BAB I ALGORITMA. Buku Ajar Metode Numerik, didanai oleh Proyek HEDS tahun

Transkripsi

1 BAB I ALGORITMA 1.1. Pedahulua Algoritma memegag peraa petig dalam bidag pemrograma. Sebegitu petigya suatu algoritma, sehigga perlu dipahami kosep dasar algoritma. Apalagi utuk seorag programer, tetu diperluka suatu algoritma sehigga dapat membuat program yag lebih efektif da efisie. Bagi kebayaka orag, algoritma sagat membatu dalam memahami kosep logika pemrograma. Algoritma adalah kumpula istruksi yag dibuat secara jelas utuk meujuka lagkah-lagkah peyelesaia suatu masalah. Pada umumya algoritma kurag lebih sama dega suatu prosedur yag serig dilakuka setiap hari, misalya prosedur utuk meggati ba bocor/pecah, prosedur pemakaia telepo umum, prosedur membuat kue da lai-lai. Dalam bidag komputer, misalya EDP (Elektroik Data Processig) atau MIS (Maagemet Iformatio System), algoritma serig dimafaatka utuk meyelesaika suatu masalah atau utuk proses pegambila keputusa. Seorag sistem aalisis (aalisist system) tetuya megguaka algoritma utuk meracag suatu sistem. Bagi seorag programer, algoritma diguaka utuk membuat modul-modul program. Gua memahami suatu algoritma, harus dimiliki pegetahua dasar matematika karea pada dasarya algoritma lahir dari kosep logika matematika. Disii yag perlu dilatih adalah kemampua logikaya agar bear-bear bisa meyusu lagkah-lagkah peyelesaia masalah dega baik. Dalam buku ajar ii, disajika kosep dasar da aalisis algoritma. Pada bagia kosep dasar dibahas kompoe utama, desai, da cotoh pembuata. Selajutya, utuk medapatka algoritma yag efisie serta medapatka rumusa matematika sebagai ukura kerumita (kompleksitas) maka dibahas aalisis algoritma dega megguaka otasi O (big O). Buku Ajar Metode Numerik, didaai oleh Proyek HEDS tahu

2 1.2. Kosep Dasar Algoritma Algoritma adalah kumpula istruksi/peritah yag dibuat secara jelas da sistematis berdasarka uruta yag logis (logika) utuk peyelesaia suatu masalah. Frech,C.S. (1984) meyataka sejumlah kosep yag mempuyai relevasi dega masalah racaga program yaitu kemampua komputer, kesulita da ketepata. Peerapa dari kosep tersebut biasaya diguaka dalam racaga algoritma. Dalam meracag sebuah algoritma, Fletcher (1991) memberika beberapa cara atau metode yaitu kumpula peritah, ekspresi, tabel istruksi, program komputer, kode semu da flow chart, sedagka Kuth (1973) meyaraka algoritma fudametal. Utuk keperlua matematika da program komputer metode yag serig diguaka yaitu : 1. Diagram Alir (Flow Chart) 2. Kode Semu (Pseudo Code) 3. Algoritma Fudametal Kuth (1973) meyataka 5 kompoe utama dalam algoritma yaitu fiiteess, defiiteess, iput, output da effectiveess. Sehigga dalam meracag sebuah algoritma ada 3 (tiga) kompoe yag harus ada yaitu: 1. Kompoe masuka (iput) Kompoe ii biasaya terdiri dari pemiliha variable, jeis variable, tipe variable, kostata da parameter (dalam fugsi). 2. Kompoe keluara (output) Kompoe ii merupaka tujua dari peracaga algoritma da program. Permasalaha yag diselesaika dalam algoritma da program harus ditampilka dalam kompoe keluara. Karakteristik keluara yag baik adalah bear (mejawab) permasalaha da tampila yag ramah (Fredly). 3. Kompoe proses (processig) Kompoe ii merupaka bagia utama da terpetig dalam meracag sebuah algoritma. Dalam bagia ii terdapat logika masalah, logika algoritma (sitaksis da sematik), rumusa, metode (rekursi, perbadiga, peggabuga, peguraga da lai-lai). Buku Ajar Metode Numerik, didaai oleh Proyek HEDS tahu

3 Kosep Logika Matematika Format Algoritma FlowChart Pseudo Code Algoritma Fudametal Kuth, 1973 Gambar 1.1. Struktur Hubuga da Jeis Algoritma 1.3. Diagram Alir Algoritma ii megguaka sejumlah simbol utuk meyataka kegiata-kegiata secara keseluruha. Simbol da artiya dalam diagram alir sebagai berikut: Proses Iput da output Prosedur/ Sub routi Fugsi Keputusa Termial (start da ed Loopig Buku Ajar Metode Numerik, didaai oleh Proyek HEDS tahu

4 Dokume Hubuga Hubuga Paralel Pusat data Iput Maual Ya Tidak Garis alir Operasi Maual Gambar 1.2. Simbol da arti Diagram Alir 1.4. Kode Semu Dalam meracag sebuah algoritma megguaka kode semu, kompoekompoe iput, output da proses harus terdefiisi secara jelas. Disampig itu beberapa ketetua da atura pedefiisia memag secara baku tidak ditemuka dalam beberapa buku literatur, amu atura-atura yag di ajuka dibawah ii aka membatu mempermudah peracaga algoritma da evaluasi serta aalisis algoritma. Atura-atura tersebut : 1. Kode semu harus dimulai dega judul. Atura ii secara mudah dapat dimegerti fugsi da mafaatya. Judul harus dapat mejelaska spesifikasi masalah yag diracag algoritmaya. Peulisaya dapat dega huruf kapital semuaya atau tidak. 2. Kode semu harus ditulis dega omor yag meujukka uruta-uruta lagkahlagkah dalam algoritma. 3. Pedeklarasia variabel, kostata, parameter, rumus da peryataa harus sederhaa Buku Ajar Metode Numerik, didaai oleh Proyek HEDS tahu

5 Cotoh. 1.1 Badigka kedua algoritma ii. Masalah : Mecari akar-akar persamaa o liear dega metode bagi dua. A. Kode semu yag diracag tidak megguaka atura. Peyelesaia: 1. Formulasika sebuah persama o liier 2. Cari ilai bawah x b yag meyebabka ilai fugsif(x b ) positif atau egatif, kemudia cari ilai atas x a yag meyebabka ilai fugsi f(x a ) berlawaa (positif egatif) dega ilai bawah. 3. Badigka ilai f(x b ) dega f(x a ) 4. Jika f(x b ).f(x a ) > 0 maka ulagi lagkah 2 5. Jika f(x b ).f(x a ) < 0 maka bagi dua iterval x b dega x a. Ulagi lagkah 3 6. Jika f(x b ).f(x a ) = 0 maka iterasi berheti, akar-akar persamaa x diperoleh B. Kode semu yag diracag megguaka atura Peyelesaia: Algoritma Bagi Dua 1. Formulasika masalah f(x) 2. Cari taksira bawah (x b ) da taksira atas (x a ) 3. Badigka da evaluasi, jika f(x b ).f(x a ) > 0 maka ulagi lagkah 2 4. Jika f(x b ).f(x a ) < 0 maka bagi dua iterval dega (x b +x a ) / 2, kembali badigka da evaluasi. 5. Jika f(x b ).f(x a ) = 0 maka iterasi berheti, akar-akar persamaa x diperoleh Buku Ajar Metode Numerik, didaai oleh Proyek HEDS tahu

6 1.5. Algoritma Fudametal Kuth (1973)meyajika format algoritma yag dapat diguaka secara bebas utuk berbagai bahasa pemrograma, artiya dapat dega mudah diimplemetasika megguaka Pascal, C, Fortra, PL atau BASIC. Secara umum otasi da atura yag diguaka sebagai berikut : 1. Nama/judul algoritma harus ditulis dega huruf kapital Cotoh : Algoritma BAGI DUA 2. Berika kometar da pejelasa pedahulua. Pejelasa secara sigkat tetag algoritma. Cotoh : Algoritma BAGI DUA Mecari akar persamaa dega taksira pertama x b da x a 3. Lagkah-lagkah. Algoritma tersusu meurut omor lagkah-lagkah diawali dega [...] utuk memberika keteraga tetag lagkah tersebut. Cotoh : 1. [formulasika f(x)] 4. Kometar (commets). Kometar utuk pejelasa bagi pembaca ditulis dega tada (...) 5. Peryataa da struktur Kotrol Peryataa adalah peritah yag terdapat didalam algoritm, sedagka struktur kotrol utuk megedalika peryataa yag diguaka. Peryataa da struktur kotrol terdiri dari : a. Peritah pemberia ilai megguaka, Cotoh : A B (artiya A = B) X 0 (artiya x berilai 0) X Y (artiya x da y salig tukar) b. Peryataa IF Peritah yag diguaka: IF kodisi The... IF kodisi The Buku Ajar Metode Numerik, didaai oleh Proyek HEDS tahu

7 else... c. Peryataa Case Peritah ii utuk meyeleksi piliha tertetu. Betukya : Select Case (ekspresi) Case ilai 1 : Case ilai 2 :... Case ilai : Default : d. Peryataa Repeat Peritah pegulaga diguaka dega betuk : Repeat for ideks = barisa ilai Repeat while ekspresi logika Repeat for ideks = barisa ilai while ekspresi logika e. Peryataa Goto da Exitloop Peritah utuk melompat ke lagkah yag telah ditetuka da keluar dari pegulaga. Betukya : Goto step... Exitloop f. Peryataa Exit Peritah utuk meghetika algoritma. 6. Nama-ama variabel harus ditulis dega huruf besar 7. Iput da output Data dapat dimasukka melalui variabel dega peryataa READ dega betuk : Read : NAMA VARIABEL Utuk mecetak pesa-pesa/tulisa (diapit dega tada kutip) da juga variabel diguaka peryataa : Write : tulisa da atau ama variabel Buku Ajar Metode Numerik, didaai oleh Proyek HEDS tahu

8 8. Prosedur Betuk prosedur diguaka utuk modul algoritma yag berdiri sediri utuk meyelesaika masalah tertetu. Pemakaia prosedur utuk masalah sederhaa, sedagka algoritma utuk masalah umum. Betuk yag diguaka : Procedure ama prosedur 9. Fugsi Sama dega prosedur megguaka betuk : Fuctio ama fugsi Cotoh 1.2. Masalah : Mecari eleme terbesar dari data dega bilaga. Buatlah algoritma dari masalah ii megguaka a. Kode Semu b. Diagram Alir c. Algoritma Fudametal Peyelesaia : a. Kode semu (Pseudo Code) Algoritma Maksimum 1. Mula-mula masukka bilaga dalam register x i ke dalam register yag diamaka maks. 2. Utuk i = 2,3,...,, lakuka : Badigka bilaga dalam register x i dega bilaga dalam register maks. Jika bilaga dalam register x i lebih besar daripada bilaga dalam register maks, pidahka bilaga dalam register x i ke register maks; jika tidak jaga lakuka apa-apa. 3. Terakhir, bilaga dalam register maks adalah eleme terbesar di atara bilaga. Buku Ajar Metode Numerik, didaai oleh Proyek HEDS tahu

9 b. FlowChart (Diagram Alir) Mulai x1 = Maks FOR i = 2 TO IF xi > Maks tidak ya Maks = xi NEXT i Maks Ed c. Algoritma Fudametal Algoritma MAKSIMUM Mecari eleme terbesar di dalam data dega bilaga. 1. [Iisialisasi] Maks x1 2. [Mulai Loop] I 2 3. [Naikka Pecacah] I I [Badigka] IF Maks < x i THEN Maks x i ELSE GOTO 3 5. [Ulagi Loop] GOTO 3 6. [Selesai] Exit Buku Ajar Metode Numerik, didaai oleh Proyek HEDS tahu

10 1.6. Aalisis Algoritma da Kompleksitas Algoritma Seorag programer atau sistem aalisis palig tidak harus memiliki dasar utuk megaalisis algoritma. Aalisis algoritma sagat membatu di dalam meigkatka efisiesi program. Kecaggiha suatu program buka dilihat dari tampila program, tetapi berdasarka efisiesi algoritma yag terdapat didalam program tersebut. Pembuata program komputer tidak terlepas dari algoritma, apalagi program yag dibuat sagat kompleks. Program dapat dibuat dega megabaika algoritma, tetapi jaga hera bila seadaiya ada orag lai yag membuat program seperti program ada tersebut memiliki akses yag lebih cepat da memakai memori yag sagat sedikit. Aalisis algoritma adalah bahasa utama dalam ilmu komputer. Dalam meguji suatu algoritma, dibutuhka beberapa kriteria utuk megukur efisiesi algoritma. Terdapat dua tipe aalisis algoritma, yaitu : 1. Memeriksa kebeara algoritma Dapat dilakuka dega cara peruruta, memeriksa betuk logika, implemetasi algoritma, pegujia dega data da megguaka cara matematika utuk membuktika kebeara. 2. Peyederhaaa Algoritma Membagi algoritma mejadi betuk yag sederhaa Notasi O (Big O) Misalka 4 program yag mesortig bilaga dega fugsi yag meyataka sejumlah lagkah yag dijumlahka masig-masig program utuk sortig bilaga : f 1 () =, f 2 () = 2, f 3 () = 2, f 4 () =! Bila = 4 maka f 1 () = 4, f 2 () = f 3 () = 16 da f 4 () = 24 sedagka utuk = 100, program ketiga aka memerluka lagkah. Dalam aalisis sebuah algoritma biasaya yag dijadika ukura adalah operasi aljabar seperti pejumlaha, peguraga, perkalia da pembagia, proses pegulaga (loopig/iterasi), proses peguruta (sortig) da proses pecaria (searchig). Buku Ajar Metode Numerik, didaai oleh Proyek HEDS tahu

11 Defiisi 1.1 Misalka S sebuah himpua fugsi riil utuk setiap domai D, dega D = N, Z atau R. Misalka f,g S. Dikataka f = O(g) jika ada bilaga positif c da k sehigga f ( x) c g( x) utuk semua x D yag x > k Dalam aalisis algoritma ada 3 bagia yag dapat diaalisis yaitu kecepata waktu, kapasitas biaya da kapasitas ruag. Ketigaya megguaka otasi O. Teorema 1.1 Misalka f(x) = a x + a -1 x a 1 x + a 0 adalah fugsi poliom da misalka g(x) = x maka f= O(g). Bukti : Misalka c = a + a a1 + a0. Misalka x sebuah bilaga riil yag lebih dari 1, maka F( x) = ax a1x + a0 1 a x + a 1 x a1 x + a x + a 1 x a1 x + = a + a a + a x = cx 1 = c g( x) 1 0 a a 0 0 x Sehigga f = O(g) Teorema 1.2. Misalka S sebuah himpua fugsi dega domia D yag sama dega D =, Z atau R da kodomai (0,~). Misalka f 1, f 2, g 1, g 2 S sehigga f 1 = O(g 1 ) da f 2 = O(g 2 ), maka dega hubuga O diperoleh : a). f 1 + f 2 = O(maks{g 1,g 2 }) da b). f 1. f 2 = O(g 1,g 2 ) Buku Ajar Metode Numerik, didaai oleh Proyek HEDS tahu

12 Bukti: a) Karea f 1 =O(g 1 ) da f 2 =O(g 2 ), ada bilaga positif c 1, k 1, c 2, da k 2 sedemikia sehigga jika x D da x > k 1 maka f 1 (x) < c 1 g 1 (x) da jika x > k 2 maka f 2 (x) < c 2 g 2 (x). Misalka k=maks{k 1, k 2 } da c = c 1 + c 2, maka (f 1 + f 2 )(x) = (f 1 +f 2 )(x) = f 1 (x) + f 2 (x) <c 1 g 1 (x) +c 2 g 2 (x) = c 1 g 1 (x) + c 2 g 2 (x) c 1 max {g 1 (x), g 2 (x)}+c 2 max{g 1 (x),g 2 (x)} = (c 1 +c 2 ) max {g 1 (x),g 2 (x)} = c max{g 1 (x),g 2 (x)} = c (max{g 1,g 2 })(x) maka f 1 + f 2 = O(max{g 1,g 2 }(x)) b) (f 1 f 2 )(x) = f 1 (x) f 2 (x) c 1 g 1 (x) c 2 g 2 (x) = c 1 c 2 g 1 (x)g 2 (x) = c 1 c 2 (g 1 g 2 )(x) = c (g 1 g 2 )(x) sehigga f 1 f 2 = O(g 1 g 2 ) Buku Ajar Metode Numerik, didaai oleh Proyek HEDS tahu