Arti kata: Apa itu limit? batas, membatasi, mempersempit, mendekatkan.

Transkripsi

1 Matematika FTP UB

2 Arti kata: Apa itu it? batas, membatasi, mempersempit, mendekatkan.

3 Latar Belakang dan motivasi Dalam kehidupan sehari-hari, orang sering dihadapkan pada masalah-masalah pendekatan suatu nilai/besaran.

4 Latar Belakang dan motivasi Contoh: a. Letak rumah Ahmad dekat dengan rumah Bagus. b. Ketika hari sudah mendekati senja, datanglah yang ditunggu-tunggu. c. Nilai ujian matematika Hanif hampir 9. d. dst. Pertanyaan: Seberapa dekat/mendekati/hampir besaran-besaran atau nilai-nilai pada contoh di atas dengan besaran/nilai yang sebenarnya?

5 Latar Belakang dan motivasi Dari ketiga contoh tersebut, kita mungkin tidak mengetahui letak/berat/nilai yang sesungguhnya.

6 Contoh-contoh lain terkait dengan masalah pendekatan. Perhatikan gambar berikut.. dst. Di dalam lingkaran dibuat bidang segi n (n polygon) sehingga titik-titik sudut segi n tersebut berada pada lingkaran. Tentu dapat dibayangkan bahwa apabila n sangat besar, maka luas segi n akan mendekati luas lingkaran.

7 Contoh-contoh lain terkait dengan masalah pendekatan Betul bahwa keliling setiap poligon tidak akan pernah sama dengan keliling lingkaran. Akan tetapi apabila jumlah sisi poligon cukup besar, maka selisih antara keliling lingkaran dengan keliling poligon tersebut sangatlah kecil, lebih kecil dari sebarang bilangan positif yang diberikan, misalkan

8 Contoh-contoh lain terkait dengan masalah pendekatan 4 4. Masalah penjumlahan:

9 ...dst. Contoh-contoh lain terkait dengan masalah pendekatan n n

10 Contoh-contoh lain terkait dengan masalah pendekatan Apabila jumlahan dilakukan untuk n sangat besar, maka hasil jumlahan akan mendekati.

11 Latar Belakang dan motivasi Barisan bilangan rasional antara lain dapat ditemukan dalam geometri, yaitu ketika seseorang akan menentukan hasil bagi keliling sebarang lingkaran dengan diameternya (bilangan π). Untuk mengetahui hasil bagi keliling sebarang lingkaran dengan diameternya, kita gambarkan poligon (segi banyak) beraturan di dalam lingkaran.

12 Latar Belakang dan motivasi Jadi, apabila jumlah sisi poligon terus diperbesar, misalkan dari 4 sisi, 5 sisi,, 60 sisi, 6 sisi, 6, 6, 64, dan seterusnya, dan kita lakukan pembagian keliling masing-masing poligon dengan diamter lingkaran, maka kita akan dapatkan barisan bilangan rasional, yang masing-masing bilangan nilainya kurang dari hasil bagi keliling lingkaran dengan diameternya (sebut π). Bilangan di dalam barisan yang kita dapatkan tersebut, semakin lama akan semakin dekat dengan π (yaitu it atau batas barisan).

13 Limit Fungsi Dari contoh-contoh masalah pendekatan sebagaimana diuraikan di atas, kiranya secara matematis dapat dibuat rumusan umumnya: Apabila diberikan suatu fungsi f dengan rumus y=f(), maka berapa nilai y apabila sangat dekat dengan c? Untuk lebih jelasnya, perhatikan beberapa contoh berikut.

14 Contoh. Diberikan. Berapa nilai pada saat sangat dekat dengan 0? Jawab: Limit Fungsi f ( ) f () Nilai eksak yang menjadi jawaban pertanyaan di atas sulit ditentukan, bahkan tidak mungkin. Mengapa demikian? Karena kita tidak dapat memberikan kepastian nilai yang dimaksud. Meskipun demikian, nilai pendekatan untuk f () yang dimaksud bisa ditentukan. Perhatikan tabel berikut.

15 Limit Fungsi f() f() 0,4,4 0,55 0, ,997 0,5 0,875 0,0095,0095 0,00 0,999 0,000005, , , , ,

16 Limit Fungsi Dari tabel di atas dapat dilihat, apabila nilai semakin dekat dengan 0, maka f () akan semakin dekat dengan. CATATAN: Adalah suatu kebetulan bahwa f ( 0). Dengan grafik, dapat digambarkan sebagai berikut.

17 Limit Fungsi Dari grafik dapat dilihat, apabila sangat dekat dengan 0, baik untuk <0 maupun untuk >0, maka sangat dekat dengan. f ()

18 Contoh. Diberikan g( ) Berapa nilai pada saat sangat dekat dengan? Jawab: g() Limit Fungsi Untuk kasus ini, jelas bahwa terdefinisi. g() tidak ada atau tak g() Yang menjadi pertanyaan, apakah hal itu berakibat juga tidak ada untuk setiap sangat dekat dengan?

19 Limit Fungsi Untuk menjawab pertanyaan tersebut, kita perlu menganalisanya dengan cermat. Perhatikan bahwa untuk, g( ) ( )( ) f ( ) f ( ) (Dalam hal ini, kita definisikan ). Selanjutnya, untuk berbagai nilai dilihat pada tabel berikut., nilai g() dapat

20 Limit Fungsi g() g() 0,4,4 0,557,557,0997,0997 0,799999,799999,0095,0095 0, , ,000005, , , , ,

21 Limit Fungsi Dengan grafik, nilai g() untuk berbagai nilai yang sangat dekat dengan dapat dilihat pada gambar berikut.

22 Limit Fungsi Jadi, baik dari tabel maupun dari grafik, diperoleh bahwa semakin dekat nilai dengan, maka nilai g() semakin dekat dengan. Selanjutnya, perhatikan contoh berikut.

23 Contoh. Diberikan, h( ), h() Berapa nilai? Limit Fungsi pada saat sangat dekat dengan

24 Jawab: Limit Fungsi Jelas bahwa h( ). Muncul pertanyaan serupa dengan pertanyaan pada Contoh, yaitu: Apakah keadaan tersebut, yaitu h( ), akan mengakibatkan h() juga akan bernilai ketika sangat dekat dengan?

25 Sama halnya seperti fungsi g pada Contoh, bahwa untuk, h( ) Limit Fungsi ( )( ) f ( ) f ( ) (Dalam hal ini, kita definisikan ). Selanjutnya, untuk berbagai nilai dapat dilihat pada tabel berikut., nilai h()

26 Limit Fungsi h() h() 0,4,4 0,557,557,0997,0997 0,799999,799999,0095,0095 0, , ,000005, , , , ,

27 Limit Fungsi Dengan grafik, nilai h() untuk berbagai nilai yang sangat dekat dengan dapat dilihat pada gambar berikut.

28 Limit Fungsi Jadi, baik dari tabel maupun dari grafik, diperoleh bahwa semakin dekat nilai dengan, maka nilai h() semakin dekat dengan.

29 Limit Fungsi Dari Contoh, Contoh, dan Contoh, apabila kita perhatikan beberapa hal yang sama (dalam hal ini tidak usah memperhatikan nilai fungsi di 0 untuk Contoh dan nilai fungsi di untuk Contoh dan Contoh ), berturut-turut kita katakan: Limit f() untuk mendekati 0 sama dengan, Limit g() untuk mendekati sama dengan, Limit h() untuk mendekati sama dengan, dan masing-masing ditulis dengan 0 f ( ), g( ), dan h( )

30 Limit Fungsi Dengan demikian, dapat diturunkan definisi it fungsi secara formal, yaitu sebagai berikut. Definisi Fungsi f dikatakan mempunyai it L untuk mendekati c, ditulis c f ( ) jika untuk nilai yang sangat dekat dengan c, tetapi c, berakibat f() mendekati L. L

31 (i) (ii) k k c c c Sifat-sifat Dasar Limit Fungsi f ( ) g( ) (iii) Jika dan ada, dan c c maka: k R (a) (b) c f ( ) g( ) f ( ) g( ) kf( ) k c c c f ( ) c

32 (c) (d) Sifat-sifat Dasar Limit Fungsi ) ( ). ( ) ( ). ( g f g f c c c 0 ) ( asalkan, ) ( ) ( ) ( ) ( g g f g f c c c c

33 Sifat-sifat Dasar (e) untuk sebarang, () c () c () Limit Fungsi n n f ( ) f ( ) c ( ) n f f ( ) asalkan c c n N c f ( ) 0 / n f ( ) f ( ) c n asalkan untuk n genap,, / n c, f ( ) 0.

34 . Hitung. Penyelesaian: Contoh-contoh 6 6 ) ( 6 6 ) ( 6 6

35 . Hitung. Penyelesaian: Contoh-contoh

36 . Hitung. Penyelesaian: Contoh-contoh ) ( / / / / /

37 Latihan Hitung 5

38 . Hitung. Penyelesaian: Karena, maka sifat Jawaban 0 dan 0 c f ( ) g( ) c ( ) g( ) c tak dapat langsung digunakan. Apakah dengan demikian it yang ditanyakan menjadi tak ada? f

39 Perhatikan bahwa untuk,. Oleh karena itu,, Contoh-contoh ) )( ( ) )( ( ) ( ) (

40 . Hitung. Penyelesaian: Contoh-contoh

41 Limit Tak Hingga Untuk berikut. c, definisi it dapat dituliskan sebagai Definisi Fungsi f dikatakan mempunyai it L untuk mendekati, ditulis f ( ) jika untuk nilai yang sangat besar tak terbatas arah positif berakibat f() mendekati L. L

42 Limit Tak Hingga c Untuk, definisi it dapat dituliskan sebagai berikut. Definisi Fungsi f dikatakan mempunyai it L untuk mendekati, ditulis f ( ) jika untuk nilai yang sangat besar tak terbatas arah negatif berakibat f() mendekati L. L

43 Limit Tak Hingga Definisi. Fungsi f dikatakan mempunyai it tak hingga untuk mendekati c, ditulis c f ( ) jika untuk nilai yang sangat dekat dengan c, tetapi c berakibat nilai f() menjadi besar tak terbatas arah positif.

44 Limit Tak Hingga Definisi Fungsi f dikatakan mempunyai it negatif tak hingga untuk mendekati c, ditulis c f ( ) jika untuk nilai yang sangat dekat dengan c, tetapi c berakibat nilai f() menjadi besar tak terbatas arah negatif.

45 Limit Tak Hingga Definisi Fungsi f dikatakan mempunyai it tak hingga untuk mendekati tak hingga, ditulis f ( ) jika untuk nilai yang cukup besar arah positif, berakibat nilai f() menjadi besar tak terbatas arah positif.

46 Limit Tak Hingga Untuk it-it f ( ), f ( ), dan f ( ) didefinisikan secara sama.

47 Limit Tak Hingga Dari definisi-definisi di atas, mudah dipahami:., untuk 0., untuk

48 Contoh-contoh 7 ) ( 7. 0 ) (,.. ) ( y y y

49 Contoh-contoh. Hitunglah Penyelesaian: Perhatikan bahwa 5 ( ) dan ( 5) Hal ini berakibat nilai it yang ditanyakan menjadi susah dikatakan. Apakah it tersebut tak ada?

50 Perhatikan bahwa Oleh karena itu, menggunakan sifat it diperoleh Contoh-contoh ) 5 ( ) ( 5

51 Buktikan! Tunjukkan bahwa keliling lingkaran dengan jari-jari R sama dengan пr. Suatu partikel bergerak mengikuti persamaan S( t) t 4t, t dengan t menyatakan waktu (dalam jam) dan S(t) menyatakan jarak tempuh. Berapa kecepatan partikel pada jam? 0