STRATEGI PENYELESAIAN MASALAH (PROBLEM SOLVING STRATEGIES) EDDY HERMANTO

Transkripsi

1 STRATEGI PENYELESAIAN MASALAH (PROBLEM SOLVING STRATEGIES) EDDY HERMANTO

2 Strategi Penyelesaian Masalah Beberapa Strategi Penyelesaian Masalah : 1. Membuat daftar Yang Teratur 2. Memisalkan Dengan Suatu Variabel 3. Membagi Kasus 4. Memperhatikan Pola 5. Memperhatikan Paritas 6. Bekerja Mundur 7. Memanfaatkan Kesimetrian 8. Menyusun Kondisi Ekstrim 9. Memperhatikan/Membuat Batasan Masalah

3 1. Membuat Daftar Yang Teratur Contoh 1 : (OSP 2009) Tiga dadu berwarna hitam, merah, dan putih dilempar bersama-sama. Macam hasil lemparan sehingga jumlah ketiga mata dadu adalah 8 sebanyak

4 1. Membuat Daftar Yang Teratur Solusi : Misalkan (a, b, c) menyatakan mata dadu hitam adalah a, mata dadu merah adalah b dan mata dadu c adalah c. Semua kemungkinan yang muncul adalah (1,1,6), (1,2,5), (1,3,4), (1,4,3), (1,5,2), (1,6,1), (2,1,5), (2,2,4), (2,3,3), (2,4,2), (2,5,1), (3,1,4), (3,2,3), (3,3,2), (3,4,1), (4,1,3), (4,2,2), (4,3,1), (5,1,2,), (5,2,1), (6,1,1). Macam lemparan ada sebanyak 21.

5 1. Membuat Daftar Yang Teratur Contoh 2 : (OSP 2006) Sebuah himpunan tiga bilangan asli disebut himpunan aritmatika jika salah satu unsurnya merupakan rata-rata dari dua unsur lainnya. Banyaknya subhimpunan aritmatika dari {1,2,3,,8} adalah

6 1. Membuat Daftar Yang Teratur Solusi : Dengan mendaftar akan didapat (1,2,3), (1,3,5), (1,4,7), (2,3,4), (2,4,6), (2,5,8), (3,4,5), (3,5,7), (4,5,6), (4,6,8), (5,6,7), (6,7,8). sebanyak 12 subhimpunan yang memenuhi.

7 1. Membuat Daftar Yang Teratur Contoh 3 : (OSP 2011) Banyak bilangan tiga digit yang semua digit-digitnya berbeda dan digit terakhirnya merupakan hasil penjumlahan dari dua digit yang lainnya adalah

8 1. Membuat Daftar Yang Teratur Solusi : (1,2,3), (1,3,4), (1,4,5), (1,5,6), (1,6,7), (1,7,8), (1,8,9), (2,1,3), (2,3,5), (2,4,6), (2,5,7), (2,6,8), (2,7,9), (3,1,4), (3,2,5), (3,4,7), (3,5,8), (3,6,9), (4,1,5), (4,2,6), (4,3,7), (4,5,9), (5,1,6), (5,2,7), (5,3,8), (5,4,9), (6,1,7), (6,2,8), (6,3,9), (7,1,8), (7,2,9), (8,1,9). Banyaknya bilangan ada sebanyak 32.

9 1. Membuat Daftar Yang Teratur Contoh 4 : (OSK 2016) Misalkan a, b, c, d, e, f adalah sebarang pengurutan dari (1,2,3,4,5,6). Banyaknya pengurutan sehingga a + c + e > b + d + f adalah

10 1. Membuat Daftar Yang Teratur Solusi : = 21 Maka a + c + e > 11 Maka tripel (a, c, e) yang memenuhi adalah (1,4,6), (1,5,6), (2,3,6), (2,4,5), (2,4,6), (2,5,6), (3,4,5), (3,4,6), (3,5,6), (4,5,6) ada sebanyak 10. (a,c,e) dan (b,d,f) dapat dipermutasikan. Banyaknya pengurutan sehingga a + c + e > b + d + f = 10 3! 3! = 360. Jadi, banyak pengurutan sehingga a + c + e > b + d + f adalah 360.

11 1. Membuat Daftar Yang Teratur Contoh 5 : (OSP 2003) Berapakah banyaknya cara memilih tiga bilangan berbeda sehingga tidak ada dua bilangan yang berurutan, jika bilangan-bilangan tersebut dipilih dari himpunan {1, 2, 3,, 9, 10 }?

12 1. Membuat Daftar Yang Teratur Solusi : Dengan cara mendaftar kita dapatkan 3 bilangan yang dipilih adalah : (1,3,5), (1,3,6), (1,3,7), (1,3,8), (1,3,9), (1,3,10), (1,4,6), (1,4,7), (1,4,8), (1,4,9), (1,4,10), (1,5,7), (1,5,8), (1,5,9), (1,5,10), (1,6,8), (1,6,9), (1,6,10), (1,7,9), (1,7,10), (1,8,10), (2,4,6), (2,4,7), (2,4,8), (2,4,9), (2,4,10), (2,5,7), (2,5,8), (2,5,9), (2,5,10), (2,6,8), (2,6,9), (2,6,10), (2,7,9), (2,7,10), (2,8,10), (3,5,7), (3,5,8), (3,5,9), (3,5,10), (3,6,8), (3,6,9), (3,6,10), (3,7,9), (3,7,10), (3,8,10), (4,6,8), (4,6,9), (4,6,10), (4,7,9), (4,7,10), (4,8,10), (5,7,9), (5,7,10), (5,8,10), (6,8,10). Banyaknya cara = 56.

13 1. Membuat Daftar Yang Teratur Contoh 6 : (OSP 2005) Di dalam sebuah kotak terdapat 4 bola yang masing-masing bernomor 1, 2, 3 dan 4. Anggi mengambil bola secara acak, mencatat nomornya, dan mengembalikannya ke dalam kotak. Hal yang sama ia lakukan sebanyak 4 kali. Misalkan jumlah dari keempat nomor bola yang terambil adalah 12. Berapakah peluang bola yang terambil selalu bernomor 3?

14 1. Membuat Daftar Yang Teratur Solusi : Setelah didaftar didapat (1,3,4,4), (1,4,3,4), (1,4,4,3), (2,2,4,4), (2,3,3,4), (2,3,4,3), (2,4,2,4), (2,4,3,3), (2,4,4,2), (3,1,4,4), (3,2,3,4), (3,2,4,3), (3,3,2,4), (3,3,3,3), (3,3,4,2), (3,4,1,4), (3,4,2,3), (3,4,3,2), (3,4,4,1), (4,1,3,4), (4,1,4,3), (4,2,2,4), (4,2,3,3), (4,2,4,2), (4,3,1,4), (4,3,2,3), (4,3,3,2), (4,3,4,1), (4,4,1,3), (4,4,2,2), (4,4,3,1) Banyaknya kemungkinan jumlah mata dadu adalah 31 dengan munculnya bola yang terambil selalu tiga sebanyak 1 kali. Peluang kejadian = 1/31.

15 1. Membuat Daftar Yang Teratur Contoh 7 : (OSP 2013) Bilangan asli n dikatakan cantik jika n terdiri dari 3 digit berbeda atau lebih dan digit-digit penyusunnya tersebut membentuk barisan aritmatika atau barisan geometri. Sebagai contoh 123 bilangan cantik karena 1, 2, 3 membentuk barisan aritmatika. Banyak bilangan cantik adalah

16 1. Membuat Daftar Yang Teratur Solusi : Jika abc adalah bilangan cantik maka cba juga bilangan cantik kecuali a atau c sama dengan 0. Maka cukup dengan membuat daftar bilangan cantik dengan a < b. Bilangan-bilangan cantik dengan a < b adalah 123, 1234, 12345, , , , , 124, 1248, 135, 1357, 13579, 139, 147, 159, 234, 2345, 23456, , , , 246, 2468, 248, 258, 345, 3456, 34567, , , 357, 3579, 369, 456, 4567, 45678, , 468, 469, 567, 5678, 56789, 579, 678, 6789, 789 yang banyaknya ada 46.

17 1. Membuat Daftar Yang Teratur Jika angka terakhir bilangan cantik sama dengan 0 maka bilangan-bilangan cantik tersebut adalah 210, 3210, 43210, , , , , , 420, 6420, 86420, 630, 9630, 840 yang banyaknya ada 14. Maka banyaknya bilangan cantik = = 106. Jadi, banyaknya bilangan cantik ada 106.

18 2. Memisalkan dengan Suatu Variabel Contoh 8 : (OSK 2003) Hari ini usiaku 1/3 kali usia ayahku. Lima tahun yang lalu, usiaku 1/4 kali usia ayahku pada waktu itu. Berapakah usiaku sekarang?

19 2. Memisalkan dengan Suatu Variabel Solusi : Misal usiaku saat ini = X dan usia ayahku saat ini = Y, maka : X = Y/3 dan X 5 = (Y 5)/4. X 5 = (3X 5)/4 4X 20 = 3X 5 X = 15 Usiaku saat ini 15 tahun

20 2. Memisalkan dengan Suatu Variabel Contoh 9 : (OSK 2003) Misalkan bahwa f(x) = x 5 + ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + c dan bahwa f(1) = f(2) = f(3) = f(4) = f(5). Berapakah nilai a?

21 2. Memisalkan dengan Suatu Variabel Solusi : Misal f(1) = f(2) = f(3) = f(4) = f(5) = k Dibentuk persamaan polinomial : g(x) = x 5 + ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + c k g(x) = f(x) k Jelas bahwa g(1) = g(2) = g(3) = g(4) = g(5) = 0 Berarti bahwa 1; 2; 3; 4 dan 5 adalah akar-akar persamaan polinomial g(x) = 0. x 5 + ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + c k = 0 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = a Karena akar-akarnya adalah 1; 2; 3; 4 dan 5 maka : = a a = 15

22 2. Memisalkan dengan Suatu Variabel Contoh 10 : Dua lilin yang sama panjang dinyalakan pada jam sama. Lilin pertama akan habis seluruhnya 4 jam kemudian sedangkan lilin kedua akan habis seluruhnya 40 menit setelah lilin pertama habis seluruhnya. Jika kedua lilin dinyalakan pada pukul 20.16, pada jam berapakah panjang salah satu lilin tiga kali lilin yang lain? Anggap pelelahan lilin terjadi secara linier.

23 2. Memisalkan dengan Suatu Variabel Solusi : 4 jam = 240 menit Misal panjang masing-masing lilin = h, maka ; h h 280 t = 3 h h 240 t 1 t 280 = 3 t 80 7t 2t 560 = 2 t = 224 menit = 3 jam 44 menit. Panjang salah satu lilin sama dengan 3 kali panjang lilin yang lainnya terjadi pada 24.00

24 2. Memisalkan dengan Suatu Variabel Contoh 11 : (OSK 2011) Ada berapa banyak bilangan bulat positif berlambang abcde dengan a < b c < d < e?

25 2. Memisalkan dengan Suatu Variabel Solusi : Jelas bahwa syarat yang harus dipenuhi adalah 1 a < b c < d < e 9 Misalkan k = c + 1 dan m = d + 1 serta n = e + 1 maka ketaksamaan akan berlaku 1 a < b < k < m < n 10 Maka persoalannya akan menjadi setara dengan memilih 5 kemungkinan dari 10 kemungkinan yang ada. Banyanya cara = 10 C 5 = 252.

26 2. Memisalkan dengan Suatu Variabel Contoh 12 : (OSP 2002) Ada berapa banyakkah bilangan 4-angka berbentuk abcd dengan a b c d?

27 2. Memisalkan dengan Suatu Variabel Solusi : Misalkan k = b + 1 dan m = c + 2 serta n = d + 3 maka a < k < m < n dengan syarat a 1 dan n 12. Banyaknya bilangan 4-angka yang terbentuk = 12 C 4 = 495.

28 2. Memisalkan dengan Suatu Variabel Contoh 13 : (OSP 2010) Bilangan enam digit abcdef dengan a > b > c d > e > f ada sebanyak

29 2. Memisalkan dengan Suatu Variabel Solusi : Misalkan k = d 1 dan m = e 1 serta n = f 1 maka a > b > c > k > m > n dengan syarat n 1 dan a 9. Banyaknya bilangan 4-angka yang terbentuk = 11 C 6 = 462.

30 2. Memisalkan dengan Suatu Variabel Contoh 14 : (OSP 2003) Berapakah banyaknya cara memilih tiga bilangan berbeda sehingga tidak ada dua bilangan yang berurutan, jika bilangan-bilangan tersebut dipilih dari himpunan {1, 2, 3,, 9, 10 }?

31 2. Memisalkan dengan Suatu Variabel Solusi : Misalkan bilangan yang memenuhi tersebut adalah a, b, c dengan a < b < c dengan syarat selisih dua bilangan berurutan minimal 2. Misalkan juga k = b 1 dan m = c 2 maka a < k < m dengan syarat a 1 dan m 8. Banyaknya cara memilih 3 bilangan adalah 8 C 3 = 56.

32 3. Membagi Kasus Contoh 15 : (OSK 2004) Delegasi Indonesia ke suatu pertemuan pemuda internasional terdiri dari 5 orang. Ada 7 orang pria dan 5 orang wanita yang mencalonkan diri untuk menjadi anggota delegasi. Jika dipersyaratkan bahwa paling sedikit seorang anggota itu harus wanita, banyaknya cara memilih anggota delegasi adalah

33 3. Membagi Kasus Solusi : Susunan delegasi yang mungkin adalah 4 pria dan 1 wanita atau 3 pria dan 2 wanita atau 2 pria dan 3 wanita atau 1 pria dan 4 wanita atau 5 wanita. Banyaknya cara memilih anggota delegasi = 7 C 4 5 C C 3 5 C C 2 5 C C 1 5 C C 0 5 C 5 Banyaknya cara memilih anggota delegasi = Banyaknya cara memilih anggota delegasi = = 771 cara. Banyaknya cara memilih anggota delegasi ada 771.

34 3. Membagi Kasus Contoh 16 : (OSK 2013) Suatu dadu ditos enam kali. Banyak cara memperoleh jumlah mata yang muncul 28 dengan tepat satu dadu muncul 6 adalah

35 3. Membagi Kasus Solusi : Semua kemungkinan susunan jumlah mata dadu 28 dengan angka 6 muncul tepat sekali adalah : Susunan dadu (6,5,5,5,5,2) Banyaknya susunan = 6! 4! = 30 Susunan dadu (6,5,5,5,4,3) Banyaknya susunan = 6! 3! = 120 Susunan dadu (6,5,5,4,4,4) Banyaknya susunan = 6! 3!2! = 60 Maka banyaknya semua kemungkinan = = 210 Jadi, banyak cara memperoleh jumlah mata 28 dengan tepat satu dadu muncul 6 = 210.

36 3. Membagi Kasus Contoh 17 : (OSK 2013) Enam orang siswa akan duduk pada tiga meja bundar, dimana setiap meja akan diduduki oleh minimal satu siswa. Banyaknya cara untuk melakukan hal tersebut adalah

37 3. Membagi Kasus Solusi : Kemungkinan susunan keenam siswa adalah : Susunannya adalah 4, 1, ! = 180 Terdapat perhitungan ganda pada perhitungan di atas. Contoh : A, B, C. D berada di meja I, E di meja II dan F di meja III dianggap berbeda dengan A, B, C. D berada di meja I, F di meja II dan E di meja III padahal seharusnya sama. Maka perhitungan tersebut harus dibagi 2!. Jadi, banyaknya susunan = 6 4 Susunannya adalah 3, 2, ! 2 1! = Susunannya adalah 2, 2, ! 2 2 = ;1! 2! = 90 Jadi, banyaknya susunan seluruhnya = = 225.

38 3. Membagi Kasus Contoh 18 : (OSP 2013) Ada dua gelas, gelas A berisi 5 bola merah, dan gelas B berisi 4 bola merah dan satu bola putih. Satu gelas dipilih secara acak dan kemudian satu bola diambil secara acak dari gelas tersebut. Hal ini dilakukan berulang kali sampai salah satu gelas kosong. Tentukan probabilitas bahwa bola putih tidak terambil.

39 3. Membagi Kasus Solusi : Akan ada 5 kasus : Kasus 1, jika salah satu gelas kosong setelah pengambilan ke-5. 5 = Peluang = 1 2 Kasus 2, jika salah satu gelas kosong setelah pengambilan ke-6. Pengambilan bola ke-6 harus dari gelas A. Banyaknya urutan pengambilan bola dari gelas B = 5 1 = 5. Peluang terambilnya satu bola merah dari gelas B = 4 5 Peluang = = Kasus 3, jika salah satu gelas kosong setelah pengambilan ke-7. Pengambilan bola ke-7 harus dari gelas A. Banyaknya urutan pengambilan 2 bola dari gelas B = 6 2 = 15.

40 3. Membagi Kasus Peluang terambilnya dua bola merah dari gelas B = 4 3 = Peluang = = Kasus 4, jika salah satu gelas kosong setelah pengambilan ke-8. Pengambilan bola ke-8 harus dari gelas A. Banyaknya urutan pengambilan 3 bola dari gelas B = 7 3 = 35. Peluang terambilnya dua bola merah dari gelas B = = Peluang = = Kasus 5, jika salah satu gelas kosong setelah pengambilan ke-9. Pengambilan bola ke-9 harus dari gelas A. Banyaknya urutan pengambilan 4 bola dari gelas B = 8 4 = 70. Peluang terambilnya dua bola merah dari gelas B = = 1 5

41 3. Membagi Kasus Peluang = = Maka probabilitas bahwa bola putih tidak terambil = = Jadi, probabilitas bahwa bola putih tidak terambil =

42 4. Memperhatikan Pola Contoh 19 : (OSK 2012) Tentukan angka satuan pada (2012) 2012

43 4. Memperhatikan Pola Solusi : Angka satuan (2012) 2012 sama dengan angka satuan Angka satuan 2 1 sama dengan 2 Angka satuan 2 2 sama dengan 4 Angka satuan 2 3 sama dengan 8 Angka satuan 2 4 sama dengan 6 Angka satuan 2 5 sama dengan 2 Angka satuan 2 n berulang dengan periode 4. Karena 2012 habis dibagi 4 maka angka satuan sama dengan angka satuan 2 4 yaitu 6. Jadi, angka satuan (2012) 2012 adalah 6.

44 4. Memperhatikan Pola Contoh 20 : Tentukan dua angka terakhir dari

45 4. Memperhatikan Pola Solusi : Dua angka terakhir 43 1 sama dengan 43 Dua angka terakhir 43 2 sama dengan 49 Dua angka terakhir 43 3 sama dengan 07 Dua angka terakhir 43 4 sama dengan 01 Dua angka terakhir 43 5 sama dengan 43 Dua angka terakhir 43 n berulang dengan periode 4. Karena 2014 dibagi 4 bersisa 2 maka dua angka terakhir sama dengan dua angka terakhir 43 2 yaitu 49.

46 4. Memperhatikan Pola Contoh 21 : (OSP 2009) Suatu fungsi f : Z Q mempunyai sifat f(x+1) = 1:f(x) 1;f(x) untuk setiap x Z. Jika f(2) = 2, maka nilai fungsi f(2009) adalah

47 4. Memperhatikan Pola Solusi : f(2) = 2 f(3) = 3 f(4) = 1 2 f(5) = 1 3 f(6) = 2 Jadi,nilai dari f(x) akan berulang dengan periode 4. f(2009) = f(501x4+5) = f(5) = 1 3

48 4. Memperhatikan Pola Contoh 22 : (OSP 2011) Diberikan barisan bilangan rasional {a k } k N yang didefinisikan dengan a 1 = 2 dan Nilai a 2011 adalah a n:1 = a n;1 a n :1, n N

49 4. Memperhatikan Pola Solusi : a 1 = 2 a 2 = 1 3 a 3 = 1 2 a 4 = 3 a 5 = 2 Nilai a n berulang dengan periode 4. a 2011 = a 4x502:3 = a 3 = 1 2

50 4. Memperhatikan Pola Contoh 23 : (AIME 2001) Barisan a 1, a 2, a 3, a 4, memenuhi a 1 = 211, a 2 = 375, a 3 = 420 dan a 4 = 523 serta a n = a n 1 a n 2 + a n 3 a n 4. Tentukan nilai dari a a a 975.

51 4. Memperhatikan Pola Solusi : a 1 = 211, a 2 = 375, a 3 = 420 dan a 4 = 523 a n = a n 1 a n 2 + a n 3 a n 4. a 5 = a 4 a 3 + a 2 a 1 = = 267 a 6 = a 1, a 7 = a 2, a 8 = a 3, a 9 = a 4, a 10 = a 5, a 11 = a 1, a 12 = a 2, a 13 = a 3, a 14 = a 4 dan seterusnya yang merupakan pengulangan dengan periode 10. a a a 975 = a 1 + a 3 + a 5 = a a a 975 = 898.

52 5. Memperhatikan Paritas Contoh 24 : Misalkan x + y = 31 dengan x dan y adalah bilangan prima serta x > y.nilai dari x y =

53 5. Memperhatikan Paritas Solusi : Karena 31 adalah bilangan ganjil maka salah satu dari x atau y genap dan satunya ganjil. Bilangan prima genap hanya ada satu yaitu 2. Karena x + y = 31 maka bilangan prima lainnya adalah 29. Jadi, x = 29 dan y = 2 Maka x y = 27.

54 5. Memperhatikan Paritas Contoh 25 : (OSP 2011) Jika kedua akar persamaan x x + k = 0 adalah bilangan prima, maka nilai k yang mungkin adalah

55 5. Memperhatikan Paritas Solusi : x x + k = 0 memiliki akar-akar p dan q dengan p dan q keduanya bilangan prima. p + q = 2013 Karena p dan q prima maka salah satunya genap dan satunya ganjil sehingga nilai p dan q yang memenuhi adalah 2 dan k = pq = = 4022 Jadi, nilai k yang memenuhi adalah k = 4022.

56 5. Memperhatikan Paritas Contoh 26 : (OSK 2012) Banyaknya bilangan bulat n yang memenuhi (n 1)(n 3)(n 5) (n 2013) = n(n + 2)(n + 4) (n ) adalah

57 5. Memperhatikan Paritas Solusi : (n 1)(n 3)(n 5) (n 2013) = n(n + 2)(n + 4) (n ) n 1, n 3, n 5,, n 2013 adalah bilangan bulat dengan paritas yang sama. n, n + 2, n + 4,, n adalah bilangan bulat dengan paritas yang sama. Sedangkan n dan n 1 adalah bilangan bulat dengan paritas yang berbeda. Maka ruas kiri dan kanan dari persamaan awal memiliki paritas yang berbeda sehingga tidak mungkin kesamaan akan terjadi. Jadi, banyaknya bilangan bulat n yang memenuhi adalah 0.

58 5. Memperhatikan Paritas Contoh 27 : (OSP 2012) Misalkan x; y; dan z adalah bilanganbilangan prima yang memenuhi persamaan 34x 51y = 2012z Nilai dari x + y + z adalah

59 5. Memperhatikan Paritas Solusi : 34x 51y = 2012z dengan x, y, z adalah bil prima. Karena 34 dan 2012 habis dibagi 2 maka y habis dibagi 2. Karena y prima maka y = 2. Karena 34 dan 51 habis dibagi 17 maka z habis dibagi 17. Karena z prima maka z = x 51(2) = 2012(17) x = 1009 yg memenuhi bahwa x adalah bil prima. x + y + z = = 1028 Jadi, nilai dari x + y + z adalah 1028.

60 5. Memperhatikan Paritas Contoh 28 : (OSP 2010) Diketahui suatu papan catur seperti pada gambar. Dapatkah suatu biji catur kuda berangkat dari suatu petak melewati setiap petak yang lain hanya satu kali dan kembali ke tempat semula? Jelaskan jawab anda!

61 5. Memperhatikan Paritas Pada gambar di atas akan didapat jumlah petak warna hitam dan putih berselisih satu. Langkah kuda dari petak putih ke petak hitam atau sebaliknya. Karena kuda tersebut harus kembali ke petaknya semula maka petak terakhir sebelum kembali ke petak semula haruslah berbeda warna dengan petak semula tersebut. Jadi, haruslah jumlah petak warna hitam sama dengan jumlah petak warna putih. Tetapi ternyata jumlah petak warna hitam dan putih berselisih satu. Kontradiksi. Maka biji catur kuda tidak dapat kembali ke petaknya semula. Biji catur kuda tidak dapat kembali ke petaknya semula.

62 5. Memperhatikan Paritas Contoh 29 : (OSP 2002) Bangun datar pada gambar disebut tetromino-t. Misalkan setiap petak tetromino menutupi tepat satu petak pada papan catur. Kita ingin menutup papan catur dengan tetrominotetromino sehingga setiap petak tetromino menutup satu petak catur tanpa tumpang tindih. a. Tunjukkan bahwa kita dapat menutup papan catur biasa, yaitu papan catur dengan 8 X 8 petak, dengan menggunakan 16 tetromino-t. b. Tunjukkan bahwa kita tidak dapat menutup papan catur 10 X 10 petak dengan 25 tetromino- T.

63 5. Memperhatikan Paritas Solusi : Bagian a. Karena petak 4 x 4 dapat ditutupi oleh 4 buah Tetromino-T, maka tentunya kita dapat menutup petak catur 8 x 8 dengan 16 buah Tetromino-T.

64 5. Memperhatikan Paritas Bagian b. Andaikan 25 tetronimo tersebut dapat menutup papan catur 10 x 10 petak. Sebuah tetromino-t akan menutupi 1 buah petak hitam dan 3 buah petak putih atau 1 buah petak putih dan 3 buah petak hitam pada papan catur. Karena 1 dan 3 bilangan ganjil serta banyaknya Tetromino-T ada 25 yang juga merupakan bilangan ganjil maka ke-25 Tetromino-T tersebut akan menutupi sejumlah ganjil petak hitam dan sejumlah ganjil petak putih pada papan catur. Hal ini kontradiksi dengan kenyataan bahwa pada papan catur 10 x 10 terdapat 50 petak hitam dan 50 petak putih. Terbukti bahwa kita tidak dapat menutup papan catur 10 X 10 petak dengan 25 tetromino-t.

65 5. Memperhatikan Paritas Contoh 30 : Masing-masing petak papan catur ukuran 8 x 8 diberi nomor dari 1 sampai 64. Penomoran dimulai dari baris paling atas dan dimulai dari kiri ke kanan. Jika satu bilangan di antara 64 bilangan tersebut dihapus maka 21 buah persegi panjang dengan ukuran 3 x 1 tepat dapat menutup 63 petak sisanya. Tentukan semua kemungkinan bilangan yang dihapus tersebut.

66 5. Memperhatikan Paritas Solusi : Misalkan persegi panjang ukuran 3 x 1 dipetakkan pada petak dengan salah satu petaknya adalah k. Dua bilangan di sebelah kanan k adalah k + 1 dan k + 2, maka (k) + (k + 1) + (k + 2) = 3(k + 1) Dua bilangan di bawah k adalah k + 8 dan k + 16, maka (k) + (k + 8) + (k + 16) = 3(k + 8) Maka semua persegi panjang dengan ukuran 3 x 1 akan dipetakan pada bilangan dengan penjumlahan ketiganya habis dibagi (mod 3). Maka bilangan yang dihapus tersebut haruslah bersisa 1 jika dibagi 3.

67 5. Memperhatikan Paritas Jika petak p adalah petak yang dihapus dan 63 sisa petaknya dapat ditutupi oleh 21 persegi panjang dengan ukuran 3 x 1 maka karena kesimetrisan, bayangan petak p tersebut juga harus dapat memenuhi jika petak tersebut dihapus maka 63 petak sisanya harus dapat ditutupi oleh 21 buah persegi panjang dengan ukuran 3 x 1. Akibatnya bayangan petak p tersebut juga harus bersisa 1 jika dibagi 3.

68 5. Memperhatikan Paritas Perhatikan petak-petak yang merupakan irisan antara 4 kolom pertama dengan 4 baris pertama. Bilangan-bilangan yang bersisa 1 jika dibagi 3 adalah 1, 4, 11, 19, 25, 28. Bayangan 1 adalah 8, 57 dan 64. Tetapi 8 2 (mod 3) tidak memenuhi. Bayangan 4 adalah 5, 60 dan 61. Tetapi 60 0 (mod 3) tidak memenuhi. Bayangan 10 adalah 15, 50 dan 55. Tetapi 15 0 (mod 3) tidak memenuhi. Bayangan 25 adalah 32, 33 dan 40. Tetapi 32 2 (mod 3) tidak memenuhi. Bayangan 28 adalah 29, 36 dan 37. Tetapi 29 2 (mod 3) tidak memenuhi.

69 5. Memperhatikan Paritas Bayangan 19 adalah 22, 43 dan 46 yang memenuhi semuanya bersisa 1 jika dibagi 3. Maka kemungkinan bilangan-bilangan yang dihapus adalah 19, 22, 43 atau 46.

70 6. Bekerja Mundur Contoh 31 : Pada sebuah meja diletakkan 100 buah koin. A dan B bergantian memindahkan koin yang ada di atas meja tersebut ke tempat lain sampai koin yang ada di atas meja habis. Untuk sekali memindahkan mereka hanya boleh memindahkan maksimum 10 koin. Orang yang memindahkan koin yang ke-100 adalah sebagai pemenang. Jika A memindahkan koin terlebih dahulu, tentukan siapakah yang akan memenangkan permainan.

71 6. Bekerja Mundur Solusi : Kita akan melihat kondisi akhir saat A akan memenangkan permainan. Jika kancing tinggal 11, maka yang mengambil kancing duluan pada saat tersebut akan kalah sebab berapa pun kancing yang diambil maka lawan akan mengambil kancing sisanya. Jika kancing tinggal 22, maka yang mengambil kancing duluan pada saat tersebut akan kalah sebab berapa pun kancing yang diambil maka lawan akan bias membuat sisa kancing tinggal 11 dan ia harus mengambil kancing duluan.

72 6. Bekerja Mundur Jika kancing tinggal 11k dengan k N, maka yang mengambil kancing duluan pada saat tersebut akan kalah sebab berapa pun kancing yang diambil maka lawan akan bisa membuat sisa kancing tetap kelipatan 11 sampai akhirnya kancing tinggal 11 dan ia harus mengambil kancing duluan. Karena jumlah kancing ada 100 dan bukan kelipatan 11 maka A yang mengambil kancing duluan akan menang sebab dengan mengambil kancing sebanyak 1 buah maka jumlah kancing tersisa merupakan kelipatan 11 dan B harus mengambil duluan.

73 6. Bekerja Mundur Contoh 32 : (OSN 2006) Misalkan n > 2 sebuah bilangan asli tetap. Sebuah bidak hitam ditempatkan pada petak pertama dan sebuah bidak putih ditempatkan pada petak terakhir sebuah papan catur berukuran 1 x n. Wiwit dan Siti lalu melangkah bergantian. Wiwit memulai permainan dengan bidak putih. Pada setiap langkah, pemain memindahkan bidaknya sendiri satu atau dua petak ke kanan atau ke kiri tanpa melompati bidak lawan. Pemain yang tidak bisa melangkah dinyatakan kalah. Pemain manakah yang memiliki cara (strategi) untuk selalu memenangkan permainan, apa pun yang dilakukan lawannya? Jelaskan strategi pemain tersebut?

74 6. Bekerja Mundur Solusi : Misalkan kejadian (a) adlh kejadian dengan posisi sbb berikut : Pemain yang melangkah terlebih dahulu setelah kejadian (a) terjadi akan kalah sebab pemain pertama tersebut hanya bisa melangkah mundur. Jika pemain pertama mundur dua langkah maka pemain kedua akan melangkah maju dua langkah sedangkan jika pemain pertama mundur satu langkah maka pemain kedua akan melangkah maju satu langkah sehingga kejadian (a) akan selalu terjaga sampai suatu saat pemain pertama tersebut tidak dapat melangkah lagi.

75 6. Bekerja Mundur Misalkan kejadian (b) adalah kejadian dengan jarak antara dua bidak sama dengan 3 petak sebagaimana posisi sbb berikut : Jika pemain pertama setelah posisi (b) terjadi, melangkah mundur satu langkah maka pemain kedua akan maju satu langkah sedangkan jika pemain pertama mundur dua langkah maka pemain kedua akan maju dua langkah sehingga posisi (b) akan terjaga sampai pemain pertama maju atau ia tidak dapat lagi mundur sehingga harus maju. Jika pemain pertama maju satu langkah maka pemain kedua akan maju dua langkah sedangkan jika pemain pertama maju dua langkah maka pemain kedua akan maju satu langkah sehingga posisi akan menjadi posisi (a) sehingga sesuai dengan penjelasan sebelumnya maka pemain pertama akan kalah.

76 6. Bekerja Mundur Misalkan kejadian (c) adalah kejadian dengan banyaknya petak di antara dua bidak sama dengan 3k petak dengan k bilangan asli : Jika pemain pertama setelah posisi (c) terjadi melangkah mundur satu langkah maka pemain kedua akan maju satu langkah sedangkan jika pemain pertama mundur dua langkah maka pemain kedua akan maju dua langkah sehingga posisi (c) akan terjaga sampai pemain pertama maju atau ia tidak dapat lagi mundur sehingga harus maju. Jika pemain pertama maju satu langkah maka pemain kedua akan maju dua langkah sedangkan jika pemain pertama maju dua langkah maka pemain kedua akan maju satu langkah sehingga banyaknya petak diantara kedua bidak kedua pemain akan menjadi 3(k 1) petak.

77 6. Bekerja Mundur Demikian seterusnya sehingga nilai k akan semakin kecil sampai suatu saat nilai k akan menjadi 1 dan sebagaimana penjelasan pada posisi (b) pemain pertama akan kalah. Jika banyaknya petak di antara kedua bidak tidak habis dibagi 3 maka pemain pertama akan memenangkan permainan sebab ia punya kesempatan untuk membuat banyaknya petak di antara kedua bidak akan habis dibagi 3. Maka dapat disimpulkan bahwa : Jika n dibagi 3 bersisa 2 maka pemain kedua (Siti) akan memenangkan permainan sedangkan jika n dibagi 3 bersisa 0 atau 1 maka pemain pertama (Wiwit) akan memenangkan permainan.

78 6. Bekerja Mundur Contoh 33 : (OSP 2016) Diberikan tripel bilangan asli berbeda x 0, y 0, z 0 yang memenuhi x 0 + y 0 + z 0 = Setiap jam ke-i, dengan i 1, dibentuk tripel baru x i, y i, z i = y i;1 + z i;1 x i;1, z i;1 + x i;1 y i;1, x i;1 + y i;1 z i;1 Tentukan bilangan asli n terkecil sehingga pada jam ke-n pasti ditemukan minimal satu di antara x n, y n atau z n merupakan bilangan negatif.

79 6. Bekerja Mundur Solusi : x 0 + y 0 + z 0 = 2016 dengan x 0, y 0, z 0 N. x i = y i-1 + z i-1 x i-1 y i = z i-1 + x i-1 y i-1 z i = x i-1 + y i-1 z i-1 Jumlahkan ketiga persamaan di atas akan didapat x i + y i + z i = x i-1 + y i-1 + z i-1 Maka dapat disimpulkan bahwa x i + y i + z i dengan i = 0, 1, 2, bernilai konstan, yaitu x i + y i + z i = x i-1 + y i-1 + z i-1 = x 0 + y 0 + z 0 = 2016 x i = x i-1 y i = y i-1 z i = z i-1

80 6. Bekerja Mundur x i;1 = 2016;x i 2 y i;1 = 2016;y i 2 z i;1 = 2016;z i 2 (1) (2) (3) Tujuannya adalah menentukan nilai bilangan asli n sehingga tidak semua x n, y n, z n bernilai 0. Persoalan ini bisa diselesaikan dengan strategi bekerja mundur. Jelas bawa x n;1, y n;1, z n;1 0 0 x n;2 = 2016 x n; = Maka agar terpenuhi haruslah 0 x n;2, y n;2, z n;

81 6. Bekerja Mundur Mengingat x n;3 = 2016;x n 2 maka = 504 x 2 n; = Maka agar terpenuhi haruslah 504 x n;3, y n;3, z n; Mengingat x n;4 = 2016;x n 3 maka = 504 x 2 n;4 756 = 2 Maka agar terpenuhi haruslah 504 x n;4, y n;4, z n;4 756 Mengingat x n;5 = 2016;x n 4 maka = 630 x 2 n;5 756 = 2 Maka agar terpenuhi haruslah 630 x n;5, y n;5, z n;5 756

82 6. Bekerja Mundur Mengingat x n;6 = 2016;x n 5 maka = 630 x 2 n;6 690 = 2 Maka agar terpenuhi haruslah 630 x n;6, y n;6, z n;6 690 Mengingat x n;7 = 2016;x n 6 maka = 663 x 2 n;7 690 = 2 Maka agar terpenuhi haruslah 663 x n;7, y n;7, z n;7 690 Mengingat x n;8 = 2016;x n 7 maka = 663 x 2 n; Maka agar terpenuhi haruslah 663 x n;8, y n;8, z n;8 676

83 6. Bekerja Mundur Mengingat x n;9 = 2016;x n 8 maka = 670 x 2 n; Maka agar terpenuhi haruslah 670 x n;9, y n;9, z n;9 676 Mengingat x n;10 = 2016;x n 9 maka = 670 x 2 n; Maka agar terpenuhi haruslah 670 x n;10, y n;10, z n; Mengingat x n;11 = 2016;x n 10 maka x 2 n; Maka agar terpenuhi haruslah 672 x n;11, y n;11, z n;11 673

84 6. Bekerja Mundur Karena x 0, y 0, z 0 semuanya berbeda maka tidak mungkin x n;11 = x 0, y n;11 = y 0 dan z n;11 = z 0. Jadi, x n;10 = x 0, y n;10 = y 0 dan z n;10 = z 0. Karena x 0 + y 0 + z 0 = 2016 maka x 0, y 0, z 0 = 671, 672, 673 dan permutasinya memenuhi syarat yang akan dipenuhi dengan n = 10. Jadi, bilangan asli n terkecil yang memenuhi adalah 10.

85 7. Memanfaatkan Kesimetrian Contoh 34: Tentukan tripel bilangan asli (a, b, c) yang memenuhi a + b + c = abc.

86 7. Memanfaatkan Kesimetrian Solusi : Tanpa mengurangi keumuman misalkan c b a maka abc = a + b + c 3a bc 3 Maka c = 1 sehingga b = 1 atau 2. Jika b = 1 Maka a + 2 = a sehingga tidak ada a asli yang memenuhi. Jika b = 2 Maka a + 3 = 2a sehingga a = 3 yang memenuhi kesamaan. Jadi, tripel bilangan asli (a, b, c) yang memenuhi (1, 2, 3) dan permutasinya.

87 7. Memanfaatkan Kesimetrian Contoh 35 : Banyaknya tripel bilangan asli (a, b, c) yang tidak harus berbeda dan memenuhi (a + 1)(b + 1)(c + 1) = 3abc ada sebanyak...

88 7. Memanfaatkan Kesimetrian Solusi : a + 1 b + 1 c + 1 = 3abc Persoalan setara dengan a b c = 3 Tanpa mengurangi keumuman misalkan a b c c c c a b c = c 3 3 Jika c 3 maka c Jadi, c = < 3.

89 7. Memanfaatkan Kesimetrian Jika c = 1 2(a + 1)(b + 1) = 3ab (a 2)(b 2) = 6 Pasangan (a, b) yang memenuhi adalah (8, 3) dan (5, 4) Jadi, tripel bilangan asli (a, b, c) yang memenuhi adalah (8,3,1), (5,4,1) beserta permutasinya sebanyak 2 3! = 12. Jika c = 2 (a + 1)(b + 1) = 2ab (a 1)(b 1) = 2 Pasangan (a, b) yang memenuhi adalah (3, 2). Jadi, tripel bilangan asli (a, b, c) yang memenuhi adalah (3,2,2) beserta permutasinya sebanyak 3.. Banyaknya tripel (a, b, c) yang memenuhi = = 15 Jadi, banyaknya tripel (a, b, c) yang memenuhi ada sebanyak 15.

90 7. Memanfaatkan Kesimetrian Contoh 36 : (OSP 2014) Misalkan 0 < α, β, γ < π 2 dan α + β + γ = π 4. Banyaknya tripel bilangan bulat positif sehingga tan α = 1, tan β = 1, dan tan γ = 1 a b c a, b, c adalah

91 7. Memanfaatkan Kesimetrian Solusi : α + β + γ = π 4 dengan 0 < α, β, γ < π 2. Jelas bahwa a, b, c > 1. tan β + γ = tan π 4 α tan β:tan γ 1;tan β tan γ b:c = a;1 bc;1 a:1 = 1;tan α 1:tan α (1) Karena simetri, tanpa mengurangi keumuman misalkan α β γ. 3α α + β + γ = π 4 sehingga α π 12 1 a = tan α tan π 12 = 2 3 > 1 4 Maka 1 < a < 4

92 7. Memanfaatkan Kesimetrian Kasus 1, jika a = 3 4 b + c = 2 bc 1 b 2 c 2 = 5 Pasangan bil asli b, c yang memenuhi adalah 3,7. Maka tripel bilangan asli a, b, c yg memenuhi adalah 3,3,7 dan permutasinya yang ada sebanyak 3. Kasus 2, jika a = 2 3 b + c = bc 1 b 3 c 3 = 10 Pasangan bil asli b, c yg memenuhi adalah 4,13 dan 5,8 Maka tripel bil asli a, b, c yang memenuhi adalah 2,5,8 dan 2,4,13 beserta permutasinya yg masing-masing ada 6. Banyak tripel bil asli a, b, c yang memenuhi = = 15. Jadi, banyak tripel bil asli(a, b, c) yg memenuhi ada 15.

93 8. Menyusun Kondisi Ekstrim Latihan 37 : Tandai satu buah kartu dengan angka 1, dua buah kartu dengan angka 2, tiga buah kartu dengan angka 3 hingga lima puluh buah kartu dengan angka 50. Semua kartu tersebut dimasukkan ke dalam kotak. Berapa buah kartu minimal yang harus diambil agar dapat dipastikan terdapat sekurang-kurangnya 10 buah kartu dengan tanda angka yang sama?

94 8. Menyusun Kondisi Ekstrim Solusi : Jika semua kartu yang bertanda angka 1 sampai 9 serta masing-masing 9 kartu yang bertanda angka 10 sampai 50 diambil maka tidak ada 10 buah kartu yang bertanda sama. Tetapi jika satu buah kartu ditambahkan maka pasti ada sekurang-kurangnya 10 buah kartu dengan tanda yang sama. Jadi, agar dapat dipastikan terdapat sekurang-kurangnya 10 buah kartu dengan tanda yang sama maka jumlah kartu yang diambil minimal = ( ) + (9 41) + 1 = 415. Jumlah minimal kartu yang harus diambil adalah 415.

95 8. Menyusun Kondisi Ekstrim Latihan 38 : (OSK 2016) Anak laki-laki dan anak perempuan yang berjumlah 48 orang duduk melingkar secara acak. Banyak minimum anak perempuan sehingga pasti ada enam anak perempuan yang duduk berdekatan tanpa diselingi anak laki-laki adalah

96 8. Menyusun Kondisi Ekstrim Solusi : Atur sebagai berikut : Kelompok 1 terdiri dari 5 anak perempuan di sebelah ada 1 orang anak laki-laki. Di sebelah anak laki-laki tersebut ada kelompok 2 yang terdiri dari 5 anak perempuan. Di sebelah kelompok 2 ada 1 orang anak laki-laki. Di sebelah anak laki-laki ada kelompok 3 yang terdiri dari 5 anak perempuan. Di sebelah kelompok 3 ada 1 orang anak laki-laki. Demikian seterusnya sehingga ada kelompok 8 yang terdiri dari 5 anak perempuan. Di sebelah kelompok 8 ada 1 orang anak laki-laki. Anak laki-laki tersebut juga akan bersebelahan dengan kelompok 1. Maka akan ada 8 kelompok yang masing-masing terdiri dari 5 anak perempuan dan duduk di selingi 1 anak laki-laki. Banyak anak seluruh = = 48 yang terdiri dari 40 anak perempuan dan 8 anak laki-laki. Pada kondisi ini tidak ada 6 anak perempuan duduk berdekatan tanpa diselingi anak laki-laki. Jika satu anak laki-laki secara acak diganti dengan anak perempuan maka pasti ada 6 anak perempuan duduk berdekatan tanpa diselingi anak lakilaki. Jadi, banyak minimum anak perempuan yang memenuhi adalah 41.

97 8. Menyusun Kondisi Ekstrim Latihan 39 : Diambil n buah bilangan dari himpunan 2016 bilangan {1, 2, 3,, 2016}. Tentukan nilai n minimal sehingga pasti akan didapat dua bilangan asli berbeda di antaranya yang memenuhi penjumlahan kedua bilangan tersebut habis dibagi 8.

98 8. Menyusun Kondisi Ekstrim Solusi : Bagi 2016 bilangan tersebut menjadi 8 kelompok dengan bentuk 8k, 8k + 1, 8k + 2,, 8k + 7. Banyaknya masing-masing kelompok adalah 2016 : 8 = 252 bilangan. Jika 3 kelompok berbentuk 8k + 7 atau 8k + 1, 8k + 2 atau 8k + 6 dan 8k + 3 atau 8k + 5 maka pada 252 x 3 = 756 bilangan tersebut tidak akan terdapat dua di antaranya yang berjumlah habis dibagi 8. Jika ke-756 bilangan tersebut ditambahkan 2 bilangan berbentuk 8k dan 8k + 4 maka 758 bilangan tersebut juga tidak akan terdapat dua di antaranya yang berjumlah habis dibagi 8. Tetapi jika ditambahkan satu bilangan lagi maka akan terdapat dua di antaranya berjumlah habis dibagi 8. Maka n minimal = 759.

99 8. Menyusun Kondisi Ekstrim Latihan 40 : (OSK 2013) Nilai k terkecil, sehingga jika sembarang k bilangan dipilih dari {1, 2,, 30}, selalu dapat ditemukan 2 bilangan yang hasil kalinya merupakan bilangan kuadrat sempurna adalah

100 8. Menyusun Kondisi Ekstrim Solusi : Misalkan A = {10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30} B = {1, 4, 9, 16, 25} C = {2, 8, 18} D = {3, 12, 27} E = {5, 20} F = {6, 24} G = {7, 28} A adalah himpunan yang jika dikalikan salah satu anggotanya dengan anggota himpunan A maupun anggota himpunan lainnya maka tidak akan menghasilkan bilangan kuadrat. Himpunan B, C, D, E, F, G dan H adalah himpunan yang jika salah satu anggotanya dikalikan dengan anggota dari himpunannya sendiri akan menghasilkan bilangan kuadrat sempurna.

101 8. Menyusun Kondisi Ekstrim Maka jika seluruh anggota A, digabungkan dengan masingmasing satu anggota dari himpunan B, C, D, E, F, G dan H maka tidak akan ada 2 anggota yang jika dikalikan akan menghasilkan bilangan kuadrat. Banyaknya anggota himpunan ini ada (1) = 19. Tetapi jika satu anggota lagi dipilih dari himpunan manapun maka akan ada 2 anggota dari himpunan tersebut yang jika dikalikan akan menghasilkan bilangan kuadrat sempurna. Jadi, nilai k terkecil yang memenuhi adalah 20.

102 9. Memperhatikan/Membuat Batasan Masalah Contoh 41 : (OSP 2012) Carilah semua pasangan bilangan real (x, y, z) yang memenuhi sistem persamaan x = 1 + y z 2 y = 1 + z x 2 z = 1 + x y 2

103 9. Memperhatikan/Membuat Batasan Masalah Solusi : Jelas bahwa x, y, z 1. Karena x, y, z 1 maka x 2 x ; y 2 y dan z 2 z Karena x real maka y z 2 z x 2 x y 2 Karena y y 2 dan y 2 y maka haruslah y = y 2 yang dipenuhi oleh y = 1. Dengan cara yang sama didapat x = z = 1. Jadi, tripel bilangan real (x,y,z) yang memenuhi x = y = z = 1.

104 9. Memperhatikan/Membuat Batasan Masalah Alternatif Lain : Jelas bahwa x, y, z 1. Karena x real maka y z 2 ; z x 2 ; x y 2. Kalikan ketiga ketaksamaan didapat xyz (xyz) 2 Karena x, y, z positif maka 1 xyz Karena x, y, z 1 maka ketaksamaan hanya dipenuhi jika x = y = z = 1. Jadi, tripel bilangan real (x,y,z) yang memenuhi x = y = z = 1.

105 9. Memperhatikan/Membuat Batasan Masalah Contoh 42 : (Baltic Way 1993 Mathematical Team Contest) Tentukan semua bilangan bulat n yang memenuhi adalah bilangan bulat n n

106 9. Memperhatikan/Membuat Batasan Masalah Solusi : Misal n n = m. Jelas bahwa m 0 Dari persamaan di atas didapat 625 4n sehingga n n n 0 Maka 0 n n = m 2 Karena 0 n 156 maka 0 2 n m

107 9. Memperhatikan/Membuat Batasan Masalah Karena m 2 25 bulat maka : 0 m m 7 Jika m = n = 5 2 sehingga n = 0 Jika m = n = 6 2 4n = 121. Tidak ada n bulat yang memenuhi. Jika m = n = 7 2 sehingga n = 144 Nilai n yang memenuhi adalah n = 0 atau n = 144.

108 TERIMA KASIH