KOMPETISI MATEMATIKA 07 TINGKAT SMA SE-SULUT SOLUSI BABAK SEMI FINAL Rabu, Februari 07
. Misalkan f(x) = x 5 + ax 4 + bx 3 + cx + dx + c dan f() = f(3) = f(5) = f(7) = f(9). Berapakah nilai a? a. 5 d. 5 b. 5 e. 5 c. 0 Misal f() = f(3) = f(5) = f(7) = f(9) = k dsibentuk persamaan polinomial: g(x) = x 5 + ax 4 + bx 3 + cx + dx + c k g(x) = f(x) k Jelas bahwa g() = g(3) = g(5) = g(7) = g(9) = 0 Berarti bahwa, 3, 5, 7 dan 9 adalah akar-akar persamaan polinomial g(x) = 0. x 5 + ax 4 + bx 3 + cx + dx + c k = 0 x + x + x 3 + x 4 + x 5 = B A = a = a Karena akar-akarnya adalah, 3, 5, 7 dan 9 maka : + 3 + 5 + 7 + 9 = a a = 5. 07 lampu dikontrol oleh 07 tombol saklar yang diberi nomor,, 3,, 07. Menekan tombol saklar satu kali akan merubah nyala lampu (hidup atau mati). Pada awalnya semua lampu dalam keadaan mati. Pada hari pertama, semua tombol saklar ditekan satu kali. Pada hari kedua, semua tombol saklar bernomor atau kelipatan ditekan sekali. Dengan melakukan hal yang sama pada hari ke-n, semua tombol saklar lampu bernomor n atau kelipatan n ditekan sekali. Demikian seterusnya. Berapa banyak lampu dalam kondisi hidup setelah operasi pada hari ke-07 dilakukan? a. 40 b. 4 c. 4 d. 43 e. 44 Pada awalnya seluruh lampu dalam keadaan mati. Untuk mengubah kondisi lampu menjadi hidup, maka saklar lampu harus ditekan sebanyak k kali, dengan k merupakan bilangan ganjil. Diketahui saklar lampu yang bernomor kelipatan i akan dioperasikan pada hari ke-i. Artinya, saklar lampu bernomor i hanya akan dioperasikan pada hari-hari yang merupakan faktor dari i. Untuk mengetahui saklar lampu yang ditekan sebanyak k kali, dengan k merupakan bilangan ganjil, maka harus diperoleh bilangan yang banyak faktornya adalah ganjil. Bilangan yang memiliki sifat demikian adalah bilangan kuadrat sempurna. Bilangan kuadrat sempurna yang kurang dari 07 ada sebanyak 44. Dengan demikian, banyaknya lampu dalam kondisi hidup setelah operasi pada hari ke-07 adalah 44 lampu.
3. sec 4 x tan 4 x dx = a. b. c. tan 8 x 7 tan 7 x 7 tan 8 x 7 + tan6 x 5 + tan5 x 5 + sec6 x 5 + C + C + C d. e. tan 7 x 7 sec 8 x 7 + sec5 x 5 + sec6 x 5 + C + C Penyelesaian : sec 4 x tan 4 x dx = tan 4 x sec 4 x dx = tan 4 x sec x sec x dx = tan 4 x sec x sec x dx = tan 4 x (tan x + ) sec x dx = (tan 6 x + tan 4 x) sec x dx Mis: u = tan x du = sec x dx sec 4 x tan 4 x dx = (tan 6 x + tan 4 x) sec x dx = (u 6 + u 4 ) du = 7 u7 + 5 u5 + C = 7 tan7 x + 5 tan5 x + C 4. Diketahui matriks S = ( 0 ) dan M = ( ). Fungsi f(s + M, S M) =... 3 0 3 a. ( 4 0 4 40 ) d. ( 4 0 4 40 ) b. ( 4 0 4 30 ) c. ( 4 8 4 38 ) e. ( 4 8 4 36 )
Penyelesaian : Diketahui matriks S = ( 0 ) dan M = ( 3 0 3 ) Jika f(s, M) = S + M maka f(s + M, S M) = (S + M) (S M). Menentukan S + M S + M = ( 0 3 ) + ( 0 3 ) = ( 3 0 ) Menentukan S M S M = ( 0 3 ) ( 0 3 ) = ( 6 ) Menentukan (S + M) (S + M) = ( 3 0 ) ( 3 0 ) = ( 9 6 + 0 3 0 + 0 ) = ( 7 6 3 ) Menentukan (S M) (S M) = ( 6 ) ( 6 ) + = ( 6 + 36 ) = ( 3 4 7 38 ) f(s + M, S M) = ( 7 6 3 ) ( 3 4 0 ) = (4 7 38 4 40 ) 5. Diketahui f(x) = x 07. Jika banyaknya f pada fungsi komposisi adalah n dan n = 07, maka x (fofofofofofo fofof)(x) sama dengan. a. b. c. d. e. x+07 x x 07 x+ x+07 x x 07 x+ x 07 x Diketahui : f(x) = x 07 x fof = f(f(x)) = fof(x) = f(f(x)) x 07 ( x ) 07 x 07 ( x ) 3
Sehingga, (fof)(x) = x = = (x 07) 07(x ) x (x 07) (x ) x x 07 07x + 07 x = 06x 06 = x x x 07 x + x 07 (fofof)(x) = x Karena n = 07(ganjil) maka (fofofofofofo fofof)(x) = x 07 x 6. Jika tan ( π + a) = 4 tan 4 ( π a), dan tan a = p, maka p = 4 a. p = atau p = b. p = atau p = c. p = atau p = 3 3 d. p = 3 e. p = 3 atau p = 3 atau p = 3 tan ( 4 π + a) = 4 tan ( π a) 4 tan ( π) + tan a 4 tan ( = 4 4 π) tan a tan ( π) tan a 4 + tan ( π) tan a 4 + tan a tan a = 4 tan a + tan a ( + tan a) = 4( tan a) + tan a + tan a = 4( tan a + tan a) + tan a + tan a = 4 8 tan a + 4 tan a 3 tan a 0 tan a + 3 = 0 (3 tan a )(tan a 3) = 0 tan a = 3 p = 3 atau tan a = 3 atau p = 3 4x 7. Berapakah nilai k agar limit berikut ini ada : lim +kx+7k 6 x 3 x 5x 3 a. 0 b. c. d. 3 e. 4 4
Faktorkan penyebut : x 5x 3 = x 6x + x 3 = (x 3) + (x 3) = (x 3)(x + ) Setelah penyebut difaktorkan. Dapat di lihat bahwa limit tidak akan ada karna (x 3) pada penyebut. Agar limit ada, (x 3) harus di eliminasi dari penyebut. Jadi, kita harus menemukan nilai k dimana (x 3) dapat difaktorkan keluar dari pembilang, ini hanya dapat dilakukan jika 3 adalah akar polinomial pada pembilang 4x + kx + 7k 6. Artinya, kita harus mendapatkan nilai k dengan mensubtitusikan x = 3. 4(3) + k(3) + 7k 6 = 0 = 36 + 3k + 7k 6 = 0 = 0k + 30 = 0 = k = 3 Subtitusikan k kemudian faktorkan, 4x 3x 7 = 4x x + 9x 7 = 4x(x 3) + 9(x 3) = (4x + 9)(x 3) Sekarang kita bisa mengeliminasi (x 3) pada penyebut, (4x + 9)(x 3) lim x 3 (x 3)(x + ) (4x + 9)(x 3) lim x 3 (x 3)(x + ) (4x + 9) lim x 3 (x + ) Jadi, untuk nilai k = 3, limitnya ada, yaitu 3 = 7 = 3 8. Himpunan penyelesaian dari x+5 x x x+3 adalah a. x atau x 3 b. x 3 atau x d. 3 x e. x 3 c. x 3 x + 5 x x x + 3 ( x + 5 x ) ( x x + 3 ) 5
( x + 5 x ) ( x x + 3 ) 0 [( x + 5 x ) + ( x + 5 )]. [(x x + 3 x ) ( x x + 3 )] 0 (x + 5)(x + 3) [ ( x)(x + 3) + x( x) + 5)(x + 3) ]. [(x ( x)(x + 3) ( x)(x + 3) x( x) ( x)(x + 3) ] 0 [ x + 8x + 5 + x x ]. [ x + 8x + 5 x + x ] 0 ( x)(x + 3) ( x)(x + 3) 0x + 5 ( ( x)(x + 3) ). + 6x + 5 (x ( x)(x + 3) ) 0 (0x + 5)( x + 6x + 5) 0 (kedua ruas dikali (( x)(x + 3)) (0x + 5)( x + 6x + 5) 0 5(x + 3)( x + 6x + 5) 0 x + 6x + 5 definit positif dimana nilai diskriminannya D < 0 maka tidak bisa difaktorkan. 5(x + 3) 0 x + 3 0 x 3 Titik kritis di 3 Jadi HP = x 3 3 9. Diberikan segitika siku-siku ABC yang siku-siku di A dengan AB = 3 dan AC = 4. AD merupakan garis berat. Jika r dan s berturut-turut merupakan panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga ABD dan ADC maka nilai dari r + s = a. 5 b. 7 c. 7 d. 7 6 e. 7 6 BC = AB + AC BC = 3 + 4 BC = 5 6
Karena BAC = 90, maka dapat dibuat sebuah lingkaran melalui titik A, B, dan C dengan BC sebagai diameter sehingga D adalah pusat lingkaran. Jadi, DC = DB = DA = 5 [ABC] = 4 3 = 6 Jarak D ke AC = ( 5 ) = 3 [ADC] = 3 4 = 3 [ABD] = [ABC] [ADC] = 6 3 = 3 [ABD] = r(da + DB + AB) 3 = r (5 + 5 + 3) r = 3 4 [ADC] = s(da + DC + AC) 3 = s (5 + 5 + 4) s = 3 Maka, r + s = 4 3 + 3 = 7 6 0. Diberikan dua parabola y = x + ax + b dan y = x + cx + d dengan a, b, c, d adalah 4 buah bilangan bulat (tidak harus berbeda) yang diambil dari himpunan S = {,, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Peluang kedua parabola memiliki sedikitnya satu titik persekutuan adalah a. 57 d. 7 64 b. 43 8 e. 64 c. 7 8 64 x + ax + b = x + cx + d x(a c) = d b Akan dicari dulu peluang kedua parabola tidak memiliki titik persekutuan. Agar kedua parabola tidak memiliki titik persekutuan, maka a = c dan d b. Banyaknya cara = 8 8 7. Peluang kedua parabola tidak memiliki titik persekutuan = 8 8 7 8 4 = 7 64 Peluang kedua parabola memiliki titik persekutuan = 7 64 = 57 64 Jadi, peluang kedua parabola memiliki titik persekutuan = 57 64. Untuk x > 0, y > 0, didefinisikan f(x, y) adalah nilai terkecil diantara x, y +, dan. Nilai maksimum x y yang mungkin dicapai oleh f(x, y) adalah... a. 3 5 b. c. 0 5 Misalkan a = x dan b = sehingga a > 0 dan b > 0 y d. 0 e. 3 5 5 7
Jika a = b = b + a Jika a 0 Jika a > 0 Maka f(x, y) 0 atau b 0 dan b > 0 f(x, y) = f(a, b) = min (a, b, b + a ) a(a) = 5 a = b = b + a = 0 0 maka f(x, y) maka f(x, y) = + < + 4 = 0 b a 0 0 dengan tanda kesamaan terjadi jika a = b = 0 Jadi, nilai maksimum yang mungkin dicapai oleh f(x, y) adalah 0. Untuk bilangan real positif x dan y dengan xy = 3, nilai minimum 9x 6 + 4y 6 adalah a. 0 b. c. 3 d. 4 e. 9 Penyelesaian. Gunakan ketaksamaan AM-GM untuk menentukan penyelesaian ini. Ketaksamaan AM-GM : a + b ab 9x 6 + 4y 6 9x 6. 4y 6 9x 6 + 4y 6 9x 6. 4y 6 9x 6 + 4y 6 3 x 6 y 6 9x 6 + 4y 6 3 (xy) 6 9x 6 + 4y 6 3 (xy) 3 9x 6 + 4y 6 3 ( 3 3 ) 8
9x 6 + 4y 6 3 7 9x 6 + 4y 6 9 Jadi, nilai minimum dari 9x 6 + 4y 6 adalah 9 3. k adalah bilangan bulat positif yang memenuhi 36 + k, 300 + k, 596 + k adalah kuadrat dari tiga bilangan yang membentuk barisan aritmatika. Tentukan nilai k. a. 34 d. 876 b. 54 e. 65 c. 95 Penyelesaian. Misal ketiga barisan aitmatika tersebut adalah : a b, a, a + b Kuadratnya adalah : (a b), a, (a + b) (a b) = a + b ab = 36 + k a = 300 + k (a + b) = a + b + ab = 596 + k a (a + b ab) = 300 + k (36 + k) = 64 b(a b) = 64 () a + b + ab a = 596 + k (300 + k) b(a + b) = 96 () 96(a b) = 64(a + b) 59a 96b = 58a + 64b 64a = 560b 4a = 35b Dari persamaan () didapat b(a b) = 64..(x) b(4a b) = 58 b(4a b) = 58 b(35b b) = 58 b(33b) = 58 33b = 58 b = 6 b = 4 9
substitusi nilai b = 4 ke b(a b) = 64 b(a b) = 64 4(a 4) = 64 8a 6 = 64 8a = 80 a = 35 Nilai k : (a b) = (35 4) = 3 = 96 = 36 + k k = 95 (catatan : ketiga bilangan yang membentuk barisan aritmetika adalah 3, 35, 39) 4. Jika suku pertama deret geometri tak hingga adalah dan rasionya adalah r = m = β untuk nilai α m m > 0 dan α, β akar-akar x (3m + ) + (4m + ) = 0, maka jumlah deret geometri tak hingga tersebut adalah... a. d. 6 b. 3 e. 7 c. 5 x (3m + ) + (4m + ) = 0 memiliki akar-akar α dan β maka α + β = 3m + α. β = 4m + m α = β m m = αβ m = 4m + (m 6)(m + ) = 0 Maka m = 6. Persamaan kuadrat tersebut adalah x 0x + 36 = 0 yang memiliki akar-akar dan 8. Karena syarat barisan tak hingga adalah < r < maka α = 8 dan β =. Jadi, r = 6 8 = 3 Karena a = maka jumlah deret tak hingga tersebut adalah 3 = 3 0
5. Jika (x, y, z) memenuhi persamaan-persamaan log(xy) = log x log y log(yz) = log y log z log(xz) = log x log z Nilai minimum dari xyz = a. c. 4 d. b. e. 4 log(xy) = log x log y log + log x + log y = log x log y log = log x log y + log x + log y log + = log x log y + log x + log y + log 0 = (log x )(log y ) () log(yz) = log y log z log y + log z = log y log z 0 = log y log z + log y + log z = log y log z + log y + log z + = (log y )(log z ) () log(xz) = log x log z log + log x + log z = log x log z log = log x log z + log x + log z log + = log x log z + log x + log z + log 0 = (log x )(log z ) (3) () () (3) log 0 log 0 = (log x )(log y )(log y )(log z )(log x )(log z ) (log 0) = [(log x )(log y )(log z )] ±(log 0) = (log x )(log y )(log z ) (4) () dan (4) ±(log 0) (log x )(log y )(log z ) = log 0 (log x )(log y ) ± = (log z ) (log z ) = ± o (log z ) = log z = z = 00 o (log z ) = log z = 0 z = () dan (4) ±(log 0) (log x )(log y )(log z ) = (log y )(log z )
± log 0 = (log x ) ± log 0 + = log x log x = ± log 0 + log 0 o log x = log 0 + log 0 log x = log 0 0 log x = log 00 x = 00 o log x = log 0 + log 0 log x = log 0 0 log x = log x = (3) dan (4) ±(log 0) (log x )(log y )(log z ) = log 0 (log x )(log z ) ± = (log y ) (log y ) = ± o (log y ) = log y = y = 00 o (log y ) = log y = 0 y = Jadi, nilai minimum dari xyz = =
Essay. Sebuah kode produk terdiri atas 0 digit. Kode tersebut unik jika digit-digitnya memuat angka nol dengan jumlah genap atau tidak memuat angka nol. Banyaknya kode yang unik adalah Kasus : Jika 0 ada sebanyak 0 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 = 9 0 Dan banyaknya cara mengisi 0 angka 0 pada 0 tempat yang tersedia adalah ( 0 0 ) Jadi, = 9 0 ( 0 0 ) Kasus : Jika 0 ada sebanyak 9 9 9 9 9 9 9 9 = 9 8 Dan banyaknya cara mengisi angka 0 pada 0 tempat yang tersedia adalah ( 0 ) Jadi, = 9 8 ( 0 ) Kasus 3: Jika 0 ada sebanyak 4 9 9 9 9 9 9 = 9 6 Dan banyaknya cara mengisi angka 0 pada 0 tempat yang tersedia adalah ( 0 4 ) Jadi, = 9 6 ( 0 4 ) Kasus 4: Jika 0 ada sebanyak 6 9 9 9 9 = 9 4 Dan banyaknya cara mengisi angka 0 pada 0 tempat yang tersedia adalah ( 0 6 ) Jadi, = 9 4 ( 0 6 ) Kasus 5: Jika 0 ada sebanyak 8 9 9 = 9 Dan banyaknya cara mengisi angka 0 pada 0 tempat yang tersedia adalah ( 0 8 ) Jadi, 3
= 9 ( 0 8 ) Kasus 6: Jika 0 ada sebanyak 0 = 9 0 Dan banyaknya cara mengisi angka 0 pada 0 tempat yang tersedia adalah ( 0 0 ) Jadi, = 9 0 ( 0 0 ) Jadi, banyaknya kode yang unik ada sebanyak 9 0 ( 0 0 ) + 98 ( 0 ) + 96 ( 0 4 ) + 94 ( 0 6 ) + 9 ( 0 8 ) + 90 ( 0 0 ). Dua buah lingkaran Γ dan Γ dengan titik pusat M dan N berturut-turut berpotongan di titik S dan R. Garis lurus melalui M dan N memotong Γ di titik A dan C, dan memotong Γ di titik D dan B (urutan titik-titik adalah A, M, D, C, N, B). Garis lurus RD memotong Γ di titik K, dan garis lurus RC memotong Γ di titik L. Buktikan bahwa Garis lurus RD memotong Γ di titik B, S, K segaris jika A, S, L segaris! 4
Misalkan: SAM = α SBN = β Dari gambar terlihat bahwa SRL = α = LBS karena menghadap busur yang sama; SNM = β dan SMN = α Karena SRK = β, maka KMS = β, dan jika titik titik A, S, L kolinear maka : 80 o = ASL = ASN + NSL ASN = 80 o - SAM - SNM = 80 o α - β NSL = 90 o ½ SNL (karena segitiga SNL sama kaki ) = 90 o α Jadi : 80 o = 80 o α - β + 90 o α, diperoleh α + β = 45 o atau ( α + β ) = 90 o KSB = KSM + MSB KSM = 90 o ½ KMS ( karena segitiga KMS sama kaki ) MSB = 80 o - α β Jadi, KSB = 90 o ½ ( β ) + 80 o α β= 90 o - α - β + 80 o = 90 o 90 o + 80 o = 80 o Kesimpulan, titik titik K, S, B kollinear 5