Logika Matematika. Modul 1 PENDAHULUAN

Transkripsi

1 Modul Logika Matematika Prof. Dr. Wahyudin M PENDAHULUAN atematika adalah suatu bidang studi yang hasil-hasilnya memberikan bantuan bersifat asti dan teliti dalam alur ikiran yang jelas. Namun demikian, sesuatu adakalanya terjadi dan tamak melanggar anggaananggaan tersebut. Perhatikan bukti berikut ini bahwa + =. Misalkan x = dan y =. Maka x 2 y 2 y = x y 2 = xy = x 2 xy (x + y)(x y) = x(x y) x + y = x ubstitusikan kembali: + = arangkali ada sesuatu yang salah atau matematika telah gagal dalam hal ini! Pencarian sebab dari masalah seerti ini memerlukan kajian argumenargumen dan logika matematis. Memerbedakan konklusi yang valid dari yang tidak valid memerlukan analisis logika yang teliti. Dari ernyataan Terdaat resiko kecelakaan jika tenaga nuklir digunakan. benarlah kita berkesimulan Agar tidak ada resiko, Anda jangan menggunakan tenaga nuklir. tetai tidak benar kita berkesimulan Tidak ada resiko jika Anda menggunakan sumber tenaga yang lainnya. Pada bagian logika ini, Anda akan memelajari banyak komonen berikir matematis: enggunaan bahasa yang teliti, makna dari generalisasi, dan kriteria untuk suatu bukti yang valid. Anda un akan melihat bagaimana cara berikir ini diterakan dalam jaringan-jaringan logika komuter dan enalaran sehari-hari. etelah menyelesaikan modul ini, diharakan Anda daat:

2 .2 fondasi dan bukti matematika. menjelaskan tentang logika; 2. menentukan bentuk-bentuk dari ernyataan logis; 3. menuliskan bentuk-bentuk dari ernyataan yang ekuivalen logis; 4. menentukan nilai kebenaran dari suatu ernyataan; 5. menentukan sifat-sifat dari ernyataan logis; 6. menggunakan substitusi untuk memverifikasi ernyataan-ernyataan tertentu; 7. menggunakan logika untuk membuktikan atau menyangkal ernyataanernyataan; 8. menentukan kebenaran dari ernyataan-ernyataan berkuantor di luar matematika; 9. menuliskan negasi dari suatu ernyataan logis;. menuliskan nilai kebenaran dari suatu ernyataan;. menuliskan tabel-tabel kebenaran untuk bentuk logis; 2. menterjemahkan jaringan-jaringan logika ke dalam bentuk-bentuk logis dan tabel-tabel inut-outut dan menentukan sinyal-sinyal outut; 3. menentukan aakah suatu argumen valid atau tidak valid; 4. menentukan aakah suatu argumen logis di luar matematika adalah valid atau tidak valid; dan 5. mengetahui jenis-jenis enalaran di dalam dan di luar matematika.

3 MPMT53/MODUL.3 Kegiatan elajar Pernyataan, Negasi, DAN, ATAU, dan Hukum De Morgan.. Pernyataan Logika dari ernyataan-ernyataan sangat membantu untuk mencari dan dalam menjelaskan masalah matematis yang dikemukakan ada bagian endahuluan. Di dalam logika dan matematika, suatu ernyataan adalah suatu kalimat yang benar atau salah tetai tidak sekaligus benar dan salah. Kalimat + = 2 adalah sebuah ernyataan karena kalimat itu benar. Kalimat + = adalah sebuah ernyataan karena kalimat itu salah. Kalimat x + = 5x bukan sebuah ernyataan karena kalimat itu benar untuk beberaa nilai x, tetai salah untuk nilai-nilai x yang lainnya. Di dalam bagian ini, jika suatu kalimat sedang dibahas tentang sifat-sifat logisnya, maka kalimat itu dicetak miring. ebarang kalimat daat diwakili oleh sebuah huruf saja, misalnya. Jika kalimat itu memuat sebuah variabel, misalnya x, maka kalimat itu daat diwakili oleh sebuah simbol, misalnya (x). ebagai contoh, misalkan (x) kalimat x + adalah bilangan bulat. Perhatikan bahwa (x) bukan suatu ernyataan karena (3): 3 + adalah bilangan bulat adalah benar sedangkan (,5):,5 + adalah bilangan bulat adalah salah. Jika kata-kata untuk semua bilangan bulat x diletakkan di awal kalimat (x), maka hasilnya Untuk semua bilangan bulat x, x + adalah bilangan bulat adalah suatu ernyataan karena kalimat itu memiliki sebuah nilai kebenaran (benar). Frasa untuk semua disebut kuantor dan diwakili dalam logika oleh simbol. Dengan simbol ini, ernyataan tadi daat ditulis bilangan bulat x, x + adalah bilangan bulat. Jika kita menetakan I untuk mewakili himunan bilangan bulat, maka ernyataan di atas daat ditulis lebih ringkas lagi. x dalam I, x + adalah bilangan bulat. Pernyataan di atas ini benar.

4 .4 fondasi dan bukti matematika Pernyataan-ernyataan yang menyebutkan bahwa suatu sifat tertentu berlaku untuk semua anggota dalam suatu himunan misalnya himunan semua bilangan bulat atau himunan semua segitiga disebut ernyataanernyataan universal. Definisi. Misalkan suatu himunan dan (x) suatu sifat yang mungkin berlaku atau tidak berlaku untuk sebarang anggota x dari. uatu ernyataan universal adalah ernyataan berbentuk Untuk semua x dalam, (x) atau secara simbolis x dalam, (x). uatu ernyataan universal adalah benar jika dan hanya jika (x) benar untuk setia anggota x dalam ; kalau tidak demikian, ernyataan itu salah. Pernyataan-ernyataan universal bersifat kuat karena ernyataanernyataan itu menyebutkan bahwa suatu sifat tertentu berlaku untuk setia anggota dalam sebuah himunan. Dengan demikian, jika Anda diberikan sebarang anggota tertentu dari himunan itu, Anda daat mendeduksi bahwa sifat tersebut berlaku untuk anggota itu. Di dalam logika formal, ini dikenal sebagai Hukum ubstitusi. Misalnya, karena hasil jumlah dari besarnya sudut-sudut dari sebarang segitiga sama dengan 8, maka hasil jumlah besarnya sudut-sudut dari segitiga AC tertentu yang ditunjukkan oleh gambar berikut ini adalah 8. egitiga AC C A Dengan gagasan-gagasan tersebut, kesalahan dalam bukti bahwa + = daat dijelaskan. Argumen itu dimulai dengan ernyataan-ernyataan yang

5 MPMT53/MODUL.5 diasumsikan sebagai benar: x = dan y =. Dari ernyataan-ernyataan ini, emat ernyataan selanjutnya daat dideduksi: y = x y 2 = xy x 2 y 2 = x 2 xy (x + y)(x y) = x(x y) Langkah selanjutnya adalah di mana kesalahan itu terjadi. Langkah ini menyaratkan justifikasi: bilangan real d, jika kedua ruas dari suatu ersamaan dibagi oleh d, maka hasilbagi-hasilbaginya adalah sama. Tetai ernyataan universal ini tidak benar untuk semua bilangan real, karena ernyataan ini tidak benar aabila d =. aat kedua ruas dibagi oleh x y, itu tidak tamak seerti embagian oleh, tetai x y = =. Hasilnya x + y = x diandang sebagai salah aabila bilangan disubstitusikan kembali untuk x dan y. uatu ernyataan universal daat melibatkan lebih dari satu variabel. ebagai contoh, misalkan (a, b) adalah kalimat (a b)(a + b) = a 2 b 2 dan misalkan R himunan bilangan real. Maka ernyataan universal Untuk semua bilangan real a dan b, (a b)(a + b) = a 2 b 2. daat ditulis secara simbolis sebagai a dan b dalam R, (a, b). Dengan menggunakan hukum substitusi, Anda daat menetakan (, 3), yang adalah ( 3)( + 3) = Anda daat juga menetakan (x, y), yang adalah x dan y dalam R, (x - y)(x + y) = x 2 y 2. Anda un daat mendeduksi ernyataan-ernyataan lainnya. Contoh. Misalkan k. Gunakan substitusi untuk menunjukkan bahwa ( ( k k )( k k ) Jawab Kalimat (a b)(a + b) = a 2 b 2 berlaku untuk untuk semua bilangan real a dan b. Dengan demikian, ada khususnya, kalimat itu berlaku aabila a k dan b k karena bila k, baik k mauun k adalah bilangan-bilangan real. Dengan menyubstitusikan untuk a dan b kita memeroleh

6 .6 fondasi dan bukti matematika (a b)(a + b) = a 2 b 2. ( k k )( k k ) = ( k 2 ) ( 2 k ) = (k + ) k Jadi, ( k k )( k k ) =. Di dalam matematika, sebuah engecualian saja, atau kontracontoh (counterexamle), bagi suatu ernyataan universal telah daat membuktikan bahwa ernyataan universal itu salah. Definisi.2 erdasarkan suatu ernyataan universal x dalam, (x). uatu nilai x dalam untuk mana (x) salah disebut kontracontoh bagi ernyataan itu. Contoh.2 Aakah ernyataan berikut benar atau salah? Untuk semua bilangan real x, x 4. Jawab Di sini (x) adalah kalimat x 4 dan meruakan himunan bilangan real. ebagai kontracontoh, misalkan x =. 2 ( 2 ) adalah ernyataan ( 2 )4. Karena 6 sehingga ernyataan yang diberikan itu salah., ( ) adalah salah, 2 Contoh.2 mengilustrasikan: mengatakan bahwa ernyataan universal: bilangan real x, x 4 adalah ekuivalen dengan mengatakan bahwa: Terdaat sedikitnya satu bilangan real x sedemikian hingga x 4 adalah benar. Frase terdaat atau ada adalah satu kuantor lainnya dan diwakili oleh simbol, dibaca ada. Pernyataan terakhir di atas daat ditulis suatu bilangan real x sedemikian hingga x 4.

7 MPMT53/MODUL.7 Pernyataan-ernyataan yang menegaskan bahwa ada sedikitnya satu anggota dari sebuah himunan untuk mana suatu sifat tertentu berlaku disebut ernyataan-ernyataan eksistensial. Definisi.3 Misalkan suatu himunan dan bahwa (x) adalah sebuah sifat yang mungkin berlaku atau tidak berlaku untuk anggota-anggota dari. Pernyataan eksistensial adalah suatu ernyataan berbentuk Terdaat x dalam sedemikian hingga (x). atau, secara simbolis, x dalam sedemikian hingga (x). uatu ernyataan eksistensial adalah benar jika dan hanya jika (x) benar untuk sedikitnya satu anggota x dalam ; jika tidak demikian, maka ernyataan itu salah. Contoh.3 Aakah ernyataan ini benar atau salah? sebuah bilangan bulat sedemikian hingga n 2 = 2. Jawab atu-satunya bilangan yang hasil kuadratnya 2 adalah 2 dan 2. Keduanya bukan bilangan bulat. Dengan demikian tidak ada bilangan bulat n sedemikian hingga n 2 = 2. Jadi ernyataan tersebut salah. Untuk membuktikan kebenaran dari sebuah ernyataan universal, Anda harus menunjukkan bahwa ernyataan itu benar untuk semua anggota dari himunan yang sesuai. Namun, untuk membuktikan kebenaran dari sebuah ernyataan eksistensial, Anda hanya erlu menemukan satu anggota dari himunan yang sesuai, yang membuat ernyataan itu benar. Misalnya, ernyataan sebuah bilangan real sedemikian hingga n 2 = 2 adalah benar karena 2 adalah bilangan real. (Tentu saja, demikian juga dengan 2 ). erikut ini ringkasan sifat-sifat dari ernyataan universal dan ernyataan eksistensial.

8 .8 fondasi dan bukti matematika ernyataan universal bentuk Untuk semua x dalam, (x). kuantor untuk semua simbol Jika benar untuk semua nilainilai x dalam benar eksistensial Terdaat suatu x dalam sedemikian hingga (x). terdaat (ada) Jika benar untuk aling sedikit satu nilai x dalam. Di dalam bahasa Indonesia, kita mungkin mengatakan satu hal yang sama dalam beberaa cara. Jika Anda misalkan himunan semua segitiga dan (x) kalimat hasil jumlah besarnya sudut-sudut x adalah 8, maka ernyataan universal x dalam, (x) daat diungkakan dalam banyak cara, antara lain: Untuk semua segitiga x, hasil jumlah besarnya sudut-sudut x adalah 8. Untuk setia segitiga x, hasil jumlah besarnya sudut-sudut x adalah 8. Hasil jumlah besarnya sudut-sudut dari sebarang segitiga adalah 8. Jika x, y, dan z adalah besarnya sudut-sudut dari sebuah segitiga, maka x + y + z = 8. eringkali, saat sebuah kalimat berbentuk Jika (x) maka q(x) memuat sebuah variabel x, kalimat itu diangga sebagai ernyataan tentang semua nilai x dalam suatu himunan (yang ditentukan oleh konteks situasi). Misalnya sebuah kalimat seerti Jika x 5, maka x 5. 3 biasanya dimaksudkan dengan arti Untuk semua bilangan real, jika, 3 x 5, maka x 5. Pernyataan-ernyataan eksistensial daat juga ditulis dalam beraneka ragam cara. Misalkan himunan semua bilangan real dan (x) kalimat x 2 = x. Pernyataan eksistensial x dalam sedemikian hinga (x) daat ditulis dalam cara-cara yang ekuivalen berikut ini. Terdaat sebuah bilangan real x sedemikian hingga x 2 = x.

9 MPMT53/MODUL.9 Terdaat aling sedikit satu bilangan real x untuk mana x 2 = x. Untuk suatu bilangan real x, x 2 = x. Untuk beberaa bilangan real x, x 2 = x. Terdaat sebuah bilangan real yang sama dengan hasil kuadratnya. eberaa ernyataan memuat untuk semua dan terdaat sekaligus. Misalnya, ifat Identitas Penjumlahan Nol daat dituliskan suatu bilangan real n sedemikian hingga bilangan real x, x + n = x. ilangan n, tentu saja, adalah. Eksistensi invers-invers enjumlahan mengunakan kuantor-kuantor tersebut dalam urutan terbalik. bilangan real x, suatu bilangan real y sedemikian hingga x + y =. Anda mengetahui bahwa y = x..2. Negasi Anda mengetahui bahwa sebuah ernyataan mestilah benar atau salah. etia ernyataan memiliki negasi (sangkalan) yang juga meruakan ernyataan. Definisi.4 Negasi dari suatu ernyataan adalah suatu ernyataan, disebut tidak, yang jika benar, secara teat menyebutkan aa yang salah bagi. Tabel kebenaran berikut ini memberikan nilai-nilai untuk tidak yang berkoresondensi dengan dua nilai kebenaran yang mungkin untuk. Pada tabel ini, mewakili benar dan mewakili salah. imbol digunakan untuk tidak. Tabel tersebut menunjukkan: bila benar, salah; bila salah, benar. Tabel. Tabel Kebenaran untuk Negasi Negasi dari sebuah ernyataan daat dibuat dengan hanya memasukkan frasa Tidak benar bahwa di awal ernyataan itu. Negasi dari : emua remaja memiliki ekerjaan.

10 . fondasi dan bukti matematika adalah ernyataan : Tidak benar bahwa semua remaja memiliki ekerjaan. eberaa orang berikiran bahwa cara lebih endek untuk menuliskan negasi dari ernyataan di atas adalah Tidak ada remaja yang memiliki ekerjaan. Tetai ini tidak benar. Perhatikan bahwa ernyataan emua remaja memiliki ekerjaan dan ernyataan Tidak ada remaja yang memiliki ekerjaan kedua-duanya salah. Jika salah satu ernyataan itu adalah negasi dari satu ernyataan lainnya, maka salah satunya mestilah benar dan satu lainnya salah. Terdaat cara-cara lain untuk menuliskan negasi. Perhatikan bahwa ernyataan yang diberikan di atas meruakan ernyataan menyeluruh yang menyebutkan sebuah sifat dari setia remaja. Jika sifat ini tidak berlaku, meski hanya bagi seorang remaja, maka ernyataan ini secara keseluruhan salah. Oleh karena itu, negasi-negasi yang benar adalah sebagai berikut. : Paling sedikit satu remaja tidak memiliki ekerjaan. atau : eorang remaja tidak memiliki ekerjaan. atau : seorang remaja yang tidak memiliki ekerjaan. Dengan menggunakan definisi kebenaran dan kesalahan dari ernyataan universal, gagasan di balik contoh ini daat digeneralisasi untuk menghasilkan teorema berikut. Teorema.. (Negasi Pernyataan Universal) Misalkan sebuah himunan dan (x) sebuah sifat yang mungkin berlaku atau tidak berlaku untuk anggota-anggota x dalam. Negasi dari adalah x dalam, (x) x dalam sedemikian hingga tidak (x). Contoh.4 Tuliskan negasi dari : emua bilangan rima adalah ganjil. Anda daat menggunakan baik endekatan formal mauun informal untuk menjawab soal ini. Jawab (formal) Di dalam cara formal, tuliskan kembali ernyataan itu sebagai

11 MPMT53/MODUL. : bilangan-bilangan rima x, x adalah ganjil. Menurut teorema itu, negasinya adalah tidak : sebuah bilangan rima x sedemikian hingga x tidak ganjil. Jawab (informal) Untuk menemukan negasi dalam cara informal, gunakan enalaran serua dengan enalaran yang mendahului teorema negasi ernyataan universal di atas. Perhatikan bahwa ernyataan menyeluruh emua bilangan rima adalah ganjil adalah salah sejauh bahwa terdaat satu bilangan rima yang tidak ganjil. Ini membawa Anda untuk menuliskan negasinya sebagai Paling sedikit satu bilangan rima adalah tidak ganjil. atau Anda daat menulis ebuah bilangan rima tidak ganjil. atau Terdaat sebuah bilangan rima yang tidak ganjil. Teorema di atas menyebutkan bahwa negasi dari ernyataan untuk semua adalah ernyataan terdaat. erua dengan itu, negasi dari ernyataan terdaat adalah ernyataan untuk semua. Perhatikan ernyataan q: Terdaat sebuah bilangan real x untuk mana x = 3. Agar ernyataan ini benar, haruslah terdaat aling sedikit satu bilangan real yang nilai mutlaknya sama dengan 3. Tetai tidak ada bilangan seerti itu: x untuk semua bilangan real x. Jadi ernyataan yang, jika benar, secara teat menyebutkan aa yang salah bagi ernyataan q di atas adalah q: Untuk semua bilangan real x, x 3. Negasi q ini adalah benar; ernyataan asli q dengan demikian salah. ecara umum, dari definisi kebenaran dan kesalahan dari suatu ernyataan eksistensial, timbul teorema berikut ini. Teorema.2. (Negasi Pernyataan Eksistensial) Misalkan sebuah himunan dan (x) sebuah sifat yang mungkin benar atau tidak benar untuk anggota-anggota x dalam. Negasi dari x dalam sedemikian bahwa (x) adalah x dalam, tidak (x). Contoh.5 Tuliskan negasi dari : eberaa segitiga adalah samakaki.

12 .2 fondasi dan bukti matematika Jawab eberaa orang berikir bahwa negasi dari ernyataan di atas adalah eberaa segitiga tidak samakaki. Tetai itu tidak benar, seerti ditunjukkan analisis teliti berikut ini. : eberaa segitiga adalah samakaki. adalah ekuivalen dengan : sebuah segitiga x sedemikian hingga x adalah samakaki. Dengan demikian, negasinya adalah : segitiga x, x tidak samakaki, yang berarti bahwa tidak ada satu un segitiga yang samakaki. Atau dalam kata-kata lain, : Tidak ada segitiga yang samakaki. Perhatikan bahwa ernyataan eberaa segitiga tidak samakaki memiliki arti bahwa kita mungkin menemukan aling sedikit satu segitiga yang tidak samakaki, yang sangat berbeda artinya dari Tidak ada segitiga yang samakaki. ekarang erhatikan masalah enulisan negasi dari ernyataan yang mengandung untuk semua dan terdaat sekaligus. Misalnya, ikirkan ernyataan : bilangan real x, sebuah bilangan real y sedemikian hingga xy =. erdasarkan Teorema Negasi Pernyataan Universal, negasinya adalah : sebuah bilangan real x sedemikian hingga tidak ( sebuah bilangan real y sedemikian hingga xy = ). erdasarkan Teorema Negasi Pernyataan Eksistensial, tidak ( sebuah bilangan real y sedemikian hingga xy = ) adalah ekuivalen dengan bilangan real y, xy. Oleh karena itu, negasi dari adalah : sebuah bilangan real x sedemikian hingga bilangan real y, xy. ecara umum, jika dan T adalah himunan-himunan dan (x, y) meruakan sifat yang mungkin benar atau tidak benar untuk anggota-anggota x dalam dan y dalam T, maka: negasi dari x dalam, y dalam T sedemikian hingga (x, y) adalah x dalam sedemikian hingga y dalam T, tidak (x, y) dan sebaliknya.

13 MPMT53/MODUL.3 Contoh.6 Tuliskanlah negasi dari ernyataan : etia orang memercayai seseorang. Jawab erikut ini jawabnya dalam kata-kata. : etia orang memercayai seseorang. : Terdaat seseorang yang tidak memercayai siaaun. Jawab 2 erikut ini sebuah analis yang lebih formal. : manusia x, seseorang y sedemikian hingga x memercayai y. : seseorang x sedemikian hingga manusia y, x tidak memercayai y. Perhatikan bahwa, secara umum, negasi dari suatu ernyataan daat dieroleh dengan membaca ernyataan itu dari kiri ke kanan dan mengubah menjadi, mengubah menjadi, dan mengubah (x, y) menjadi tidak (x, y). Kata-kata sedemikian hingga dihilangkan aabila diubah menjadi dan ditambahkan aabila diubah menjadi..3 Dan dan Atau dan Hukum De Morgan Di dalam matematika dan di dalam bahasa yang lazim, ernyataanernyataan seringkali digabungkan dengan menggunakan kata-kata dan, atau, tidak, baik... atauun, tidak... atauun. Kutian berikut ini dari instruksi-instruksi untuk chedule E (Form 4) formulir Pajak Pendaatan Federal Amerika erikat tahun 989 mengilustrasikan kombinasi-kombinasi semacam itu: ecara umum, Anda daat menggunakan bagian ini hanya jika: A C Pendaatan kotor ladang Anda tidak lebih dari $2,4, atau Pendaatan kotor ladang Anda lebih dari $2,4 dan laba bersih ladang Anda kurang dari $,6, atau Laba bersih non-ladang Anda kurang dari $,6 dan juga kurang dari dua ertiga (2/3) endaatan kotor ladang Anda. Misalkan kita menggunakan notasi berikut ini untuk ernyataanernyataan sederhana dalam instruksi-instruksi tersebut: f : endaatan kotor ladang Anda lebih dari $2,4. : laba bersih ladang Anda kurang dari $,6.

14 .4 fondasi dan bukti matematika n: laba bersih non-ladang Anda kurang dari $,6. g: laba bersih non-ladang Anda kurang dari dua ertiga endaatan kotor ladang Anda. Dalam notasi ini, instruksi-instruksi ajak endaatan itu daat dituliskan sebagai berikut. Anda daat menggunakan bagian ini hanya jika ((tidak f) atau (f dan ) atau (n dan g)). Tidaklah mengherankan jika ternyata orang-orang kebingungan oleh formulir ajak! Untunglah, tidak semua kalimat yang mengandung dan, atau, dan tidak serumit instruksi-instruksi tadi. Contoh.7 Tuliskanlah ertidaksamaan-ertidaksamaan berikut ini dengan menuliskan tia dan, atau, dan tidak yang tersiratkan ada masing-masingnya. a. x 5 b. y c. 3 z 4 Jawab a. x 5 atau x = 5 b. tidak (y ), yang ekuivalen dengan tidak (y atau y = ). eerti Anda ketahui, satu bentuk lain untuk ini adalah y. c. 3 z dan z 4. Pertidaksamaan ganda ini berarti bahwa kedua ertidaksamaan tersebut terenuhi. Nilai-nilai kebenaran dari kalimat-kalimat yang menggabungkan dua ernyataan dengan dan atau atau adalah sebagai berikut. Definisi.5 a. Kalimat dan q adalah benar bila, dan hanya bila, dan q keduaduanya benar. b. Kalimat atau q adalah benar dalam semua kasus keculai bila dan q kedua-duanya salah. Nilai-nilai kebenaran dalam definisi dan dan atau dirangkumkan dalam tabel kebenaran berikut ini.

15 MPMT53/MODUL.5 Tabel Kebenaran untuk dan q dan q Tabel Kebenaran untuk atau q atau q Dalam bahasa yang lazim, kita kadang-kadang menggunakan atau ekslusif (salah satu atau satu yang lainnya, tetai tidak kedua-duanya sekaligus) dan kadang-kadang atau inklusif (salah satu atau satu yang lainnya atau kedua-duanya sekaligus). Misalnya, jika sebuah menu kantin menyebutkan Koi atau teh gratis untuk emesanan roti bakar, Anda barangkali sebaiknya menafsirkan itu dengan arti bahwa Anda daat memeroleh koi atau teh secara gratis bersama roti bakar yang Anda esan tetai Anda akan harus membayar lebih jika Anda menginginkan keduaduanya. Itu adalah atau ekslusif. Di sisi lain, jika ramusaji kantin itu bertanya keada Anda Krim atau gula?, Anda biasanya daat mengartikan bahwa dia sedang menawarkan krim atau gula atau kedua-duanya. Itu adalah atau inklusif. Di dalam matematika, atau selalu berarti atau inklusif. uatu bentuk/eksresi logis adalah formula di mana variabel-variabel yang mewakili ernyataan-ernyataan digabungkan dalam suatu cara yang tidak ambigu dengan dan, atau, tidak, atau jika-maka. Misalnya atau (q dan r) ( atau q) dan r adalah bentuk-bentuk logis. Di sisi lain, formula atau q dan r bukan meruakan eksresi logis karena tidak jelas aakah bentuk itu berarti atau (q dan r), atau ( atau q) dan r. Jika dua bentuk logis memiliki nilai-nilai kebenaran yang sama untuk semua substitusi ernyataan untuk variabel-variabel ernyataannya, maka kita katakan bahwa dua bentuk tersebut ekuivalen logis. imbol kadangkadang digunakan untuk melambangkan ekuivalensi logis. ebagai contoh, ( ). Contoh.8 Gunakan tabel kebenaran untuk membuktikan bahwa tidak ( dan q) ) atau (tidak q). (tidak

16 .6 fondasi dan bukti matematika Jawab iakan sebuah tabel kebenaran di mana dua kolom ertamanya mendaftarkan nilai-nilai kebenaran untuk dan q dan kolom-kolom lainnya memberikan nilai-nilai kebenaran untuk dan q, tidak ( dan q), tidak, tidak q, dan (tidak ) atau (tidak q). Perhatikan contoh bagaimana mengisi kolom-kolom tersebut dalam beberaa langkah. q dan q tidak ( dan q) tidak tidak q (tidak ) atau (tidak q) ekarang gunakan tabel-tabel kebenaran untuk dan dan tidak untuk mengisi tiga kolom lain seerti tamak di bawah ini. q dan q tidak ( dan q) tidak tidak q (tidak ) atau (tidak q) Dari kolom-kolom yang telah diisi seerti di atas, Anda daat mengisi dua kolom lainnya yang masih tersisa, seerti tamak di bawah ini. q dan q tidak ( dan q) tidak tidak q (tidak ) atau (tidak q) Nilai-nilai kebenaran sama Karena nilai-nilai kebenaran yang berkoresondensi dalam kolom tidak ( dan q) dan kolom (tidak ) atau (tidak q) dalam tabel di atas adalah sama, maka dua bentuk logis tersebut adalah ekuivalen logis. Pokok enting tentang bukti tabel kebenaran Contoh.8 adalah bahwa bukti tersebut tidak bergantung ada ernyataan-ernyataan sesifik yang digunakan untuk menggantikan dan q. Contoh.8 membuktikan yang ertama dari dua hasil yang disebut Hukum-hukum De Morgan.

17 MPMT53/MODUL.7 Hukum De Morgan Untuk semua ernyataan dan q.. ( dan q) ( ) atau ( q) 2. ( atau q) ( ) dan ( q). Augustus Louis De Morgan (86-87) adalah seorang matematikawan dan logikawan terkenal. Pernyataan-ernyataan lisan rinsi-rinsi logika yang disebutkan oleh hukum () dan hukum (2) itu telah dikenal setidaknya ada awal abad ke-4. Namun demikian, De Morgan adalah orang ertama yang menyatakannya secara simbolis, dalam bukunya Formal Logic yang diterbitkan ada tahun 847. Ungkaan sehari-hari baik a atauun b seringkali berarti atau ekslusif, yaitu (a atau b) dan tidak (a dan b). Untuk menghindari ambiguitas (kebergandaan-makna), untuk atau ekslusif kita katakan baik a atauun b tetai tidak sekaligus kedua-duanya. Perhatikan bahwa dalam bahasa yang lazim, frasa tidak a atauun b berarti (tidak a) dan (tidak b). Ekuivalensi logis ini meruakan yang kedua dari Hukum De Morgan. Contoh.9 berikut ini menggunakan Hukum-hukum De Morgan untuk menganalisis sebuah ertidaksamaan ganda. Contoh.9 Misalkan, keceatan L yang dierbolehkan oleh hukum (dalam km er jam) di sebuah jalan raya antar rovinsi adalah 6 L 8. Gunakan Hukum De Morgan untuk mendeskrisikan keceatan-keceatan yang melanggar hukum. Jawab Keceatan-keceatan yang melanggar hukum adalah negasi nilai L yaitu: (6 L 8) (6 L dan L 8) Angga 6 L sebagai, L 8 sebagai q, dan terakan Hukum De Morgan yang ertama: (6 L) atau (L 8) 6 L atau L 8 Jadi Anda melanggar hukum keceatan di jalan raya rovinsi tersebut jika keceatan Anda kurang dari 6 atau lebih dari 8 km er jam.

18 .8 fondasi dan bukti matematika LATIHAN Untuk memerdalam emahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut!. Pernyataan berikut adalah benar: bilangan-bilangan real a dan b, (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2. Gunakan substitusi, misalkan a = 75 dan b = 2 untuk mendeduksi bahwa ( ) 2 = ifat Identitas Perkalian dari satu adalah: sebarang bilangan real dikalikan oleh sama dengan bilangan itu. Tuliskanlah sifat ini dengan menggunakan simbol dan. 3. enar atau alah? bilangan-bilangan real a dan b, ersamaan ax = b memiliki teat satu enyelesaian. Jika salah, berikan sebuah kontracontoh. 4. Tuliskan negasi dari ernyataan berikut: suatu fungsi f sedemikian hingga bilangan-bilangan real a dan b, f(a+ b) = f(a) + f(b). 5. Perhatikan ernyataan : etia orang mencintai seseorang. a. Tuliskan ernyataan tersebut dalam bentuk?,? sedemikian hingga?. b. Tuliskanlah negasi dari ernyataan di atas. 6. Perhatikan ernyataan berikut ini. bilangan real x, suatu bilangan real y sedemikian hingga tan x = y. a. Tuliskan negasi dari ernyataan ini. b. Manakah yang benar: ernyataan tersebut atau negasinya? Justifikasi jawaban Anda. 7. a. Lengkailah tabel kebenaran berikut ini. q dan q atau ( dan q)

19 MPMT53/MODUL.9 b. Dalam jawaban Anda untuk soal (a) di atas, dua dari kolom-kolom itu mestilah sama. Aakah arti dari kesamaan tersebut? 8. Gunakan salah satu dari Hukum-hukum De Morgan untuk menuliskan negasi dari: aya ingin bubur ayam atau saya ingin nasi goreng untuk saraan agi. 9. Gunakanlah salah satu Hukum De Morgan untuk menuliskan negasi dari 3 x 4. Petunjuk Jawaban Latihan. (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 berlaku untuk semua bilangan real a dan b. Karena 75 dan 2 adalah real, maka relasi itu berlaku bila a = 75 dan b = 2. Jadi, ( ) 2 = ( 75 ) ( 2 ) 2 = = suatu bilangan real sedemikian hingga bilangan real x, x = x. 3. alah; misalnya, jika a = b =, maka terdaat lebih dari satu enyelesaian untuk x, jika a =, b =, maka tidak terdaat enyelesaian untuk x. 4. fungsi f, bilangan-bilangan real a dan b sedemikian hingga f(a + b) f(a) + f(b). 5. a. orang x; seseorang y; x mencintai y b. seseorang x sedemikian hingga orang y, x tidak mencintai y. 6 a. bilangan real x sedemikian hingga bilangan real y, tan x y. 7. a. q dan q b. atau ( dan q) atau ( dan q)

20 .2 fondasi dan bukti matematika 8. aya tidak ingin bubur ayam dan saya tidak ingin nasi goreng untuk saraan agi. 9. (3 x 4) (3 x dan x 4) (3 x) atau (x 4) 3 x atau x 4. RANGKUMAN. Pernyataan-ertanyaan universal menyebutkan bahwa semua anggota dari suatu himunan memiliki suatu sifat tertentu, sedangkan ernyataanernyataan eksistensial menyebutkan bahwa sekurang-kurangnya satu anggota dari suatu himunan memiliki suatu sifat tertentu. 2. Menuliskan negasi dari suatu ernyataan artinya adalah mengungkakan bentuk salah (kebalikan) dari ernyataan itu. Negasi dari ernyataan universal adalah ernyataan eksistensial, dan negasi dari ernyataan eksistensial adalah ernyataan universal. 3. Kata-kata dan, atau, dan tidak sangat enting dalam studi logika. Hukum-hukum De Morgan daat digunakan untuk membuat negasi dari bentuk-bentuk logis yang memuat dan dan atau. TE FORMATIF elesaikan oal-soal tes berikut ini!. Temukan sebuah kontracontoh untuk menunjukkan bahwa ernyataan berikut ini salah: Untuk semua bilangan real x terdaat suatu bilangan real y sedemikian hingga x y =. 2. Tuliskanlah negasi dari ernyataan berikut: suatu fungsi f sedemikian hingga bilangan-bilangan real a dan b, f(a + b) = f(a) + f(b). 3. Diketahui ernyataan suatu bilangan real ositif x sedemikian hingga log x =. Tuliskanlah negasinya, kemudian tentukan aakah ernyataan itu atau negasinya yang benar?

21 MPMT53/MODUL.2 4. Konstruksikanlah sebuah tabel kebenaran untuk menunjukkan semua nilai kebenaran yang mungkin dari bentuk dan ~q. 5. Aakah atau ekslusif atau atau inklusif yang dimaksudkan dalam kutian dari enulis Edith Wharton berikut ini: Terdaat dua cara menyebarkan cahaya: menjadi lilin atau cermin yang memantulkannya. Cocokkanlah hasil jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif yang terdaat ada akhir modul ini. Hitunglah jumlah jawaban Anda yang benar. (Tia soal memiliki total bobot nilai. Jika sebuah soal terdiri atas beberaa butir ertanyaan, maka bobot nilai dari satu butir ertanyaan adalah.) Kemudian gunakan rumus di bawah jumlah butir ertanyaan dalam soal ini untuk mengetahui tingkat enguasaan Anda terhada materi Kegiatan elajar. Rumus: Jumlah jawaban Anda yang benar Tingkat Penguasaan = % 5 Arti tingkat enguasaan yang Anda caai: 9% - % = aik sekali 8% - 89% = aik 7% - 79% = Cuku - 69% = Kurang Jika Anda mencaai tingkat enguasaan 8% ke atas, maka Anda daat meneruskan dengan Kegiatan elajar 2. agus! Jika tingkat enguasaan Anda masih di bawah 8%, maka Anda harus mengulangi Kegiatan elajar, terutama bagian yang belum Anda kuasai.

22 .22 fondasi dan bukti matematika Kegiatan elajar 2 Jaringan Logika Komuter, Pernyataan JIKA MAKA, dan Argumen yang Valid.4 Jaringan Logika Komuter Pikirkan tentang lamu di langit-langit sebuah mobil berintu dua. Kecuali Anda telah mengubah setelan sakelarnya, lamu itu akan menyala saat ada intu mobil itu yang terbuka dan akan mati saat kedua intu tertutu. Tabel berikut ini menunjukkan bilamana lamu menyala atau mati berdasarkan osisi dari kedua intu mobil tersebut. Pintu Pintu 2 Lamu terbuka terbuka tertutu tertutu terbuka tertutu terbuka tertutu menyala menyala menyala mati Tabel ini tentu tidak asing lagi bagi Anda. arangkali demikian, karena strukturnya sama dengan tabel kebenaran untuk atau, dengan kata-kata terbuka dan menyala menggantikan dan kata-kata tertutu dan mati menggantikan. Ini menandakan bahwa logika dan elektronika berhubungan sangat dekat, dan memang demikian. etia kali Anda menekan tombol ada kalkulator, atau mengetikkan erintah ada komuter, atau menekan sakelar lamu, Anda sedang mengaktifkan gerbang logika (logic gate) ertama dalam suatu sistem elektronik. Mikrorosesor daat memiliki jutaan gerbang logika. Gerbang-gerbang ini saling-sambung sehingga daat mentransmisikan arus listrik untuk menghasilkan outut-outut seerti tamilan yang Anda lihat setelah menginut berbagai kunci ada kalkulator. ebagai bagian dari erangkat keras komuter, gerbang-gerbang logika memiliki beraneka ragam bentuk. Anda tidak harus mengetahui bagaimana konstruksi fisik dari gerbang-gerbang ini untuk daat memahami bagaimana mereka berfungsi, dan Anda daat memikirkan gerbang-gerbang logika itu sebagai alat-alat listrik dengan kabel-kabel inut dan outut. ebuah model gerbang logika diilustrasikan sebagai berikut.

23 MPMT53/MODUL.23 Gerbang logika Kabel inut Kabel inut Kabel outut Kabel-kabel inut dan outut membawa sinyal-sinyal listrik yang berada dalam salah satu dari dua keadaan yang saling ekslusif. Anda daat ikirkan dua keadaan itu sebagai arus ON atau arus OFF atau sebagai voltase tinggi atau voltase rendah. Demi kemudahan, kita sebut saja keadaan sinyal ini sebagai atau. Ini berkoresondensi, berturut-turut, dengan enar dan alah dalam logika. enar adalah adalah ON; alah adalah adalah OFF. ebuah gerbang logika bertindak ada sinyal-sinyal inut yang diterimanya untuk menghasilkan sebuah sinyal inut ( atau ). Oleh karena itu, Anda akan mengetahui secara teat bagaimana suatu gerbang logika berfungsi setelah Anda mengetahui keadaan sinyal outut yang dihasilkan untuk setia kombinasi yang mungkin dari keadaan-keadaan sinyal inut. Informasi ini daat dicantumkan dengan mudah dalam tabel inut-outut untuk gerbang logika tersebut. erikut ini diberikan tabel untuk sebuah gerbang logika yang berbeda dari gerbang logika untuk situasi intu mobil. Inut q Outut Tabel di atas memiliki dua kolom inut yang diberi nama dan q, sehingga Anda daat menggambarkan gerbang logika itu sebagai q outut Tabel tadi memberi tahu Anda bahwa gerbang logika akan menghasilkan sebuah sinyal outut saat kabel inut membawa sinyal dan kabel inut q membawa sebuah sinyal. Untuk sebarang dari tiga kombinasi lainnya yang mungkin dari keadaan-keadaan sinyal inut, tabel itu memberi tahu Anda bahwa gerbang logika akan menghasilkan sebuah sinyal outut.

24 .24 fondasi dan bukti matematika Dengan demikian, tabel inut-outut itu memberi tahu Anda secara teat aa yang akan dilakukan oleh gerbang logika dengan sebarang kombinasi yang mungkin dari sinyal-sinyal inut. Tiga gerbang logika berikut ini sedemikian bersifat mendasar hingga diberi simbol-simbol baku yang khusus. Nama Gerbang imbol Gerbang Tabel Inut-Outut Outut TIDAK TIDAK DAN DAN q Outut ATAU ATAU q Outut Perhatikan bahwa a. sinyal outut gerbang TIDAK (atau, NOT) adalah jika sinyal inutnya, dan bahwa sinyal oututnya jika sinyal inutnya ; b. sinyal outut gerbang DAN (atau, AND) adalah jika kabel inut dan kabel inut q membawa sebuah sinyal. Jika tidak demikian, maka sinyal oututnya adalah ; dan c. sinyal outut gerbang ATAU (atau, OR) adalah jika kabel inut atau kabel inut q (atau kedua-duanya) membawa sebuah sinyal. Jika tidak demikian, maka sinyal oututnya. Jika Anda belum juga menyadari ini, Anda daat melihat bahwa tabeltabel inut-outut untuk gerbang-gerbang logika TIDAK, DAN, dan ATAU ada dasarnya sama dengan tabel-tabel kebenaran untuk tidak, dan q, dan atau q. atu-satunya erbedaan adalah hal enggunaan notasi: dan digunakan, berturut-turut, sebagai engganti dan, dan kolom terakhir

25 MPMT53/MODUL.25 diberi nama dengan kata outut menggantikan bentuk logis yang sesuai untuknya. Gerbang-gerbang TIDAK, DAN, dan ATAU biasanya disambungkan sedemikian sehingga sinyal-sinyal outut dari beberaa gerbang itu menjadi sinyal-sinyal inut bagi gerbang-gerbang lainnya. Ini disebut suatu jaringan (network) gerbang logika. Hubungan di antara tabel-tabel inut-outut untuk gerbang-gerbang TIDAK, DAN, dan ATAU dan tabel-tabel kebenaran untuk tidak, dan q, dan atau q berarti bahwa untuk tia jaringan gerbanggerbang logika, Anda daat mengkonstruksi suatu bentuk logis yang berkoresondensi adanya. elain itu, Anda un daat menggunakan logika untuk menentukan tindakan dari jaringan manaun. Contoh. Konstruksilah suatu tabel inut-outut yang berkoresondensi dengan jaringan berikut ini: q DAN TIDAK Jawab Karena jaringan ini memiliki dua kabel inut yang bernama dan q, maka tabel inut-outut harus mencantumkan semua kombinasi keadaan sinyal yang mungkin untuk, q. q inyal-sinyal inut terlebih dulu melewati gerbang DAN yang oututnya masuk ke gerbang TIDAK. Penelusuran tia asang sinyal inut melalui jaringan ini memungkinkan Anda untuk menentukan sinyal outut yang teat. Jika adalah dan q adalah, maka outut dari gerbang DAN adalah juga. Gerbang TIDAK membalikkan nilai ini dan memberikan outut akhir. aris-baris lainnya ada tabel ini diselesaikan dalam cara serua itu. q DAN q outut jaringan TIDAK ( DAN q)

26 .26 fondasi dan bukti matematika Periksa irkuit ini mesti mewakili tabel kebenaran untuk tidak ( dan q). q dan q tidak ( dan q) Ingat kembali bahwa dua bentuk logis disebut ekuivalen logis jika nilainilai kebenarannya selalu sama. ama halnya, jika kolom-kolom outut dari tabel-tabel inut-outut untuk dua jaringan adalah identik, maka jaringanjaringan itu menghasilkan outut yang sama untuk tia kombinasi sinyalsinyal inut, dan dengan demikian jaringan-jaringan itu bersifat ekuivalen fungsional. imbol daat digunakan di antara jaringan-jaringan yang ekuivalen fungsional sebagaimana digunakan di antara bentuk-bentuk yang ekuivalen logis. Contoh. mengilustrasikan enggunaan jaringan-jaringan yang ekuivalen fungsional untuk mewakili salah satu Hukum De Morgan dalam kaitannya dengan jaringan: tidak ( dan q) (tidak ) atau (tidak q). Contoh. uktikanlah kebenaran versi jaringan dari salah satu Hukum De Morgan berikut ini: TIDAK q DAN TIDAK ATAU q TIDAK Jawab uatlah tabel inut-outut untuk tia ruas ekuivalensi di atas untuk menunjukkan bahwa tia kombinasi sinyal-sinyal inut yang mungkin memberikan outut yang sama. erikut ini tabel untuk ruas kanan. q TIDAK TIDAK q (TIDAK ) ATAU (TIDAK q)

27 MPMT53/MODUL.27 Nilai-nilai di kolom aling kanan adalah identik dengan nilai-nilai yang diselesaikan dalam Contoh. untuk jaringan di sebelah kiri. Pada Contoh. dan Contoh., kita mulai dengan sebuah jaringan dan mengkonstruksi tabel inut-outut yang berkoresondensi dengannya. Kita juga mungkin memulai dengan sebuah jaringan dan menemukan bentuk logis yang berkoresondesi dengannya. ebagian orang melakukan ini dengan menelusuri jaringan dari outut menuju ke inut dariada dengan bekerja dari inut ke outut. Contoh.2 Tentukanlah bentuk logis yang berkoresondensi dengan jaringan berikut ini. TIDAK DAN TIDAK q Jawab acalah jaringan itu dari kanan ke kiri dan buatlah bentuk logisnya berdasarkan enelusuran Anda. Gerbang TIDAK membalikkan outut dari bagian sebelumnya. Dengan demikian, TIDAK berkoresondensi dengan tidak ( ). Juga TIDAK DAN berkoresondensi dengan (tidak ) dan q. q Jadi keseluruhan jaringan itu berkoresondensi dengan ((tidak ) dan q). Jawab 2 acalah jaringan itu dari kiri ke kanan, dengan menyiman tia langkah yang lebih awal dalam tanda kurung. Komonen ertamanya adalah Komonen keduanya adalah tidak (tidak ) dan q Komonen terakhirnya adalah tidak ((tidak ) dan q)

28 .28 fondasi dan bukti matematika ifat-sifat aljabar dari dan, atau, dan tidak ertama kali disebutkan dan dikaji oleh George oole (85-864) dalam bukunya An Investigation of the Laws of Thought, yang diublikasikan ada tahun 853. Meski oole berasal dari keluarga miskin dan hanya memeroleh endidikan formal selama tiga tahun, tetai dia berhasil menjadi cendikiawan brilian yang tidak saja menyumbang engetahuan baru ke dalam beberaa bidang matematika tetai juga mengajarkan bahasa Latin dan Yunani. oole mengungka bahwa oerasi-oerasi logis dan, atau, dan tidak daat membentuk suatu sistem aljabar. Penemuan ini telah diterakan ada situasi-situasi lain yang melibatkan dua nilai seerti ON-OFF, YE-NO, -. Jika nilai-nilai itu daat digabungkan dengan menggunakan oerasi-oerasi yang serua dengan dan, atau, dan tidak, maka sistemnya disebut aljabar oole. aat ini, aljabar oole dalam elektronika meruakan alikasi enting dari matematika. Aljabar ini digunakan untuk merancang sistem-sistem mikrorosesor. Alikasi-alikasi ertama aljabar oole ke dalam analisis jaringan-jaringan dilakukan oleh A. Nakashima ada tahun 937 dan Claude hannon ada 938. idang ini terus menjadi fokus dari enelitian aktif oleh ara insinyur, ilmuwan komuter, dan matematikawan..5 Pernyataan Jika-maka Pernyataan jika-maka daat ditemukan di mana-mana. aik di dalam mauun di luar matematika, ernyataan jika-maka hadir aabila sebuah ernyataan diandang muncul dari satu ernyataan lainnya. Di dalam matematika, ernyataan jika-maka membentuk landasan bagi bahasa deduksi dan bukti. Di dalam bagian ini, kita meninjau kembali bahasa ernyataan jika-maka yang telah ernah Anda elajari dan menerakan logika formal dari bagian-bagian sebelum ini ke dalam ernyataan semacam itu. uatu ernyataan berbentuk Jika maka q disebut ernyataan kondisional/bersyarat, dilambangkan dengan q, dan dibaca menyimulkan q. Pernyataan disebut hiotesis atau anteseden, dan ernyataan q disebut konklusi atau konsekuen, seerti dalam contoh ini. Jika suatu segiemat adalah ersegianjang, maka diagonal-diagonalnya saling membagi dua sama anjang. Hiotesis atau anteseden Konklusi atau konsekuen agaimanakah nilai kebenaran q ditentukan oleh nilai-nilai kebenaran dari dan q? Contoh berikut ini akan membantu Anda untuk menjawab ertanyaan tersebut.

29 MPMT53/MODUL.29 Misalkan (x) q(x) adalah ernyataan kondisional Jika x 8, maka x Di sini, (x): x 8 dan q(x): x Untuk semua bilangan real x, ernyataan kondisional ini benar. ekarang kita lihat nilai-nilai kebenaran aa saja yang mungkin untuk (x) dan q(x). Jika x 8, maka baik anteseden mauun konsekuennya benar. Misalnya, bila x = 9, (x) adalah 9 8 dan q(x) adalah Jika x 8, maka antesedennya salah dan konsekuennya benar. Misalnya, bila x =, (x) adalah 8 dan q(x) adalah Jika 8 x 8, maka baik anteseden mauun konsekuennya salah. Misalnya, bila x = 7, maka (x) adalah 7 8 dan q(x) adalah Jadi, dalam sebuah ernyataan kondisional yang benar, kita mungkin mendaatkan nilai-nilai kebenaran berikut ini untuk anteseden dan konsekuen: anteseden konsekuen Perhatikan bahwa sebuah ernyataan kondisional yang benar daat memiliki sebuah anteseden yang salah. Penalaran ini menunjukkan bahwa satu-satunya kombinasi nilai-nilai kebenaran yang tidak daat dimiliki oleh ernyataan kondisional yang benar adalah anteseden yang benar dan konsekuen yang salah. ekarang erhatikan ernyataan kondisional berikut Jika x 8, maka x 2. Aakah terdaat nilai x yang membuat bentuk kondisional ini meruakan ernyataan yang salah? Tentu saja, jawabannya ya. Misalnya, jika x = 9, maka antesedennya adalah 9 8, adalah benar, dan konsekuennya 9 2, adalah salah. Hasil dari analisis tersebut memberika definisi sebagai berikut. Definisi.8 Misalkan dan q mewakili ernyataan-ernyataan. Pernyataan kondisional q adalah salah bilamana benar dan q salah benar dalam semua kasus lainnya.

30 .3 fondasi dan bukti matematika eerti halnya dengan tidak, dan, dan atau, definisi ini daat dirangkum dalam sebuah tabel kebenaran yang menunjukkan nilai-nilai kebenaran untuk jika maka q yang berkoresondensi dengan semua emberian nilai-nilai kebenaran yang mungkin untuk dan q. Tabel Kebenaran untuk Pernyataan Kondisional q jika maka q q Contoh.3 Dosen Anda menjanjikan yang berikut ini di awal erkuliahan, Jika total skor-skor tes Anda lebih dari 5, maka Anda akan mendaatkan nilai A untuk mata kuliah ini. Pada akhir masa erkuliahan, total skor Anda adalah 485 dan dosen Anda memberi Anda nilai A. Aakah dosen tersebut telah memenuhi janjinya? Jawab Janji adalah suatu ernyataan kondisional. Anteseden ada contoh di atas ternyata salah (485 tidak lebih dari 5) dan konsekuennya benar (Anda mendaatkan A). Dengan kombinasi ini, ernyataan kondisional tersebut benar. Jadi, kita akan katakan bahwa dosen Anda tersebut tidak mengingkari janjinya dan, dengan demikian, kita daat katakan bahwa dia memenuhi janjinya. Negasi dari sebuah ernyataan kondisional mestilah benar bila ernyataan kondisional itu salah. Hanya dalam baris kedua dari tabel kebenaran itu q adalah salah. Ini terjadi bila benar dan q salah. Namun demikian, q adalah salah bila tidak q adalah benar. Oleh karena itu, kita memeroleh teorema berikut ini. Teorema.3 (Negasi Pernyataan Kondisional ederhana): Negasi dari ernyataan kondisional jika maka q adalah dan (tidak q). Dituliskan secara simbolis: ( q) dan ( q) Perhatian! Negasi dari suatu ernyataan kondisional bukan meruakan suatu ernyataan kondisional lainnya, melainkan suatu ernyataan-dan.

31 MPMT53/MODUL.3 Contoh.4 Tulislah negasi dari ernyataan kondisional, Jika Tino tinggal di andung, maka Tino tinggal di Jawa arat. Jawab Misalkan : Tino tinggal di andung, dan q: Tino tinggal di Jawa arat. Pernyataan yang diberikan itu adalah ernyataan kondisional berbentuk jika maka q. Oleh karena itu, negasinya berbentuk dan (tidak q), atau Tino tinggal di andung dan Tino tidak tinggal di Jawa arat. alah satu jenis ernyataan yang aling enting dalam matematika adalah bersifat kondisional dan universal. entuk dari jenis ernyataan tersebut adalah x dalam, jika (x), maka q(x). Misalnya, ernyataan kondisional universal berikut ini adalah benar. bilangan real ositif x, jika x 2 9, maka x 3. Tetai erluasan domain x menjadi himunan semua bilangan real menjadikan ernyataan tersebut salah. bilangan real x, jika x 2 9, maka x 3. Alasan mengaa ernyataan yang kedua di atas salah adalah bahwa terdaat nilai-nilai x (misalnya, x = 4) untuk mana anteseden benar (( 4) 2 9 adalah benar) dan konsekuennya salah ( 4 3 adalah salah). Karena definisi dari kebenaran dan kesalahan ernyataan kondisional, maka ernyataan kondisional tersebut salah untuk nilai-nilai ini, dan oleh karena itu, ernyataan kondisional tersebut tidak benar bilangan real x. erkenaan dengan ernyataan-ernyataan universal yang lebih sederhana, 4 disebut sebuah kontracontoh (counterexamle). Teorema berikut menyebutkan gagasan ini secara simbolis: suatu ernyataan kondisional universal adalah salah jika dan hanya jika terdaat suatu kontracontoh. Teorema.4 (Negasi Pernyataan Kondisional Universal) Misalkan suatu himunan dan misalkan (x) dan q(x) ernyataanernyataan yang mungkin berlaku atau tidak berlaku untuk elemenelemen x dalam. Negasi dari adalah x dalam, jika (x) maka q(x) x dalam sedemikian hingga (x) dan tidak q(x)

32 .32 fondasi dan bukti matematika Contoh.5 Perhatikan ernyataan berikut: bilangan-bilangan real a dan b, jika a b maka cos a cos b. a. Tuliskan negasi dari ernyataan tersebut. b. Aakah ernyataan tersebut benar atau salah? Jika salah, berikan sebuah kontracontoh. Jawab a. Negasi dari ernyataan tersebut adalah b. bilangan real a dan b sedemikian hingga a b dan cos a < cos b. Pernyataan tersebut salah. ebagai kontracontoh, misalkan a= dan b= π 2 maka a b karena 2 π, tetai cos a < cos b karena cos a = cos = dan cos b = cos 2 π =, sehingga <. Kadang-kadang, ernyataan kondisional dibuktikan dengan menetakan kontraositifnya. Definisi.9 Kontraositif dari q adalah q. Kontraositif dari x dalam, jika (x) maka q(x) adalah x dalam, jika q(x) maka (x). Tabel di bawah ini menunjukkan bahwa nilai-nilai kebenaran dari ernyataan kondisional q dan kontraositifnya ( q) ( ) adalah sama. q q ~q ~ (~q) (~) Nilai-nilai kebenaran sama Tabel kebenaran di atas membuktikan teorema berikut ini.

33 MPMT53/MODUL.33 Teorema.5 Kontraositif uatu ernyataan kondisional dan kontraositifnya adalah ekuivalen logis. Yaitu, keduanya selalu memiliki nilai kebenaran yang sama. Contoh.6 Tuliskan kontraositif dari ernyataan berikut dan tentukan aakah kontraositif itu benar atau salah: bilangan real a, jika a 2 =, maka a 6 =. Jawab Kontraositifnya adalah bilangan real a, jika a 6, maka a 2. Karena ernyataan aslinya benar, maka kontraositifnya un benar. Dengan mengambil negasi atau menukarkan anteseden dan konsekuen dari suatu ernyataan kondisional, tetai bukan melakukan kedua-duanya sekaligus, dua ernyataan kondisional lainnya daat dimunculkan. Definisi. Konvers dari q adalah q. Konvers dari x dalam, jika (x) maka q(x) adalah x dalam, jika q(x) maka (x) Invers dari q adalah ~ ~q. Invers dari x dalam, jika (x)maka q(x)adalah x dalam, jika ~(x)maka ~q(x) Konvers dan invers mungkin tamak miri dengan kontraositif, tetai, tidak seerti kontraositif, baik konvers mauun invers tidak mesti memiliki nilai kebenaran yang sama dengan nilai kebenaran dari ernyataan aslinya. Contoh.7 Tentukanlah konvers dan invers dari ernyataan kondisional universal Jawab fungsi-fungsi f, jika f adalah fungsi kosinus, maka f() =. Konversnya adalah fungsi-fungsi f, jika f() =, maka f adalah fungsi kosinus. Inversnya adalah fungsi-fungsi f, jika f bukan fungsi kosinus, maka f().

34 .34 fondasi dan bukti matematika Pernyataan kondisional asli di atas adalah benar karena cos =. Tetai konversnya tidak benar. Terdaat banyak fungsi f dengan f() = yang bukan fungsi kosinus. alah satunya adalah fungsi f yang diberikan oleh f(x) = 3x + untuk semua bilangan real x. Fungsi tersebut juga meruakan kontracontoh yang menunjukkan bahwa invers dari ernyataan kondisional asli di atas un tidak benar. aat diketahui ernyataan-ernyataan dan q, jika dan hanya jika q berarti bahwa (jika maka q) dan (jika q maka ) atau, secara simbolis, q dan q. Ini biasanya ditulis q dan disebut ernyataan bikondisional. emua definisi adalah ernyataanernyataan bikondisional. Contoh.8 erikut ini adalah definisi logaritma dengan bilangan okok 2. Uraikan ernyataan bikondisional ini menjadi dua ernyataan kondisionalnya. bilangan real ositif x, 2 log x = y jika dan hanya jika 2 y = x. Jawab bilangan real ositif x, jika 2 log x = y maka 2 y = x. bilangan real ositif x, jika 2 y = x maka 2 log x = y..6 Argumen yang Valid Penguasaan logika daat membantu Anda dalam membuat inferensi atau induksi yang benar serta dalam menentukan bilamana orang lain telah membuat deduksi yang teat atau keliru. Lewis Carroll (sedonim dari Charles Lutwidge Dodgson, , seorang matematikawan, ahli logika, dan negarawan berkebangsaan Inggris), yang aling terkenal sebagai enulis buku dongeng Alice in Worderland, juga menuliskan dua buah buku teka-teki logika. Persoalan berikut ini diambil dan diterjemahkan dari salah satu buku tersebut. Pikirkan kalimat-kalimat berikut: () aat saya mengerjakan sebuah contoh logika tana mengeluh, Anda boleh yakin bahwa contoh itu daat saya ahami. (2) Contoh ini tidak tersusun dalam urutan lazim seerti yang biasa saya temukan.

35 MPMT53/MODUL.35 (3) Tidak ada contoh mudah yang membuat saya using keala. (4) aya tidak memahami contoh yang tidak tersusun dalam urutan lazim seerti yang biasa saya temukan. (5) aya mengeluh saat saya mengerjakan sebuah contoh hanya jika saya jadi using keala. Anggalah bahwa masing-masing kalimat ()-(5) adalah benar. Aakah kesimulan berikut ini juga benar? (6) Contoh ini tidak mudah. Kita akan memberikan jawaban untuk teka-teki di atas di akhir bagian ini. ekarang, kita terlebih dulu mengembangkan metode-metode umum untuk memecahkannya. Di dalam logika dan matematika, argumen tidak berarti erdebatan. uatu argumen adalah serangkaian ernyataan-ernyataan di mana seluruh ernyataannya, kecuali yang terakhir, disebut remis-remis, sedangkan ernyataan akhirnya itu disebut konklusi (kesimulan). Pada umumnya, kata-kata dengan demikian, atau sinonimnya, atau simbol ringkas (dibaca dengan demikian ), ditulis teat sebelum konklusi. Perhatikan dua argumen berikut ini. (a) Jika Yahya menyelesaikan soal itu dengan benar, maka Yahya mendaatkan jawaban. Yahya menyelesaikan soal itu dengan benar. Yahya mendaatkan jawaban. (b) Untuk semua bilangan real x, jika x 3, maka 2x 2 x Meski okok bahasan dari argumen (a) dan argumen (b) sangat berbeda, namun bentuk-bentuk dari argumen-argumennya sangat miri. Premisremisnya adalah sebuah ernyataan kondisional dan antesedennya. Konklusinya adalah konsekuennya. erikut ini adalah dua versi yang dimaksudkan di atas.