PRLUS HRCK D SIFT CUCHY ITRL HSTOCK-DUFORD PD RU UCLID Solkh Jurusa Matematka FMIP UDIP Jl. Pro. H. Soedarto, S. H, Tembalag, Semarag e-mal : sol_er@yahoo.com bstract. I ths aer we study Hestock-Duord tegral o the ucldea sace. We dscuss some roertes o the tegrable. We rove the Harack teso theorems ad the Cauchy eteso theorems or Hestock-Duord tegral o the ucldea sace. Keyword : Hestock-Duord tegral, Harack eteso ad Cauchy eteso.. PDHULU Sejak derkealka oleh Ralh Hestock ada tahu 96-a, yag meruaka egtlaka dar tegral Rema, tegral Hestock telah megalam erkembaga bak dar seg teor mauu alkasya [], [4], [6]. berdasarka kaja tetag tegral Hestock bayak sat-sat yag telah dugka bak dalam ruag real [2], [7] mauu ruag uclde [5]. Duord medeska tegralya ada ugs terukur lemah dar ke ruag Baach X ( X ruag dualya da utuk seta X ugs berla real tertegral Lebesgue. Itegral dkeal dega tegral Duord []. Kaja tegral Duord telah derluas ke dalam tegral te Rema (tegral Hestock ada ruag, yatu dega medeska ugs berla realya tertegral Hestock. Haslya dkeal dega tegral Hestock-Duord ada ruag [3]. Peelta selajutya, tegral Hestock-Duord ada ruag dgeeralsas ke dalam ruag uclde [9]. Pembahasaya melut sat-sat sederhaa da beberaa teorema kekovergea [9]. Berdasarka uraa tersebut, euls aka meelt sat-sat lebh lajut dar tegral Hestock-Duord ada ruag uclde. Sat-sat dgeeralsas dar tegral Hestock ada ruag real. 2. ITRL HSTOCK- DUFORD PD RU UCLID Pada tulsa, dbahas des tegral Hestock-Duord ada ruag uclde, sat-sat sederhaa, da ugs rmtya megacu ada [9]. Des 2. [9] Dberka X ruag Baach da X ruag dualya, volume- ada da sel. Fugs : X dkataka tertegral Hestock -Duord ada jka utuk seta X ugs tertegral Hestock ada da utuk seta sel terdaat vektor (,, X sehgga = H. X,, (,, ( ( Selajutya vektor ( d atas dsebut la tegral Hestock-Duord ugs ada da dtuls = HD. (,, ( Jka tertegral Hestock-Duord ada, dtuls HD (,. Teorema 2.2 [9] Jka HD(, maka HD(, utuk seta sel baga. Bukt : Jelas berdasarka des. 8
Jural Matematka, Vol 6, o., rl 23 : 8-2 Des 2.3 [9] Dberka HD(, da I ( koleks semua sel baga d dalam. Fugs F : I ( X dega rumus F( = (,, = ( HD da F( =, utuk seta I ( dsebut ugs rmt-hd ugs. Berdasarka Des 2.3 maka ugs F meruaka ugs adt. Teorema 2.4 [9] Jka HD(, dega F sebaga rmt-hdya maka F meruaka ugs adt ada. Bukt : Fugs HD(, berart utuk seta X ugs tertegral Hestock ada da utuk seta sel da sel B dega µ ( B = berturutturut terdaat vektor (,, X da (, B, X sehgga H ( (, B, ( H B ( (,, ( = da =. Dega demka deroleh ( + ( = (,, (, B, ( + ( H H B ( H B (, B, = = ( utuk seta X. Jad + = atau (,, (, B, (, B, F( + F( B = F( B. kbat 2.5 [9] Jka HD(, dega F sebaga rmt-hdya da, 2,..., sel-sel d dalam yag tdak salg tumag-tdh da maka =U (,,. F( = F( = Bukt : Karea HD(, dega F sebaga rmt-hdya, =U dega j = utuk seta j maka deroleh F( = F U =, U, = ( +,, (, 2, +... + (,, = F( + F( 2 +... + F( = F( = (,,. Selajutya berdasarka Des 2. maka tegral Hestock-Duord ada daat dyataka seert dalam teorema berkut. Teorema 2.6 [9] Fugs HD(, jka da haya jka terdaat ugs adt F : I ( X sehgga utuk seta blaga > da X terdaat ugs ost δ ada sehgga jka sel da D = {( D, : =, 2,..., } arts Perro δ -e ada berlaku ( ( ( D F( D < atau ( ( D F( D <. 3. PRLUS HRCK D SIFT CUCHY Berkut dbahas erluasa Harack da Sat Cauchy tegral Hestock Duord ada ruag uclde. Teorema 3. [3], [5], [8] (kstes Harack Dberka X ruag Baach da X ruag dualya, volume- ada 9
Solk (Perluasa Harack da Sat Cauchy Itegral Hestock-Duord ada Ruag uclde, sel, da ugs :. Hmua meruaka hmua =,2,3,... tertutu d dalam da { } barsa hmua sederhaa yag tdak salg tumag-tdh dega U =. Jka HD(, da HD(, utuk seta dega utuk seta da ( H < X maka HD(, ( ( χ (. HD = HD + HD Bukt : Dberka blaga > sebarag. Karea HD(, maka terdaat ugs ost δ ada sehgga utuk seta arts Perro δ -e D = {( D, } ada berlaku ( D ( ( D ( H < 4 utuk seta X. Karea HD(, utuk seta maka utuk blaga > d atas da X terdaat ugs ost δ ada sehgga utuk seta arts Perro δ - e = {( D, } D ada berlaku ( D ( ( D ( H <. 4 Kemuda, karea dketahu ( H < maka utuk seta blaga > d atas terdaat blaga asl sehgga utuk > berlaku 2 ( H <. > Dbetuk ugs ost δ ada dega rumus { δ δ δ } m (, (,..., (, U δ ( = m { δ(, δ + k ( }, U, k =, 2,... + k Dega demka utuk seta arts D = D, ada { } Perro δ -e ( deroleh D ( ( D ( ( + ( H H > ( D ( D H ( ( ( D ( ( ( + D H < ( H + > < + + =. 4 4 2 Hal berart tertegral Hestock ada da utuk seta sel terdaat vektor (,, X sehgga H H = +. ( (,, ( ( Dega kata la HD(, da H H = + ( (,, ( ( Utuk seta Jad utuk seta X. X deroleh HD HD ( ( χ,, ( kuvale = +.
Jural Matematka, Vol 6, o., rl 23 : 8-2 ( ( χ (. HD = HD + HD Teorema 3.2 [5], [8] (Sat Cauchy Dberka X ruag Baach da X ruag dualya, volume- ada,da sel. Jka HD(, utuk seta da lm ( HD = ( HD ada maka HD(, da ( ( HD = HD. Bukt : Dberka blaga > sebarag da X. Karea HD(, utuk seta maka terdaat ugs ost δ ada sehgga utuk seta arts Perro D = D, ada berlaku { } δ -e ( ( ( ( ( D D H <. Dketahu bahwa lm ( HD = ( HD 3 ada, berart utuk seta blaga > da X d atas terdaat blaga η > sehgga utuk dega ( < η berlaku ( ( < 3 H H. Utuk sebarag blaga > da X d atas, dbetuk ugs δ ada dega rumus m { δ ( }, δ ( = m δ (,, 3 ( +. Dambl sebarag arts Perro δ -e " D = D D = D, ada, dega D da {( } " D berturut-turut arts yag terkat dega da. Dega demka deroleh D H ( D ( ( ( = ( D D ( ( ( D H " ( D ( ( ( D H H H ( ( + ( D " + ( ( D + + ( D " ( ( D 3 3 2 + ( 3 3 ( + <. Hal berart tertegral Hestock ada da utuk seta sel terdaat vektor (,, X sehgga ( ( ( H,, Jad HD(, da =. H = H ( ( Jad utuk seta. X deroleh ( ( HD = HD. 4. PUTUP Dar embahasa d muka deroleh kesmula bahwa erluasa Harack da sat Cauchy ada tegral Hestock daat dgeeralsas utuk tegral Hestock Duord ada ruag uclde. Utuk eelta lebh lajut, daat dkaj megea sat-sat smal Rema sums
Solk (Perluasa Harack da Sat Cauchy Itegral Hestock-Duord ada Ruag uclde ugs tertegral Hestock-Duord ada ruag uclde. 5. DFTR PUSTK [] Boccuto,., Skvortsov,.V. (24, Hestock-Kurzwel Tye Itegrato o Resz-Sace-Valued Fuctos ad lcatos to Walsh Seres, Real alyss chage, 29(: 49-439. [2] ordo, R.. (994, The Itegral o lebesgue, Dejoy, Perro, ad Hestock, Mathematcal Socety, US. [3] uoju, Ye., Taqg,. (2, O Hestock-Duord ad Hestock- Petts Itegrals, IJMMS, 25(7: 467-478. [4] Hekkla, S. (2, Mootoe Covergece Theorems or Hestock- Kurzwel Itegrable Fuctos ad lcatos, Joural o Mathematcal alyss ad lcatos, 377(: 286-295. [5] Idrat, Ch. R. (22, Itegral Hestock-Kurzwel d dalam Ruag uclde Berdmes-, Dsertas, Uverstas adjah Mada, [6] Idrat, Ch.R., Surodjo, Bud. (2, lkas Itegral Hestock-Kurzwel ada Meda Vektor, Lembaga Peelta UM, [7] Lee P.Y. (989, Lazhou Lectures o Hestock Itegrato, World Scetc, Sgaore. [8] Rahma, Harur. (25, Itegral Hestock-Petts ada ruag uclde, Tess, Uverstas adjah Mada, [9] Saullah. (23, Itegral Hestock- Duord ada Ruag uclde, Tess, Uverstas adjah Mada, [] Schwabk, S., uoju, Ye. (24, Tocs Baach Sace Itegrato, Mauscr Prearato. 2