + 8 ; +. ; ; 8. Sistem pertidksmn linier untuk derh ng dirsir pd gmbr di smping dlh (no. 7, Un -). ; ; ; + 9 b. > ; > ; ; + 9 c. ; ; ; + 9 d. ; ; ; + 9 e. ; > ; ; Seorng pemborong mendpt pesnn du jenis bentuk pgr : - Pgr jenis I sehrg Rp. per meter - Pgr jenis II sehrg Rp. per meter Tip m pgr jenis I memerlukn m besi pip dn m besi beton. Tip m pgr jenis II memerlukn 8 m besi pip dn m besi beton. Persedin ng d m besi pip dn 8 m besi beton. Jik semu pesnn terpenuhi mk hsil penjuln mksimum kedu jenis pgr dlh. Rp.. c. Rp.. e. Rp.9. b. Rp.. d. Rp.8. Sumdi, S.Pd., M.Si MGMP Mtemtik SMK Klten P g e

22 MENYELESAIKAN MASALAH MATRIKS DAN VEKTOR. Menentukn hsil opersi mtriks. Menentukn hsil opersi vektor. Menentukn besr sudut ntr du vektor. Mtriks Pengertin Mtriks Dlm kehidupn sehri-sehri tnp kit sdri terkdng sebuh kegitn ng kit lksnkn dpt kit tmpilkn dlm mteri mtemtik, kit sjikn dlm bentuk tbel. Contoh: Dlm menipkn Ujin Akhir Nsionl, Prmin menctt dn mengevlusi semu hsil ulngn untuk progrm diklt Mtemtik, Bhs Indonesi dn Bhs Inggris seperti pd tbel di bwh ini : Ulngn ke : I II II IV Mtemtik 7 7 Bhs Indonesi Bhs Inggris 7 7 Cttn nili Prmin dpt disjikn dlm bentuk : Kesmn Mtriks 7 8 tu dlm bentuk Mtriks A = ( ij ) berordo m n dn mtriks B = ( b ij )berordo p q diktkn sm jik dn hn jik sebgi berikut : M = p dn n = q, ng berrti mtrik A dn mtriks B berordo sm. ij bij untuk semu i dn j, ng berrti semu elemen ng seletk sm. Cttn : Elemen ng seletk dlh elemen ng mempuni nomor bris dn kolom sm. Trnspose Mtriks Trnspose rtin perputrn, ng dilmbngkn dengn A tu A T t tu A, itu menukr elemen pd bris menjdi elemen pd kolom tu dengn kt lin elemen-elemen bris dri mtriks A kn menjdi t elemen-elemen kolom mtriks A. t Secr lebih terperinci pbil ij elemen mtriks A dn pbil ditrnspose menjdi mtriks A mk elemen tersebut menjdi Contoh : Mtriks A = ' ji. t mk mtriks trnsposen dlh A = Penjumlhn Mtriks Agr pengertin dn srt penjumlhn du buh mtriks dpt diphmi dengn bik, cob simklh persoln di bwh ini : Sumdi, S.Pd., M.Si MGMP Mtemtik SMK Klten P g e

23 Dewi dn Budi dlh clon sisw teldn dri sebuh SMK. Penentun sip ng berhk mengikuti seleksi sisw teldn tingkt kbupten didsrkn pd jumlh nili mt diklt mtemtik dn bhs inggris pd semester I dn semester II. Nili kedu mt diklt ng dicpi oleh Dewi dn Budi ditmpilkn pd tbel di bwh ini : Mt Diklt Semester I Semester II Jumlh Dewi Budi Dewi Budi Dewi Budi Mtemtik Bhs Inggris Dri tbel di ts terliht bhw jumlh nili semester I dn II untuk mt diklt Mtemtik dn Bhs Inggris ng dicpi Budi lebih tinggi dibndingkn ng dicpi oleh Dewi. Dengn demikin Budi lebih berhk mengikuti seleksi sisw teldn. Bil dt tu informsi pd tbel di ts disjikn dlm bentuk mtriks, mk dpt dituliskn sebgi berikut = Selnjutn perhtikn contoh penjumlhn du mtriks di bwh ini. Dikethui du buh mtriks : A dn B. Tentukn : A + B dn B + A. Apkh : A + B = B + A Jwb :. A + B = + ( ) ( ) = = ( ) ( ) B + A = + = =. Dri jwbn terliht bhw A + B = B + A = Pengurngn Mtriks Apbil kit perhtikn, elemen-elemen ng seletk dri mtriks B dn mtriks A sling berlwnn. Mtriks B ng bersift seperti itu disebut lwn tu negtife dri mtriks A, dn ditulis sebgi -A. Dlm opersi bilngn rel, kit kethui bhw opersi pengurngn dpt ditentukn dengn menjumlhkn sebuh bilngn dengn lwn tu negtif dri sutu bilngn. Dengn menggunkn pemikirn ng serup dengn opersi pengurngn pd bilngn rel, mk opersi pengurngn dlm mtriks dpt ditentukn dengn menjumlhkn sebuh mtriks dengn lwn tu negtive dri mtriks linn. Apbil A dn B msing-msing mtriks berordo sm mk pengurngn mtriks A oleh B dpt dintkn sebgi berikut : A - B = A + (-B) Selnjutn perhtikn contoh di bwh ini : Contoh : Jik mtriks A dn mtriks B, mk : A - B = - = ( ) = 9 A +(-B) = +{- } = = 9 Contoh : Jik mtriks P dn mtriks B, A B kn sm dengn A + (-B) mk hsiln dlh : +{- } = = 9 Sumdi, S.Pd., M.Si MGMP Mtemtik SMK Klten P g e

24 Perklin Mtriks dengn sklr Dikethui Mtriks A =, mk A =. = = Perklin mtriks dengn mtriks 8 Srt du buh mtriks A dn B dpt diklikn, pbil bnk kolom mtriks A sm dengn bnk bris mtriks B. Contoh : jik dikethui mtriks-mtriks : A = b d c p r dn B = q s mk perklin mtriks A dn B dpt ditentukn dengn persmn : Invers Mtriks ordo A B = b d c p q r s p cq rcs = bpdq brds Misl A = c d b,mk invers mtriks A ditulis A ditentukn dengn : A = d b det.a c, dengn det. A = d bc Contoh : Tentukn invers mtriks A = Jwb : Det. A= A = = (-) (-). = --(-) = =. Vektor Pengertin vektor. Vektor dlh besrn ng mempuni besr dn rh.. Modulus vektor dlh besr tu pnjng vektor.. Modulus / besr / pnjng vektor =. Vektor posisi titik P (, ) dlh : OP = dlh : =. Du vektor sm bil besr dn rhn sm.. Vektor ng besrn sm dengn vektor tetpi rhn berlwnn disebut vektor negtif dri dituliskn 7. Vektor nol dlh vektor ng besrn nol dn rhn tk tentu 8. Vektor stun dri vektor dirumuskn : e = Opersi vektor Pd bngun bidng dtr, jik dikethui vektor = b dn vektor b =, mk : b k.. Perklin vektor dengn sklr k dlh : k. = k. Contoh : Sumdi, S.Pd., M.Si MGMP Mtemtik SMK Klten P g e

25 Dikethui vektor = 8. Tentuknlh :.. b. -. c. ½. Penelesin :.. =. 8 =..( 8) = b. -. = -. 8 =..( 8) = 8 c. ½. = ½. 8 =. =.( 8). Penjumlhn vektor dn vektor b dlh : + b = b b Contoh : Jik vektor c = 9 mk : c + d = 8 9. Selisih (pengurngn) vektor dn vektor b dlh : - b = b b Contoh : Jik vektor c = 8 dn vektor d = 9 mk : c - d = 8 9. Perklin sklr du vektor (. b) Perklin sklr dri du vektor = i + j + k dn vektor b = b i + b j + b k ditulis dengn :. b (dibc dot b). Jik sudut ntr vektor dn vektor b dikethui sm dengn ( 8 ), mk :. b =.b. cos Jik sudut ntr vektor dn vektor b tidk dikethui, mk :. b =.b +.b +.b Contoh : Dikethui vektor = i + j + k dn b = i + j + k, mk perklin sklr vektor dn vektor b dlh :. b =.b +.b +.b. b = b = + + = Jik dikethui = dn b = dn sudut ntr vektor dn vektor b dlh mk perklinn dlh :. b =.b. cos =.. cos =. ½ =. Sudut Antr Du Vektor Dri rumus perklin sklr du vektor. b =.b. cos mk besr sudut ntr vektor dn vektor b dpt ditentukn, itu :. b.b.b.b cos = =. b. b b b Contoh : Sumdi, S.Pd., M.Si MGMP Mtemtik SMK Klten P g e

26 Jik vektor = dn vektor b =, mk sudut ntr vektor dn vektor b dlh Penelesin :. b.b.b.b cos = =. b. b b b cos = cos = = rc. cos = Ltihn Sol.... = = = 8. Jik Mtriks A=, B =, dn C =.Mk A B C 7 dlh b. 8 7 c. d. e. 9. Dikethui A =, B = B + =, mk sm dengn. b. dn mtriks berordo () ng memenuhi persmn mtriks A c. d. e.. Invers mtriks A = dlh. b. c. d. e.. Dikethui mtriks A = dn B = mk A + B dlh (no., Un 97-98) b. 7 c. d. e.. Dikethui mtriks A = Un 98-99). b. c. 7 dn B =. Mk A.B dlh (no., d. e. 7. Dikethui mtriks A=,B= Un 99-) dn C=, mk A B+C= (no., Sumdi, S.Pd., M.Si MGMP Mtemtik SMK Klten P g e

27 Sumdi, S.Pd., M.Si MGMP Mtemtik SMK Klten P g e 7. 9 b. c. 9 d. e. 7. Jik mtriks A= dn B=, mk A B = (no., Un 99-). 7 b. 7 c. 7 d. 7 e Jik dikethui mtriks A= dn B= mk A.B = (no.,un - ). b. c. d. e Mtriks X ng memenuhi persmn. + X = 9 8 dlh (no.,un -). 7 b. c. d. e.. Dikethui mtriks A= dn B=, mk (A B) dlh (no., Un -) b. 8 7 c. 7 d. 7 e Dikethui mtriks A= dn B =. Nili A B = (no. 9, Un -). b. c. d. e.. Invers mtriks dlh (no., Un -). b. c. d. e.. Dikethui mtriks A= dn B=. Mk A B = (no. 8, Un -). 7 b. 8 8 c. 7 d. 8 e. 8

28 . Dikethui mtriks A= dn B=. Hsil dri A + B = (no., Un - ). b. c. d. e.. Bil vektor = i j + k dn vektor b= i + j k mk nili. b dlh.. - b. - c. d. e.. Sudut ng dibentuk vektor dn vektor b dlh. Jik = i + j k dn b = i + j k mk nili. b dlh.. b. c. d. e. 7. Vektor = i + j k dn vektor b= -i + j mk. Jik vektor dn vektor b siku-siku mk nili m dlh.. b. c. ½ d. ¼ e. /8 8. Jik vektor = i + j -k dn vektor b= i j + k mk b dlh.. -i - 8j - 7k b. -i - 8j - k c. -i - j - 7k d. -8i - j - 7k e. -8i - 7j - k 9. Jik vektor = i - j -k dn vektor b= -i - j + k mk b dlh.. i - j - k b. -i + j + k c. i - j + k d. i - j - k e. -i - j + k. Vektor = i + j - k, mk besr vektor =. b. c., d. e.. Besr sudut vektor dn b = 9, jik vektor = i + j k dn b = ni j + k mk nili n dlh.. - b. - c. d. e.. Dikethui du vektor i j k dn b j k. Nili dri. b dlh (no., Un -). -9 b. - c. 7 d. 8 e.. Dikethui vektor i j k dn b i j k, mk besr sudut ntr vektor dn vektor b dlh (no. 7, Un -). Dikethui vektor i j mk dn b i j k. Jik nili. b mk nili m dlh (no. 9, Un -). 8 b. 9 c. d. e. - Sumdi, S.Pd., M.Si MGMP Mtemtik SMK Klten P g e 8

29 . Mteri Tutoril UN Mtemtik MENGHITUNG KELILING DAN LUAS PERMUKAAN BANGUN DATAR, SERTA LUAS PERMUKAAN DAN VOLUME BANGUN RUANG. Menghitung keliling bngun dtr. Menghitung lus bngun dtr. Menghtung lus permukkn bngun rung. Menghitung volume bngun rung. Bngun Dtr Teorem Phtgors Dlm segitig siku-siku berlku teorem Ptgors, itu : Kudrt sisi miring sm dengn jumlh kudrt sisi-sisi sikun. b A c Teorem Phtgors : b c C B Segitig Istimew Sutu segitig siku-siku sm kki, jik sisi sikun dlh stun mk sisi miringn dlh stun. Asl hitungn berdsr teorem Phtgors : c b mk : c b A C B : c : c : c Sutu segitig siku-siku jik besr du sudut lin dlh dn dn pnjng sisi miringn stun mk sisi siku-siku di depn sudut ( AC ) besrn sm dengn setengh sisi miringn ( ), sedngkn untuk sisi siku-siku di depn sudut ( BC ) besrn dlh. A C B Rumus Keliling dn Lus Bidng Segitig K = + b + c C L = ½. ls. tinggi b t L = s.(s ).(s b).(s c) A c B Sumdi, S.Pd., M.Si MGMP Mtemtik SMK Klten P g e 9

30 dimn s = b c Persegi pnjng K =. ( p + l ) L = p. l Bujur sngkr K =. s A B A p D s D l C L = s. s = s Jjrn genjng K =. ( + b ) B A s C D L =. t t B C Belh ketupt K =. s L = ½.. b dimn : dn b digonl A B s b D s C Lng-lng K =. ( + b) L = ½. p. q dimn : A B q b D p b C q = BD p = AC Trpesium K = + b + c + d L = ½.( + b). t Lingkrn K =.. r K =. d.. dimn.r = d B c A t b r r D d C d d d Sumdi, S.Pd., M.Si MGMP Mtemtik SMK Klten P g e

31 L =. r L =.. d dimn r = ½ d Aturn Trpesoid Bngun derh bidng tk berturn dibgi menjdi beberp bgin ng sm, disebut pilh. Stu bidng pilh ABQP lusn mendekti trpesium dengn sisi sejjr O dn O sert jrkn d. Lus pilh ABQP O d. O Lus pilh BCRQ O d. O Demikin seterusn sehingg lus totl merupkn jumlh msing-msing pilh, mk lus totl dirumuskn : Lus AETP O O d. (O O O ) Aturn Mid-Ordint Seperti hln turn trpesoid, pd turn ini dimbil tengh-tengh dri msing-msing ordint. H I Lus pilh ABHG = d. m G E J K Lus pilh BCIH = d. m m m m m A d B d C d D d E Demikin seterusn sehingg lus totl merupkn jumlh msing-msing pilh, mk lus totl dirumuskn : Lus AEKG = d. ( m + m + m + m ) Aturn Simpson Aturn ini bisn dipergunkn untuk menghitung lus derh di bwh kurv f() dengn sumbu- pd intervl tertentu [, b]. Aturn Simpson dituliskn dlm rumus : d A =. (F L).E R dimn : A d : Lus derh : Lebr pilh Sumdi, S.Pd., M.Si MGMP Mtemtik SMK Klten P g e

32 F L E R : Ordint pertm : Ordint terkhir : Jumlh ordint bernomor genp : Jumlh ordint bernomor gnjil Contoh :. turn trpesoid b. turn mid-ordint c. turn Simpson Jwb :. turn trpesoid O O 8 9 L d. (O O O ). (. 8,. 8, 77 stun lus. b. turn mid-ordint L d. ( m + m + m + m + m + m ) L.. ( 7 +, +, +, +, + 8, ). ( 8, ) 77 stun lus Hitunglh lus derh di smping ini dengn menggunkn turn : ) c. turn Simpson d L. (F L).E R. (8 9).( 8).(7 ).( 7 7 ). 7, stun lus 8 9. Bngun Rung Lims Berturn Lims berturn dlh lims ng bidng lsn segi bn berturn dn proeksi titik punck ke bidng ls berimpit dengn titik tengh bidng ls. Jik T.ABCD lims segi empt berturn, mk ABCD berbentuk empt persegi pnjng. Proeksi titik T ke bidng ls ABCD dlh P berimpit dengn titik potong digonl AC dn BD. Bil AB, BC dn TP dikethui pnjngn mk dpt dihitung lus dn volume lims. D T C Lus lims = lus ABCD + lus BCT + lus ABT Volume lims = tinggi lus ls A = ABCD TP Kerucut Sutu kerucut jik dikethui jri-jri bidng lsn ( r ) dn tinggin ( t ) mk : Lus kerucut = lus lingkrn dengn jri-jri ( r ) + lus selimut kerucut. P T B t s r Sumdi, S.Pd., M.Si MGMP Mtemtik SMK Klten r P g e s s A B

33 Lus selimut kerucut dihitung dengn cr memotong sisi TB dn dibuk. Bukn kerucut berbentuk jring lingkrn dengn jri-jri ( s ) dngn dn pnjng busur r. Pnjng s (gris pelukis) = t r Perhtikn gmbr bukn di ts. Derh ng tidk terrsir dlh bukn selimut kerucut, berup sebuh juring. r Lus juring =..s s =.r.s (lus selimut kerucut) Jdi lus selimut kerucut =.r.s Lus kerucut = r + r s Volume kerucut = tinggi lus ls =.r. t Silinder Silinder (tbung) dengn jri-jri bidng ls (r) dn r tinggi (t). Bil silinder itu dibuk kn diperoleh sebuh empt persegi pnjng dengn pnjng r ( keliling ls) dn lebrn t (tinggi tbung) dn du t buh lingkrn dengn jri-jri (r). r Lus silinder = lus empt persegi pnjng + lusn lingkrn = r t + r t r r r Volume tbung = lus ls tinggi = r. t Ltihn Sol. Lus derh ng dirsir dlh ( = 7 ) A. cm B. cm C. cm D. 9 cm E. 9 cm. Lus plt besi ng dirsir dlh ( = 7 ) A. 77 cm B. 9 cm C. 98 cm D. 9 cm E. 7 cm 7 cm 7 cm cm. Pd gmbr dismping O dlh pust lingkrn dn pnjng OB = 7 cm. Jik POQ = dn = 7, mk lus juring lingkrn POQ dlh P O Q Sumdi, S.Pd., M.Si MGMP Mtemtik SMK Klten P g e

34 A. cm C. cm E. cm B. cm D. 7 cm. Sutu lims sisi berturn T.ABCD dikethui AB = cm, BC = cm dn tinggi lims TP = cm. Mk lus permukn lims dlh cm A. ( - 7) B. (7-7 C. (7 + 7) D. (+7) E. (+7). Lus permukn kerucut ng dimeter lsn cm dn tinggin cm dlh A. 7 cm B. 7 cm C. 9 cm D. 8 cm E. 7 cm. Dri lims sisi berturn T.ABCD dikethui AB = cm, BC = cm dn tinggi lims TP = cm, mk volume lims tersebut dlh A. 8 cm B. cm C. cm D. 8 cm E. 8 cm 7. Du buh lingkrn (M, R) dn (N, r) mempuni gris singgung persewkutun AB. Jik MN = cm, R = cm dn r = cm, mk pnjng gris singgung persekutun AB dlh A. cm B. cm C. cm D. cm E. 7 cm 8. Lus derh ng dirsir pd gmbr di smping dlh (no., Un ) A., cm C., cm E. 9,8 cm B. cm D. 8 cm 7 cm 7 cm, cm 9. Kleng berbentuk silinder mempuni ukurn seperti pd gmbr di smping. Jik diisi psir smpi penuh, volume psir tersebut dlh (no., Un ) A.. cm C. cm E. cm B.. cm D. cm cm, cm. T lng terbut dri seng berbentuk prism tegk segi empt dengn kedu ujung tlng tertutup tmpk seperti pd gmbr di smping. Lus permukn tlng dlh (no., Un ) A.,8 m C., m E., m B., m D., m cm cm m cm 8 cm. Volume bk mndi ng mempuni bentuk dn ukurn seperti gmbr di smping dlh (no., Un ) A. 89 liter C. liter E. 8 liter B. 7 liter D. 9 liter 98 cm 8 cm 8 cm Sumdi, S.Pd., M.Si MGMP Mtemtik SMK Klten P g e 8 cm 9 cm

35 . Lus derh ng dirsir pd gmbr berikut dlh (no., Un ) A.. cm C cm E.. cm B.. cm D.. cm cm 8 cm cm cm. Lus bhn ng diperlukn untuk membut pip slurn udr dri pelt seng berdimeter cm dn pnjng meter dlh (no., Un ) A., m B., m C., m D., m E.,8 m. Lus derh ng dirsir pd gmbr di smping dlh (no., Un. 99-) A. cm C. 9 cm E. 7 cm B. 8 cm D. cm cm cm. Volume lims pd gmbr di smping dlh (no.. Un. 99-) A. dm C. dm E. 9 dm B. 7 dm D. 8 dm dm dm 8 dm. Lus permukn sebuh kleng berbentuk tbung dengn sisi tsn tnp tutup seperti pd gmbr di smping dlh (no., Un. -) A. 8. cm D. 8.9 cm B. 9. cm E. 8. cm C..9 cm cm 7. Volum lims pd gmbr di smping dlh (no., Un. -) (sm spt no., Un 99-) A. dm D. 8 dm B. 7 dm E. 9 dm C. dm cm D cm C cm cm 8. Alt pengeruk tnh mempuni bentuk trpesium siku-siku ABCD seperti gmbr. Keliling trpesium tersebut dlh A (no. 8, Un. -) A. ( + ) cm D. ( + ) cm B. ( + ) cm E. ( + ) cm C. (8 + ) cm B D F E Sumdi, S.Pd., M.Si MGMP Mtemtik SMK Klten P g e A C

36 9. Prism ABCDEF dengn pnjng AC = cm, AB = cm dn AD = cm. Lus permukn prism dlh (no., Un. -) A. 88 cm D. cm B. cm E. 8 cm C. 8 cm. Volume kerucut pd gmbr di smping dlh (no., Un. -) A. cm D..9 cm B. 8 cm E..98 cm C.. cm cm. Gmbr di smping dlh gmbr trpesium smkki ABCD. Jik pnjng AC = cm, BF = cm dn DE = 9 cm, mk keliling trpesium ABCD dlh (no., Un. -) A. ( + ) cm D. (9 + ) cm B. (8 + ) cm E. (7 + ) cm C. ( + ) cm D 9 cm cm C C cm. Lus selimut tbung pd gmbr dismping dengn dlh (no., Un. -) A.. cm D.. cm B.. cm E..7 cm C.. cm A E F cm B cm 7 cm. Pnjng besi beton ng diperlukn untuk membut ring berdimeter cm, jik 7, Un. -) A..8 cm B. 9 cm C. m D. 8 cm E. cm dlh (no.. Dikethui trpesium ABCD dengn ukurn seperti pd gmbr, jik AE = cm, mk lus derh trpesium ABCD dlh (no., Un. -) A. cm D. cm cm B. cm E. cm C. cm A D cm C E cm B. Sutu lims berturn dengn ls berbentuk persegi pnjng, pnjng ls = cm, lebr ls = cm, pnjng rusuk tegk = cm. Volum lims tersebut dlh (no., Un. -) A..8 cm B.. cm C.. cm D.. cm E..9 cm Sumdi, S.Pd., M.Si MGMP Mtemtik SMK Klten P g e

37 7 MENERAPKAN PRINSIP/PRINSIP LOGIKA MATEMATIKA. Menentukn nili kebenrn sutu perntn mjemuk. Menentukn negsi dri sutu perntn mjemuk. Menentukn invers, konvers dn kontrposisi. Menrik kesimpuln 7. Perntn Mjemuk Konjungsi Jik du perntn digbungkn dengn kt dn mk perntn itu disebut konjungsi. Penulisn kt gbung dn pd konjungsi dilmbngkn dengn tnd :. Sedngkn tbel kebenrn perntnperntn konjungsi dismpikn dlm bentuk tbel sebgi berikut : P Q P Q P Q P Q B B B B S S tu S B S S S S Perntn mjemuk P Q diktkn benr jik kedu-dun benr dlm hl lin diktkn slh. Contoh :. P : Sing dlh bintng bus. ( B ) Q : Sing bintng pmkn dging. ( B ) P Q : Sing dlh bintng bus dn pemkn dging. ( B ) b. P : 9 dlh bilngn gnjil. ( B ) Q : 9 dlh bilngn prim. ( S ) P Q : 9 dlh bilngn gnjil dn prim. ( S ) c. P : 7 dlh bilngn genp. ( S ) Q : 7 dlh bilngn khl. ( S ) P Q : 7 dlh bilngn genp dn khl. ( S ) Disjungsi Jik du perntn digbungkn dengn kt tu mk perntn mjemuk ini disebut disjungsi. Disjungsi mempuni du rti ng berbed itu : Disjungsi Inklusif Disjungsi Eksklusif Disjungsi inklusif mempuni mkn benr jik pling sedikit stu dri perntn bernili benr. Lmbng disjungsi inklusif dlh dn tbel kebenrnn sebgi berikut : P Q P Q P Q P Q B B B B S B tu S B B S S S Perntn mjemuk P Q diktkn slh jik kedu-dun slh, dlm hl lin diktkn benr. Contoh : P : Tono pergi ke psr Q : Andi pergi ke psr P Q : Tono tu Andi pergi ke psr. Sumdi, S.Pd., M.Si MGMP Mtemtik SMK Klten P g e 7

38 Dijungsi eksklusif mempuni mkn benr jik pling sedikit stu perntn benr tetpi tidk kedudun. Disjungsi eksklusif mempuni lmbng dn tbel kebenrn dri disjungsi eksklusif sebgi berikut : P Q P Q P Q P Q B B S B S B tu S B B S S S Perntn mjemuk P Q diktkn bernili slh jik P dn Q bernili sm, dlm hl lin diktkn benr. Contoh : P : Q : P Q : Ibu sedng pergi ke psr. Ibu sedng memsk. Ibu sedng pergi ke psr tu sedng memsk. Keterngn : Contoh di ts mempuni mkn :. Ibu sedng pergi ke psr tetpi tidk sedng memsk.. Ibu tidk sedng pergi ke psr tetpi sedng memsk.. Tidk mungkin ibu sedng pergi ke psr sekligus sedng memsk begitu pul seblikn. Impliksi (kondisionl) Perntn mjemuk ng berbentuk jik P mk Q disebut impliksi tu kondisionl. Lmbng penulisn impliksi sebgi berikut : P Q tu P Q. Dri lmbng di ts bermkn :. Jik P mk Q. P hn jik Q. P srt ng cukup untuk Q. Q srt ng perlu untuk P Perntn mjemuk diktkn benr. P Q kn diktkn bernili slh jik P benr dn Q slh, dlm hl lin Tbel kebenrn dri impliksi sebgi berikut : P Q P Q P Q P Q B B B B S S tu S B B S S B Contoh : P : Achmd dlh penduduk Kbupten Klten (B) Q : Achmd dlh penduduk Provinsi Jw Tengh. (B) PQ : Jik Achmd dlh penduduk Kbupten Klten mk i penduduk Provinsi Jw Tengh (B) Bi-Impliksi Perntn mjemuk ng berbentuk P jik dn hn jik Q disebut Bi-impliksi. Penulisn Biimpliksi menggunkn lmbng P Q tu P Q. Dri lmbng di ts bermkn :. P jik dn hn jik Q.. P ekuivlen Q.. P srt ng perlu dn cukup untuk Q. Jik P dn Q du perntn ng tersusun sebgi P Q mk tbel kebenrnn sebgi berikut : Sumdi, S.Pd., M.Si MGMP Mtemtik SMK Klten P g e 8

39 P Q P Q P Q P Q B B B B S S tu S B S S S B Perntn P Q kn diktkn bernili benr jik P dn Q jik P dn Q bernili sm, dlm hl lin diktkn slh. Contoh : P : Presiden Indonesi berkedudukn di Jkrt. ( B ) Q : Jkrt dlh ibu kot Indonesi ( B ) PQ : Presiden Indonesi berkedudukn di Jkrt jik dn hn jik Jkrt dlh ibu kot Indonesi 7. Negsi Pengertin negsi Negsi tu ingkrn dlh penolkn dri perntn ng d. Jik sebuh perntn bernili slh mk negsin bernili benr dn jik perntn bernili benr mk negsin bernili slh. Penulisn lmbng negsi P dlh ~ P. Untuk menentukn ingkrn tu negsi dri sebuh perntn mk penulisn ditmbh kt tidk, tidk benr bhw, tu bukn di depn perntn. Tbel kebenrn dri negsi dlh sebgi berikut : P ~ P P ~ P S B Contoh :. P : dlh bilngn prim. ( B ) ~ P : dlh bukn bilngn prim. ( S ) b. P : Ali nk orng k. ( B ) ~ P : Ali bukn nk orng k. ( S ) Negsi Perntn Berkuntor Perntn berkuntor dlh sutu perntn ng melibtkn bnkn obek. Dikenl du jenis perntn berkuntor, itu :. Semu ( setip ) dinmkn kuntor umum ( universl ) dilmbngkn dengn ng dibc : untuk semu tu untuk setip. b. Ad dinmkn kuntor khusus ( eksistensil ) dilmbngkn dengn, ng dibc : d tu terdpt. Cttn : Perktn d berrti sekurng-kurngn stu. Jdi d dpt berrti beberp tu terdpt. Contoh :. Tentukn negsi dri perntn : Semu mobil butn mnc negr. Jwb : p : Semu mobil butn mnc negr. p : Tidk benr bhw semu mobil butn mnc negr. p : Ad mobil ng bukn butn mnc negr.. Tentukn negsi dri perntn : Ad sisw ng tidk berkc mt. Sumdi, S.Pd., M.Si MGMP Mtemtik SMK Klten P g e 9

40 Jwb : p : Ad sisw ng tidk berkc mt. p : Semu sisw berkc mt. Negsi Ingkrn Perntn Mjemuk Negsi untuk disjungsi Bentuk : (p q) = p q Contoh : p : Bsri k. q : Bsri kikir. p q : Bsri k tu Bsri kikir. (p q) : Tidk benr Bsri k tu kikir. p q : Bsri tidk k dn tidk kikir. Negsi untuk konjungsi Bentuk : (p q) = p q Contoh : p : Bsri pendek. q : Bsri gemuk. p q : Bsri pendek dn Bsri gemuk. (p q) : Tidk benr Bsri pendek dn gemuk. p q : Bsri tidk pendek tu tidk gemuk. Negsi untuk impliksi Bentuk : (p q) = p q Contoh : p : Suminten rjin mndi. q : Suminten berkulit putih. p q : Jik Suminten rjin mndi, mk Suminten berkulit putih. (p q) : Tidk benr Jik Suminten rjin mndi, mk Suminten berkulit putih. p q : Suminten rjin mndi dn Suminten tidk berkulit putih. Negsi untuk biimpliksi Bentuk : (p q) = p q = p q Contoh : p : Sugriwo mkn. q : Surn gudeg. p q : Sugriwo mkn jik dn hn jik surn gudeg. (p q) : Tidk benr Sugriwo mkn jik dn hn jik surn gudeg. p q : Sugriwo mkn jik dn hn jik surn bukn gudeg. p q: Sugriwo tidk mkn jik dn hn jik surn gudeg. Negsi dri perntn ekuivlen dengn disjungsi dri msing-msing konjungsin dn begitu seblikn. Bentuk kesetrn di ts disebut jug dengn dlil De-Morgn, itu : ~ ( P Q ) ~ P ~ Q ~ ( P Q ) ~ P ~ Q Selin dlil De-Morgn msih bnk kesetrn ng lin, misln : ~ ( P Q ) P ~ Q ~ ( P Q ) ( P ~ Q ) ( Q ~ P ) Contoh : 8 dlh bilngn genp dn bult. Negsin d kemungkinn, itu : Tidk benr bhw 8 dlh bilngn genp dn bult. tu 8 dlh bukn bilngn genp tu bukn bilngn bult. 7. Invers, Konvers dn Kontrposisi Jik impliksi P Q mk dpt dibut perntn perntn impliksi ng lin, itu :. Konvers : Q P. Invers : ~P ~Q. Kontrposisi : ~Q ~P Sumdi, S.Pd., M.Si MGMP Mtemtik SMK Klten P g e

41 Tbel kebenrn : Impliksi Konvers Invers Kontrposisi P Q ~ P ~ Q P Q Q P ~ P ~ Q ~ Q ~ P B B S S B B B B S B B S B S S B S S B B B B B B B S S B S B B S ekuivlen ekuivlen Contoh: Impliksi Konversi Inversi Kontrposisi : Jik i lpr, mk i mkn. : Jik i mkn, mk i lpr. : Jik i tidk lpr, mk i tidk mkn. : Jik i tidk mkn, mk i tidk lpr. 7. Menrik Kesimpuln Modus Ponens Dsr penelesin : Premis : p q (B) Premis : p (B) Kesimpuln : q (B) Contoh : Premis : Jik lngit mendung, mk turun hujn. Premis : Lngit mendung. Kesimpuln : Turun hujn. Modus Tolens Dsr penelesin : Premis : p q (B) Premis : q (B) Kesimpuln : p (B) Contoh : Premis : Jik lngit mendung, mk turun hujn. Premis : Tidk turun hujn. Kesimpuln : Lngit tidk mendung. Prinsip Silogisme Dsr penelesin : Premis : p q (B) Premis : q r (B) Kesimpuln : p r (B) Contoh : Premis : Jik lngit mendung, mk turun hujn. Premis : Jik turun hujn, hlmn rumh becek. Kesimpuln : Jik lngit mendung, mk hlmn rumh becek. Ltihn Sol. Ingkrn (negsi) dri perntn : Semu sisw SMK hrus melksnkn Prkerin. dlh (no., Un ). Semu sisw SMK tidk hrus melksnkn Prkerin. b. Beberp sisw SMK hrus melksnkn Prkerin. c. Tidk semu sisw SMK hrus melksnkn Prkerin. Sumdi, S.Pd., M.Si MGMP Mtemtik SMK Klten P g e

42 d. Ad sisw SMK ng tidk hrus melksnkn Prkerin. e. d sisw SMK ng hrus melksnkn Prkerin.. Kontrposisi dri perntn : Jik = mk + = dlh (no., Un ). Jik mk + d. Jik + = mk = b. Jik mk + = e. Jik + mk = c. Jik + mk. Nili kebenrn dri perntn dlm tbel berikut dlh (no., Un ) p q p q. BBSS B B b. BBSB B S c. BSBB S B d. BSBS S S e. BSSS. Invers dri perntn : Jik petni mennm pdi mk hrg bers turun dlh (no., Un ). Jik petni mennm pdi mk hrg bers tidk turun. b. Jik petni tidk mennm pdi mk hrg bers turun. c. Jik hrg bers turun mk petni mennm pdi. d. Jik hrg bers turun mk petni tidk mennm pdi. e. Jik petni tidk mennm pdi mk hrg bers tidk turun.. Nili kebenrn dri perntn dlm tebel berikut dlh (no., Un. 99-) p q p q. BSBB B B b. BBSB B S c. BSSB S B d. SBSB S S e. BBSS. Konversi dri perntn Jik < mk (-) > (-), dlh (no. 7, Un. 99-). Jik (-) > (-) mk < b. Jik (-) < (-) mk < c. Jik (-) (-) mk < d. Jik mk (-) (-) e. Jik > mk (-) < (-) 7. Negsi dri perntn : Jik uph buruh nik, mk hrg brng nik dlh (No., Un. -). Jik uph buruh tidk nik, mk hrg brng nik. b. Jik grg brng nik, mk uph buruh nik. c. Uph buruh nik dn hrg brng tidk nik. d. Uph buruh nik dn hrg brng nik. e. Hrg brng nik jik dn hn jik uph buruh nik. 8. Dikethui : P : Jik servis hotel bik, mk hotel itu bnk tmu. P : Jik hotel itu bnk tmu, mk hotel itu mendpt untung. Kesimpuln dri rgumentsi di ts dlh (No., Un. -). Jik servis hotel bik, mk hotel itu mendpt untung. b. Jik servis hotel tidk bik, mk hotel itu tidk mendpt untung. c. Jik hotel ingin mendpt untung, mk servisn bik. d. Jik hotel itu tmun bnk, mk servisn bik. e. Jik hotel servisn tidk bik, mk tmun tidk bnk. Sumdi, S.Pd., M.Si MGMP Mtemtik SMK Klten P g e

43 9. Perntn ng bernili benr dlh (No. 9, Un. -). + = dn 7 +7 = b. + = tu 7 + = c. Jik + = 7 mk dlh bilngn prim d. Jik + = mk Jkrt bukn ibukot RI e. = jik dn hn jik 8 + =. Dikethui du buh premis berikut : Premis : Jik Tufik tlit bulutngkis mk i mempuni stmin ng prim. Premis : Tufik tidk mempuni stmin prim. Kesimpuln ng dpt ditrik dri kedu premis itu dlh (No., Un. -). Tufik seorng tlet bulutngkis. b. Tufik bukn seorng tlet bulutngkis. c. Tufik mempuni stmin ng prim. d. Tufik tidk mempuni stmin ng prim. e. Tufik bukn seorng pelri.. Sutu perntn ng sesui dengn perntn : Jik And dtng, mk s tidk pergi dlh (No. 9, Un. -). Jik s pergi, mk And tidk dtng. d. Jik And tidk dtng, mk s tidk pergi. b. Jik s tidk pergi, mk And dtng. e. Jik s pergi, mk And dtng. c. Jik And dtng, mk s pergi.. Dikethui : Premis : Jik hbis dibgi, mk hbis dibgi. Premis : tidk hbis dibgi. Konklusi dri premis-premis di ts dlh (No., Un. -). hbis dibgi d. tidk hbis dibgi b. hbis dibgi e. hbis dibgi c. tidk hbis dibgi. Invers dri perntn : Jik musim hujn mk ir sungi melup dlh (No., Un. -). Jik ir sungi melup mk musim hujn. b. Air sungi melup dn musim hujn. c. Jik tidk musim hujn mk ir sungi tidk melup. d. Jik ir sungi tidk melup mk tidk musim hujn. e. Air sungi tidk melup tu tidk musim hujn.. Dikethui : P : Jik lukisn ini segilim, mk lukisn ini poligon. P : Lukisn ini bukn poligon. Kesimpuln dri rgumentsi di ts dlh (No., Un. -). Lukisn ini poligon. b. Lukisn ini bukn poligon. c. Lukisn ini poligon, tetpi bukn segilim. d. Lukisn ini bukn poligon, tetpi bukn segilim. e. Lukisn ini bukn poligon dn bukn segilim. Sumdi, S.Pd., M.Si MGMP Mtemtik SMK Klten P g e

44 8 MENERAPKAN KONSEP PERBANDINGAN TRIGONOMETRI. Mengubh koordint kutub menjdi koordint krtesius tu seblikn. Menentukn nili perbndingn trigonometri menggunkn rumus jumlh dn selisih. Menelesikn mslh ng berkitn dengn perbndingn trigonometri 8. Perbndingn Trigonometri = sisi siku-siku smping sudut ( proeksi ) = sisi siku-siku depn sudut ( proektor ) B r = sisi miring ( proektum ) Dsr perbndingn : r r. sinus = d. cosecn = r O A b. cosinus = r c. tngen = e. secn = r f. cotngen = Contoh : Sutu gris OP dengn O ( ; ) dn P ( ; ) membentuk sudut terhdp sumbu positif. Tentukn perbndingn trigonometrin. = Penelesin : r =. sinus = b. cosinus = P r c. tngen = O = 9 = d. cosecn = e. secn = f. cotngen = Tbel nili sudut istimew : Sudut : 9 Sin Cos Tg 9 Kudrn II (-, ) Kudrn I (, ) 8 / Sumdi, S.Pd., M.Si MGMP Mtemtik SMK Klten P g e Kudrn III Kudrn IV

45 dn selisih du sudut 8. Rumus trigonometri untuk jumlh du sudut. Cos (A+B) = Cos A. Cos B Sin A. Sin B. Cos (A-B) = Cos A. Cos B + Sin A. Sin B. Sin (A+B) = Sin A. Cos B + Cos A. Sin B. Sin (A-B) = Sin A. Cos B - Cos A. Sin B. TnA TnB Tn (A+B) = TnA.TnB. Tn (A-B) = TnA TnB TnA.TnB Contoh Sol : Dikethui : Sin A = untuk A sudut lncip Cos B = - untuk B sudut lncip Tentukn :. Sin (A + B) b. Cos (B A) c. Tn (A B) Jwb : C Sin A = Cos A = C Sin B = Cos B = - A B Tn A =. Sin (A+B) = Sin A. Cos B + Cos A. Sin B =. (- ) +. A B Tn B = - = - + = - b. Cos (B-A) = Cos B. Cos A + Sin B. Sin A = = - + = - c. Tn (A-B) = Tn A Tn B + Tn A. Tn B / ( /) = /.( /) = / / /8 = /8 / = /8 /8 = 8. Rumus trigonometri rngkp Sumdi, S.Pd., M.Si MGMP Mtemtik SMK Klten P g e