MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II 2013/2014 21 Maret 2014
Kuliah ang Lalu 12.1 Fungsi dua (atau lebih peubah 12.2 Turunan Parsial 12.3 Limit dan Kekontinuan 12.4 Turunan fungsi dua peubah 12.5 Turunan berarah dan gradien 12.6 Aturan Rantai 12.7 Bidang singgung dan aproksimasi 12.8 Maksimum dan minimum 12.9 Metode pengali Lagrange 3/21/2014 (c Hendra Gunawan 2
Kuliah Hari Ini 12.1 Fungsi dua (atau lebih peubah 12.2 Turunan Parsial 12.3 Limitdan Kekontinuan 12.4 Turunan fungsi dua peubah 12.5 Turunan berarah dan gradien 12.6 Aturan Rantai 12.7 Bidang singgung dan aproksimasi 12.8 Maksimum dan minimum 12.9 Metode pengali Lagrange 3/21/2014 (c Hendra Gunawan 3
MA1201 MATEMATIKA 2A 12.2 TURUNAN PARSIAL Menentukan turunan parsial dari fungsi dua peubah bhdi titiksembarang 3/21/2014 (c Hendra Gunawan 4
Mengukur Laju Perubahan dalam Arah Sejajar dengan Sumbu atau Sumbu Diketahui fungsi dua peubah z = f( dan baangkan grafikna seperti pada gambar di samping. Bila kita berada di suatu titikpada permukaan tsb (baangkan di titik puncakna dan bergerak sejajar dengan sumbu berapakah laju perubahan ketinggianna? z P 3/21/2014 (c Hendra Gunawan 5
Turunan Parsial terhadap Jika konstan katakan = 0 maka z = f( 0 merupakan fungsi dari saja. Turunanna di = 0 disebut sebagai turunan parsial dari f terhadap di ( 0 0 dan dilambangkan dengan f ( 0 0. f ( 0 h f ( lim h ( 0 0 0 f ( 0 0 h0 f z P. 3/21/2014 (c Hendra Gunawan 6
Turunan Parsial terhadap Jika konstan katakan = 0 maka z = f( 0 merupakan fungsi dari saja. Turunanna di = 0 disebut sebagai turunan parsial dari f terhadap di ( 0 0 dan dilambangkan dengan f ( 0 0. f ( 0 0 k f ( 0 0 lim k0 k ( 0 0 ( f z P. 3/21/2014 (c Hendra Gunawan 7
Contoh Diketahui z = f( = 1 2 2. Maka Di titik (34 f ( = 2; f ( = 2. f (34 = 6; f (34 = 8. Jadi nilai f turun lebih cepat dalam arah sejajar sumbu daripada dalam arah sejajar sumbu. 3/21/2014 (c Hendra Gunawan 8
Turunan Parsial Kedua Turunan parsial kedua suatu fungsi dua peubah dapat diperoleh dari turunan parsial pertamana. Karena ada dua turunan parsial pertama f dan f dan masing masing mempunai dua turunan parsial maka kita akan mendapatkan empat turunan parsial kedua aitu f = (f f = (f f = (f f = (f 3/21/2014 (c Hendra Gunawan 9
Contoh Diketahui z = f( = 1 2 2. Turunan parsial pertamana adalah f ( ( = 2; f ( ( = 2. Turunan parsial keduana adalah f ( = 2; f ( = 0. f ( = 0; f ( = 2. Catatan. f dan f disebut sebagai turunan parsial campuran. Secara umum f f. 3/21/2014 (c Hendra Gunawan 10
Soal Diketahui fungsi dua peubah z 1 2 2. (a Tentukan turunan parsial pertamana. (b Tentukan turunan parsial keduana dan periksa apakah kedua turunan parsial campuranna sama. 3/21/2014 (c Hendra Gunawan 11
Fungsi Harmonik Fungsi z = f( f( disebut fungsi harmonik bila memenuhi persamaan Laplace: f + f = 0. Buktikan bahwa kedua fungsi berikut harmonik: 1. f( = 3 3. 2. F( = ln( 2 + 2. 3/21/2014 (c Hendra Gunawan 12
MA1201 MATEMATIKA 2A 12.3 LIMIT DAN KEKONTINUAN Memeriksa apakah suatu fungsi dua peubah mempunai limit di titik tertentu dan menentukan limitna (bila ada Memeriksa kekontinuan fungsi dua peubah di titik tertentu 3/21/2014 (c Hendra Gunawan 13
Limit Fungsi Dua Peubah Diberikan suatu fungsi dua peubah sebutlah z = f(. Bila ( mendekati ( 0 0 apa ang terjadi dengan f(? L Def. lim f ( L apabila ( ( 0 0 untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga ( 0 0 0 ( ( ( 0 0 f L. 3/21/2014 (c Hendra Gunawan 14
Beberapa Catatan Limit f di ( 0 0 sama a denganl apabila untuk setiap ( ang berada dalam radius δ dari ( 0 0 kecuali mungkin ( 0 0 sendiri nilai f( berada dalam radius ε dari L. Dl Dalam hli hal ini i nilai i f( harus menuju L bagaimanapun carana ( mendekati ( 0 0. Jika melalui lintasan berbeda f menuju nilai ang berbeda maka f tidak mempunai limit di ( 0 0. 3/21/2014 (c Hendra Gunawan 15
Teorema Substitusi Jika f( merupakan polinom dalam dan n m akni maka i j f ( cij i0 j0 lim f ( f ( a b. ( ( a b Jika f( = p(/q( dengan p dan q polinom dalam dan maka lim asalkan q(ab 0. f ( p( a b q( ( a ( ( a b b 3/21/2014 (c Hendra Gunawan 16
Contoh 2 2 2 2 1. lim ( 3 4 25. ( (34 lim 1 2. tidak ada karena ( (00 0 2 2 pembilangna menuju 1 sementara penebutna menuju 0. 3/21/2014 (c Hendra Gunawan 17
Contoh lim 3. tidak ada karena alasan ( (00 sebagai berikut: 2 2 Sepanjang garis = m kita amati bahwa lim lim m m ( (00 2 2 0 2 2 2 1 m 2 m m ang bergantung pada nilai m. Jadi tidak ada nilai tertentu ang dituju ketika ( mendekati (00. 3/21/2014 (c Hendra Gunawan 18 2
Soal Selidiki apakah limit berikut ada/tidak ada. 2 1. lim. ( (00 2 4 4 4 lim (00 2 2 2.. ( 3/21/2014 (c Hendra Gunawan 19
Kekontinuan Fungsi f( dikatakan kontinu di (ab apabila lim f ( f ( a b. ( ( a b Sebagai contoh polinom kontinu di setiap titik. Teorema: Jika g( kontinu di (ab dan f(t kontinu di g(ab maka f g kontinu di (ab. 2 2 Sebagai contoh f ( : kontinu di setiap titik (. 3/21/2014 (c Hendra Gunawan 20
Kesamaan Turunan Parsial Campuran Jika f dan f kontinu pada suatu cakram di sekitar (ab maka f (ab = f (ab. Contoh fungsi ang turunan parsial campuran na tidak sama diberikanik di buku Purcell ll(soal 12.3 no. 42. Lihat slide berikut 3/21/2014 (c Hendra Gunawan 21
Soal Diketahui f 2 2 ( : 2 2 ( : 0 ( (00 (00. Hitung f (00 0 dan f (00. 0 Apakah hasilna sama? 3/21/2014 (c Hendra Gunawan 22