MULTIVARIATE ANALYSIS OF VARIANCE (MANOVA) MAKALAH Untuk Memenuh Tugas Matakulah Multvarat yang dbmbng oleh Ibu Tranngsh En Lestar oleh Sherly Dw Kharsma 34839 Slva Indrayan 34844 Vvn Octana 34633 UNIVERSITAS NEGERI MALANG FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA Oktober 3
BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakang Salah satu cabang lmu statstka adalah Analss Statstk Multvarat. Ada beberapa metode analss data statstk yang dapat dpelajar dalam cabang lmu tersebut, salah satu metode yang cukup banyak dterapkan dalam berbaga bdang adalah MANOVA atau Multvarate Analyss of Varance. MANOVA atau Multvarate Analyss of Varance merupakan pengembangan dar ANOVA, yatu sebaga metode statstk untuk menganalss hubungan antara beberapa varabel bebas dan beberapa varabel terkat. Karakterstk pada MANOVA yatu varabel bebas bsa lebh dar satu atau satu, namun varabel terkat harus lebh dar satu. Pada Analss Varans Multvarat (MANOVA) analss yang dlakukan harus memenuh asums sebaga berkut: asums data berdstrbus normal multvarate, homogentas matrk varans kovarans, serta adanya korelas antar varabel yang dgunakan.. Rumusan Masalah. Bagamana hasl uj normal multvarat pada data nla kogntf dan nla afektf sswa dengan tngkat kecerdasan IQ sswa?. Bagamana hasl uj kesamaan matrks kovaran pada data nla kogntf dan nla afektf sswa dengan tngkat kecerdasan IQ sswa? 3. Bagamana hasl uj manova pada data nla kogntf dan nla afektf sswa dengan tngkat kecerdasan IQ sswa?.3 Tujuan. Untuk mengetahu bagamana hasl uj multvarat normal pada data nla kogntf dan nla afektf sswa dengan tngkat kecerdasan IQ sswa.. Untuk mengetahu bagamana hasl uj kesamaan matrks kovarans pada data nla kogntf dan nla afektf sswa dengan tngkat kecerdasan IQ sswa.
3. Untuk mengetahu bagamana hasl uj manova pada data nla kogntf dan nla afektf sswa dengan tngkat kecerdasan IQ sswa.
BAB II KAJIAN PUSTAKA. Pengertan Analss Multvarat Analss statstka multvarate adalah analss statstka yang dkenakan pada data yang terdr dar banyak varabel dan antar varabel yang salng berkorelas. Beberapa metode yang termasuk ke dalam golongan analss n adalah : Analss Faktor, Analss Cluster, Analss Dskrmnan, Analss Komponen Utama, Korespondens, dan MANOVA.. Pengertan MANOVA (Multvarate Analyss of Varance) MANOVA atau Multvarate Analyss of Varance merupakan pengembangan dar ANOVA, yatu sebaga metode statstk suatu teknk statstk yang dgunakan untuk menghtung pengujan sgnfkans perbedaan rata-rata secara bersamaan antara kelompok untuk dua atau lebh varable terkat. Karakterstk pada MANOVA yatu varabel bebas bsa lebh dar satu atau satu, namun varabel terkat harus lebh dar satu. Skala pengukuran varabel bebas berjens kategorkal artnya data bsa berupa data nomnal atau ordnal, sedangkan pada varabel terkat merupakan varabel kontnu artnya data bsa berupa nterval atau raso. Asums yang harus d penuh dalam MANOVA yatu:. Dstrbus datanya harus normal multvarat.. Matrks varan kovaran antar levelnya harus sama. 3. Setap pengamatan manova dasumskan bersfat ndependen. 4. Manova mengasumskan bahwa varabel bebas adalah kategork dan varabel terkat varabel kontnu dan juga bersfat homogentas. Pada Analss Varans Multvarat ada statstk uj yang dapat dgunakan yatu sebaga berkut:. Uj hasl bag kemungknan, dengan statstk uj (lambda) dar Wlks atau statstk uj U, dmana (JKK) = matrks varans kovarans kekelruan
dan (JKP r ) = matrks varans kovarans perlakuan. Uj telusur dar lawley Hotellng dengan statstk LH tr (JKK) - (JKP r ), dmana (JKK) - adalah nvers dar matrks varans kovarans kekelruan, sedang (JKP r ) adalah matrk varans kovarans perlakuan yang bersangkutan. 3. Uj akar maksmum dar Roy, dengan statstk uj R = akar karakterstk maksmum dar (JKK) - (JKP r ) 4. Uj plla dengan statstk uj dmana adalah akar-akar karakterstk dar (JKK) - (JKP r ). Dalam hal n dberkan statstk yang menggunakan statstk U. Ada beberapa sfat pada statstk U yang dgunakan untuk menganalss yatu,. Dstrbus U dengan derajat kebebasan (p;m;n) sama dengan dstrbus U yang berderajat kebebasan (m;p;n+m-p). Untuk p = nla U p;m;n dapat dtransformaskan ke nla F dengan rumus dmana U ;m;n menyatakan nla varabel acak yang berdstrstrbus U dengan derajat kebebasan (;m;n), sedangkan F m;(n-) menyatakan nla varabel acak yang berdstrbus F dengan derajat kebebasan [m;(n-)]. 3. 4. 5. Kegunaan dan Kelebhan MANOVA MANOVA dgunakan untuk mengetahu apakah vektor rata-rata populas sama, dan jka tdak sama, komponen rata-rata mana yang berbeda secara nyata. Karena kemampuannya untuk menganalss beberapa pengukuran varabel terkat secara smultan, MANOVA memlk kelebhan:
Menyedakan kontrol tngkat kesalahan ekspermen ketka terjad beberapa derajat nter-korelas dantara varabel terkat. Menyedakan statstk yang lebh kuat dar ANOVA ketka varabel terkatnyaberjumlah 5 atau kurang..3 Dstrbus Normal Multvarat Varabel acak X dkatakan berdstrbus normal dengan rerata dan varans, dmana jka fungs kerapatan probabltas dar X tertentu dengan rumus : grafk dar merupakan kurva atau gars lengkung, atau basanya dkatakan bentuk lonceng (rsan bentuk lonceng). Pada stuas multvarat, yang terlbat adalah sekelompok varabel dkatakan berdstrbus normal p-varat dengan vektor rerata dan matrks varans-kovarans atau matrks dpers, jka fungs kerapan probabltas bersama dar p varabel tertentu oleh rumus: dmana Jka X, X,..., X berdstrbus normal multvarat maka p ( X )' ( X ) berdtrbus p. Berdasarkan sfat n maka pemerksaan dstrbus multnormal dapat dlakukan dengan cara membuat q-q plot dar nla d X )' S ( X X, n X.,..., 99): Tahapan dar pembuatan q-q plot n adalah sebaga berkut (Johnson,. Menentukan nla vektor rata-rata : X. Menentukan nla matrks varans-kovarans : S
3. Menentukan nla jarak setap ttk tergeneralsas pengamatan dengan vektor rata-ratanya d X X )' S ( X X, n,..., 4. Mengurutkan nla d dar kecl ke besar : d d d... ( ) ( ) ( 3 ) ( n ) d / 5. Menentukan nla p,,..., n 6. Menentukan nla q sedemkan hngga n q f ( ) d p 7. Membuat scatter-plot d ( ) dengan q 8. Jka scatter-plot n cenderung membentuk gars lurus dan lebh dar 5 % nla d p,.5 dmana : - X = objek pengamatan ke - n = banyak pengamatan - S - = nvers matrk varans kovarans yang berukuran p x p - p = banyak varabel Selan dengan memerksa nla jarak Mahalanobs setap pengamatan dengan vektor rata-ratanya. Menurut Marda (974) d dalam Rencher (995) pemerksaan kemultnormalan data dapat juga dkaj melalu nla multvarate skewnewss ( ) dan kurtossnya ( b, ) b p, p b, p n n n j g 3 j dan b, p n n g sedangkan g ( X X )' S ( X X ) Jka j j X, X,..., X dkatakan berdtrbus normal multvarat maka : p - ( p )( n )( n 3) z, b berdtrbus p 6 ( n )( p ) 6 dan p ( p )( p ) / 6 - z b p ( p ), p berdstrbus normal baku. 8 p ( p ) / n.4 Uj Homogentas Matrk Beberapa analss statstka multvarate sepert dscrmnant analyss dan MANOVA membutuhkan syarat matrks varans-kovarans yang homogen.
Untuk menguj syarat n dapat dpergunakan statstk uj Box-M. Hpoters dan statstk uj Box-M adalah (Rencher, 995) : Hpotess - Ho :... k - H : untuk j j Statstk uj : htung k ( c ) v ln S ln S pool k v dan S pool k k v S v c k v k v p 3 p 6 ( p )( k ) v n Terma hpotess nol yang berart matrks varans-kovarans bersfat homogen jka htung ( k ) p ( p Adapun langkah-langkah uj homogentas varans-kovarans menggunakan program SPSS 6 adalah sebaga berkut: a. Buka aplkas SPSS. b. Dar worksheet, entry data dlakukan melalu Varable Vew dan Data Vew. c. Dar menu utama SPSS dplh menu Analyze, kemudan submenu General Lnear Model dplh Multvarate. d. Setelah tampak dlayar tamplan wndow Multvarat, kemudan melakukan entry varabel-varabel yang sesua pada kotak Dependent Varables dan Fxed Factor(s). e. Selanjutnya Opton dplh Homogentas test dan Contnue, terakhr OK..5 Uj Korelas Antar Varabel Varabel dkaatakan bersfat salng bebas (ndependent) jka matrks korelas antar varabel membentuk matrks denttas. Korelas antar varabel dlakukan dengan menggunakan uj Bartlett Sphercty pada program SPSS. Hpotess yang dgunakan pada uj tersebut adalah sebaga berkut:
Statstk uj yang dgunakan yatu:
Berkut adalah flowchart dar langkah-langkah pengerjaan analss data: Data Uj Varabel Y dengan Varabel X Uj Independens ANOVA Pemerksaan Asums Normal Multvarat Kesamaan Matrks Varan Kovaran Tdak Memenuh Pemerksaan Asums Memenuh Pemerksaan Asums Manova
PEMBAHASAN DAN ANALISA 3. Pembahasan Masalah yang akan dbahas yatu kemampuan sswa dalam menguasa mata pelajaran matematka dlhat dar nla kogntf, afektf dan tngkat kecerdasan IQ. Data terdr dar dua varabel terkat Y (nla kogntf) dan Y (nla afektf) dan varabel bebas X (tngkat kecerdasan IQ). Berkut data yang akan dgunakan dalam analss MANOVA yang terdr dar data nla kogntf dan nla afektf sswa dengan tngkat kecerdasan IQ sswa. Varabel bebas:x= tngkat kecerdasan IQ sswa level sswa yang memlk tngkat kecerdasan IQ, x level sswa yang memlk tngkat kecerdasan IQ, < x 5 level 3 sswa yang memlk tngkat kecerdasan IQ,5 < x 5 level 4 sswa yang memlk tngkat kecerdasan IQ, x >5 Varabel terkat: Y:Nla Kogntf sswa Y: Nla Afektf sswa Tabel : Data nla kogntf sswa, nla afektf sswa, dan tngkat kecerdasan IQ No. Y Y X No Y Y X. 78 75 3. 75 7 3. 8 78 3 3. 87 84 3 3. 79 76 33. 78 75 4 4. 84 8 34. 84 8 4 5. 8 77 35. 87 84 4 6. 78 75 36. 87 84 7. 77 74 37. 77 74 8. 77 74 38. 83 8 9. 8 77 3 39. 83 78. 8 77 4 4. 84 8. 8 77 4 4. 78 78. 76 73 4. 8 8 3 3. 87 84 4 43. 8 78 3 4. 83 8 44. 8 79 3 5. 84 8 45. 75 78 4 6. 8 78 46. 83 79 4
7. 8 77 47. 8 78 8. 78 75 48. 84 79 3 9. 86 83 3 49. 77 8. 79 76 5. 8 8 4. 85 8 4 5. 79 78. 78 75 4 5. 8 79 3. 6 59 53. 78 77 4. 77 74 54. 83 8 3 5. 76 73 55. 75 7 6. 76 73 56. 8 79 7. 83 8 57. 85 79 3 8. 74 7 58. 78 76 9. 75 7 59. 68 74 3. 83 8 3 6. 8 78 Sebelum melakukan analss MANOVA, terlebh dahulu ada asumsasums yang harus dpenuh terlebh dahulu yatu data berdstrbus normal multvarate normal dan dan varans data adalah homogen. Berkut pemerksaan asums-asums MANOVA. a. Pengujan Dstrbus Multvarat Normal Varabel yang duj hanyalah varabel terkat Y (nla kogntf) dan Y (nla afektf). Berkut pengujan multvarate normal dengan menggunakan macro mntab:
Berkut scatterplot dar q vs dj Dlhat dar tabel dperoleh 77.935 dan bernla.858 sehngga. Dan karena plot membentuk gars lurus sehngga dapat dsmpulkan data n berdstrbus normal multvarat. b. Homogentas Matrk Varan Covaran Hpotess: H : Matrk varans covarans adalah homogen H : Matrk varans covarans tdak homogen
Hpotess H = Kedua varabel Y ( nla kogntf dan nla afektf) mempunya matrk varan-kovaran yang sama varabel X (tngkat kecerdasan IQ). H : Kedua varabel Y ( nla kogntf dan nla afektf) mempunya matrk varan-kovaran yang berbeda varabel X (tngkat kecerdasan IQ). Krtera Keputusan Jka angka sg. >,5, maka H dterma Jka angka sg. <,5, maka H dtolak Output Dar table terlhat nla Box M=,86 dengan nla sgnfkas,54. Karena nla sgnfkan lebh besar dar,5, maka H dterma. Artnya matrk varans-kovarans pada varabel Y ( nla kogntf dan nla afektf) adalah sama untuk X (tngkatan kecerdasan IQ). Dengan demkan keputusan gagal menolak H pada data sudah homogen. dan matrk varans-kovarans c. Uj homogentas varan Dengan taraf sgnfkans,5 dar tabel d atas terlhat angka sgnfkans uj Levene datas menunjukan bahwa untuk kedua varabel Y, yatu : Y nla F=.7 dengan sgnfkans,543 >,5. Y nla F=.693 dengan sgnfkans,56 >,5.
Maka H dterma. Hal n berart matrk varans-kovarans pada varabel Y dan Y secara ndvdu adalah sama untuk setap varabel X. Sehngga bsa dlanjutkan dengan analss MANOVA. d. Tabel Manova Tabel Multvarate Test dbawah n menjelaskan pengujan perbandngan rata-rata komponen kogntf dan komponen afektf secara bersamaan dengan komponen IQ. Terdapat uj statstc, yatu Plla s Trace, Wlk s Lamda, Hotellng Trace, dan Roy s Largers. Hpotess H = varabel X (tngkat kecerdasan IQ) tdak menunjukkan perbedaan pada kedua varabel Y (nla kogntf dan nla afektf). H : varabel X (tngkat kecerdasan IQ) menunjukkan perbedaan pada kedua varabel Y ( nla kogntf dan nla afektf). Krtera Keputusan Jka angka sg. >,5, maka H dterma Jka angka sg. <,5, maka H dtolak Perhatkan pada bars X pada angka sgnfkans yang duj dengan prosedur Plla, Wlk s Lambda, Hotellng dan Roy s. Ketga procedure yang pertama menunjukan angka sgnfkans datas.5 yatu.37,
.3,.6 dan,4. Maka bsa dkatakan Ho dtolak. Karena Ho dtolak maka secara bersama-sama nla kogntf dan afektf menunjukkan perbedaan pada tngkat kecerdasan IQ. e. Pengujan Model Secara Unvarat Hpotess Hpotess untuk varabel Y dan X secara ndvdu Untuk faktor X dan Y (nla kogntf) H = Rata-rata varabel Y (nla kogntf) tdak menunjukkan perbedaan pada varabel X (Komponen IQ). H = Rata-rata varabel Y (nla kogntf) menunjukkan perbedaan pada varabel X (Komponen IQ). Untuk faktor X dan Y (nla afektf) H = Rata-rata varabel Y (nla afektf) tdak menunjukkan perbedaan pada varabel X (tngkat kecerdasan IQ). H = Rata-rata varabel Y (nla afektf) menunjukkan perbedaan pada varabel X tngkat kecerdasan IQ). Krtera Keputusan Jka angka sg. >,5, maka H dterma Jka angka sg. <,5, maka H dtolak
Output Untuk faktor X dan Y (nla kogntf) Perhatkan bars faktor X dan sub Y, dmana angka sgnfkans adalah,6. Karena lebh besar dar,5, maka H dterma, atau rata-rata Y memang berbeda secara nyata pada X. Untuk faktor X dan Y (Komponen Afektf) Perhatkan bars faktor X dan sub Y, dmana angka sgnfkans adalah,4. Karena kurang dar,5, maka H dtolak, atau rata-rata Y sama dengan X. In terjad karena kemungknan ada sswa yang memlk IQ, memlk nla kogntf lebh tngg, atau ada kemungknan lan.
BAB IV KESIMPULAN Hasl pembahasan dan analsa yang dlakukan menunjukan bahwa data yang dgunakan dalam pembahasan n berdstrbus normal multvarate. Pada pengolahan data dengan menggunakan program paket SPSS ddapat kesmpulan bahwa varan-covarans masng-masng varabel yang dgunakan dalam pembahasan adalah homogen. Pengujan MANOVA dapat dlakukan karena asums-asums awal dapat dpenuh oleh data yang dgunakan. Pengujan MANOVA memberkan kesmpulan bahwa tngkat kecerdasan IQ menunjukkan perbedaan terhadap nla kogntf dan afektf sswa.