Koordinat Polar (Ch.10.-10.) O (the pole) ray (polar axis) Dalam beberapa hal, lebih mudah mencari lokasi/posisi suatu titik dengan menggunakan koordinat polar. Koordinat polar menunjukkan posisi relatif terhadap titik kutub O dan sumbu polar (ray) yang diberikan dan berpangkal pada O.
Titik P dengan koordinat polar (r, ) berarti berada diposisi: - derajat dari sumbu-x (sb. polar) ( diukur berlawanan arah jarum-jam) - berjarak sejauh r dari titik asal kutub O. Perhatian: jika r < 0, maka P berada di posisi yang berlawanan arah. r: koordinat radial : koordinat sudut
Setiap titik mempunyai lebih dari satu representasi dalam koordinat polar (r, ) = (- r, + n ), untuk n bil. bulat ganjil = ( r, + n ), untuk n bil. bulat genap Example: the following polar coordinates represent the same point (, /), (-, 4/), (, 7/), (-, -/).
Konversi koordinat polar kedalam koordinat tegak. Gunakan relasi: Maka r = x + y, x = r cos, tan = y/x, jika x 0 Catt. menentukan y = r sin Jika x >0, maka x berada di kuadran 1 atau 4 jadi -/ < < / = arctan(y/x). Jika x < 0, x berada di kuadran atau, = + arctan(y/x).
Persamaan dalam Koordinat Polar Pers. polar dari lingkaran berjari-jari a: r = a Untuk lingkaran berjari a, - berpusat di (0,a): r = a sin - berpusat di (a,0): r = a cos r = sin r 0 0 / 0 r = cos r 0 0 / -
Konversikan persamaan polar r = sin kedalam sistem koordinat tegak: Kalikan kedua sisi dengan r: r = r sin x + y = y x + y - y = 0 Jadi persamaan tsb. dalam koordinat tegak adalah x + (y -1) = 1
Cari titik potong antara persamaan polar berikut: r = 1 + sin and r = 4 sin. Solusi: (1 + sin ) = 4 sin 1 + sin + sin - 4 sin = 0 sin - sin + 1 = 0 (sin - 1) = 0 sin = 1 Jadi sudut = / + n, dimana n = 0,1, Jadi salah satu titik potong: (, /)
Grafik Persamaan Polar Cardioid: r a( 1 sin ) dan r a(1 cos )
Limaçon: r = a + b cos, r = a + b sin Limaçon: r() = cos()
Persamaan berbentuk r = cos (n ) atau r = sin(n ) mempunyai grafik berbentuk mawar (rose); dengan jumlah kelopak = n jika n ganjil, n jika n genap
Rose: r() = a b sin (n) contoh: r() = 5 sin()
Grafik persamaan polar r cos( )
Lemniscate: r a cos( ) atau r asin( ) r 4sin( )
Spiral: r =
Grafik dari butterfly curve r() = exp(cos())- *cos(4* ) + sin( /4)^
Menghitung Luas dalam Koordinat Polar Definisi: Luas daerah R yang dibatas oleh dua garis radial = dan = dan kurva r = f( ),, adalah = r = f() = A 1 f d ( )
Diket. luas lingkaran berjari r : Luas juring (sektor) lingkaran: r 1 r Partisi selang [, ]: = 0 < 1 < < n = Daerah R dibagi menjadi n buah sektor. Luas sektor ke- i ( A i ) Luas sektor dg jari f( i *) dan besar sudut i = i - i-1. A i 1 f ( * i ) i Jadi A = lim n n i1 1 1 * f ( f i ) i ( ) d
Hitung luas daerah limaçon dgn pers. r = + cos, 0
Example Solution: 11 sin 1sin 11 1 cos 1cos 9 1 we get cos cos 1 4 4cos Because 4cos 1cos 9 1 cos 0 0 0 0 1 1 d A d d d r A
Contoh : Hitung luas daerah yg dibatasi oleh dua loop limacon r( ) 1 cos( ), [0 ]
Luas daerah yg dibatasi ikalan luar: Luas yg dibatasi ikalan dalam (r<0) Luas = )) (cos( 4 ) cos( 4 1 )) cos( (1 1 0 0 0 0 1 d d d d A )) cos( (1 1 4 d A A 1 A
Luas daerah antara dua kurva polar r = f() dan r = g(), dengan f() g() 0, : A 1 f ( ) g( ) d
Kurva Parametrik (Ch.10.4) Definisi: Suatu kurva parametrik C didalam bidang adalah sepasang fungsi x = f(t), y = g(t) (pers. Parametrik) yang memberikan x dan y fungsi kontinu untuk t dalam interval tertentu, t bilangan real (parameternya). Contoh: x = cos t, y = sin t, 0 t Atau 1 t t x ( t), y( t), 1 t 1 t t
Kurva parameter dari fungsi parameter x= cos t, y = sin 5t, 0 t
Cycloid: Suatu lingkaran berjari r menggelinding sepanjang garis horisontal, jejak sebuah titik pada lingkaran tsb. membentuk kurva cycloid
Persamaan parameterik dari cycloid (lintasan jejak titik P) dengan radius a dan titik pusat C(at,a) P(x,y) C(at,a) Q(at,y) x = a(t sin t) y = a(1- cos t)
Garis tangen pada persamaan parametrik Kurva parametrik x = f(t), y= g(t) dikatakan mulus (smooth) jika turunannya kontinu dan keduanya tidak nol secara bersamaan. Gunakan aturan rantai untuk menghitung gradien grs. tangen dy dy dx dt dx dt Contoh; Cari persamaan garis tangen pada t yang ditentukan g'( t) f ( t) t t x y di t 1 1 t 1 t
Parametrik Koordinat Polar Kurva dalam koordinat polar, r = f( ), dapat dinyatakan sbg kurva parametrik dg parameter : x( ) = f( ) cos, y( ) = f( ) sin, (x dan y dinyatakan dgn parameter ). Kemiringan dy/dx dari garis tangen dy dx dy d dx d f '( )sin f '( )cos f ( )cos f ( )sin r'sin r cos r'cos r sin
Cari persamaan garis tangen dari kurva parametrik x 4cos t y sin di t t
) 1 ( tangen adalah : garis dari Persamaan, 1 )) ( ),4sin ( (4cos )) ( ), ( (, ) tan( ) tan( ) ( )cos 1sin( ) )cos( ( 1sin x y t y t x t Di t t t t t dt dx dt dy dx dy
Cari kemiringan garis tangen pada kurva polar berikut ini r = f( = + cos(8 ) di = /4. Hit. dy/d, dx/d, dy/dx
Conic Sections