Perancangan Sistem Digital. Yohanes Suyanto

Transkripsi

1 Perancangan Sistem Digital 2009

2 Daftar Isi 1 SISTEM BILANGAN Pendahuluan Nilai Basis Desimal Biner Oktal Heksadesimal Faktor Bobot Konversi sistem bilangan Konversi bilangan desimal menjadi biner Konversi bilangan desimal menjadi oktal Konversi bilangan desimal menjadi heksadesimal Cara lain konversi bilangan Sistem Kode RANGKAIAN LOGIKA DIGITAL KOMBINASIONAL Unit Logika Kombinasional Tabel Kebenaran Gerbang Logika Implementasi Elektronik dari Gerbang Logika Buffer Tri-State Sifat-sifat Aljabar Boole Bentuk Sum-of-Product dan Diagram Logika Bentuk Product-of-Sum Logika Positif dan Negatif Data Sheet Komponen Digital Level Integrasi Multiplekser Demultiplekser Dekoder iii

3 iv DAFTAR ISI Enkoder Prioritas PLA Penggunaan PLA untuk Penjumlah Ripple-carry Soal Latihan REDUKSI LOGIKA DIGITAL KOMBINASIONAL Reduksi Ekspresi 2 Level Metode Aljabar Metode Peta Karnaugh Dimensi yang lebih tinggi Metode Tabulasi Soal Latihan RANGKAIAN LOGIKA DIGITAL SEKUENSIAL Flip-Flop S-R Flip-flop S-R Berdetak Flip-flop D dan konfigurasi tuan-hamba Flip-flop JK dan T Desain Mesin Keadaan Berhingga Contoh: Detektor Urutan Contoh: Pengendali mesin penjualan Mesin Mealy dan Moore Register Pencacah Soal Latihan PENCACAH Pencacah Sinkron Pencacah Sinkron Modulo Pencacah Sinkron Modulo Pencacah Tak Sinkron Pencacah Naik/Turun (up/down counter) REGISTER Serial In Parallel Out - SIPO Serial In Serial Out - SISO Parallel In Serial Out- PISO Parallel In Parallel Out - PIPO Register Geser Kanan/Kiri (Right/Left Shift Register) Soal Latihan

4 DAFTAR ISI v 7 REDUKSI LOGIKA DIGITAL SEKUENSIAL Reduksi Keadaan Masalah Penentuan Nilai Keadaan Contoh Reduksi: Detektor Urutan Tabel Eksitasi Soal Latihan

5 vi DAFTAR ISI

6 Daftar Gambar 1.1 Perulangan horisontal dan vertikal Konversi bilangan desimal 19 menjadi biner Pengujian bilangan biner menjadi bilangan desimal Konversi bilangan desimal 321 menjadi oktal Pengujian bilangan oktal 501 menjadi bilangan desimal Konversi bilangan desimal 321 menjadi heksadesimal Pengujian bilangan heksadesimal 141 menjadi bilangan desimal Pengubahan bilangan oktal 157 menjadi biner Pengubahan bilangan biner menjadi oktal Unit logika kombinasi, jika dilihat dari luar Tabel kebenaran untuk saklar A dan B serta lampu Z Tabel kebenaran untuk semua kemungkinan fungsi dari 2 masukan Fungsi AND, OR, dan NOT sebagai pembentuk fungsi-fungsi lainnya Simbol gerbang logika untuk fungsi Boolean AND, OR, buffer, dan NOT Simbol gerbang logika untuk fungsi Boolean NAND, NOR, XOR, dan XNOR Variasi gerbang logika (a) tiga masukan dan (b) masukan dengan komplemen (a) pembalik dengan terminal tenaga dimunculkan dan (b) rangkaian transistor untuk pembalik Penentuan nilai tegangan untuk logika 0 dan 1 (a) gerbang logika keluaran, (b) gerbang logika masukan Rangkaian transistor (a) NAND 2 masukan (b) NOR 2 masukan Buffer tri-state dan Buffer tri-state kendali inversi Pembuktian teorema DeMorgan untuk 2 variabel Penyusunan NAND menjadi OR Implementasi OR dengan NAND (gambar lain) vii

7 viii DAFTAR GAMBAR 2.15 Penyusunan NAND menjadi AND Tabel kebenaran untuk fungsi mayoritas Implementasi fungsi mayoritas dengan dua-level AND-OR. Inverter tidak dihitung sebagai level Rangkaian OR-AND dua-level implementasi dari fungsi mayoritas. Inverter tidak dihitung sebagai level Logika positif dan negatif untuk pasangan AND-OR dan NAND-NOR Proses pencocokan gelembung Blok diagram dan tabel kebenaran untuk MUX 4-ke Implementasi MUX 4-ke-1 dengan AND-OR Implementasi MUX 8-ke-1 untuk fungsi mayoritas Implementasi MUX 4-ke-1 untuk fungsi dengan 3 variabel Diagram blok dan tabel kebenaran untuk DEMUX 1-ke Rangkaian DEMUX 1-ke Diagram blok dan tabel kebenaran dekoder 2-ke Rangkaian dekoder 2-ke Implementasi fungsi mayoritas dengan dekoder 3-ke Diagram blok dan tabel kebenaran enkoder prioritas 4-ke Rangkaian enkoder prioritas 4-ke PLA 3 masukan 2 keluaran Penyederhanaan PLA PLA dalam bentuk kotak hitam PLA dalam bentuk kotak hitam Implementasi penjumlah 4 bit menggunakan penjumlah penuh berjenjang Penjumlah penuh menggunakan PLA Implementasi fungsi mayoritas direduksi Diagram Venn untuk 3 variabel biner Peta Karnaugh untuk fungsi mayoritas Pengelompokan sel bertetangga pada fungsi mayoritas Fungsi mayoritas direduksi Pengelompokan mulai dari sel yang tidak masuk dalam kelompok yang lebih besar Pengelompokan mulai dari kelompok yang paling besar Posisi sudut pada peta Karnaugh secara logis bertetangga.. 50

8 DAFTAR GAMBAR ix 3.10 Peta Karnaugh dengan 5 variabel Peta Karnaugh yang sama dapat menghasilkan persamaan minimal berbeda Peta Karnaugh dengan 6 variabel Implementasi fungsi mayoritas 3 level Peta Karnaugh dengan isian variabel D Peta Karnaugh dengan 3 variabel isian Tabel kebenaran suatu fungsi dengan don t care Proses reduksi tabulasi Tabel pilihan Tabel pilihan terreduksi Tabel kebenaran untuk 3 fungsi dengan 3 variabel Tabel pilihan keluaran jamak Model klasik dari FSM Gerbang NOR dengan rangkaian tunda Flip-flop S-R dengan NOR Tabel kebenaran Flip-flop S-R Flip-flop S-R dengan NAND Rangkaian yang mengandung hazard Detak yang berupa gelombang kotak Flip-flop S-R berdetak Flip-flop D. Simbol CLK menunjukkan clock atau detak Tabel kebenaran untuk flip-flop D. Nilai keluaran sama dengan nilai masukan pada detak sebelumnya Flip-flop tuan-hamba Flip-flop J-K dan simbolnya Tabel kebenaran untuk flip-flop J-K. Nilai J=1 dan K=1 diperbolehkan Flip-flop T dan simbolnya Tabel kebenaran untuk flip-flop T Flip-flop J-K tuan-hamba dan simbolnya Pencacah modulo Diagram transisi keadaan pencacah modulo Tabel keadaan untuk pencacah modulo Tabel keadaan untuk pencacah modulo-4 dengan pengkodeannya Tabel kebenaran untuk keadaan berikutnya dan fungsi keluaran pencacah modulo Desain logika untuk pencacah modulo

9 x DAFTAR GAMBAR 4.23 Diagram transisi keadaan untuk detektor urutan Tabel keadaan detektor urutan Penetapan kode keadaan dan tabel kebenaran detektor urutan Diagram logika detektor urutan Diagram transisi keadaan pengendali mesin penjualan (a) Tabel keadaan pengendali mesin penjualan (b) penetapan kode keadaan pengendali mesin penjualan Mesin penjualan (a) rangkaian, (b) tabel kebenaran (c) realisasi PLA FSM Moore pencacah biner 2 bit Register 4-bit Register 4-bit disederhanakan Register geser Pencacah modulo Peta Karnaugh untuk penentuan persamaan J dan K pada pencacah modulo-6 sinkron Pencacah sinkron modulo Pengaturan pulsa detak pada flip-flop T untuk pencacah Peta Karnaugh untuk penentuan persamaan pengatur detak pada pencacah modulo-10 sinkron Rangkaian pencacah modulo-10 sinkron menggunakan flip-flop T Rangkaian pencacah modulo-8 tak sinkron menggunakan flipflop T Rangkaian pencacah modulo-10 tak sinkron menggunakan flip-flop T Rangkaian pencacah modulo-5 tak sinkron menggunakan flipflop T Pengatur pulsa pada pencacah naik/turun Register serial-parallel Pengatur geser kanan atau kiri untuk register geser Pengatur geser kanan atau kiri untuk register geser dengan masukan paralel Register geser 5 bit lengkap Tabel keadaan mesin M 0 yang akan direduksi hirarki Tabel keadaan mesin M 1 hasil direduksi Tabel keadaan mesin M dan 2 macam penentuan nilai keadaannnya

10 DAFTAR GAMBAR Peta Karnaugh untuk M dengan nilai keadaan PN Peta Karnaugh untuk M dengan nilai keadaan PN Diagram transisi keadaan untuk detektor urutan Tabel keadaan detektor urutan Tabel keadaan detektor urutan yang baru Tabel penentuan nilai keadaan detektor urutan Peta Karnaugh untuk detektor urutan Skema rangkaian detektor urutan Tabel eksitasi untuk flip-flop S-R, D, J-K, dan T Diagram transisi keadaan, tabel keadaan, dan penentuan nilai keadaan untuk penjumlah berseri Tabel kebenaran perubahan keadaan pada flip-flop

11 2 DAFTAR GAMBAR

12 BAB 1 SISTEM BILANGAN 1.1 Pendahuluan Sistem bilangan didefinisikan sebagai sekumpulan nilai yang digunakan untuk melambangkan besaran. Kita sudah terbiasa menggunakan bilangan ini dalam kehidupan sehari-hari. Jumlah mahasiswa yang hadir dalam kuliah, jumlah matakuliah yang diambil oleh mahasiswa, nilai yang didapat mahasiswa untuk suatu ujian matakuliah, semuanya menggunakan lambang bilangan. Pembahasan mengenai sistem bilangan tidak terbatas pada komputer saja. Kita menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari, dan kita mengetahui bahwa komputer juga menggunakannya sehingga dapat mengolah data menjadi data lain yang berupa bilangan juga. Sejak lama manusia menggunakan tanda atau simbol untuk menggambarkan bilangan. Bentuk awal penggunaan simbol adalah dengan garis lurus. Jumlah garis menunjukkan besarnya bilangan. Ada yang menggambarkan kelompok 6 garis vertikal dengan 1 garis horisontal melintang pada jelompok garis vertikal tersebut untuk menunjukkan jumlah hari dalam 1 minggu. Sangat sulit untuk menggambarkan bilangan sangat besar ataupun sangat kecil menggunakan pendekatan grafis. Pada sekitar tahun 3400 SM di Mesir dan 3000 SM di Mesopotamia mereka membuat simbol untuk menggambarkan bilangan dalam kesatuan 10. Ini adalah langkah besar karena dapat mereduksi jumlah simbol yang diperlukan. Misalnya dua belas dapat digambarkan dengan satu puluhan dan dua satuan, sehingga hanya memerlukan 3 simbol. Bandingkan dengan 12 simbol sebelumnya. Orang Romawi menggunakan 7 buah simbol yang dapat digunakan untuk menggambarkan bilangan 1 sampai dengan I = 1 1

13 2 1. SISTEM BILANGAN V = 5 X = 10 L = 50 C = 100 D = 500 M = 1000 Tambahan tanda garis di atas simbol tadi diartikan sebagai perkalian Sistem bilangan yang paling banyak digunakan saat ini adalah sistem Arab. Sistem ini pertama kali dibuat oleh orang Hindus dan digunakan pada awal abad ke-3 sebelum Masehi. Pengenalan simbol 0, yang digunakan untuk menunjukkan nilai posisi angka menjadi sangat bermanfaat. Sekarang kita menjadi terbiasa dengan puluhan, ratusan, ribuan, dan seterusnya. Dalam sistem bilangan, banyak terjadi perulangan berkali-kali penggunaan suatu simbol. Pada sistem desimal, hanya digunakan simbol sebanyak 10 macam. Simbol ini akan diulang-ulang untuk menyatakan bilangan yang besar. Lihat Gambar 1.1 Perhatikan bagaimana bilangan 0 sampai dengan 9 diulang, dan setiap perulangan, nilai kolom sebelah kirinya bertambah satu (dari 0 menjadi 1, kemudian 2). Setiap terjadi kenaikan nilai, sampai nilai tertinggi tercapai (yaitu 9), nilai dikolom sebelah kirinya bertambah 1, jadi setelah 9 adalah 10. Demikian seterusnya berulang-ulang. 09, 10-19, 20-29, dst Angka selalu dinulis dengan nilai tertinggi pada bagian paling kiri dari bilangan. 1.2 Nilai Basis Nilai basis untuk sistem bilangan adalah cacah himpunan nilai berbeda sebelum terjadi perulangan. Misalnya, sistem desimal adalah berbasis sepuluh, dengan nilai 0 sampai dengan 9. Nilai basis yang lain misalnya: biner, oktal, duodesimal, heksadesimal, vigesimal, seksagesimal. Sistem desimal adalah sistem yang paling dikenal, karena ini adalah sistem yang digunakan dalam perhitungan sehari-hari Desimal Sistem desimal terdiri atas 10 angka atau simbol, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Dengan menggunakan simbol ini kita dapat menyatakan besaran. Sistem desimal sering dinamakan juga sistem basis-10, karena mempunyai 10 angka.

14 1.2. Nilai Basis p 1 e 2 r 3 u 4 l 5 a 6 n 7 g 8 a 9 n v 12 e 13 r 14 t 15 i 16 k 17 a 18 l Perulangan horisontal Gambar 1.1: Perulangan horisontal dan vertikal Biner Dalam sistem biner, hanya ada 2 simbol atau angka yaitu 0 dan 1. Sistem basis-2 ini dapat dipergunakan untuk menyatakan besaran yang direpresentasikan dalam desimal maupun sistem bilangan lain. Contoh: Desimal Biner

15 4 1. SISTEM BILANGAN Oktal Sistem oktal adalah sistem basis-8 dengan simbol sebanyak 8 macam yaitu: 0,1,2,3,4,5,6, dan 7. Contoh: Heksadesimal Desimal Biner Oktal Sistem heksadesimal adalah sistem basis-16 dengan simbol sebanyak 16 macam yaitu: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E dan F. Contoh: Desimal Biner Heksadesimal D B D FF Sistem duodesimal adalah sistem berbasis 12 digunakan oleh orang Romawi untuk beberada keperluan. Sistem vigesimal adalah sistem bilangan berbasis 20 digunakan oleh orang Maya sedang seksagesimal berbasis 60 dan digunakan oleh orang Babylonia. 1.3 Faktor Bobot Faktor bobot adalah nilai pengali yang dikenakan pada setiap posisi kolom dalam bilangan. Misalnya, desimal mempunyai faktor bobot sepuluh, yang artinya setiap kolom disebelah kiri mempunyai nilai bobot sebesar sepuluh kali lebih besar dari kolom sebelah kanannya. Dengan demikian setiap bergeser ke kiri faktornya menjadi 10 kali lipat. 200= = 0 1 = = 0 10 = = = (hasil penjumlahan) Contoh lain untuk bilangan 312,

16 1.4. Konversi sistem bilangan 5 312= = 2 1 = = 1 10 = = = (hasil penjumlahan) Bilangan biner mempunyai faktor bobot sebesar dua. Oleh karena itu bilangan dapat diuraikan menurut bobotnya menjadi: 10110= = 0 1 = = 1 2 = = 1 4 = = 0 8 = = 1 16 = (hasil penjumlahan) 1.4 Konversi sistem bilangan Konversi bilangan desimal menjadi biner Pengubahan bilangan desimal menjadi bilangan biner dapat dilakukan dengan membagi dua bilangan desimal tersebut secara berulang sampai habis sambil mencatat sisa hasil bagi (modulo). Sebagai contoh bilangan desimal 19 dapat diubah menjadi bilangan biner dengan cara yang terlihat pada Gambar = 9 sisa = 4 sisa = 2 sisa = 1 sisa = 0 sisa = Gambar 1.2: Konversi bilangan desimal 19 menjadi biner Untuk menguji hasil konversi tersebut dapat dilakukan dengan cara sebelumnya. Lihat Gambar 1.3.

17 6 1. SISTEM BILANGAN 10110= = 1 1 = = 1 2 = = 0 4 = = 0 8 = = 1 16 = (hasil penjumlahan) Gambar 1.3: Pengujian bilangan biner menjadi bilangan desimal Konversi bilangan desimal menjadi oktal Pengubahan bilangan desimal menjadi bilangan oktal dapat dilakukan dengan cara yang sama dengan konversi dari bilangan desimal menjadi bilangan biner, dengan mengganti bilangan pembagi dengan delapan. Sebagai contoh bilangan desimal 321 dapat diubah menjadi bilangan oktal dengan cara yang terlihat pada Gambar = 40 sisa = 5 sisa = 0 sisa = Gambar 1.4: Konversi bilangan desimal 321 menjadi oktal Untuk menguji hasil konversi tersebut dapat dilakukan dengan cara sebelumnya. Lihat Gambar = = 1 1 = = 0 8 = = 5 64 = (hasil penjumlahan) Gambar 1.5: Pengujian bilangan oktal 501 menjadi bilangan desimal Sekilas terlihat bahwa perhitungan di atas tidak benar. Namun demikian, perlu diingat bahwa perhitungan tersebut dilakukan dalam bilangan oktal. Hasil dari 15 2 adalah 6 dengan sisa 1, karena sebenarnya 15 8 =

18 1.4. Konversi sistem bilangan Konversi bilangan desimal menjadi heksadesimal Cara pengubahan bilangan desimal menjadi bilangan oktal dapat diterapkan juga untuk mengubah bilangan desimal menjadi heksadesimal, dengan cara mengganti bilangan pembagi dengan enam belas. Sebagai contoh bilangan desimal 321 dapat diubah menjadi bilangan heksadesimal dengan cara yang terlihat pada Gambar = 20 sisa = 1 sisa = 0 sisa = Gambar 1.6: Konversi bilangan desimal 321 menjadi heksadesimal Hasil konversi inipun dapat diuji kebenarannya dengan cara yang sama seperti sebelumnya. Lihat Gambar = = 1 1 = = 4 16 = = = (hasil penjumlahan) Gambar 1.7: Pengujian bilangan heksadesimal 141 menjadi bilangan desimal Cara lain konversi bilangan Secara umum pengubahan suatu bilangan dalam sistem bilangan non-desimal menjadi suatu bilangan dalam sistem bilangan non-desimal lain dapat dilakukan dengan mengubahnya terlebih dahulu ke bilangan desimal, kemudian diubah ke sistem bilangan tujuan. Namun demikian pengubahan bilangan biner menjadi bilangan oktal (dan bilangan heksadesimal) dan sebaliknya dapat dilakkan secara langsung dengan cara seperti ditunjukkan pada Gambar 1.8. [h!] = }{{} 001 }{{} 101 }{{} 111 = Gambar 1.8: Pengubahan bilangan oktal 157 menjadi biner

19 8 1. SISTEM BILANGAN Cara tersebut dilakukan dengan mengubah setiap digit bilangan oktal menjadi 3 digit biner (bit). Ingat 8 adalah 2 3. Sebaliknya untuk mengubah bilangan biner menjadi bilangan oktal dapat ditempuh dengan mengelompokkan setiap 3 bit dari bilangan biner dari kanan dan menerjemahkan masing-masing kelompok menjadi bilangan oktal yang sesuai. Lihat Gambar 1.9. [h!] = }{{} 10 }{{} 011 }{{} 001 = Gambar 1.9: Pengubahan bilangan biner menjadi oktal Pengubahan bilangan heksadesimal menjadi biner dapat dilakukan dengan menerjemahkan setiap digit bilangan heksadesimal menjadi 4 bit. Bilangan 4 didapat karena 16 (heksadesimal) adalah 2 4. Contoh 1.1 Ubah bilangan 2BA 16 menjadi bilangan desimal! Jawab: 2BA 16 = = = = Contoh 1.2 Ubah bilangan menjadi bilangan heksadesimal! Jawab: 845 = 52 sisa 13(D) = 3 sisa = 0 sisa 3 Jadi = 34D 16

20 1.5. Sistem Kode 9 Contoh 1.3 Ubah bilangan 2B 16 menjadi bilangan biner! Cara I: Bilangan setiap kali dibagi dengan 2. Perlu diingat bahwa pembagian dilakukan dalam bilangan heksadesimal. Cara II: 2B = 15 sisa = A sisa 1 2 A = 5 sisa = 2 sisa = 1 sisa = 0 sisa 1 Jadi 2B 16 = Setiap digit bilangan heksadesimal diterjemahkan menjadi 4 bit. Contoh 1.4 2B 16 = = Ubah bilangan biner menjadi bilangan heksadesimal! Jawab: Setiap 4 bit dikelompokkan untuk diterjemahkan menjadi masingmasing 1 digit heksadesimal 1.5 Sistem Kode = = 1 9 B = 19B 16 Satu bit dapt digunakan untuk menyatakan dua bilangan yaitu 0 atau 1, 2 bit dapat menyatakan empat (4 = 2 4 ) bilangan yaitu 00, 01, 10, atau 11, tiga bit dapat menyatakan 8 (= 2 3 ) bilangan, dan empat bit dapat menyatakan 16 (= 2 4 ). Demikian seterusnya.

21 10 1. SISTEM BILANGAN

22 BAB 2 RANGKAIAN LOGIKA DIGITAL KOMBINASIONAL Sebelum melangkah lebih jauh, dalam bab ini akan dibahas dasar-dasar logika digital yang merupakan elemen dasar penyusunan komputer. Pembahasan dimulai dengan rangkaian logika kombinasional yang hasil keluarannya hanya tergantung pada masukan saat itu, kemudian dilanjutkan dengan rangkaian logika sekuensial yang hasil keluarannya tergantung pada masukan saat itu dan hasil keluaran sebelumnya. Dengan memahami prinsip logika digital, dapat dirancang rangkaian logika digital seperti yang ada dalam komputer. 2.1 Unit Logika Kombinasional Unit logika kombinasional (ULK) adalah unit yang menerjemahkan sederetan masukan menjadi sederetan keluaran menggunakan fungsi-fungsi tertentu. Keluaran yang dihasilkan hanya merupakan fungsi dari masukan, dan begitu nilai masukan berubah maka nilai keluaran akan menyesuaikan. Bentuk umum dari unit logika kombinasional tercantum pada Gambar 2.1. Sederetan masukan i 0 i n diumpankan ke ULK, yang mengahsilkan sederetan keluaran sesuai dengan fungsi f 0 f m. Tidak ada umpan balik dari keluaran ke masukan dalam rangkaian logika kombinasional. Masukan dan keluaran untuk ULK secara normal mempunyai 2 nilai yaitu: tinggi dan rendah. Jika sinyal (nilai) berupa nilai yang dimabil dari anggota himpunan berhingga, rangkaiannya disebut digital. Rangkaian elektronika digital menerima masukan dan keluaran dalam nilai 0 atau 1. Nilai 0 yang berarti 0 volt disebut sebagai nilai rendah dan nilai 1 yang biasanya mengacu pada 5 volt disebut nilai tinggi. Kesepakatan ini tidak 11

23 12 2. RANGKAIAN LOGIKA DIGITAL KOMBINASIONAL i 0 f 0 (i 0,i 1 ) i 1 unit logika f 1 (i 1,i 3,i 4 ). kombinasional. i n f m (i 9,i n ) Gambar 2.1: Unit logika kombinasi, jika dilihat dari luar berlaku di semua keadaan. Walaupun sebagian besar komputer digital adalah komputer biner, namun rangkaian yang menggunakan multi-nilai juga ada. Jalur yang mengirimkan data denga multi-nilai menjadi lebih efisien daripada menggunakan 2 nilai saja. Rangkaian digital multi-nilai berbeda dengan rangkaian analog karena rangkaian digital multi-nilai mempunyai variasi nilai terhingga sedangkan sinyal analog mempunyai nilai kontinu. Secara teori penggunaan rangkaian digital multi-nilai adalah menguntungkan. Namun dalam pratiknya sulit untuk membuat rangkaian multi-nilai yang handal dalam membedakan nilai lebih dari 2 macam. Oleh karena itu, logika multi-nilai saat ini digunakan secara terbatas. Dalam buku ini hanya akan dibahas mengenai rangkaian digital biner, yang mempunyai tepat 2 macam nilai yang diperbolehkan untuk masukan maupun keluaran. Dengan demikian, hanya sinyal binerlah yang digunakan dalam pembahasan selanjutnya. 2.2 Tabel Kebenaran Pada tahun 1854 George Boole mempublikasikan kertas kerjanya dalam bentuk aljabar unruk merepresentasikan logika. Boole tertarik dengan pemikiran matematika untuk menuangkan pernyataan Pintu itu terbuka atau Pintu itu tidak terbuka. Aljabar Boole kemudian dikembangkan oleh Shannon dalam bentuk seperti sekarang ini. Dalam aljabar boole, perhitungan didasarkan pada variabel biner yang mempunyai satu nilai 0 atau 1. Nilai ini mengacu pada nilai 0 volt dan 5 volt seperti yang ditulis pada bagian sebelumnya. Pengacuan nilai ini dapat tertukar. Artinya nilai 0 mengacu pada +5 V dan nilai 1 mengacu pada 0 V. Untuk memahami kelakukan rangkaian digital pembahasan dititikberatkan pada nilai simbolis 0 dan 1 saja. Dengan kata lain nilai fisik dikesampingkan terlebih dulu. Sumbangan penting yang diberikan Boole adalah penyusunan tabel kebenaran, yang menyatakan hubungan logis dalam bentuk tabel. Misalnya ada ruang dengan 2 saklar A dan B yang mengendalikan lampu Z. Salah satu saklar dapat hidup atau mati, atau kedua saklar dapat hidup atau mati.

24 2.3. Gerbang Logika 13 Jika hanya ada satu saklar yang hidup maka lampu Z akan menyala. Jika kedua saklar hidup semua atau mati semua, lampu Z akan mati. Tabel kebenaran dapat disusun dengan mendaftar semua kemungkinan kombinasi keadaan saklar A dan B serta keadaan lampu Z seperti pada Tabel 2.2. Dalam tabel tersebut nilai 0 menyatakan mati sedang nilai 1 menyatakan hidup atau menyala. Dalam tabel kebenaran, semua kombinasi biner 0 dan 1 yang mungkin untuk nilai masukan didaftar dan setiap kombinasi tersebut menghasilkan nilai keluaran 0 atau 1. Untuk Gambar 2.2.(a) keluaran Z tergantung pada nilai masukan A dan B. Untuk setiap kombinasi masukan menghasilkan nilai X 0 atau 1. Kita dapat menentukan tabel lain seperti Gambar 2.2.(b) yang berarti lampu akan menyala jika A dan B kedua-duanya mati atau kedua-duanya hidup. Jumlah kombinasi yang mungkin untuk 2 masukan adalah 2 2 = 4. Jumlah kombinasi keluaran yang mungkin adalah 2 4 = 16, karena ada 4 kombinasi masukan yang masing-masing baris kombinasi masukan ada 2 kemungkinan nilai keluaran. Secara umum, karena ada 2 n kombinasi masukan untuk masukan sebanyak n, maka ada 2 2n kombinasi keluaran dan masukan. Masukan Keluaran Masukan Keluaran A B Z A B Z (a) (b) Gambar 2.2: Tabel kebenaran untuk saklar A dan B serta lampu Z 2.3 Gerbang Logika Jika kita mendaftar semua kemungkinan dari kombinasi variabel 2 masukan, maka didapat 16 macam kombinasi keluaran seperti tampak pada Gambar 2.3. Fungsi-fungsi tersebut dinamakan fungsi logika Boolean. Fungsi AND akan benar (hasilnya 1) hanya jika A dan B keduanya 1, sedang fungsi OR akan benar (nilainya 1) jika A atau B bernilai 1, yang berarti juga jika keduanya bernilai 1. Fungsi akan menghasilkan salah jika keluaran bernilai 0. Oleh karena itu fungsi False selalu menghasilkan 0 sedang fungsi True selalu menghasilkan 1.

25 14 2. RANGKAIAN LOGIKA DIGITAL KOMBINASIONAL Masukan Keluaran A B F alse AND AB A AB B XOR OR Masukan Keluaran A B NOR XNOR B A+B A A+B NAND True Gambar 2.3: Tabel kebenaran untuk semua kemungkinan fungsi dari 2 masukan Fungsi A dan B hanya mengulang nilai masukan A dan B sedang fungsi A dan B adalah komplemen A dan B yang nilai berkebalikan dengan A dan B. Fungsi ini dapat ditulis juga dengan NOTA dan NOTB. Fungsi NAND kependekan dari NOT AND sedang NOR kependekan dari NOT OR. Fungsi XOR bernilai benar jika salah satu masuka bernilai benar, dan bukan keduaduanya benar. Fungsi XNOR adalah komplemen dari XOR. Fungsi lainnya dapat diduga sendiri artinya. Dari 16 fungsi tersebut, ada 3 fungsi paling dasar dalam gerbang logika ini adalah AND,OR dan NOT. Ke-13 fungsi lainnya dapat disusun dari 3 fungsi tersebut. Lihat Gambar 2.4. Gerbang logika adalah alat fisis yang merupakan implementasi dari fungsi Boolean. Fungsi seperti yang tertera pada Gambar 2.3 mempunyai simbol gerbang logika, dan sebagian dapat dilihat pada Gambar 2.5 dan Gambar 2.6. Untuk setiap fungsi, masukannya adalah A dan B dan sebagai keluaran adalah F. Dalam Gambar 2.5, gerbang AND dan OR sudah dijelaskan sebelumnya. Keluaran dari gerbang AND akan benar jika kedua masukan bernilai benar, dan menghasilkan salah untuk kombinasi lainnya. Keluaran dari gerbang OR adalah benar jika salah satu atau kedua masukan bernilai benar, dan bernilai salah jika kedua masukan bernilai salah. Gerbang buffer hanya meneruskan nilai masukan. Walaupun secara logika gerbang buffer tidak mempunyai peran, namun dalam praktik ini penting karena dapat mengendalikan sejumlah gerbang dengan satu sinyal saja. Gerbang NOT (disebut juga pembalik atau inverter) menghasilkan 1 untuk masukan 0 dan menghasilkan 0 un-

26 2.3. Gerbang Logika 15 False = 0 AB = A AND NOT B A = A AB = NOT A AND B B = B XOR = A AND NOT B OR NOT A AND B NOR = NOT (A OR B) XNOR = NOT (A AND NOT B OR NOT A AND B) B = NOT B A+B = A OR NOT B A = NOT A A+B = NOT A OR B NAND = NOT (A AND B) True = 1 Gambar 2.4: Fungsi AND, OR, dan NOT sebagai pembentuk fungsi-fungsi lainnya tuk masukan 1. Sekali lagi, keluaran pembalik ini adalah komplemen dari masukan. Lingkaran kecil di bagian keluaran atau masukan berfungsi juga sebagai komplemen. Dalam Gambar 2.6, gerbang NAND dan NOR mengahasilkan komplemen dari gerbang AND dan OR. Gerbang XOR menghasilkan 1 jika salah satu masukan bernilai 1, tetapi tidak keduanya. Secara umum, gerbang XOR menghasilkan 1 jika masukan yang bernilai 1 berjumlah ganjil. Ini penting untuk diingat karena gerbang XOR tidak selalu mempunyai 2 masukan. Gerbang XNOR menghasilkan komplemen dari gerbang XOR. Simbol logika seperti gambar 2.5 dan 2.6 hanya merupakan bentuk dasar. Masih banyak variasi simbol yang sering digunakan. Contohnya, dapat berupa AND dengan 3 masukan seperti Gambar 2.7a. Lingkaran kecil sebagai simbol kompelemen juga dapat dipasang pada bagian masukan seperti pada Gambar 2.7b. Secara fisis, gerbang logika bukanlah barang ajaib, karena hanya berupa rangkaian elektronika yang menghasilkan keluaran tertentu dari masukan tertentu. Misalnya pada gerbang NOT, akan menghasilkan logika 1 (+5V)

27 16 2. RANGKAIAN LOGIKA DIGITAL KOMBINASIONAL A B F A B F A B AND F = AB A B OR F = A+B A F A F A F = A A F = A BUFFER NOT Gambar 2.5: Simbol gerbang logika untuk fungsi Boolean AND, OR, buffer, dan NOT untuk masukan berupa logika 0 (0V). Bagian berikut membahas mekanisme dasar bagaimana rangkaian gerbang logika bekerja. 2.4 Implementasi Elektronik dari Gerbang Logika Secara elektronis, gerbang logika mempunyai terminal untuk dihubungkan dengan sumber tenaga yang biasanya tidak ditampilkan. Gambar 2.8a menggambarkan pembalik dengan terminal +5V dan 0V (GND) yang dimunculkan. Sinyal +5V biasanya disebut V CC yang berarti voltage collector-collector. Pada rangkaian fisis, semua terminal V CC dan GND dihubungkan dengan sumber tenaga yang cocok. Gerbang logika tersusun dari alat elektronik yang disebut transistor, yang dapat bersifat sebagai saklar yang mengendalikan sinyal elektronis kuat dengan menggunakan sinyal elektronis lemah. Transistor juga bersifat penguat yang dapat menguatkan sinyal masukan sehingga dapat digunakan untuk dihubungkan dengan banyak gerbang logika. Tanpa penguatan, kita mungkin hanya dapat mengirim sinyal ke sejumlah kecil gerbang logika, sebelum sinyal itu bercampur dengan derau sehingga tidak terdeteksi lagi.

28 2.4. Implementasi Elektronik dari Gerbang Logika 17 A B F A B F A B NAND F = AB A B NOR F = A+B A B F A B F = A B Exclusive-OR (XOR) A B F A B F = A B Exclusive-NOR (XNOR) Gambar 2.6: Simbol gerbang logika untuk fungsi Boolean NAND, NOR, XOR, dan XNOR A B C (a) F = ABC A B (b) F = A + B Gambar 2.7: Variasi gerbang logika (a) tiga masukan dan (b) masukan dengan komplemen Simbol transistor tampak seperti Gambar 2.8c yang digunakan sebagai gerbang pembalik. Untuk masukan berupa 0 (0 V) pada basis akan menghasilkan keluaran 1 (+5 V) pada kolektor, karena tidak ada arus dari V CC ke GND akibat transistor mati. Jika sinyal 1 (+5 V) dimasukkan ke basis, maka akan ada arus listrik dari V CC ke GND karena transistor hidup. Oleh karena itu di kolektor tegangannya cukup kecil untuk dianggap logika 1. Jadi keluaran akan 0 (0 V). Karena akan selalu ada arus yang mengalir walaupun keluaran menunjukkan logika 0, maka kita perlu menentukan batas tegangan yang aman untuk nilai logika 0 dan 1. Jika kita menentukan secara ketat bahwa logika 0 adalah 0 V dan logika 1 adalah 5 V, maka kemungkinan rangkaian kita tidak bekerja sebagai mana mestinya jika keluarannya adalah 0.1 V bukan 0 V. Hal

29 18 2. RANGKAIAN LOGIKA DIGITAL KOMBINASIONAL V CC R A V cc = +5V F = A GND = 0V (a) A (b) A Gambar 2.8: (a) pembalik dengan terminal tenaga dimunculkan dan (b) rangkaian transistor untuk pembalik ini dapat terjadi dalam praktiknya. Untuk alasan ini, maka penentuan nilai tegangan untuk logika 0 dan 1 menggunakan batas ambang. Pada Gambar 2.9a logika 0 ditentukan pada tegangan dalam rentang 0 V sampai dengan 0.4 V dan logika 1 dalam rentang 2.4 V sampai dengan 5 V. Rentang tegangan pada Gambar 2.9a adalah untuk sinyal keluaran. Karena sinyal dapat mengalami pelemahan maka untuk sinyal masukan diberi berselisih 0.4 V seperti tampak pada Gambar 2.9b. Namun demikian rentang nilai tegangan yang tercantum di sini tidak mengikat, tergantung dari keluarga gerbang logika yang digunakan. 5.0 V 5.0 V Logika 1 Logika V 0.4 V 0.0 V Daerah terlarang Logika 0 (a) 2.0 V 0.8 V 0.0 V Daerah terlarang Logika 0 Gambar 2.9: Penentuan nilai tegangan untuk logika 0 dan 1 (a) gerbang logika keluaran, (b) gerbang logika masukan Gambar 2.10 menunjukkan rangkaian transistor untuk gerbang logika NAND dan NOR. Untuk rangkaian NAND kedua masukan A dan B harus berada pada daerah tegangan logika 1 untuk menghasilkan keluaran pada daerah tegangan logika 0. Untuk rangkaian gerbang NOR, salah satu ma- (b)

30 2.5. Buffer Tri-State 19 V CC R A AB V CC R A+B B A B (a) (b) Gambar 2.10: Rangkaian transistor (a) NAND 2 masukan (b) NOR 2 masukan sukan A atau B berada pada tegangan logika 1, akan mengakibatkan keluaran berada pada daerah tegangan Buffer Tri-State Buffer Tri-state adalah seperti buffer biasa yang kita bahas sebelumnya, dengan pengecualian bahwa ada tambahan masukan untuk mengendalikan keluaran buffer. Tergantung dari masukan kendali ini, keluaran dari buffer dapat bernilai 0, 1, atau tak berfungsi. Jadi ada 3 macam keluaran. Dalam Gambar 2.11a, jika masukan kendali C bernilai 1 maka buffer bekerja seperti biasa. Namun jika masukan kendali C ini bernilai 0 maka buffer dalam keadaan tak berfungsi, tidak ada sinyal keluaran. Simbol φ digunakan untuk menyatakan keadaan tak berfungsi ini. Perlu diketahui bahwa keadaan φ tidak menunjukkan 0 atau 1, tetapi menyatakan bahwa tidak ada sinyal. Dalam istilah elektronika keadaan ini disebut berimpedansi tinggi high impedance. Buffer tri-state kendali inversi mirip dengan buffer tri-state kecuali masukan kendalinya merupakan komplemen. Lihat Gambar 2.11b. A C (a) F = AC atau F = A C (b) F = AC atau F = Gambar 2.11: Buffer tri-state dan Buffer tri-state kendali inversi Keluaran yang secara elektronis tak terhubung berbeda dengan keluaran

31 20 2. RANGKAIAN LOGIKA DIGITAL KOMBINASIONAL yang menghasilkan 0. Tidak terhubung secara elektronis berarti tidak ada sinyal elektronis sedang logika 0 terhubung dengan GND. Dengan buffer tristate memungkinkan sejumlah keluaran dihubungkan menjadi satu tanpa ada risiko hubung singkat, asal dijaga bahwa pada satu saat hanya boleh satu buffer tri-state yang hidup. Buffer tri-state penting saat implementasi register. 2.6 Sifat-sifat Aljabar Boole Tabel 2.1 merangkum sebagian dari sifat-sifat aljabar Boole yang dapat diterapkan pada ekspresi logika Boole. Postulat (dikenal sebagai postulat Huntington) merupakan aksioma dasar untuk aljabar Boole dan tidak memerlukan pembuktian. Teorema dapat dibuktikan melalui postulat. Setiap relasi dalam tabel mempunyai bentuk AND dan OR sebagai hasil dari prinsip dualisme. Bentuk dualisme ini memungkinan mengubah bentuk AND menjadi OR dan sebaliknya bentuk OR menjadi AND. Relasi Dualisme Sifat Postulat AB = BA A+B +B +A Komutatif A(B +C) = AB +AC A+BC = (A+B)+(A+C) Distributif 1A = A 0+A = A Identitas AA = 0 A+A = 1 Komplemen Teorema 0A = 0 1+A = 1 Teorema nol dan satu AA = A A+A = A Idempoten A(BC) = (AB)C A+(B +C) Asosiatif A = A Involusi AB = A+B A+B = A B Teorema DeMorgan AB +AC +BC (A+B)(AC)(B +C) Teorema konsensus = AB +AC = (A+B)(A+C) A(A+B) = A A+AB = A Teorema absorbsi Tabel 2.1: Sifat-sifat dasar aljabar Boole Sifat komutatif menyatakan bahwa urutan kemunculan du avriabel dalam fungsi AND dan OR tidak mengakibatkan hasil yang berbeda. Dengan prinsip dualisme, sifat komutatif mempunyai bentuk AND (AB = BA) dan bentuk OR (A+B = B +A). Sifat distributif menunjukkan bagiaman variabel didistribusikan melalui operasi AND. Karena prinsip dualisme juga maka ada sifat distributif untuk OR. Sifat identitas menunjukkan bahwa variabel yang di-and-kan dengan 1 atau di-or-kan dengan 0, menghasilkan nilai variabel itu sendiri. Sifat komplemen mengakibatkan bahwa variabel yang dikenakan operasi AND terhadap komplemen variabel tersebut, menghasilkan 0 (karena paling tidak

32 2.6. Sifat-sifat Aljabar Boole 21 pasti ada 1 operan bernilai 0), dan variabel yang dikenakan operasi OR terhadap komplemennya, menghasilkan nilai 1 (karena pasti ada nilai 1 pada operannya). Teorema nol dan satu menyatakan bahwa operasi AND antara variabel dengan 0 akan menghasilkan 0 dan operasi OR antara variabel dengan 1 akan menghasilkan 1. Teorema idempoten menyatakan bahwa operasi AND atau OR antara variabel dengan dirinya sendiri menghasilkan nilai variabel itu sendiri. Teorema asosiatif menyatakan bahwa urutan operasi AND atau OR tidak mengakibatkan hasil yang berbeda. Teorema involusi menyatakan bahwa komplemen dari komplemen suatu variabel adalah variabel itu sendiri. Teorema DeMorgan, teorema konsensus, dan teorema absorbsi tidak begitu jelas sehingga kita perlu membuktikannya. Teorema DeMorgan dapat dibuktikan dengan induksi yaitu mendaftar semua kemungkinan nilai 2 variabel A dan B serta fungsi yang dibuktikan seperti Gambar Sisi kiri dan kanan dalam ekspresi DeMorgan mempunyai nilai yang sama, inilah buktinya. Untuk teorema konsensus dan absorbsi, silakan dicoba sendiri untuk latihan. A B AB = A+B A+B = A B Gambar 2.12: Pembuktian teorema DeMorgan untuk 2 variabel Tidak semua gerbang logika dibicarakan secara mendalam karena berdasarkan 3 himpunan gerbang logika yaitu {AND, OR, NOT}, {NAND}, dan {NOR}, satu himpunan dapat disusun dari gerbang-gerbang pada himpunan lainnya. Sebagai contoh misalnya implementasi OR dengan menggunakan himpunan {NAND}. Teorema DeMorgan dapat digunakan untuk menyusun gerbang OR dari gerbang NAND seperti Gambar 2.13 dan Penjelasannya adalah sebagai berikut: A+B = A+B Teorema involusi = A B Teorema DeMorgan Untuk mendapatkan inversi (NOT) dari gerbang NAND penjelasannya adalah:

33 22 2. RANGKAIAN LOGIKA DIGITAL KOMBINASIONAL A B F = A+B A B F = A B Gambar 2.13: Penyusunan NAND menjadi OR A = A + A Teorema idempoten = A A Teorema DeMorgan A B A A+B A+B B Gambar 2.14: Implementasi OR dengan NAND (gambar lain) Fungsi AND dalam {NAND} (Gambar 2.15) dijelaskan sebagai berikut: AB = AB Teorema involusi A B F = AB A B F = AB Gambar 2.15: Penyusunan NAND menjadi AND Ekuivalensi di antara fungsi-fungsi logika menjadi penting dalam praktik, karena suatu jenis gerbang logika kemungkinan mempunyai karakteristik yang lebih baik daripada yang lainnya. 2.7 Bentuk Sum-of-Product dan Diagram Logika Misalnya kita akan membuat fungsi yang lebih kompleks daripada sekedar gerbang logika sederhana, seperti fungsi mayoritas yang tertera sebagai tabel kebenaran pada Gambar Fungsi mayoritas akan benar jika lebih dari separo masukan bernilai benar. Fungsi ini sering digunakan pada pembetulan kesalahan dengan menganggap bahwa nilai yang paling banyak muncul sebagai nilai hasil, atau kadang disebut pula sebagai fungsi voting. Karena pembahasan sampai di sini belum ada gerbang sederhana yang dapat digunakan secara langsung untuk implementasi fungsi mayoritas, maka kita akan melakukan transformasi dari persamaan AND-OR dua-level dan mengimplementasikannya dalam bentuk gerbang logika dari himpunan

34 2.7. Bentuk Sum-of-Product dan Diagram Logika 23 Indeks A B C F minterm Gambar 2.16: Tabel kebenaran untuk fungsi mayoritas {AND, OR, NOT} (misalnya). Disebut persamaan dua-level karena ada satu level bentuk AND dilanjutkan dengan satu level bentuk OR. Fungsi Boolean untuk mayoritas ini bernilai benar jika nilai F pada tabel kebenaran bernilai benar. Dengan demikian F akan benar untuk nilai A = 0,B = 1, dan C = 1, atau A = 1,B = 0, dan C = 1, dan seterusnya seperti dalam tabel. Salah satu cara untuk menuliskan persamaan logika adalah dengan menggunakan bentuk sum-of-product atau SOP, yang merupakan kumpulan AND dari variabel yang terlibat kemudian dioperasikan dengan OR. Bentuk persamaan logika untuk fungsi mayoritas tertulis pada Persamaan 2.1. Tanda + berarti operasi OR dan bukan penambahan secara aritmetika. F = ABC +ABC +ABC +ABC (2.1) Dengan mengamati persamaan tersebut kita dapat menentukan bahwa diperlukan 4 buah AND untuk implementasi suku perkalian ABC, ABC, ABC, dan ABC. Keluaran dari gerbang AND kemudian dihubungkan ke masukan gerbang OR 4-masukan seperti Gambar Rangkaian ini menunjukkan fungsi mayoritas, dan kita dapat mengeceknya dengan memasukkan semua kombinasi yang mungkin untuk masukan dan mengamati hasilnya.

35 24 2. RANGKAIAN LOGIKA DIGITAL KOMBINASIONAL A B C F Gambar 2.17: Implementasi fungsi mayoritas dengan dua-level AND-OR. Inverter tidak dihitung sebagai level. Jika setiap suku mengandung tepat masing-masing variabel 1 kali, dalam bentuk komplemen atau bukan, maka suku ini disebut minterm. Minterm mempunyai nilai 1 dalam keluaran tabel kebenaran. Dengan demikian minterm adalah minimum term yang menghasilkan benar. Sebagai alternatif fungsi dapat ditulis dalam bentuk jumlahan dari kombinasi yang benar. Persamaan 2.1 dapat ditulis ulang menjadi persamaan 2.2 dengan indeks adalah minterm indeks seperti Gambar F = (3,5,6,7) (2.2) Notasi ini digunakan secara resmi sebagai persamaan Boolean karena hanya berisi minterm saja. Persamaan 2.1 dan 2.2 disebut sebagai notasi resmi untuk bentuk SOP. 2.8 Bentuk Product-of-Sum Sebagai pasangan dari bentuk sum-of-product, persamaan Boolean dapat direpresentasikan dalam bentuk product-of-sum (POS). Persamaan dalam bentuk POS berupa koleksi rangkaian OR yang keluarannya dihubungkan bersama dengan gerbang AND. Salah satu cara untuk membentuk POS adalah dengan jalan melakukan komplemen terhadap bentuk SOP, dan kemudian diterapkan teorema DeMorgan. Sebagai contoh, lihat kembali fungsi mayoritas dalam bentuk tabel kebenaran di Gambar 2.16, bentuk komplemennya adalah baris-baris yang menghasilkan keluaran 0, seperti persamaan 2.3: F = A B C +A BC +ABC +AB C (2.3)

36 2.8. Bentuk Product-of-Sum 25 Dilakukan komplemen pada kedua ruas didapat persamaan 2.4: F = A B C +A BC +ABC +AB C (2.4) PenerapanteoremaDeMorganyangberbentukW +X +Y +Z = W X Y Z didapat persamaan 2.5: F = (A B C) (A BC) (ABC) (AB C) (2.5) Penerapan teorema DeMorganyang berbentuk WXYZ = W+X+Y +Z pada faktor dalam kurung didapat persamaan 2.6 F = (A+B +C)(A+B +C)+(A+B +C)(A+B +C) (2.6) Persamaan 2.6 berbentuk POS, dan berisi 4 maxterms, yang membolehkan setiap variabel muncul tepat 1 kali dalam bentuk komplemen maupun tidak. Maxterm, misalnya (A+B +C), mempunyai nilai 0 untuk satu baris dalam tabel kebenaran. Persamaan yang hanya berisi maxterm dalam bentuk POS dikatakan sebagai persamaan product-of-sum. Rangkaian OR-AND sebagai implementasi dari persamaan 2.5 tampaka pada Gambar A B C F Gambar 2.18: Rangkaian OR-AND dua-level implementasi dari fungsi mayoritas. Inverter tidak dihitung sebagai level Salah satu motivasi penggunaan POS daripada SOP adalah jika menghasilkan bentuk persamaan Boole yang lebih sederhana. Persamaan Boole yang lebih sederhana dapat menghasilkan rangkaian yang lebih sederhana, namun ini tidak pasti karena ada sejumlah faktor yang tidak tergantung langsung pada ukuran persamaan Boole, seperti kompleksitas topologi perkawatan.

37 26 2. RANGKAIAN LOGIKA DIGITAL KOMBINASIONAL Cacah gerbang adalah ukuran kompleksitas rangkaian yang menunjukkan cacah semua gerbang logika yang digunakan. Cacah masukan gerbang adalah ukuran lain kompleksitas rangkaian yang menunjukkan jumlah masukan ke semua gerbang logika. Untuk rangkaian pada Gambar 2.17 dan Gambar 2.18, cacah gerbang adalah 8 dan cacah masukan gerbang adalah 19 untuk bentuk SOP dan POS. Dalam kasus ini tidak ada perbedaan kompleksitas rangkaian antara bentuk SOP dan POS, tetapi untuk kasus lain perbedaannya menjadi nyata. Ada banyaj variasi metode untuk mereduksi kompleksitas rangkaian digital, beberapa di antaranya dibahas pada Bab Logika Positif dan Negatif Sampai saat ini kita berasumsi bahwa tegangan tinggi dan rendah berpadanan dengan logika 1 dan 0, atau BENAR dan SALAH, yang dikenal sebagai active high atau logika positif. Kita dapat membuat pernyataan yang sebaliknya: tegangan rendah untuk logika 1 dan tegangan tinggi untuk logika 0. Penggunaan logika negatif kadang-kadang lebih disukai daripada logika positif untuk aplikasi yang sifatnya menghalangi daripada membolehkan. Gambar 2.19 menunjukkan ilustrasi pasangan gerbang AND-OR dan NAND-NOR untuk logika positif dan negatif. Logika positif gerbang AND berlaku seperti logika negatif gerbang OR. Gerbang logika secara fisis sama tanpa memperhatikan logika positif atau negatif, hanya interpretasi sinyalnya berubah. Pencampuran logika positif dan negatif dalam satu sistem sebaiknya dihindari untuk mencegah kerancuan, tetapi kadang-kadang hal ini tidak dapat dihindari. Untuk kasus ini, suatu teknik yang dikenal dengan nama pencocokan gelembung membantu untuk menjaga agar logikanya berjalan dengan benar. Idenya adalah rangkaian logika positif bernilai positif dan dipasangi gelembung (yang berarti inversi) untuk semua masukan dan keluaran untuk dihubungkan dengan rangkaian logika negatif. Dengan demikian sinyal yang keluar dari gelembung adalah komplemen dari sinyal yang memasukinya. Perhatikan rangkaian yang ditunjukkan oleh Gambar 2.20a, 2 rangkaian logika positif digabungkan dengan gerbang AND dan dihubungkan ke sistem logika positif. Sistem yang ekuivalen secara logis ditunjukkan pada Gambar 2.20b. Dalam proses pencocokan gelembung, gelembung dipasang pada setiap masukan atau keluaran dari rangkaian aktif rendah seperti Gambar 2.20c. Untuk memudahkan analisis rangkaian, gelembung masukan aktif rendah

38 2.10. Data Sheet 27 Level tegangan Level logika positif Level logika negatif A B F A B F A B F rendah rendah rendah rendah tinggi rendah tinggi rendah rendah tinggi tinggi tinggi A B gerbang AND fisis F A B F = AB A B F = A+B Level tegangan Level logika positif Level logika negatif A B F A B F A B F rendah rendah tinggi rendah tinggi tinggi tinggi rendah tinggi tinggi tinggi rendah A B gerbang NAND fisis F A B F = AB A B F = A+B Gambar 2.19: Logika positif dan negatif untuk pasangan AND-OR dan NAND-NOR perlu dicocokkan dengan gelembung keluaran aktif rendah. Dalam Gambar 2.20c ada gelembung yang tidak cocok karena hanya ada 1 gelembung dalam 1 garis. Teorema DeMorgan digunakan untuk konversi dari gerbang OR menjadi gerbang NAND dengan masukan yang dikomplemenkan. Gambar 2.20d menunjukkan gelembung yang sudah cocok Data Sheet 2.11 Komponen Digital Desain rangkaian digital tingkat tinggi biasanya menggunakan sekumpulan gerbang yang dikemas dalam bentuk komponen bukan gerbang logika tunggal. Hal ini mengakibatkan bahwa kompleksitas rangkaian dapat dikurangi dan pemodelannya menjadi sederhana. Beberapa komponen dibahas dalam bagian berikut.