DIKTAT KULIAH STATISTIKA MATEMATIKA I

Transkripsi

1 DIKTAT KULIAH STATISTIKA MATEMATIKA I Disusun Oleh Dr.rer.nat. Wayan Somayasa, S.Si., M.Si. FMIPA UNHALU-KENDARI KENDARI 2008

2 Table of Contents Table of Contents 1 1 Statistik dan distribusi sampling Sampel random Statistik Distribusi sampling dari populasi normal Distribusi chi-kuadrat Distribusi t student Distribusi F Soal-soal Estimasi titik Metode momen Estimator dengan likelihood terbesar Kasus satu parameter (k = 1) Kasus k parameter Keriteria-keriteria memilih estimator Ketakbiasan Keterkonsentrasian dan UMVUE Soal-soal Statistik cukup, keluarga lengkap dan keluarga eksponensial Statistik cukup Keluarga lengkap Keluarga eksponensial Soal-soal

3 2 4 Estimasi interval Metode kuantitas pivot (pivotal quantity) Membandingkan dua populasi normal Metode umum Kasus h 1 dan h 2 monoton naik Kasus h 1 dan h 2 monoton turun Soal-soal Uji hipotesis Pendahuluan Menentukan daerah kritik Nilai p (p-value) Metode memilih tes terbaik Tes UMP untuk hipotesis sederhana Tes UMP untuk hipotesis komposit Keluarga monotone likelihood ratio (MLR) Tes dengan membandingkan fungsi likelihood Soal-soal Teori sampel besar 85 7 Teori Bayes 86 8 Estimasi dengan metode bootstrap 87

4 Chapter 1 Statistik dan distribusi sampling Pada bagian ini kita akan membahas konsep tentang statistik (engl.: statistic) dan distribusi sampling. Harap diperhatikan perbedaan antara statistik dan statistika (engl.: statistics). Sebelumnya kita akan mengajak pembaca untuk membahas pengertian sampel random dan peranannya dalam statistika. 1.1 Sampel random Misalkan seorang peneliti tertarik untuk mengamati proporsi ikan tuna yang tersebar di teluk Kendari. Tentu saja proporsi ini tidak diketahui kecuali kalau si peneliti tadi bisa menghitung semua ikan yang hidup di teluk Kendari dan kemudian menghitung berapa bagian dari total jumlah ikan tadi yang merupakan ikan tuna. Apakah ini mungkin dilakuan? Berapa banyak waktu, biaya dan tenaga yang perlu diinvestasikan kalau cara ini yang ditempuh? Sebagai statistikawan kita bisa membantu si peneliti tadi dengan statistika sebagai berikut. Kita misalkan populasi ikan di teluk Kendari sebagai ruang probabilitas 3

5 4 (Ω, F, P). Misalkan Ω T adalah himpunan semua ikan tuna, maka proporsi ikan tuna dalam populasi itu adalah P(Ω T ) = Ω T, yaitu jumlah ikan tuna dibagi jumlah ikan Ω keseluruhan. Kita misalkan konstanta yang tidak diketahui ini sebagai p 0. Misalkan X : Ω R adalah indikator dari Ω T, yaitu suatu fungsi yang didefinisikan sebagai berikut X(ω) : { 1 : jika ω ΩT 0 : jika ω Ω T. Maka X adalah sebuah variabel random (fungsi terukur) Bernoulli yang mengambil nilai pada ruang sampel (R, B, P X ), dimana untuk setiap himpunan bagian B B, P X (B) := P{ω Ω : X(ω) B}. Misalkan ambil kasus dimana B = {1}, maka P X ({1}) := P{ω Ω : X(ω) = 1} = P(Ω T ) = p. Selanjutnya P X disebut sebagai distribusi peluang dari X. Sebaliknya kalau B = {0}, maka P X ({0}) := P{ω Ω : X(ω) = 0} = P(Ω C T ) = 1 p, dimana ΩC T adalah komplemen dari Ω T. Jadi model distribusi peluang ikan tuna di teluk Kendari di gambarkan oleh model distribusi peluang dari X dengan fungsi densitas f X (x) := P X ({x}) = P{X = x} = p x (1 p) 1 x, x = 0, 1. Selanjutnya f X (x) disebut sebagai fungsi densitas populasi. Misalkan dari suatu eksperimen yang dilakukan misalkan dengan memancing ikan lalu mencatat hasilnya pada setiap pemancingan sebagi 1 jika yang didapat adalah tuna dan 0 jika hasilnya bukan ikan tuna. Andaikan pemancingan dilakukan n kali, maka data yang diperoleh adalah x 1,..., x n, dengan x i {0, 1}, i = 1,..., n. Dalam statistika kita memandang data sebagai realisasi (nilai) dari variabel random X 1,..., X n yang terdefinisi pada (Ω, F, P), yaitu X i (ω) = x i, untuk suatu ω Ω, i = 1,..., n. Kita nyatakan distribusi peluang bersama dari X 1,..., X n dengan n P X i yang terdefinisi pada (R n, B n ). Definisi Suatu himpunan random variable {X 1,..., X n } dikatakan sebagai

6 5 sampel random berukuran n dari suatu populasi X, jika dan hanya jika n P X i { n (, t i ]} = Π n P X i ((, t i ]) = Π n P X ((, t i ]), dimana n (, t i ] := (, t 1 ] (, t n ]. Jika populasi X mempunyai fungsi densitas f(x), maka {X 1,..., X n } dikatakan sebagai sampel random berukuran n dari suatu populasi X, jika dan hanya jika f X1,...,X n (x 1,..., x n ) = Π n f(x i ). Jadi suatu sampel random harus memenuhi kondisi dimana X 1,..., X n saling independen dan masing-masing mempunyai distribusi peluang yang sama dengan distribusi peluang populasinya (sering juga dikatakan i.i.d sebagai singkatan dari independent and identically distributed). Kembali ke kasus semula jika pada setiap pemancingan (trial) ikan dilepas lagi, maka hasil berikutnya tidak akan terpengaruh dari hasil sebelumnya (saling independen) dan masing-masing akan mengikuti distribusi yang sama yaitu Bernoulli dengan parameter p. Jadi eksperimen kita akan menghasilkan sampel random berukuran n dari populasi ikan tuna di teluk Kendari. Sebagai contoh lain, misalkan suatu pabrik lampu dalam setahun memproduksi lampu pijar dengan jenis yang sama, misalkan jenis A. Karena suatu hal, daya tahan lampu yang dihasilkan ternyata berbeda-beda. Andaikan produsen tertarik untuk menyelidiki proporsi lampu yang mempunyai daya tahan sesuai spesifikasi tertentu, misalkan daya tahannya melebihi t jam. Andaikan populasi lampu jenis A dimisalkan sebagai ruang (Ω, F, P) dan Y : (Ω, F, P) (R 0, B(R 0 ), P Y ) dengan

7 6 Y (ω) adalah daya tahan bola lampu ω Ω. Andaikan Y mengikuti distribusi exponensial dgn parameter θ > 0, maka proporsi bola lampu jenis A yang daya tahannya lebih dari atau sama dengan t jam adalah P Y ([t, )) = t 1 exp{ y/θ}dy = θ exp{ t/θ}, t 0. Andaikan Y 1,..., Y n adalah sampel random dari populasi Y, maka n P Y i ( n [t i, )) = Π n exp{ t i /θ} = exp{ 1 θ n t i}. 1.2 Statistik Pada subbab sebelumnya kita mengenal p dan θ sebagai konstanta-konstanta (parameterparameter) yang tidak diketahui nilainya. Tujuan dari statistika adalah merumuskan suatu konsep inferensi atau pendugaan terhadap parameter-parameter tersebut. Alat utama yang digunakan adalah apa yang disebut statistik. Definisi Misalkan {X 1,..., X n } adalah himpunan n N variabel random teramati dari suatu populasi tertentu. Statistik adalah sembarang fungsi T := t(x 1,..., X n ) yang tidak bergantung pada sembarang parameter yang tidak diketahui. Selanjutnya distribusi dari suatu statistik disebut distribusi sampling. Catatan: Pada Definisi kata teramati mengandung pengertian bahwa melalui suatu eksperimen n titik data yang diperoleh adalah realisasi dari X 1,..., X n. Variabel-variabel ini harus teramati, karena kalau tidak, maka fungsi t tidak bisa dihitung. Contoh Misalkan X 1,..., X n adalah sampel random dari suatu populasi dengan mean µ dan variansi σ 2 > 0. Mean sampel X := 1 n n X i and variansi sampel S 2 := 1 n 1 n (X i X) 2 merupakan statistik dengan sifat-sifat sebagai berikut:

8 7 1. E( X) = µ and V ar( X) = σ 2 /n. 2. E(S 2 ) = σ 2 and V ar(s 2 ) = 1 n (µ 4 n 3 n 1 σ4 ), dengan µ 4 := E(X 4 ). Untuk kasus penyelidikan ikan tuna di teluk Kendari, proporsi sampel adalah ˆp := 1 n n X i, dengan X i i.i.d. Bin(1, p). Maka E(ˆp) = p dan V ar(ˆp) = p(1 p). 1.3 Distribusi sampling dari populasi normal Pada bagian ini kita akan mempelajari distribusi dari beberapa statistik yang merupakan fungsi dari sampel random dari populasi normal. Kita batasi pembicaraan pada populasi normal saja karena selain secara matematika mudah diturunkan, juga karena model distribusi ini banyak dipakai di lapangan. Teorema Misalkan X 1,..., X n saling independen dan berdistribusi N(µ i, σ 2 i ). Maka Y := n a ix i N ( n a iµ i, n a2 i σ 2 i ), untuk a i R, i = 1,..., n. Proof. Hasil ini dapat dibuktikan dengan konvolusi dari variabel random normal. Yaitu jumlah dari beberapa variabel random normal adalah normal. Karena distribusi normal ditentukan secara tunggal hanya oleh mean dan variansinya, berarti kita hanya perlu menghitung mean dan variansi dari Y yang diberikan oleh n a iµ i dan n a2 i σ 2 i. Cara lain adalah dengan metode ketunggalan fungsi pembangkit momen (Moment Generating Functions/MGF). Secara umum jika X N(µ, σ 2 ), maka M X (t) = exp{tµ t2 σ 2 }, t R. (1.3.1) Karena X i saling independen, maka berlaku M Y (t) = Π n M Xi (a i t) = Π n exp{ta i µ i t2 a 2 i σ 2 i }

9 8 = exp{t n a i µ i t2 n a 2 i σi 2 }. (1.3.2) Selanjutnya dengan membandingkan (1.3.1) dan (1.3.2), teorema terbukti. Contoh Misalkan X 1,..., X n1 dan Y 1,..., Y n2 merupakan dua sampel random yang saling bebas masing-masing berukuran n 1 dan n 2. Jika X i N(µ 1, σ 2 1) dan Y j N(µ 2, σ 2 2), i = 1,..., n 1 dan j = 1,..., n 2, maka X Ȳ N(µ 1 µ 2, σ 2 1/n 1 + σ 2 2/n 2 ). Proof. Pernyataan ini dapat ditunjukan dengan menggunakan secara langsung hasil pada Teorema dan kenyataan X Ȳ = 1 n 1 X n 1 X n1 1 n 2 Y n 2 Y n2. Cara lain adalah dengan metode MGF sebagai berikut: M X Ȳ (t) = M X(t)M Ȳ ( t) (kedua sampel saling independen) = Π n 1 M X i (t/n 1 )Π n 2 { = Π n 1 t exp µ n 1 2 = exp j=1 M Y j ( t/n 2 ) t 2 σ n } Π n 2 exp { t { t(µ 1 µ 2 ) t2 (σ 2 1/n 1 + σ 2 2/n 2 ) µ n 2 2 }. Persamaan yang terakhir adalah MGF dari N(µ 1 µ 2, σ 2 1/n 1 + σ 2 2/n 2 ). t 2 σ n Contoh Dari hasil pada Contoh tentukan suatu konstanta c sedemikian hingga 95% dari populasinya mempunyai selisih mean sampel lebih dari c. Jawab: Dengan menggunakan transformasi variabel diperoleh P { X Ȳ c } { ( = 0, 95 P X } Ȳ ) (µ 1 µ 2 ) c (µ 1 µ 2 ) = 0, 95. σ 2 1 /n 1 + σ2/n 2 2 σ 2 1 /n 1 + σ2/n 2 2 Selanjutnya karena ( X Ȳ ) (µ 1 µ 2 ) σ1 2/n 1+σ2 2/n 2 dari persamaan N(0, 1), maka konstanta c adalah penyelesaian c (µ 1 µ 2 ) σ 2 1 /n 1 + σ 2 2/n 2 = z 0,05 c = (µ 1 µ 2 ) + z 0.05 σ 2 1/n 1 + σ 2 2/n 2. }

10 Distribusi chi-kuadrat Definisi Suatu variabel random X dikatakan berdistribusi chi-kuadrat dengan derajat bebas ν (X χ 2 (ν)), jika dan hanya jika X Gamma(2, ν/2). Remark Sifat-sifat distribusi chi-kuadrat dapat diturunkan langsung dari sifatsifat distribusi Gamma. Jika X χ 2 (ν), maka 1. M X (t) = (1 2t) ν/2, 2. E(X r ) = 2 r Γ(ν/2+r) Γ(ν/2), r Z, 3. E(X) = ν dan V ar(x) = 2ν. Teorema Jika X Gamma(θ, κ), maka 2X/θ χ 2 (2κ). Proof. Bukti yang paling sederhana adalah dengan metode ketunggalan MGF: ( M 2X (t) = M X (2t/θ) = 1 θ 2t ) κ = (1 2t) 2κ/2. θ θ Jadi terbukti 2X/θ χ 2 (2κ). Contoh Andaikan bahwa daya tahan batu batrai yang diproduksi oleh suatu pabrik mengikuti distribusi Gamma(θ, κ). Jika pabrik ingin memberikan suatu jaminan bahwa 90% dari produknya mempunyai daya tahan lebih dari t 0 tahun, maka tentukan t 0. Jawab: Andaikan X adalah daya tahan batu batrai dalam satuan tahun. Yang ingin ditentukan oleh pabrik adalah t 0 sedemikian hingga P{X t 0 } = 0, 90. Tetapi dari Teorema 1.3.6, P{2X/θ 2t 0 /θ} = 0, 90. Maka t 0 = χ 2 0,10(2κ)/2. Disini χ 2 α(2κ) adalah suatu konstanta yang memenuhi persamaan P{χ 2 (2κ) χ 2 α(2κ)} = α atau disebut juga pesensil ke alpha dari distribusi χ 2 (2κ).

11 10 Teorema berikut memberikan hasil yang sangat penting dari distribusi chi-kuadrat. Teorema Misalkan Y 1,..., Y n saling independen dan Y i χ 2 (ν i ). Maka V = n Y i χ 2 ( n ν i). Proof. Kita buktikan hasil ini dengan ketunggalan MGF. Dari asumsi bahwa Y i saling independen berlaku: M V (t) = Π n (1 2t) ν i/2 = (1 2t) n ν i/2 yang merupakan MGF dari χ 2 ( n ν i). Hasil berikut menjelaskan hubungan antara distribusi normal standar dan distribusi chi-kuadrat. Teorema Jika Z N(0, 1), maka Z 2 χ 2 (1). Proof. M Z 2(t) = E ( exp{tz 2 } ) = = yang merupakan MGF dari χ 2 (1). 1 2π exp{tz 2 z 2 /2}dz 1 1 2t = (1 2t) 1/2, 1 2t 2π exp{ z 2 (1 2t)/2}dz Akibat Jika X 1,..., X n adalah sampel random dari populasi N(µ, σ 2 ), maka berlaku: 1. n (X i µ) 2 σ 2 χ 2 (n), 2. n( X µ) 2 σ 2 χ 2 (1). Pada Contoh kita sudah menurunkan distribusi dari mean sampel. Teorema berikut memberikan distribusi dari variansi sampel S 2 yang didefinisikan pada Contoh

12 11 Teorema Jika X 1,..., X n menyatakan sampel random dari N(µ, σ 2 ), maka 1. Antara X dan (X i X), i = 1,..., n saling independen. 2. Antara X dan S 2 saling independen, 3. (n 1)S 2 /σ 2 χ 2 (n 1). Proof. Kita definisikan transformasi variabel berikut: y 1 = x dan y i = x i x, untuk i = 2,..., n, sehingga diperoleh: x i = y 1 + y i, i = 2,..., n dan x 1 = y 1 n i=2 y i. Jacobian dari transformasi ini adalah J = det(j) = n Selanjutnya dari x 1 x = n i=2 (x i x) = n i=2 y i diperoleh ( ) 2 n n n (x i x) 2 = (x 1 x) + (x i x) 2 = y i + i=2 i=2 n yi 2. (1.3.3) Karena saling bebas, fungsi densitas bersama dari X 1,..., X n adalah { } 1 f X1,...,X n (x 1,..., x n ) = (2π) n/2 σ exp 1 n (x n 2σ 2 i µ) 2 { ( n )} 1 = (2π) n/2 σ exp 1 (x n 2σ 2 i x) 2 + n( x µ) 2. Sehingga dari (1.3.3) fungsi densitas bersama dari variabel Y 1,..., Y n adalah ( ) g Y1,...,Y n (y 1,..., y n ) = det(j) (2π) n/2 σ exp n 1 2 n n y 2σ 2 i + yi 2 + n(y 1 µ) 2 i=2 i=2 { 1 = 2πσ2 /n exp 1 } 2σ 2 /n (y 1 µ) 2 i=2

13 12 n (2π) (n 1)/2 σ (n 1) exp ( 1 2σ 2 ) 2 n y i + i=2 n i=2 y 2 i. Persamaan yang terakhir menunjukan bahwa fungsi densitas bersama dari Y 1,..., Y n dapat difaktorkan sebagai hasil prgandaan antara fungsi densitas dari Y 1 dan fungsi densitas bersama dari Y 2,..., Y n. Jadi Y 1 = X independen terhadap Y i = X i X untuk i = 2,..., n. Selanjutnya karena X 1 X = n i=2 (X i X), berarti X juga independen terhadap X 1 X. Jadi pernyataan 1 terbukti. Karena S 2 merupakan fungsi dari X i X untuk i = 1,..., n, maka pernyataan 2 hanyalah merupakan akibat langsung dari pernyataan 1. Kita menggunakan metode ketunggalan MGF untuk membuktikan pernyataan 3 : Misalkan V 1 := n (X i µ) 2 χ 2 (n), V σ 2 2 := n( X µ) 2 σ 2 χ 2 (1) dan V 3 = (n 1)S2. Dari σ 2 definisi dari S 2 diperoleh: V 1 = V 3 + V 2 dan dari pernyataan 2 jelaslah V 2 dan V 3 saling independen, sehingga berlaku M V1 (t) = M V3 +V 2 (t) = M V3 (t)m V2 (t) M V3 (t) = M V 1 (t) M V2 (t) yang merupakan MGF dari χ 2 (n 1). = (1 2t) n/2 (1 2t) 1/2 = (1 2t) (n 1)/2, Contoh Misalkan sebaran nilai ujian akhir mata kuliah Kewiraan mahasiwa FMIPA Unhalu angkatan 2007/2008 diasumsikan berdistribusi N(60, 36). Untuk menguji kebenaran klaim bahwa σ 2 = 36, sebuah sampel random berukuran 25 diambil dari populasi ini. Asumsi akan ditolak jika S 2 54, 63 dan sebaliknya asumsi akan ditolak jika S 2 < 54, 63. Tentukan berapa peluang menolak asumsi ini jika benar bahwa populasinya N(60, 36). Jawab:

14 13 Dari Teorema pernyataan 3 kita peroleh: P { S 2 54, 63 } { 24S 2 = P 36 } 36, 42 = 1 P { χ 2 (24) < 36, 42 } = 0, Distribusi t student Teorema Misalkan Z N(0, 1) dan Y χ 2 (ν). Jika Z dan Y saling independen, maka T := Z Y/ν dikatakan berdistribusi t student dengan derajat bebas ν. Selanjutnya dituliskan sebagai T t(ν). Fungsi densitas dari T adalah: f T (t; ν) = Γ ( ) ν+1 ( ) (ν+1)/2 2 Γ ( 1 ) 1 + t2 (1.3.4) ν 2 νπ ν Proof. Kita definisikan transformasi T = Z dan W = Y yang berakibat Z = Y/ν T W/ν dan Y = W. Jakobian dari transformasi yariabel t = z y/ν dan w = y adalah J = w/ν t 2 w/ν 0 1 det(j) = w/ν. Karena Z dan Y saling independen, maka fungsi densitas bersamanya adalah: f Z,Y (z, y) = f Z (z)f Y (y) = e z2 /2 2π y ν/2 1 e y/2 2 ν/2 Γ(ν/2) = yν/2 1 e (y/2+z2/2) 2πΓ(ν/2)2 ν/2. f T,W (t, w) = f Z,Y (z, y)det(j) = wν/2 1 e w/2 e t2 w/2ν w/ν 2πΓ(ν/2)2 ν/2 = (w/2)ν/2 1/2 e w/2(1+t2 /ν) 4πνΓ(ν/2), < t <, 0 < w <. Maka fungsi densitas marginal dari T adalah f T (t) = 0 (w/2) ν/2 1/2 e w/2(1+t2 /ν) 4πνΓ(ν/2) dw.

15 14 Dengan memisalkan u := w/2(1 + t 2 /ν),maka integral ini dapat disederhanakan menjadi f T (t) = u (ν/2+1/2 1) e u du 0 πνγ(ν/2)(1 + t2 /ν) = Γ ( ) ν+1 2 (1 + t 2 /ν) (ν+1) (ν+1)/2 2 πνγ(ν/2) Gambar berikut adalah grafik fungsi densitas dari distribusi t(1). Secara umum bentuk grafiknya adalah bellshape serupa dengan grafik fungsi densitas distribusi normal standar yaitu simetris terhadap titik t = 0. f(t ; 1) t Gambar 1. Grafik fungsi densitas distribusi t(1). Teorema Jika X 1,..., X n merupakan sampel random dari N(µ, σ 2 ), maka X µ S/ t(n 1), dimana S = 1 n (X i n n 1 X) 2. Proof. Misalkan Z := ( X µ)/ σ 2 /n dan Y := (n 1)S 2 /σ 2, maka berlaku X µ S/ n = Z/ Y/(n 1), dengan Z N(0, 1) dan Y χ 2 (n 1) (lih. Teorema pernyataan 3). Selanjutnya karena Z dan Y saling independen (lih. Teorema pernyataan 2), maka dari Teorema , teorema terbukti.

16 15 Sebagai catatan, untuk melakukan inferensi terhadap µ dari populasi N(µ, σ 2 ), maka quantitas X µ σ 2 /n tidak bisa dipakai apabila σ2 tidak diketahui. Karena itu kita melakukan estimasi dahulu terhadap σ 2 dengan S 2. Jadi disinilah letak penggunaan dari distribusi t Distribusi F Salah satu alasan kenapa distribusi F penting untuk di pelajari adalah jika kita mempunyai 2 sampel random X 1,..., X n1 dari populasi N(µ 1, σ 2 1) dan Y 1,..., Y n2 dari populasi N(µ 2, σ 2 2) dan kita ingin melakukan inferensi terhadap rasio σ 2 1/σ 2 2. Teorema Misalkan U χ 2 (r 1 ) dan V χ 2 (r 2 ). Jika U dan V saling independen, maka X := U/r 1 V/r 2 distribusi ini kita tuliskan sebagai F (r 1, r 2 ). berdistribusi F dengan derajat bebas r 1 dan r 2. Selanjutnya Persensil f γ (r 1, r 2 ) adalah konstanta yang memenuhi persamaan P{X f γ (r 1, r 2 )} = γ. Fungsi densitas dari X adalah: ( ) r1 /2 ( r 1 r 2 Γ r1 ) +r 2 2 x (r 1 /2 1) f X (x; r 1, r 2 ) = Γ(r 1 /2)Γ(r 2 /2)(xr 1 /r 2 + 1) (r 1+r 2 (1.3.5) )/2 Proof. Kita definisikan transformasi variabel X = U/r 1 V/r 2 dan Y = V, maka U = XY r 1 /r 2 dan V = Y. Jacobian dari transformasi u = xyr 1 /r 2 dan v = y adalah: J = yr 1/r 2 xr 1 /r det(j) = yr 1 /r 2. Selanjutnya karena U dan V saling independen, fungsi densitas bersamanya adalah f U,V (u, v; r 1, r 2 ) = f U (u; r 1 )f V (v; r 2 ) = ur 1/2 1 v r 2/2 1 exp{ (u + v)/2} Γ(r 1 /2)Γ(r 2 /2)2 (r 1+r 2 )/2. Maka fungsi densitas bersama antara X adan Y adalah: f X,Y (x, y; r 1, r 2 ) = f U,V (u, v; r 1, r 2 ) det(j)

17 16 = = ( ) r1 (xy) r r 2 1 r 22 1 r 2 y 1 Γ(r 1 /2)Γ(r 2 /2)2 exp{ (xyr (r 1+r 2 )/2 1/r 2 )/2 y/2}yr 1 /r 2 ( ) r1 r 2 1 r 2 y (r 1+r 2 )/2 1 x r Γ(r 1 /2)Γ(r 2 /2)2 exp{ y (r 1+r 2 )/2 2 (xr 1/r 2 + 1)}. Fungsi densitas marginal dari X adalah f X (x; r 1, r 2 ) = 0 f X,Y (x, y; r 1, r 2 ) dy. Dengan menggunakan substitusi variabel w = y 2 (xr 1/r 2 + 1) atau y = 2w/(xr 1 /r 2 + 1) kita peroleh f X (x; r 1, r 2 ) = 0 ( r 1 r 2 ) r1 2 x r w (r 1+r 2 )/2 1 exp{ w} Γ(r 1 /2)Γ(r 2 /2)(xr 1 /r 2 + 1) (r 1 +r 2 ) 2 dw, yang menghasilkan (1.3.5). Teorema Jika X F (r 1, r 2 ), maka E(X r ) = ( r 1 ) r r 2 Γ (r1 /2 + r) Γ (r 2 /2 r), r 2 > 2r, (1.3.6) Γ (r 1 /2) Γ (r 2 /2) E(X) = r 2 r 2 2, r 2 > 2, (1.3.7) V ar(x) = 2r2 2(r 1 + r 2 2) r 1 (r 2 2) 2 (r 2 4), r 2 > 4 (1.3.8) Proof. Karena U dan V saling bebas, maka berlaku E(X r ) = E(U/r 1 ) r E(V/r 2 ) r = ( r1 r 2 ) r E(U r )E(V r ). Selanjutnya hasil di atas diperoleh dengan substitusi langsung terhadap E(U r ) dan E(V r ) untuk variabel chi kuadrat. Pernyataan yang lainnya adalah kejadian khusus dari pernyataan pertama. Contoh Misalkan X 1,..., X n1 dan Y 1,..., Y n2 merupakan dua sampel random yang saling independen dari populasi, dimana X i N(µ 1, σ 2 1) dan Y j N(µ 2, σ 2 2).

18 17 Dari Teorema , jelaslah (n 1 1) S2 X σ 2 1 χ 2 (n 1 1) dan (n 2 1) S2 Y σ 2 2 χ 2 (n 2 1), dan keduanya jelas saling independen, sehingga { S 2 P X σ2 2 SY 2 σ2 1 } { SX 2 f γ (n 1 1, n 2 1) = γ P SY 2 f γ(n 1 1, n 2 1) σ2 1 σ2 2 } = γ 1.4 Soal-soal 1. Misalkan Z 1,..., Z 16 adalah sampel random dari populasi N(0, 1). Dengan menggunakan tabel atau software S-PLUS tentukan peluang berikut: (a) P { 16 Z2 i < 32 } (b) P { 16 (Z i Z) 2 < 25 } 2. Jika T t(ν), tentukan distribusi dari T 2?

19 Chapter 2 Estimasi titik Pada chapter ini kita akan membahas beberapa metode estimasi yang penting, yaitu metode momen dan metode estimasi dengan likelihood terbesar. Seperti yang sudah dibahas pada Chapter 1, populasi atau phenomena yang menjadi perhatia, kita gambarkan dengan variabel random X : (Θ, F, P) (R, B, P X ). Secara umum populasi X diasumsikan mempunyai distribusi probabilitas dengan fungsi densitas merupakan anggota dari keluarga P X (θ 1,...,θ k ) := { f X ( ; θ 1,..., θ k ) : (θ 1,..., θ k ) Θ := Θ 1 Θ k R k}, dimana (θ 1,..., θ k ), k N adalah bilangan-bilangan yang tidak diketahui nilainya atau disebut juga parameter. Kita namakan Θ ruang parameter. Misalnya, { 1 P X (µ,σ 2 ) := exp{ 1 } 2πσ 2 2σ ( 2 µ)2 } : (µ, σ 2 ) (, ) (0, ) R 2, yang berarti populasi X termasuk anggota dari keluarga distribusi normal dimana setiap elemen dari keluarga ini diidentifikasi oleh suatu parameter µ dan σ 2 yang tidak diketahui nilainya. Tujuan dari estimasi titik adalah untuk menentukan nilai yang 18

20 19 sesuai dari parameter-parameter θ 1,..., θ k berdasarkan data hasil observasi terhadap populasinya. Data x 1,..., x n yang diperoleh dipandang secara matematik sebagai realisasi atau nilai dari n variabel random yang saling independen X 1,..., X n dengan X i : (Θ, F, P) (R, B, P X i ) dan X i f X ( ; θ 1,..., θ k ), (θ 1,..., θ k ) Θ. Fungsi densitas bersama dari sampel random ini yang dihitung pada titik data x 1,..., x n, yaitu f X1,...,X n (x 1,..., x n ; θ 1,..., θ k ) = Π n f X (x i ; θ 1,..., θ k ), (θ 1,..., θ k ) Θ, memberikan hubungan fungsional antara parameter-parameter yang tidak diketahui dan data. Dengan kata lain dari data yang diperoleh dapat diidentifikasi berapa nilai parameter yang sesuai. Definisi Statistik ˆθ 1 := t 1 (X 1,..., X n ),..., ˆθ k := t k (X 1,..., X n ) yang digunakan untuk mengestimasi θ 1,..., θ k disebut estimator. Sedangkan nilainya yang dihitung pada titik data, yaitu t 1 (x 1,..., x n ),..., t k (x 1,..., x n ) disebut estimasi untuk θ 1,..., θ k. Contoh Misalkan X 1,..., X 10 adalah sampel random dari populasi N(µ, σ 2 ), dengan (µ, σ 2 ) (, ) (0, ). Mean sampel X = 10 X i/10 sering dipakai sebagai suatu estimator untuk µ. Jika pada suatu eksperimen diperoleh data misalnya 10, 20, 15, 30, 25, 30, 20, 15, 25, 5, maka rata-ratanya merupakan estimasi untuk µ. Jadi suatu estimator jelas merupakan variabel random, sedangkan estimasi adalah suatu bilanagn real.

21 Metode momen Misalkan X f X ( ; θ 1,..., θ k ), (θ 1,..., θ k ) Θ adalah populasi yang menjadi perhatian kita dan (θ 1,..., θ k ) adalah parameter-parameter yang tidak diketahui. Momem ke j dari populasi ini terhadap titik pusat adalah µ j := E(X j ). Biasanya µ j bergantung pada θ 1,..., θ k karena itu kita notasikan sebagai µ j = µ j(θ 1,..., θ k ), j = 1,..., k. Misalkan X 1,..., X n adalah sampel random dari populasi f X ( ; θ 1,..., θ k ), (θ 1,..., θ k ) Θ. Momen sampel ke j didefinisikan sebagai M j := 1/n n Xj i, j = 1,..., k. Karena µ j sangat dekat dengan M j, estimator ˆθ 1,..., ˆθ k dapat diturunkan dengan meyelesaikan system persamaan µ j(θ 1,..., θ k ) = M j, j = 1,..., k, (2.1.1) secara simultan untuk θ 1,..., θ k. Selanjutnya estimator yang diperoleh dengan cara seperti ini kita sebut sebagai estimator metode momen (moment method estimator) disingkat MME. Contoh Misalkan X f X ( ; µ, σ 2 ), (µ, σ 2 ) (, ) (0, ) dengan E(X) = µ dan V ar(x) = σ 2. Dalam hal ini kita mempunyai k = 2 dengan θ 1 = µ dan θ 2 = σ 2, sehingga MME ˆµ dan ˆσ 2 adalah penyelesaian dari persamaan µ = M 1 dan σ 2 + µ 2 = M 2. Jadi ˆµ = X dan ˆσ 2 = M 2 X 2 = (n 1)S 2 /n. Jadi ˆµ = t 1 (X 1,..., X n ) = X dan ˆσ 2 = t 2 (X 1,..., X n ) = (n 1)S 2 /n. Contoh Misalkan X 1,..., X n adalah sampel random dari populasi Gamma(θ, κ). Karena E(X) = κθ dan E(X 2 ) = κ(1 + κ)θ 2, maka MME ˆθ dan ˆκ dapat diperoleh dengan menyelesaikan persamaan κθ = M 1 dan κ(1 + κ)θ 2 = M 2, untuk θ dan κ. Jadi diperoleh ˆκ = X/ˆθ dengan ˆθ = n (X i X) 2 /(n X) = [(n 1)/(n X)]S 2.

22 21 Contoh Misalkan X 1,..., X n adalah sampel random dari populasi Gamma(θ). Andaikan kita tertarik untuk mencari MME untuk P{X i 1} = exp{ 1/θ}. Karena E(X i ) = θ, maka MME ˆθ = X. Misalkan p := exp{ 1/θ}, maka θ = 1/ ln(p). MME untuk p adalah penyelesaian dari persamaan 1/ ln(p) = X untuk p. Jadi ˆp = exp{ 1/ X}. 2.2 Estimator dengan likelihood terbesar Definisi Misalkan X 1,..., X n merupakan n variabel random dengan X i f Xi ( ; θ 1,..., θ k ), (θ 1,..., θ k ) Θ, i = 1,..., n. Misalkan x 1,..., x n merupakan data atau suatu realisasi dari X 1,..., X n. Fungsi L : Θ R 0, sedemikian hingga L(θ 1,..., θ k ) = f X1,...,X n (x 1,..., x n ; θ 1,..., θ k ) disebut fungsi likelihood. Sebagai kejadian yang lebih khusus, jika X 1,..., X n merupakan suatu sampel random, maka L(θ 1,..., θ k ) = Π n f Xi (x i ; θ 1,..., θ k ). Selanjutnya, nilai-nilai dari (θ 1,..., θ k ) Θ yang dinyatakan sebagai (ˆθ 1,..., ˆθ k ) sedemikian hingga L(ˆθ 1,..., ˆθ k ) = max L(θ 1,..., θ k ) (θ 1,...,θ k ) Θ disebut estimasi dengan likelihood terbesar (engl. Maximum Likelihood Estimate). Biasanya (ˆθ 1,..., ˆθ k ) merupakan fungsi dari data x 1,..., x n, misalkan sebagai ˆθ i = t i (x 1,..., x n ), i = 1,..., k. Jika fungsi-fungsi ini kita terapkan terhadap sampel random X 1,..., X n, maka ˆθ i = t i (X 1,..., X n ) disebut estimator dengan likelihood terbesar (engl. Maximum Likelihood Estimator), disingkat MLE untuk θ i, i = 1,..., k. Dari definisi di atas adalah jelas bahwa permasalahan menentukan MLE adalah termasuk permasalahan optimisasi. Nilai-nilai dari (ˆθ 1,..., ˆθ k ) memberikan global

23 22 maksimum dari L(θ 1,..., θ k ) pada Θ. Karena nilai-nilai dari (θ 1,..., θ k ) yang memaksimumkan L(θ 1,..., θ k ) juga memaksimumkan log-likelihood ln L(θ 1,..., θ k ), maka untuk memudahkan perhitungan, kita akan perhatikan fungsi ln L(θ 1,..., θ k ) saja Kasus satu parameter (k = 1) Jika ruang parameter Θ merupakan interval terbuka, dan jika L( ) terdiferensialkan pada Θ, maka titik-titik extrim terjadi pada titik-titik yang merupakan penyelesaian dari persamaan d ln L(θ) dθ = 0. (2.2.1) Andaikan ˆθ merupakan satu-satunya penyelesaian, maka titik ˆθ adalah MLE, jika d 2 ln L(θ) dθ 2 < 0. (2.2.2) Jika penyelesaian dari (2.2.1) tidak tunggal, misalkan sebagai ˆθ 1,..., ˆθ m, m N dan semuanya memenuhi (2.2.2), maka MLE adalah arg max ˆθ 1,...,ˆθ m {L(ˆθ 1 ),..., L(ˆθ m )}. (2.2.3) Contoh Misalkan X 1,..., X n adalah sampel random dari populasi X P OI(λ), λ > 0. Fungsi likeihood dari datanya adalah Fungsi log-likelihoodnya adalah L(λ) = Π n e λ λ x i x i! ln L(λ) = nλ + d ln L(λ) dλ = e nλ λ n x i Π n (x i!). n x i ln λ Π n (x i!). = 0 n + 1 λ n x i = 0 λ = x.

24 23 Selanjutnya uji turunan ke dua pada titik λ = x memberikan d 2 ln L(λ) dλ 2 = 1 x 2 Jadi MLE untuk λ adalah ˆλ = X. n x i = < 0. n x Catatan: Tidak selamanya MLE dapat diperoleh melalui metode diferensial seperti pada kasus berikut. Contoh Misalkan X 1,..., X n adalah sampel random dari populasi X Exp(1, η), x η. Fungsi likelihoodnya adalah Π n exp{ (x i η)} = exp{ n L(η) = (x i η)} ; untuk x i η, i 0 ; untuk x i < η, untuk suatu i. Karena d ln L(η) dη = n, maka metode diferensial jelas tidak dapat diterapkan, oleh karena itu kita harus mencari metode alternatif. Misalkan x 1:n,..., x r:n,..., x n:n merupakan sampel terurut, yaitu x 1:n x 2:n... x r 1:n x r:n x r+1:n... x n:n. Maka fungsi likelihood dapat pula di nyatakan sebagai exp{n(η x)} ; untuk x 1:n η L(η) =. 0 ; untuk η > x 1:n Berarti MLE ˆη = X 1:n, yaitu sampel terkecil Kasus k parameter Misalkan ruang parametr Θ merupakan himpunan terbuka pada ruang Euclid R k dan L( ) terdiferensialkan pada Θ. Titik-titik ekstrim adalah titik-titik yang merupakan

25 24 penyelesaian dari system persamaan ln L(θ 1,..., θ k ) θ j = 0, j = 1,..., k. (2.2.4) Selanjutnya apakah titik-titik ekstrim ini memberikan nilai maksimum, harus diverifikasi. Untuk kasus k = 2, kita gunakan alat dari kalkulus sebagai berikut. Misalkan L(θ 1, θ 2 ) terdiferensialkan sampai order kedua, dan misalkan (ˆθ 1, ˆθ 2 ) merupakan penyelesaian tunggal dari persamaan (2.2.4). Misalkan ( ) ( ) ( ) 2 ln L(θ 1, θ 2 ) 2 ln L(θ 1, θ 2 ) 2 ln L(θ 1, θ 2 ) D(θ 1, θ 2 ) :=. (2.2.5) θ 1 θ 2 θ 2 1 θ 2 2 Jika D(ˆθ 1, ˆθ 2 ) > 0 dan 2 ln L(θ 1,θ 2 ) (ˆθ θ1 2 1, ˆθ 2 ) < 0, maka (ˆθ 1, ˆθ 2 ) merupakan MLE. Dalam kasus penyelesaian dari (2.2.4) tidak tunggal, semua penyelesaian harus diverifikasi apakah dia merupakan titik maksimum atau bukan. Selanjutnya MLE adalah titik (ˆθ 1, ˆθ 2 ) dengan L(ˆθ 1, ˆθ 2 ) terbesar. Contoh Misalkan X 1,..., X n adalah sampel random dengan X i N(µ, σ 2 ). Kita mempunyai { } L(µ, σ 2 ) = Π n 1 1 exp 2πσ 2 2σ (x 2 i µ) 2, (µ, σ 2 ) (, ) (0, ) { } 1 = (2π) n/2 σ exp 1 n (x n 2σ 2 i µ) 2 ln L(µ, σ 2 ) = n 2 ln(2π) n 2 ln σ2 1 2σ 2 Dari dua persamaan n (x i µ) 2. (2.2.6) ln L(µ, σ 2 ) µ ln L(µ, σ 2 ) σ 2 = 1 n (x σ 2 i µ) = 0 = n 2σ σ 4 n (x i µ) 2 = 0,

26 25 diperoleh ˆµ = x dan ˆσ 2 = n (x i x) 2 n =: s 2 n. Selanjutnya masih harus diverifikasi, apakah syarat untuk D(ˆσ 2, s 2 n) dipenuhi. Dari persamaan diatas, kita peoleh 2 ln L(µ, σ 2 ) (ˆσ 2, s 2 µ n) = n 2 s 4 n 2 ln L(µ, σ 2 ) (ˆσ 2, s 2 (σ 2 ) n) = n 2 2(ˆσ 2 ) 1 4 (ˆσ 2 ) 3 2 ln L(µ, σ 2 ) µ σ 2 (ˆσ 2, s 2 n) = 1 (s 2 n) 2 n n (x i x) = 0. (x i x) 2 = n 2s 4 n Jadi D(ˆσ 2, s 2 n) > 0, dan karena n/(s 2 n) 2 selalu negatif, maka dapat dipastikan X dan S 2 n := n (X i X) 2 /n merupakan MLE untuk µ dan σ 2. Contoh Perhatikan sampel random X 1,..., X n dari distribusi Exp(θ, η). Fungsi densitas populasinya adalah f(x; θ, η) = 1 exp{(x η)/θ} ; θ x η 0 ; η > x. Maka n ln θ n ln L(θ, η) = (x i η)/θ ; untuk x 1:n η, i 0 ; untuk x 1:n < η, untuk suatu i. Karena ln L(θ, η) tidak terdiferensial terhadap η pada titik dimana ln L(θ, η) mencapai maksimum, maka MLE untuk η adalah ˆη = X 1:n. Selanjutnya dari persamaan ln L(η, θ) θ = n θ + 1 n (x θ 2 i x 1:n ) = 0, diperoleh MLE untuk θ, ˆθ = 1 n n (X i X 1:n ).

27 Keriteria-keriteria memilih estimator Pada dua subbab sebelumnya telah dibahas metode-metode untuk menurunkan estimator terhadap parameter-parameter dari populasi. Pada subbab ini kita akan merumuskan beberapa keriteria untuk membandingkan estimator sehingga kita bisa memilih yang mana yang terbaik Ketakbiasan Definisi Misalkan X 1,..., X n merupakan sampel random dari populasi f X ( ; θ), θ Θ R. Misalkan τ : Θ R merupakan fungsi real pada ruang parameter. Suatu estimator T := t(x 1,..., X n ) disebut estimator tak bias jika E(T ) = τ(θ), θ Θ. Sebaliknya, jika kondisi ini tidak dipenuhi, kita sebut T estimator bias. Contoh Sebagai contoh misalkan X 1,..., X n merupakan sampel random dari populasi dengan mean µ dan variansi σ 2. Dari Contoh 1.2.2, mean sampel X adalah tak bias untuk µ dan variansi sampel S 2 adalah tak bias untuk σ 2. Dalam kasus ini kita memilih τ sebagai fungsi identitas. Suatu estimator yang bias untuk τ(θ) dapat dimodifikasi dengan cara sedemikian rupa sehingga hasil modifikasinya tak bias, seperti yang diperagakan pada contoh berikut. Contoh Misalkan X 1,..., X n merupakan sampel random dari populasi Exp(θ) atau Gamma(θ, 1). Jelaslah X tak bias untuk θ. Tetapi 1/ X bias terhadap 1/θ, seperti ditunjukan berikut. Misalkan Y := 2n X/θ = n 2X i/θ. Maka Y χ 2 (2n).

28 27 Dari Remark 1.3.5, untuk kasus r = 1, berlaku E(Y 1 1 ) = 2(n 1) = θ ( ) ( ) 2n 1 X E E = 1 X n 1 (n 1) θ. Jadi 1/ X adalah bias terhadap 1/θ. Misalkan T := (n 1)/(n X), maka T jelas tak bias terhadap 1/θ. Berapakah variansi dari T? Keterkonsentrasian dan UMVUE Definisi Misalkan T 1 dan T 2 merupakan estimator (tidak harus tak bias) untuk τ(θ). T 1 dikatakan lebih terkonsentrasi disekitar τ(θ) daripada T 2 jika untuk setiap ε > 0 berlaku, P{ T 1 τ(θ) < ε} P{ T 2 τ(θ) < ε}. (2.3.1) Definisi Misalkan A τ(θ) merupakan himpunan semua estimator (tidak harus tak bias) untuk τ(θ). T dikatakan paling terkonsentrasi disekitar τ(θ) jika untuk setiap ε > 0 berlaku, P{ T τ(θ) < ε} = sup P{ T τ(θ) < ε}. (2.3.2) T A τ(θ) Remark Misalkan U τ(θ) merupakan himpunan semua estimator tak bias untuk τ(θ). Dengan ketaksamaan Chebychev diperoleh P{ T τ(θ) < ε} 1 V ar(t ) ε 2, ε > 0. (2.3.3) Jadi berdasarkan ketaksamaan (2.3.3), jika T U τ(θ), maka T merupakan estimator tak bias yang paling terkonsentrasi disekitar τ(θ) dibandingkan dengan estimatorestimator lainnya di dalam U τ(θ), jika dipenuhi V ar(t ) = inf V ar(t ), θ Θ. (2.3.4) T U τ(θ)

29 28 Kriteria ini menghasilkan suatu konsep baru dalam pemilihan estimator terbaik, yaitu konsep estimator tak bias dengan variansi minimum seragam (uniformly minimum variance unbiased estimator), disingkat UMVUE. Selanjutnya estimator tak bias yang memenuhi (2.3.4) disebut UMVUE. Teorema (Batas bawah Cramer-Rao) Misalkan X 1,..., X n merupakan sampel random dari f( ; θ), θ Θ. Jika T := t(x 1,..., X n ) merupakan estimator tak bias untuk τ(θ), dan jika τ (θ) := dτ(θ)/dθ ada. Maka batas bawah Cramer-Rao untuk τ(θ) adalah V ar(t ) [τ (θ)] 2 ne ( θ ln f(x i; θ) ) 2 (2.3.5) Proof. Pertama-tama kita definisikan suatu fungsi u : R n R, dimana u(x 1,..., x n ; θ) := θ ln f(x 1,..., x n ; θ) = 1 f(x 1,..., x n ; θ) θ f(x 1,..., x n ; θ) u(x 1,..., x n, θ)f(x 1,..., x n ; θ) = θ f(x 1,..., x n ; θ). Selanjutnya kita definisikan suatu quantitas random yang masih bergantung pada θ, yaitu U := u(x 1,..., X n ; θ). Maka E(U) = = = θ = θ 1 = 0. u(x 1,..., x n ; θ)f(x 1,..., x n ; θ) dx 1 dx n θ f(x 1,..., x n ; θ) dx 1 dx n f(x 1,..., x n ; θ) dx 1 dx n Pada perhitungan ekspektasi dari U, pertukaran tanda integral dan diferensial dapat dilakukan karena domain dari integran-nya tidak bergantung pada θ. Dari asumsi T

30 29 tak bias terhadap τ(θ), diperoleh τ (θ) = θ E(T ) = θ = = = E(T U). t(x 1,..., x n )f(x 1,..., x n ; θ) dx 1 dx n t(x 1,..., x n ) θ f(x 1,..., x n ; θ) dx 1 dx n t(x 1,..., x n )u(x 1,..., x n ; θ)f(x 1,..., x n ; θ) dx 1 dx n Dari kedua hasil diatas diperoleh Cov(T, U) = E(T U) E(T )E(U) = τ (θ). Pada sisi lain, ketaksamaan Cauchy-Schwarz memberikan [Cov(T, U)] 2 V ar(t )V ar(u), sehingga V ar(t ) [Cov(T, U)] 2 /V ar(u) = [τ (θ)] 2 /V ar(u). Selanjutnya kita verifikasi lebih lanjut bentuk dari V ar(u). Mengingat X 1,..., X n adalah sampel random, maka ( ) ( n ) V ar(u) =V ar θ ln Πn f(x i ; θ) = V ar θ ln f(x i; θ) n ) = V ar ( θ ln f(x i; θ) = ne ( θ ln f(x i; θ) Dari hasil yang terakhir ini, diperoleh Ketaksamaan (2.3.5). Catatan: Jika V ar(t ) mencapai batas bawah Cramer-Rao, maka T jelas merupakan UMVUE. Contoh Misalkan X 1,..., X n merupakan sampel random dari Exp(θ). Kita ingin menentukan batas bawah Cramer-Rao untuk τ(θ) = θ. Karena f(x i ; θ) = 1 exp{ X θ i/θ}, maka ( ) 2 ( ) 2 E θ ln f(x Xi θ i; θ) = E = V ar(x i) = 1 θ 2 θ 4 θ. 2 ) 2.

31 30 Batas bawah Cramer-Rao untuk θ adalah θ 2 /n. Karena X merupakan estimator tak bias untuk θ dengan V ar( X) = θ 2 /n, maka X merupakan UMVUE untuk θ. Catatan: Variansi dari suatu estimator tak bias T untuk τ(θ) akan mencapai (sama dengan) batas bawah Cramer-Rao untuk τ(θ), jika [Cov(T, U)] 2 = V ar(t )V ar(u). Dengan kata lain korelasi antara T dan U harus sama dengan 1 atau 1. Ini terjadi, jika dan hanya jika T merupakan fungsi linear dari U, yaitu fungsi yang berbentuk T = au +b untuk suatu konstanta a dan b. Contoh Misalkan X 1,..., X n merupakan sampel random dari distribusi Geo(p), dengan f(x i ; p) = p(1 p) 1 X i, X i = 0, 1, dan E(X) = 1/p. Kita ingin menentukan estimator T yang tak bias terhadap 1/p, sedemikian hingga T = au + b, untuk suatu konstanta a dan b. Dari rumus fungsi densitasnya, kita dapatkan n n U = p (ln p + (X i 1) ln(1 p)) = Sehingga setelah penyederhanaan diperoleh dimana c := T := au + b = an p 1 an p 1 X + ( b ( 1 p X i 1 1 p an ) = c p(p 1) X + d, dan d := b an p(p 1). Karena X merupakan estimator tak bias untuk 1/p, sehingga agar T juga tak bias terhadap 1/p, maka harus dipilih c = 0 dan d = 0. Variansi dari X adalah (1 p)/(np 2 ) dan dipastikan sama dengan batas bawah Cramer-Rao untuk 1/p. Definisi Misalkan T, T U τ(θ), dimana U τ(θ) adalah himpunan semua estimator tak bias untuk τ(θ). Efisiensi relatif dari T terhadap T adalah ). re(t, T ) := V ar(t ) V ar(t ). (2.3.6)

32 31 Estimator T U τ(θ) dikatakan efisien jika re(t, T ) 1, T U τ(θ) and θ Θ. Selanjutnya, jika T merupakan estimator yang efisien, maka efisiensi dari suatu estimator T U τ(θ) diberikan oleh e(t ) := re(t, T ). Definisi Misalkan T merupakan sembarang estimator untuk τ(θ). Bias dari T terhadap τ(θ), dinotasikan sebagai b(t ) adalah b(t ) := E(T ) τ(θ). (2.3.7) Sedangkan mean dari kudrat kesalahan mengestimasi τ(θ) dengan T disebut MSE (engl. mean squared error) dari T, adalah MSE(T ) := E (T τ(θ)) 2. (2.3.8) Teorema If T merupakan suatu estimator untuk τ(θ), maka MSE(T ) = V ar(t ) + [b(t )] 2. Proof. MSE(T ) =E (T E(T ) + E(T ) τ(θ)) 2 =E (T E(T )) 2 + (E(T ) E(T )) (E(T ) τ(θ)) + (E(T ) τ(θ)) 2 =E (T E(T )) 2 + (E(T ) τ(θ)) 2 =V ar(t ) + [b(t )] 2. Keriteria MSE mengakomodasi dua quantitas yaitu variansi dan bias. Kriteria ini akan sesuai dengan kriteria UMVUE jika perhatian kita batasi pada estimator tak bias.

33 Soal-soal 1. Jika X 1,..., X n merupakan sampel random yang diambil dari populasi berikut. Tentukan MME dan MLE untuk parameter-parameternya! { θx θ 1 ; 0 < x < 1 (a) f(x; θ) = 0 ; x 0 atau x 1, θ > 0. { (θ + 1)x θ 2 ; 1 < x (b) f(x; θ) = 0 ; x 1, θ > 0. { θ 2 xe θx ; 0 < x (c) f(x; θ) = 0 ; x 0, θ > 0. (d) X i P AR(θ, κ), θ dan κ tidak diketahui. (e) f(x; θ 1, η) = { θη θ x θ 1 ; η x 0 ; x < η, 0 < θ, 0 < η <.

34 Chapter 3 Statistik cukup, keluarga lengkap dan keluarga eksponensial Pada chapter ini kita akan membahas konsep statistik cukup (engl. sufficient statistic), statistik lengkap (engl. complete statistic) dan suatu keluarga fungsi distribusi probabilitas yang disebut keluarga eksponensial (engl. exponential family). Ketiga konsep ini sangat penting karena melandasi konsep perumusan prosudur inferensi parameter, seperti estimasi interval dan uji hipotesis yang akan dibahas pada 2 chapter berikutnya. 3.1 Statistik cukup Sebelum kita memberikan definisi formal dari statistik cukup, kita ikuti ilustrasi berikut. Misalkan X 1,..., X n merupakan sampel random dari populasi BIN(1, θ), 0 < θ < 1. Fungsi densitas bersama dari X 1,..., X n dihitung pada titik (x 1,..., x n ) 33

35 34 adalah f X1,...,X p (x 1,..., x n ; θ) = { θ n x i (1 θ) n n x i ; jika x i {0, 1}, i 0 ; jika x i {0, 1}. Andaikan kita tertarik pada statistik Y 1 := n X i. Jelas Y 1 berdistribusi BIN(n, θ), sehingga fungsi densitas dari Y 1 adalah ( ) n θ y 1 (1 θ) n y 1 ; jika y 1 {0, 1,..., n} f Y1 (y 1 ; θ) = y 1 0 ; jika y 1 {0, 1,..., n} Misalkan A := {ω Ω : Y 1 (X 1 (ω),..., X n (ω)) = y 1 }. Untuk suatu titik (x 1,..., x n ) yang tertetu, misalkan B := {ω Ω : X 1 (ω) = x 1,..., X n (ω) = x n }. Maka B A = B, jika Y 1 (x 1,..., x n ) = y 1. Sebaliknya jika Y 1 (x 1,..., x n ) y 1, maka B A =. Sehingga peluang bersyarat P(B A) P {X 1 = x 1,..., X n = x n Y 1 = y 1 } = P(B A) = P(A) θ n x i(1 θ) n n x i ; jika Y 1 (x 1,..., x n ) = y 1 n = θy 1(1 θ) n y 1 = y 1 0 ; jika Y 1 (x 1,..., x n ) y 1 1 ; jika n x i = y 1 n y 1 0 ; jika n x i y 1 Jadi P {X 1 = x 1,..., X n = x n Y 1 = y 1 } tidak bergantung pada θ untuk setiap titik (data) (x 1,..., x n ) yang memenuhi sifat n x i = y 1. Statistik Y 1 yang memenuhi sifat ini disebut statistik cukup untuk θ. Definisi Misalkan X 1,..., X n merupakan sampel random dari populasi dengan fungsi densitas f X ( ; θ), θ Θ R. Misalkan Y 1 = u 1 (X 1,..., X n ) merupakan..

36 35 statistik dengan fungsi densitas g Y1 ( ; θ), θ Θ. Maka Y 1 adalah statistik cukup untuk θ, jika dan hanya jika f X1,...,X n (x 1,..., x n ; θ) g Y1 (y 1 ; θ) = H(x 1,..., x n ), (3.1.1) dimana H(x 1,..., x n ) adalah fungsi yang tidak bergantung pada θ untuk setiap titik (data) (x 1,..., x n ) dengan sifat u 1 (x 1,..., x n ) = y 1. Catatan: Jika Y 1 merupakan statistik cukup untuk θ, semua informasi tentang parameter θ dibawa oleh Y 1. Ini berarti inferensi tentang θ harus didasarkan pada Y 1 bukan pada statistik yang lain. Selanjutnya, pada bagian ini kita batasi pembicaraan pada kasus variabel kontinu dengan satu parameter, yaitu Θ R. Kasus diskrit ditangani secara analog. Teorema (Teorema Faktorisasi) Misalkan X 1,..., X n merupakan sampel random dari populasi dengan fungsi densitas f X ( ; θ), θ Θ. Statistik Y 1 = u 1 (X 1,..., X n ) merupakan statistik cukup untuk θ, jika dan hanya jika terdapat fungsi-fungsi tidak negatif k 1 dan k 2 sedemikian hingga f X1,...,X n (x 1,..., x n ; θ) = k 1 (u 1 (x 1,..., x n ); θ)k 2 (x 1,..., x n ), dimana untuk setiap titik (x 1,..., x n ) yang bersifat y 1 = u 1 (x 1,..., x n ), k 2 (x 1,..., x n ) tidak bergantung pada θ. Proof. ( ) Pertama-tama kita definisikan suatu transformasi satu-satu y 1 = u 1 (x 1,..., x n ),..., y n = u n (x 1,..., x n ) dengan invers x 1 = w 1 (y 1,..., y n ),..., x n = w n (y 1,..., y n ).

37 36 Maka fungsi densitas bersama dari Y 1,..., Y n adalah f Y1,...,Y n (y 1,..., y n ; θ) = f X1,...,X n (x 1,..., x n ; θ) J Fungsi densitas marginal dari Y 1 adalah g Y1 (y 1 ; θ) = = k 1 (y 1 ; θ) = k 1 (y 1 ; θ)m(y 1 ), = k 1 (u 1 (x 1,..., x n ); θ)k 2 (x 1,..., x n ) J = k 1 (y 1 ; θ)k 2 (w 1 (y 1,..., y n ),..., w n (y 1,..., y n )) J. k 1 (y 1 ; θ)k 2 (w 1 (y 1,..., y n ),..., w n (y 1,..., y n )) J dy 2 dy n k 2 (w 1 (y 1,..., y n ),..., w n (y 1,..., y n )) J dy 2 dy n dimana m(y 1 ) := k 2(w 1 (y 1,..., y n ),..., w n (y 1,..., y n )) J dy 2 dy n. Di sini jelas bahwa m(y 1 ) merupakan fungsi yang tidak bergantung pada θ maupun y 2,..., y n, melainkan hanya pada y 1. Sehingga f X1,...,X n (x 1,..., x n ; θ) g Y1 (y 1 ; θ) = k 1(u 1 (x 1,..., x n ); θ)k 2 (x 1,..., x n ) k 1 (u 1 (x 1,..., x n ); θ)m(u 1 (x 1,..., x n )) = k 2(x 1,..., x n ) m(u 1 (x 1,..., x n )). Karena ruas kanan dari persamaan yang terakhir tidak bergantung pada θ untuk setiap (x 1,..., x n ) yang bersifat y 1 = u 1 (x 1,..., x n ), sesuai Definisi (3.1.1), Y 1 adalah statistik cukup untuk θ. ( ) Jika Y 1 = u 1 (X 1,..., X n ) merupakan statistik cukup untuk θ, maka sesuai Definisi (3.1.1), berlaku f X1,...,X n (x 1,..., x n ; θ) g Y1 (y 1 ; θ) = H(x 1,..., x n ), dimana H(x 1,..., x n ) merupakan suatu fungsi yang tidak bergantung pada θ untuk setiap (x 1,..., x n ) yang bersifat u 1 (x 1,..., x n ) = y 1. Selanjutnya dengan mengambil

38 37 k 1 (u 1 (x 1,..., x n ); θ) := g Y1 (y 1 ; θ) dan k 2 (x 1,..., x n ) := H(x 1,..., x n ), maka syarat perlu terbukti. Contoh Misalkan X 1,..., X n merupakan sampel random dari N(µ, σ 2 ), dengan < µ < dan diasumsikan σ 2 diketahui. Apakah X merupakan statistik cukup untuk µ?. Karena f X1,...,X n (x 1,..., x n ; µ, σ 2 ) = = { 1 (2π) n/2 σ exp 1 n 2σ 2 { 1 (2π) n/2 σ n exp 1 2σ 2 } n (x i µ) 2 ( n )} (x i x) 2 + n( x µ) 2 Kita akan menerapkan Teorema Faktorisasi, karena itu kita harus mengelompokan x dan µ ke dalam argumen dari k 1, sedangkan k 2 tidak boleh bergantung pada µ. Ambil k 1 ( x; µ) := exp{ n( x µ)2 2σ 2 } dan k 2 (x 1,..., x n ) := 1 (2π) n/2 σ n exp{ 1 2σ 2 n (x i x) 2 }. Maka berlaku f X1,...,X n (x 1,..., x n ; µ, σ 2 ) = k 1 ( x; µ)k 2 (x 1,..., x n ). Karena k 2 tidak bergantung pada µ maka X merupakan statistik cukup untuk µ. Contoh Misalkan X 1,..., X n merupakan samplel random dari populasi dengan fungsi densitas f(x; θ) =, θ > 0. Dengan fak- θx θ 1 ; 0 < x < 1 0 ; x 0 atau x 1 torisasi, θ n (Π n x i ) θ 1 ; 0 < x i < 1, i f X1,...,X n (x 1,..., x n ; θ) =, θ > 0. 0 ; i, x i 0 atau x i 1 Atau f X1,...,X n (x 1,..., x n ; θ) = θ n (Π n x i ) θ 1 Π n x i, 0 < x i < 1, i. Dengan mendefinisikan k 1 (Π n x i ; θ) := θ n (Π n x i ) θ dan k 2 (x 1,..., x n ) := 1 Π n x i, statistik Πn X i merupakan statistik cukup untuk θ. Catatan Misalkan Y 1 := u 1 (X 1,..., X n ) merupakan statistik cukup untuk θ Θ. Jika Z :=

39 38 u(y 1 ) atau Z = u(u 1 (X 1,..., X n )) := ν(x 1,..., X n ) dengan invers Y 1 := w(z), maka Z juka merupakan statistik cukup untuk θ. Ini terjadi karena f X1,...,X n (x 1,..., x n ; θ) = k 1 (u 1 (x 1,..., x n ); θ)k 2 (x 1,..., x n ) = k 1 (w(ν(x 1,..., x n )); θ)k 2 (x 1,..., x n ) Karena k 1 hanya bergantung pada z = ν(x 1,..., x n ) dan θ sedangkan k 2 tidak bergantung pada θ, maka teorema faktorisasi Z = u(y 1 ) merupakan statistik cukup untuk θ Θ. Teorema Misalkan X 1,..., X n merupakan sampel random dari populasi X dengan fungsi densitas f X (, θ), θ Θ. Jika Y 1 = u 1 (X 1,..., X n ) merupakan statistik cukup untuk θ dan ˆθ adalah MLE untuk θ dengan ˆθ tunggal, maka terdapat suatu fungsi h : R R, sedemikian hingga ˆθ = h(y 1 ). Proof. Dari teorema faktorisasi diperoleh L(θ) = f X1,...,X n (x 1,..., x n ; θ) = k 1 (u 1 (x 1,..., x n ); θ)k 2 (x 1,..., x n ) L(ˆθ) = max θ Θ k 1(u 1 (x 1,..., x n ); θ)k 2 (x 1,..., x n ). Karena k 2 merupakan fungsi yang tidak bergantung pada θ, maka berlaku k 1 (u 1 (x 1,..., x n ); ˆθ) = max θ Θ k 1(u 1 (x 1,..., x n ); θ). Dengan kata lain ˆθ memaksimumkan L(θ) dan k 1 (u 1 (x 1,..., x n ); θ) secara simultan. Dari persamaan yang terakhir ˆθ merupakan suatu fungsi dari u 1 (x 1,..., x n ), yaitu ˆθ = h(u 1 (x 1,..., x n )) untuk setiap (x 1,..., x n ) yang bersifat u 1 (x 1,..., x n ) = y 1. Jadi ˆθ = h(y 1 ).

40 39 Teorema (Teorema Rao-Blackwell) Misalkan X dan Y merupakan dua variabel random. Misalkan µ X := E(X) dan µ Y := E(Y ). Misalkan ϕ : R R dengan ϕ(x) := E(Y X = x). Maka 1. E(ϕ(X)) = µ Y, dengan kata lain ϕ(y ) adalah tak bias terhadap µ Y. 2. V ar(ϕ(x)) V ar(y ). Proof. Kita buktikan teorema ini untuk kasus X dan Y variabel random kontinu, sedangkan pembukiannya analog dengan kasus kontinu. Misalkan f X ( ) dan f Y ( ) masing-masing merupakan fungsi densitas marginal dari X dan Y. Misalkan f X,Y ( ) merupakan fungsi densitas bersama dari X dan Y, sedangkan f Y X ( x) merupakan fungsi densitas bersyarat dari Y diberikan X = x untuk suatu x R. Maka ϕ(x) = E(Y X = x) = ϕ(x)f X (x) = yf Y X (y x)dy = yf X,Y (x, y)dy. y f X,Y (x, y) dy f X (x) Sehingga E(ϕ(X)) = = ϕ(x)f X (x)dx = ( y f X,Y (x, y)dx ( ) dy = ) yf X,Y (x, y)dy dx yf Y (y)dy = µ Y. Ini membuktikan pernyataan pertama. Untuk membuktikan pernyataan kedua, kita berjalan dari definisi dasar dari V ar(y ). Dari definisi diperoleh V ar(y ) = E (Y µ Y ) 2 = E (Y ϕ(x) + ϕ(x) µ Y ) 2 = E (Y ϕ(x)) 2 + E (ϕ(x) µ Y ) 2 + 2E (Y ϕ(x)) (ϕ(x) µ Y ) = E (Y ϕ(x)) 2 + V ar (ϕ(x)) + 2E (Y ϕ(x)) (ϕ(x) µ Y )

41 40 Pernyataan ke dua akan terbukti jika 2E (Y ϕ(x)) (ϕ(x) µ Y ) = 0. Karena f X,Y (x, y) = f X (x)f Y X (y x), maka diperoleh Tetapi E (Y ϕ(x)) (ϕ(x) µ Y ) = (y ϕ(x))(ϕ(x) µ Y )f X,Y (x, y)dydx ( ) = (ϕ(x) µ Y ) (y ϕ(x))f Y X (y x)dy f X (x)dx. (y ϕ(x))f Y X (y x)dy = = yf Y X (y x)dy yf Y X (y x)dy ϕ(x) = ϕ(x) ϕ(x) = 0. ϕ(x)f Y X (y x)dy f Y X (y x)dy Selanjutnya karena E (Y ϕ(x)) 2 0, maka terbukti V ar(ϕ(x)) V ar(y ). Catatan: Jika P (X,Y ) {(x, y) R 2 : y ϕ(x) = 0} = 0, maka kita peroleh ketaksamaan tegas (engl. strick): V ar(ϕ(x)) < V ar(y ). Ini terjadi karena hal berikut E (Y ϕ(x)) 2 = = + = 0 + > 0 (y ϕ(x)) 2 f X,Y (x, y)dxdy {(x,y) R 2 :(y ϕ(x)) 2 =0} {(x,y) R 2 :(y ϕ(x)) 2 >0} (y ϕ(x)) 2 f X,Y (x, y)dxdy (y ϕ(x)) 2 f X,Y (x, y)dxdy 1 {(x,y) R 2 :(y ϕ(x)) 2 >0}(y ϕ(x)) 2 f X,Y (x, y)dxdy f X,Y (x, y)dxdy = 0, dimana untuk suatu A R 2, 1 A adalah indikator untuk A yang didefinisikan sebagai { 1; jika (x, y) A 1 A (x, y) := 0; jika (x, y) A

42 41 Contoh Misalkan X N(µ 1, σ 2 1) dan Y N(µ 2, σ 2 2), Cor(X, Y ) = ρ. Maka, E (Y X = x) = y f X,Y (x, y; µ 1, µ 2, σ 2 1, σ 2 2) f X (x; µ 1, σ 2 1) =µ 2 + ρ σ 2 σ 1 (x µ 1 ) =: ϕ(x), dy (lihat Hogg dan Craig, 1978, hal ). Sehingga kita peroleh ( E (ϕ(x)) = E µ 2 + ρ σ ) 2 (X µ 1 ) = µ 2. σ 1 Jadi hasil ini sesui dengan pernyataan pertama dari teorema Rao-Blackwell. Tetapi ϕ(x) bukan merupakan statistik, karena dia bergantung pada lima parameter yang tidak diketahui. Selanjutnya V ar(ϕ(x)) = E ( µ 2 + ρ σ 2 ( = E ρ σ 2 (X µ 1 ) σ 1 = ρ 2 σ2 2 σ 2 σ1 2 1 = ρ 2 σ2. 2 σ 1 (X µ 1 ) µ 2 Karena 1 < ρ < 1, yang berakibat ρ 2 < 1, maka V ar(ϕ(x)) < σ 2 2. Jadi hasil ini sesuai dengan pernyataan kedua dari teorema Rao-Blackwell bahkan dengan ketaksamaan tegas. Kita selanjutnya akan membahas aplikasi dari teorema Rao-Blackwell pada konsep statistik cukup dan konsep pemilihan estimator titik dengan variansi minimum. Teorema Misalkan X 1,..., X n merupakan sampel random dari suatu populasi X dengan fungsi densitas f X ( ; θ), θ Θ. Misalkan Y 1 := u 1 (X 1,..., X n ) merupakan statistik cukup untuk θ dan Y 2 := u 2 (X 1,..., X n ) merupakan estimator tak bias untuk θ, tetapi Y 2 merupakan fungsi bukan hanya dari Y 1 saja. Selanjutnya misalkan ϕ(y 1 ) := E(Y 2 Y 1 = y 1 ), y 1 R. Maka berlaku: ) 2 ) 2

43 42 1. ϕ(y 1 ) merupakan statistik. 2. ϕ(y 1 ) merupakan estimator tak bias untuk θ. 3. V ar(ϕ(y 1 )) V ar(y 2 ). Proof. Teorema ini merupakan akibat langsung dari teorema Rao-Blackwell. Karena Y 2 merupakan statistik cukup untuk θ, maka tidak bergantung pada θ. Ini berakibat f Y2 Y 1 (y 2 y 1 ) = f Y 1,Y 2 (y 1, y 2 ; θ) f Y2 (y 2 ; θ) ϕ(y 1 ) := E(Y 2 Y 1 = y 1 ) = y 2 f Y1,Y 2 (y 1, y 2 ; θ) f Y2 (y 2 ; θ) tidak bergantung pada θ Θ. Jadi ϕ(y 1 ) adalah statistik. Lebih lanjut, dari teorema Rao-Blackwell diperoleh pernyataan kedua dan ketiga. Catatan: Teorema merupakan alat bantu dalam memperoleh suatu estimator tak bias dengan variansi minimum untuk suatu parameter. Jika kita diberikan suatu statistik cukup untuk parameter θ, misalkan Y 1 dan misalkan diketahui Y 2 merupakan suatu quantitas (merupakan fungsi bukan hanya dari Y 1 ) yang tak bias terhadap θ, maka kita selalu bisa mendefinisikan suatu statistik ϕ(y 1 ) sebagai estimator tak bias untuk θ dengan variansi yang lebih kecil dari V ar(y 2 ). dy Keluarga lengkap Definisi Misalkan P X merupakan suatu ukuran probabilitas pada R yang di induce oleh variabel random X. Suatu sifat(pernyataan) p dikatakan dipenuhi P X - hampir pasti, ditulis P X -h.p., jika terdapat suatu himpunan N R dengan P X (N) = 0