BAB II TABUNG, KERUCUT, DAN BOLA. Memahami sifat-sifat tabung, kerucut dan bola, serta menentukan ukurannya

Transkripsi

1 BAB II TABUNG, KERUCUT, DAN BOLA Tujuan Pembelajaran Memahami sifat-sifat tabung, kerucut dan bola, serta menentukan ukurannya A. Pendahuluan Istilah tabung, kerucut, dan bola di sini adalah istilah-istilah matematika. Namun konsep tabung, kerucut, dan bola bersumber pada bangun-bangun nyata sehari-hari. Perhatikan gambar beberapa benda di bawah ini. Benda-benda tersebut berbentuk mirip apa yang kita sebut tabung, kerucut, atau bola. Gambar 1.1 Benda sehari-hari berbentuk tabung, kerucut, dan bola Perhatikan bahwa bola tennis, bola kaki, bola volley berbentuk bola, namun tidak semua bola dalam olah raga berbentuk bola, misalnya bola badminton atau bola dalam permainan rugby. Masih banyak benda dalam kehidupan sehari-hari yang berbentuk tabung, kerucut, bola, atau campuran ketiganya. Oleh karena itu, mempelajari bangun tabung, kerucut, dan bola beserta sifatsifatnya membantu kita dalam menyelesaikan masalah sehari-hari. 1

2 Aktivitas 1 Bentuklah kelompok terdiri atas 3 hingga 5 siswa. Untuk setiap kelompok, diskusikan mengenai apa saja manfaat dari bentuk tabung, apa saja manfaat bentuk kerucut, dan apa saja manfaat bentuk bola. Kamu bisa menulis manfaat bentuk-bentuk tersebut dari penggunaanya sehari-hari yang dapat kamu temukan selain bentuk fisik bangun tabung, kerucut, dan bola. Tulis dan kemukakan hasil diskusi dalam kelompok di depan kelas. Mintalah pendapat gurumu. B. Tabung B.1. Pengertian Tabung dan Unsur-unsurnya Istilah tabung, mungkin telah sering disebutkan orang dalam kehidupan sehari-hari. Namun tidak selalu pengertiannya sama dengan istilah tabung di dalam matematika. Tabung di dalam matematika merupakan perumumam atau generalisasi dari bentuk-bentuk tabung yang kita jumpai sehari-hari. Definisi Tabung Bangun ruang yang dibatasi oleh dua buah lingkaran yang kongruen dan sejajar serta bidang lengkung yang menghubungkan kedua lingkaran tersebut. Jadi, ada tiga buah bangun yang membentuk tabung yaitu bidang datar berupa daerah 2 lingkaran yang kongruen dan sebuah bidang lengkung yang disebut selimut tabung. Kedua lingkaran pada tabung disebut alas-alas tabung. Beberapa buku, menulis lingkaran yang satu sebagai alas dan yang lain sebagai atas. Namun ini hanya untuk membedakan saja, tidak berarti bahwa yang satu ada di bawah dan yang lain ada di atas. Bentuk tabung-tabung pada gambar di bawah adalah tabung yang bersifat tegak atau disebut tabung tegak, yaitu bidang lengkung tegak lurus alas. 2

3 Gambar 1.2 Contoh tabung tegak Menurut definisi, sesungguhnya terdapat pula tabung yang tidak tegak, dan kita sebut tabung miring. Pada tabung miring, kedua lingkaran (alas) tetap sejajar. Gambar 1.3 Contoh tabung miring Namun, secara umum bila disebutkan tabung maka yang dimaksud adalah tabung tegak. Jadi, untuk menunjukkan sebuah tabung tegak, disepakati dalam matematika cukup disebut tabung saja. Namun, bila yang dimaksud tabung miring maka harus ditulis lengkap. (bandingkan, dengan penulisan +3 yang cukup ditulis 3, namun untuk yang negatif harus ditulis tanda negatifnya, 3). Pada tabung, dikenal istilah tinggi tabung. Tinggi tabung adalah jarak kedua alas tabung. Perlu pula diketahui bahwa pada lukisan sebuah tabung, dikenal istilah garis pelukis tabung, yaitu garis pada bidang lengkung yang membatasi gambar tabung. Perhatikan gambar beberapa tabung di bawah ini. alas tabung garis pelukis tinggi (t) selimut alas tabung Gambar 1.4 Tabung dan bagian-bagiannya 3

4 Aktivitas 2a Buatlah sebuah persegipanjang dari kertas dengan panjang = 44 cm, dan lebar = 15 cm. Buat pula dua buah lingkaran dari kertas dengan jari-jari = 7 cm. Cobalah rangkaikan kedua lingkaran dengan persegipanjang sepanjang sisi terpanjangnya. Gunakan perekat atau lem. Apakah terbentuk sebuah tabung? Aktivitas 2b Aktivitas yang dilakukan sama dengan aktivitas 2a, hanya bentuk persegipanjang diganti jajargenjang dengan alas = 44 cm, dan tinggi = 15 cm. Apa yang dapat kamu simpulkan mengenai hasil akvitas ini? Jika sebuah tabung dibedah untuk membentuk jaring-jaring tabung, beberapa model jaring-jaring tabung ditunjukkan di bawah ini. Walaupun bentuk jajargenjang dapat mengganti bentuk persegipanjang, namun untuk bentuk jajargenjang lebih sukar untuk membentuk tabung. Oleh karena itu, penggunaan bentuk persegipanjang lebih banyak digunakan. Gambar 1.5 Beberapa model jaring-jaring tabung Berbeda dengan jaring-jaring bangun ruang bersisi datar yang telah kamu pelajari, maka pada bangun ruang sisi lengkung, seperti tabung, maka jaring-jaringnya memuat titik persekutuan. Pada jaring-jaring di atas, terdapat dua titik persekutuan yang menghubungkan kedua lingkaran dan sebuah persegipanjang. Dengan demikian, jaring-jaring tabung di atas sesungguhnya merupakan tiga bangun datar yang saling terlepas. 4

5 B.2. Luas Permukaan Tabung dan Volum Tabung B.2.a. Luas Permukaan Tabung Dengan memperhatikan jaring-jaring sebuah tabung, maka luas permukaan tabung ditentukan oleh luas tiga bangun datar, yaitu dua lingkaran dan sebuah persegipanjang. Luas persegipanjang sama dengan luas bidang lengkung tabung yaitu luas selimut. Jadi, jika jari-jari alas tabung = r dan tinggi tabung t maka diperoleh: Luas selimut = luas persegipanjang = panjang lebar = keliling alas tinggi = 2πr t t = 2πrt 2πr Luas permukaan tabung = 2 luas alas + luas selimut = 2πr 2 + πrt = πr(2r + t) Ingat, π = 3, yang sering dibulatkan menjadi 3,14 atau 22 / 7. Jadi, Rumus Luas Selimut Tabung & Luas Permukaan Tabung Bila jari-jari alas = r dan tinggi tabung = t maka Luas selimut = 2πrt Luas permukaan tabung = 2πr 2 + πrt = πr(2r + t) B.2.b. Volum Tabung Ingat kembali, bahwa volum prisma ditentukan oleh perkalian luas alas dan tinggi prisma. Maka volum tabung juga dapat ditentukan seperti itu. Mengapa demikian? 5

6 Perhatikan bahwa tabung dapat dianggap sebagai prisma dengan alas berupa segibanyak beraturan, dengan banyak seginya menuju tak-hingga. Jadi, Dengan jari-jari alas tabung = r dan tinggi tabung = t maka Volum tabung = πr 2 t = πr 2 t tinggi (t) Jadi, Luas alas = πr 2 Rumus Volum Tabung Bila jari-jari alas = r dan tinggi tabung = t maka Volum tabung = πr 2 t Soal Latihan 1. Diketahui sebuah tabung dengan alas berjari-jari 14 cm, dan tinggi 25 cm. Tentukan luas permukaan tabung dan tentukan pula volum tabung! 2. Sebuah tabung memiliki alas berdiameter 20 cm dan tinggi 10 cm. Berapa luas selimut tabung dan berapa pula volum tabung? 3. Harman ingin membuat sebuah tabung dari bahan seng dengan volum 1256 cm 3. Bila alasnya berjari-jari 7 cm, berapa luas sengminimal yang harus dipersiapkannya? 4. Andi ingin membuat sebuah tabung tanpa tutup (seperti gelas). Ia ingin volum tabungnya 1540 cm 3. Jika alas tabung yang telah ada berjari-jari 7 cm, berapa tinggi tabung yang harus Andi buat? 5. Sebuah tabung diisi air setinggi 5 cm. Bila tabung memiliki luas alas 100 cm 2 dan tinggi tabung 8 cm, berapa volum ruang kosong (udara) di dalam tabung? 6

7 C. Kerucut C.1. Pengertian Kerucut dan Unsur-unsurnya Banyak bentuk kerucut yang diberikan di bagian pendahuluan, kini kita mengenal definisi abstrak atau matematis mengenai kerucut. Definisi Kerucut Bangun ruang yang dibatasi oleh sebuah lingkaran dan sebuah bidang lengkung yang menghubungkan lingkaran dengan sebuah titik di luar bidang (datar) yang memuat lingkaran. Seperti pada tabung, dengan definisi ini juga dikenal kerucut tegak dan kerucut miring. Namun, seperti yang dapat menduga, apa yang kita sebut kerucut secara umum berarti kerucut tegak. Contoh kerucut atau kerucut tegak Gambar 1.6 Kerucut-kerucut tegak Contoh kerucut miring Gambar 1.7 Kerucut-kerucut miring Bagian atau unsur kerucut antara lain: alas, selimut, titik puncak, garis pelukis, dan tinggi kerucut. Alas kerucut adalah daerah lingkaran yang membentuk kerucut. 7

8 Selimut kerucut adalah bidang lengkung yang membentuk kerucut. Titik puncak kerucut adalah titik di luar bidang yang melalui alas dan dihubungkan oleh selimut kerucut. Garis pelukis adalah garis yang terlukis dari bidang lengkung kerucut, yang membatasi gambar kerucut. Tinggi kerucut adalah jarak titik puncak ke alas kerucut. Titik puncak tinggi (t) Garis pelukis selimut alas kerucut Gambar 1.8 Kerucut dan bagian-bagiannya Jaring-jaring kerucut paling sederhana dibuat dengan memotong sepanjang keliling lingkaran dan sepanjang sebuah garis pelukis. Perhatikan gambar beberapa model jaring-jaring kerucut di bawah ini. Gambar 1.9 Beberapa model jaring-jaring kerucut Tampak bahwa seperti pada tabung, jaring-jaring kerucut berupa dua bangun datar yang terpisah atau disatukan hanya pada satu titik. 8

9 Aktivitas 3a Buatlah sebuah lingkaran dari kertas dengan jari-jari 15 cm. Dari lingkaran tersebut, dengan menggunakan gunting, buat dua buah juring dengan sudut pusat berbeda, misalnya yang membentuk sudut 90 o dan 270 o. Bentuklah kerucut (tanpa tutup) menggunakan kedua juring tersebut. Apa yang dapat kamu simpulkan? Akvitas 3b Buat 2 lingkaran dari kertas dengan jari-jari 15 cm dan 20 cm. Dari kedua lingkran di atas, buatlah masing-masing sebuah juring dengan sudut pusat yang sama, misalnya 90 o. Bentuklah kerucut (tanpa tutup) menggunakan kedua juring tersebut. Apa yang dapat kamu simpulkan? C.2. Luas Permukaan Kerucut dan Volum Kerucut C.2.a. Luas Permukaan Kerucut Dengan memperhatikan jaring-jaring kerucut yang dibentuk dari sebuah garis pelukis dan keliling alas, maka dapat dipahami bahwa luas permukaan kerucut adalah jumlah luas alas yang berupa lingkaran dan selimut kerucut yang berupa juring sebuah lingkaran. Sebuah juring lingkaran t s Sebuah lingkaran r Bila jari-jari alas kerucut = r, tinggi kerucut = t, dan panjang garis pelukis = s, maka diperoleh hubungan sebagai berikut. Dengan menggunakan Teorema Pythagoras: s 2 = t 2 + r 2 9

10 Selanjutnya, Luas alas = luas lingkaran, L a = πr 2 Luas selimut = luas juring lingkaran. L s =...? Seperti yang telah kamu pelajari, untuk menentukan luas sebuah juring lingkaran dibutuhkan data mengenai sudut pusat busur juring tersebut. Namun dalam hal selimut kerucut ini, data yang kita ketahui hanya 2 di antara r, t, dan s. Bagaimana caranya? Dengan menganggap keliling juring berupa ruas garis-ruas garis yang bersambung dan sangat banyak menuju tak hingga, maka luas juring merupakan jumlah luas segitiga-segitiga dengan alas pada keliling juring dan tinggi segitiga adalah jari-jari busur juring. Segitiga dengan alas pada busur, dan tinggi segitiga adalah jarijari busur juring. Jumlah semua alas segitiga menjadi keliling busur juring tsb Jadi, Luas juring = jumlah semua luas segitiga dengan alas pada busur juring dan tinggi jari-jari busur juring. Luas juring = 1 2.K.R dengan K = panjang busur juring, R = jari-jari busur juring. Jadi, pada selimut kerucut di atas, K = 2πr dan R = s sehingga Luas selimut, L s = 1.2πr.s = πrs. 2 Dengan demikian, dapat disimpulkan sebagai berikut. Rumus Luas Selimut Kerucut & Luas Permukaan Kerucut Bila jari-jari alas = r, tinggi kerucut = t dan panjang garis pelukis = s maka s 2 = r 2 + t 2 Luas selimut = πrs Luas permukaan kerucut = πr 2 + πrs = πr(r + s) 10

11 Aktivitas 4 Buatlah sebuah juring dengan menggunakan kertas. Lipatlah juring tersebut menjadi 2. Kemudian lipat lagi menjadi 2,demikian seterusnya hingga cukup banyak. Potonglah juring-juring kecil yang terbentuk. Susunlah juring-juring yang terbentuk menjadi mirip sebuah jajargenjang atau persegipanjang. Tentu, luas daerah jajargenjang atau persegipanjang itu sama dengan luas juring mula-mula. Dengan menggunakan rumus luas jajargenjang, rumuskan bagaimana menemukan rumus luas juring. C.2.b Volum Kerucut Sama halnya dengan volum tabung yang ditentukan dengan menganggapnya sebagai prisma, maka volum kerucut dapat pula dianggap sebagai volum limas. Dalam hal ini, alas limasnya adalah lingkaran dan tinggi limasnya adalah tinggi kerucut. Jika volum limas = 1 3 luas alas tinggi limas, maka Volum kerucut = 1 3 luas lingkaran tinggi kerucut = 1 3 πr2 t = 1 3 πr2 t Rumus Volum Kerucut Bila jari-jari alas = r dan tinggi tabung = t maka Volum kerucut = 1 3.πr2 t Soal Latihan 1. Sebuah kerucut dengan alas berjari-jari 10 cm, dan tinggi kerucut 16 cm. Hitunglah luas selimut, luas permukaan, dan volum kerucut! (gunakan π 3,14) 2. Sebuah kerucut memiliki luas selimut 440 cm 2 dan luas alas 154 cm 2. Hitunglah jari-jari alas kerucut, panjang garis pelukis, dan volum kerucut. (gunakan π 22 / 7 ) 11

12 3. Kerucut I memiliki jari-jari alas 10 cm dan tinggi 12 cm, kerucut II memiliki jari-jari 12 cm. Berapa tinggi kerucut II agar volumnya sama dengan kerucut I? (gunakan π 3,14) 4. Putri ingin membuat sebuah kerucut dengan jari-jari alas 14 cm. Jika diinginkan volum kerucut yang terbentuk paling sedikit 5000 cm 3, berapa luas bahan minimal yang harus dipersiapkan? (gunakan π 22 / 7 ) 5. Sebuah gedung museum berbentuk kerucut. Alas gedung tersebut berdiameter 100 m dan tinggi gedung tersebut 60 m. Jika untuk setiap kaleng cat dapat digunakan untuk mengecat permukaan seluas 30m 2, maka berapa kaleng cat yang dibutuhkan untuk mengecat permukaan luar gedung museum tersebut? (gunakan π 3,14) D. Bola D.1. Pengertian Bola dan Unsur-unsurnya Nama bola sudah demikian akrab di telinga kita. Umumnya dalam percakapan sehari-hari, bola berkenaan dengan permainan atau olahraga yang berbentuk bundar, seperti bola kaki, bola volley, bola tennis, bola pingpong, dan lain-lain. Nama bola di dalam matematika, seperti yang akan dibahas, merupakan istilah umum dan abstraks dari seluruh bentuk bola. Bayangkan sebuah bola kaki dengan permukaan yang sangat tipis dan sangat mulus, maka setiap titik pada bola kaki tersebut berjarak sama terhadap sebuah titik di dalam bola kaki. Sifat ini kita gunakan sebagai definisi bola dalam geometri, yaitu sebagai berikut. Definisi Bola Bangun ruang yang berupa bidang lengkung tertutup di mana setiap titik pada bidang tersebut berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu, atau Himpunan semua titik pada ruang yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu. Pada definisi di atas, titik di tengah-tengah bola disebut titik pusat bola, dan jarak yang sama disebut jari-jari bola. 12

13 Umumnya sebuah bola digambar seperti di bawah ini. Titik pusat bola Jari-jari bola Bola Gambar 1.10 Bola dan unsur-unsurnya Perhatikan bahwa jari-jari juga menunjukkan sebuah ruas garis yang menghubungkan titik pusat dan bola itu sendiri. Bila sebuah jeruk yang berbentuk bola kamu iris dengan pisau, maka bangun apa yang kamu peroleh pada irisan yang terjadi? Ya, sebuah lingkaran. Bagaimana pun cara mengiris sebuah bola dengan sebuah bidang (datar) maka irisannya pasti merupakan sebuah lingkaran. Kapan irisan berupa lingkaran terbesar dapat diperoleh? Ya, bila irisannya melalui titik pusat bola. Dengan demikian, diameter lingkaran ini juga melalui titik pusat bola. Dengan demikian jari-jari lingkaran irisan terbesar sama dengan jari-jari bola. Lingkaran irisan terbesar, melalui titik pusat dan berjari-jari sama dengan jari-jari bola Gambar 1.11 Irisan bola dan lingkaran besar bola Lingkaran irisan terbesar membagi dua sama besar sebuah bola. Masing-masing disebut setengah bola. Setengah bola Gambar 1.12 Setengah bola 13

14 Jika irisan bukan lingkaran terbesar maka bola akan terbagi menjadi dua bagian yang tidak sama besar. Gambar 1.13 Belahan besar bola dan belahan kecil bola. D.2. Luas Permukaan Bola dan Volum Bola D.2.a. Luas Permukaan Bola Selimut bola tak lain adalah seluruh permukaan bola. Untuk mendapatkan rumus luas permukaan bola dapat ditempuh berbagai macam cara, baik secara deduktif (umum, teori) maupun induktif (khusus, contoh, percobaan). Salah satu cara induktif adalah dengan membandingkan antara luas permukaan bola dan luas selimut tabung yang sesuai. Cara ini termasuk cara induktif, semakin tepat kita melakukan percobaan maka semakin tepat kesimpulan yang diperoleh. Perhatikan gambar di bawah ini. Gambar 1.14 Bola dan tabung dengan diameter alas dan tinggi tabung sama dengan diameter bola 14

15 Sebuah bola dan sebuah tabung memiliki jari-jari alas dan jari-jari bola yang sama. Tinggi tabung juga sama dengan diameter bola. Dapat ditunjukkan bahwa luas permukaan bola sama dengan luas selimut tabung. Aktivitas 5 Pilihlah sebuah benda berbentuk bola, lalu belahlah menjadi 2 bagianyang sama menghasilkan setengah bola. Kamu dapat menggunakan bola kaki dariplastik, tempurung kelapa yang cukup bundar, atau yang lainnya. Pilihlah benda tabung dengan alas yang sama dengan alas setengah bola tersebut, dan tinggi tabung sama dengan jari-jari bola. Jika sulit diperoleh, buatlah tabung tersebut dengan menggunakan kertas yang cukup tebal. Ambillah tali yang tidak mudah melar (memanjang-memandek). Lilitkan tali pada setengah bola hingga menutupi selimut setengah bola. Potong tali, bila masih ada yang tersisa. Setelah itu lilitkan tali yang sama pada selimut tabung. Apakah tali yang sama dapat menutupi selimut tabung tanpa ada yang tersisa, baik tali maupun bagian selimut tabung? Setelah dililitkan tepat pada permukaan setengah bola, lalu tali tersebut dililitkan pada selimut tabung. Dengan demikian, bila setengah bola berjari-jari r maka Luas permukaan setengah bola = luas selimut tabung dengan tinggi r = 2πr r = 2πr 2 Sehingga, luas permukaan bola = 2 luas permukaan setengah bola = 2 2πr 2 = 4πr 2 Jadi, diperoleh kesimpulan. Rumus Luas Permukaan Bola Jika jari-jari bola = r maka Luas permukaan bola, L = 4πr 2 15

16 D.2.b. Volum Bola Aktivitas 6 Pilihlah 1 buah semangka yang hampir bundar. Kamu dapat mengganti semangka dengan buah melon, buah mangga, atau lainnya yang bentuknya hampir bundar, dan isinya tidak kosong (tidak berisi air saja). Potong buah tersebut menjadi dua. Salah satu bagian potong kembali menjadi dua, dengan arah potongan yang masih sama. Demikian seterusnya hingga kamu sulit atau tidak dapat memotong lagi dengan arah yang masih sama. Perhatikan bentuk yang kamu peroleh. Potong bagian terakhir tadi dengan arah yang berbeda, yaitu dari tengah-tengah bagian dalam, seperti membentuk juring lingkaran. Perhatikan gambar di atas. Bagian terkecil yang kamu peroleh mendekati bangun apa? Banyak cara untuk mendapatkan rumus volum bola. Salah satunya dengan memanfaatkan rumus luas permukaan (selimut) bola yang telah diperoleh. Perhatikan gambar dibawah ini. Gambar 1.15 Bola dipandang sebagai susunan limas yang sangat banyak Bola dipotong-potong menurut cara seperti tampak pada gambar di atas. Untuk setiap potongan berbentuk sebuah bangun ruang mirip limas, dengan titik puncak pada titik pusat bola. Bila potongan bola tersebut semakin banyak, dengan memperbanyak garis membujur dan garis melintang, maka jumlah seluruh alas limas tersebut menjadi permukaan bola itu sendiri dan untuk setiap limas tersebut berjari-jari sama dengan jari-jari bola. 16

17 Dengan demikian diperoleh, Jika luas alas limas dilambangkan dengan A, dan tinggi = r (jari-jari bola) Volum bola = jumlah volum semua limas = 1 3 A 1 r A 2 r + = 1 3 (A 1 + A 2 + A ) r 1 3 A 3 r +... = 1 (luas permukaan bola) r 3 = 1 3 4πr2 r = 4 3 πr3 Jadi, diperoleh kesimpulan. Rumus Volum Bola Jika jari-jari bola = r maka Volum bola, V = 4 3 πr3 Soal Latihan 1. Hitunglah luas permukaan bola dan volum bola jika diketahui jari-jari bola 7 cm! (gunakan π 22 / 7 ) 2. Hitunglah luas permukaan bola dan volum bola jika jari-jari bola 10 cm! (gunakan π 3,14) 3. Sebuah bola memiliki luas permukaan 1256 cm 2, maka berapa volumnya? (gunakan π 3,14) 4. Sebuah baskom atau tempat air berbentuk setengah bola. Ternyata tempat air tersebut paling banyak mampu menampung air sebesar cm 3. Berapa cm jari-jari setengah bola itu? (gunakan π 22 / 7 ) 5. Diketahui perbandingan volum bola I dan volum bola II adalah 1 : 8. Jika luas permukaan bolai adalah 12,56 cm 2, berapa luas permukaan bola II? (gunakan π 3,14) 17