BAB 7 TRIGONOMETRI A. Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-siku Gambar disamping menunjukkan segitiga dengan besar sudut α o c a Sisi di hadapan sudut siku-siku yaitu sisi c disebut sisi miring α Sisi di hadapan sudut α yaitu sisi a disebut sisi tegak b Sisi di Smping yaitu sisi b disebut sisi datar Perbandingan trigonometri sudut α o seperti berikut: Sin α o = a/c Cos α o = b/c Tan α o = a/b B. Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi 1. Perbandingan trigonometri sudut di kuadran pertama Relasi antara sudut α o dengan sudut (90 α) o adalah saling berpenyiku Rumus perbandingan trigonometri sudut α o dengan (90 α) o Sin (90 α) o = cos α o cotan (90 α) o = tan α o Cos (90 α) o = sin α o sec (90 α) o = cosec α o Tan (90 α) o = cotan α o cosec (90 α) o = sec α o 2. Perbandingan trigonometri sudut di kuadran kedua Relasi antara sudut α o dengan sudut (180 α) o adalah saling berpelurus Rumus perbandingan trigonometri sudut α o dengan (180 α) o Sin (180 α) o = sin α o cotan (180 α) o = -cotan α o Cos (180 α) o = -cos α o sec (180 α) o = -sec α o Tan (180 α) o = -tan α o cosec (180 α) o = cosec α o 3. Perbandingan trigonometri sudut di kuadran ketiga Rumus perbandingan trigonometri sudut α o dengan (180 + α) o Sin (180 + α) o = -sin α o cotan (180 + α) o = cotan α o Cos (180 + α) o = -cos α o sec (180 + α) o = -sec α o Tan (180 + α) o = tan α o cosec (180 + α) o = -cosec α o Matematika Trigonometri 1
4. Perbandingan trigonometri sudut di kuadran keempat Rumus perbandingan trigonometri sudut α o dengan (360 α) o Sin (360 α) o = -sin α o cotan (360 α) o = -cotan α o Cos (360 α) o = cos α o sec (360 α) o = sec α o Tan (360 α) o = -tan α o cosec (360 α) o = -cosec α o Atau Sin ( α) o = -sin α o cotan ( α) o = -cotan α o Cos ( α) o = cos α o sec ( α) o = sec α o Tan ( α) o = -tan α o cosec ( α) o = -cosec α o 5. Perbandingan trigonometri untuk sudut yang lebih dari 360 o Besar sudut satu putaran sama dengan 360 o. sehingga besar sudut yang lebih dari 360 o, missal (360 + α) o akan sama dengan α o Rumus perbandingan trigonometri sudut α o dan sudut (α o + n. 360) o Sin (α o + n. 360) o = sin α o cosec (α o + n. 360) o = cosec α o Cos (α o + n. 360) o = cos α o sec (α o + n. 360) o = sec α o Tan (α o + n. 360) o = tan α o cotan (α o + n. 360) o = cotan α o C. Hubungan Perbandingan Trigonometri 1. Hubungan antara perbandingan-perbandingan trigonometri Sin α o = 1/cosec α o tan α o = sin α o /cos α o Cos α o = 1/sec α o cotan α o = cos α o /sin α o Tan α o = 1/cotan α o 2. Identitas trigonometri Cos 2 α o + sin 2 α o = 1 1 + tan 2 α o = sec 2 α o 1 + cotan 2 α o = cosec α o Matematika Trigonometri 2
Contoh Soal: 1. Nilai dari sin 150 o + sin 120 o adalah.. Sin 150 o = sin (180 30) o = sin 30 o = ½ Sin 200 o = sin (180 + 60) o = sin 60 o = (1/2) 3 sin 150 o + sin 120 o = ½ + (1/2) 3 = ½ (1 + 3) jadi nilai dari sin 150 o + sin 120 o adalah ½ (1 + 3) 2. Nilai dari cos 300 o + cos 210 o adalah Cos 300 o = cos (360 60) o = cos 60 o = ½ Cos 210 o = cos (180 + 30) o = -cos 30 o = -(1/2) 3 cos 300 o + cos 210 o = ½ - (1/2) 3 = ½ (1-3) jadi nilai dari cos 300 o + cos 210 o adalah ½ (1-3) 3. Nilai dari cos 1200 o adalah Cos 1200 o = cos (120 + 3. 360) o = cos 120 o = -cos 60 o = -1/2 D. Satuan Ukuran Sudut Satuan yang biasa digunakan untuk mengukur sudut adalah derajat dan radian Sudut setengah putaran sama dengan 180 o = π radian Sudut satu putaran = 360 o = 2π radian Nilai pendekatan π 3, 14 atau π = 22/7 1 o 2π/360 radian 6, 28/360 radian 0, 017 radian 1 radian = 180 o / π 180 o /3, 14 57, 3 o atau 57 o 18 Rumus untuk mengubah satuan derajat ke radian dan sebaliknya adalah sebagai berikutl: α o = (α x (π/180)) radian dan p radian = (p x (180/ π)) o Matematika Trigonometri 3
E. Rumus-Rumus Segitiga dalam Trigonometri b C a 1. Aturan Sinus dan Cosinus a. Aturan sinus Pada segitiga ABC di samping berlaku aturan sinus A c B (a/sin A ) = (b/sin B) = (c/sin C) b. Aturan cosines a 2 = b 2 + c 2 2bc cos A b 2 = a 2 + c 2 2ac cos B c 2 = a 2 + b 2 2ab cos C 2. Luas Segitiga a. Luas segitiga jika diketahui alas dan tingginya L = (1/2)x a x t b. Luas segitiga jika diketahuidua sisi dan sudut apit dua sisi tersebut (sisi-sudut-sisi) L = (1/2)ab sin C L = (1/2)ac sin B L = (1/2)bc sin A c. Luas segitiga jika diketahui dua sudut dan satu sisi L = (a 2 sinb sinc)/(2sin A) L = (b 2 sina sinc)/(2sin B) L = (c 2 sina sinb)/(2sin C) d. Luas segitiga jika diketahui panjang ketiga sisinya L = s(s a)(s b)(s c) Dengan s = (1/2)x (keliling segitiga) S = (1/2) x( a + b +c) e. Luas segi banyak (segi n) beraturan L segi-n = n x (1/2) R 2 sin(360/n) o Dengan n = banyak sisi pada segi banyak beraturan R= panjang kaki segitiga sama kaki pembentuk segi n beraturan Matematika Trigonometri 4
F. Rumus-Rumus Trigonometri 1. Rumus Trigonometri untuk Jumlah Dua Sudut dan Selisih Dua Sudut Cos (α + β) = cos α cos β sin α sin β Cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β Sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β Sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β Tan (α + β) = (tan α + tan β)/(1 - tan α tan β) Tan (α β) = (tan α tan β)/(1 + tan α tan β) 2. Rumus Trigonometri untuk Sudut Rangkap Sin 2α = 2 sinα cos α Cos 2α = cos 2 α sin 2 α = 2 cos 2 α 1 = 1-2 sin 2 Tan 2α = (2tan α)/(1 tan 2 α) Sin 3α = 3 sin α 4 sin 3 α Cos 3α = 4 cos 3 α 3 cos α 3. Rumus Perkalian Sinus dan Cosinus Sin α cos β = ½( Sin (α + β) + Sin (α - β)) cos α sin β = ½( Sin (α + β) - Sin (α - β)) cos α cos β = ½( cos (α + β) + cos (α - β)) Sin α sin β = -½( cos (α + β) - cos (α - β)) 4. Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Sinus dan Cosinus Sin α + sin β = 2 sin ½( α + β) cos ½( α β) Sin α - sin β = 2 cos ½( α + β) sin ½( α β) cos α + cos β = 2 cos ½( α + β) cos ½( α β) cos α + cos β = -2 sin ½( α + β) sin ½( α β) Matematika Trigonometri 5
Contoh Soal: 1. Jika sudut α dan β lancip, sin α = 3/5 dan sin β = 7/25, maka cos (α + β) adalah.. Cos 2 α o + sin 2 α o = 1 Cos 2 α o + (3/5) 2 = 1 Cos 2 α o = 1 9/25 Cos 2 α o = 16/25 Cos α o = 4/5 Cos 2 β o + sin 2 β o = 1 Cos 2 β o + (7/25) 2 = 1 Cos 2 β o = 1 49/625 Cos 2 β o = 576/625 Cos β o = 24/25 cos (α + β) = cos α cos β sin α sin β = 4/5 x 24/25 3/5 x 7/25 = 96/125 21/125 = 75/125 = 3/5 2. Sin (α β)/ tan α tan β = Sin (α β)/ tan α tan β = (sin α cos β - cos α sin β)/ ((sin α/cos α) (sin β/cos β)) = (sin α cos β - cos α sin β)/( (sin α cos β - cos α sin β)/cos α cos β) = cos α cos β E. Persamaan dan Pertidaksamaan Trigonometri Rumus-Rumus Dasar Persamaan Trigonometri 1. Sin x = sin α X 1 = α + k. 360 o atau x 2 = (180 α) + k. 360 o 2. Cos x = cos α X = ± α + k. 360 o 3. Tan x = tanα X = α + k. 180 o Dengan k ε bilangan bulat Matematika Trigonometri 6
LATIHAN SOAL 1. (Sin x. cos x)/tan x =.. A. Sin 2 x B. Cos 2 x C. 1/sin x D. Sin x E. Cos x (UMPTN 1989) 2. Diketahui tan A = ¾ dengan sudut A lancip. Nilai 2 cos A = A. 6/5 B. 8/5 C. 5/4 D. 4/5 E. 5/3 (EBTANAS 1997) 3. Cos 2 30 o sin 2 135 o + 8 sin45 o cos 135 o = A. -17/4 B. -15/4 C. 17/4 D. 4/5 E. 1 (UMPTN 2000) 4. Nilai sin 240 o + sin 225 o + cos 315 o adalah. A. - 3 B. - 3 /2 C. -1/2 D. 3 /2 E. 3 /3 (UN 2004 SMK) 5. Diketahui ABC dengan panjang sisi AB = 3 cm, AC = 4 cm dan CAB = 60 o. CD adalah tinggi ABC. Panjang CD =. A. 2 3 cm 3 B. 3 cm C. 2 cm D. 3 3 cm 2 E. 2 3 cm (UAN 2002 IPA P2) 6. Jika panjang sisi-sisi ABC berturutturut adalah AB = 4cm, BC = 6 cm, dan AC = 5 cm, sedang BAC = α, ABC = β dan BCA = γ, maka sin α : sin β : sin γ =. A. 4 : 5 : 6 B. 5 : 6 : 4 C. 6 : 5 : 4 D. 4 : 6 : 5 E. 6 : 4 : 5 (UAN 2002) 7. Diketahui segitiga ABC dengan AC = 5 cm, AB = 7 cm, dan BCA = 120 o. keliling segitiga ABC =. A. 14 cm B. 15 cm C. 16 cm D. 17 cm E. 18 cm (UAN 2003) 8. Pada segitiga ABC diketahui a + b = 10, sudut A = 30 o dan sudut B = 45 o, maka panjang sisi b =. A. 5( 2-1) B. 5(2-2) C. 10(2-2) D. 10( 2 + 2) E. 10( 2 + 1) Matematika Trigonometri 7
(UMPTN 2001) 9. (1 sin 2 A). tan 2 A =. A. 2 sin 2 A 1 B. Cos 2 A sin 2 A C. 1 cos 2 A D. 1 sin 2 A E. 2 + cos 2 A (UMPTN 1998) 10. Bentuk (sin 5x + sin 3x)/cos 5x + cos 3x senilai dengan A. Tan 2x B. Tan 4x C. Tan 8x D. Cotan 4x E. Cotan 8x (UAN IPA P2) Matematika Trigonometri 8