PREMI ASURANSI JIWA BERJANGKA NAIK DENGAN MENGGUNAKAN HUKUM DE MOIVRE Aoy Wijaya *, Hasriai, Musraii Mahasiswa Program S Maemaia Dose Jurusa Maemaia Faulas Maemaia da Ilmu Pegeahua Alam Uiversias Riau Kampus Bia Widya 893 Idoesia *huag_aoysciece@yahoo.co.id ABSTRACT This aricle discusses he premium for paricipas whose age are years old, who paricipae i icreasig erm life isurace program. Premium calculaed are a sigle premium, he aual premium, ad he premium wih imes payme a year. The premiums cosis of a sigle e premium calculaio, he aual e premium, ad e premium paymes wih imes i a year ha are iflueced by due life auiy ad maageme expese isurace. Premium calculaio used i his aricle of acuarial assumpios is he De Moivre of law. Keywords: icreasig erm life isurace, De Moivre of law, premium. ABSTRAK Ariel ii membahas premi uu pesera yag berusia ahu, yag megiui program asurasi jiwa berjaga ai. Premi yag dihiug adalah premi uggal, premi ahua, da premi dega ali pembayara dalam seahu. Premi ersebu erdiri dari perhiuga premi bersih uggal, premi bersih ahua, da premi bersih dega ali pembayara dalam seahu yag dipegaruhi oleh auias hidup awal da biaya-biaya maajeme asurasi. Perhiuga premi dalam ariel ii diguaa asumsi auaria, yaiu huum De Moivre. Kaa Kuci: asurasi jiwa berjaga ai, huum De Moivre, premi.. PENDAHULUAN Asurasi jiwa adalah suau perjajia yag elah disepaai oleh edua piha, yag diyaaa dalam beu polis asurasi dimaa sau piha sebagai pemili polis (eraggug) memilii aggug jawab membayara premi epada piha laiya, dalam hal ii adalah piha perusahaa asurasi (peaggug), yag memberia jamia bila eraggug megalami ecelaaa, caca aau meiggal duia pada jaga wau ora polis asurasi, maa piha peaggug membayara sejumlah JOM FMIPA Volume No. Oober 04 73
uag peragguga (laim) epada eraggug []. Asurasi jiwa yag diguaa pada ariel ii adalah asurasi jiwa berjaga ai, yaiu asurasi jiwa yag memberia jamia selama jaga wau ereu dega uag peragguga awal yag meiga secara periodi pada seiap periodeya, yag sesuai dieapa pada awal ora polis asurasi dega iga buga yag eap selama periode berlagsug. Premi yag dihiug pada asurasi jiwa berjaga ai melipui premi uggal, premi ahua, da premi dega ali pembayara dalam seahu, misala semesera, warala aau bulaa [5]. Besarya premi yag harus dibayara perusahaa asurasi dipegaruhi oleh premi bersih da biaya maajeme perusahaa asurasi. Premi bersih dieua oleh auias hidup yag dipegaruhi oleh percepaa moralia, peluag hidup da peluag meiggal oleh pesera asurasi. Uu meeua peluag hidup da peluag meiggal dari pesera asurasi, diguaa beberapa asumsi pada auaria yaiu huum De Moivre []. Huum De Moivre merupaa salah sau huum moralia yag meeua percepaa moralia, yag diperoleh dari disribusi seragam (uiform) [4]. Ierval yag diguaa pada huum De Moivre adalah, ) dega merupaa usia seseorag yag baru lahir da merupaa usia masimal seseorag. Pada ariel ii peulis membahas premi asurasi jiwa berjaga ai yag diperoleh dari buu Fuami [5]. Fuami membahas premi asurasi jiwa berjaga ai dega simbol omuasi, sedaga ariel ii membahas premi asurasi jiwa berjaga ai dega megguaa huum De Moivre.. NILAI TUNAI ANUITAS HIDUP BERDASARKAN HUKUM DE MOIVRE Auias adalah suau pembayara dalam jumlah ereu yag dilaua seiap selag wau da lama ereu secara eseluruha. Auias erbagi dua yaiu auias pasi da auias hidup. Auias hidup adalah auias yag pembayara dilaua ergaug hidup maiya seseorag [5]. Auias yag dibayara pada awal periode disebu auias hidup awal. Nilai uai auias hidup dipegaruhi oleh peluag hidup da faor diso. Berdasara huum De Moivre, fugsi epadaa peluag yag diperoleh dari disribusi seragam [4] adalah. () Berdasara persamaa (), peluag seseorag yag berusia ahu aa beraha hidup higga ahu yag diperoleh dari fugsi disribusi, yaiu x. () x Berdasara persamaa (), peluag seseorag yag berusia pada usia ahu adalah ahu aa meiggal JOM FMIPA Volume No. Oober 04 74
. (3) x Nilai uai auias hidup berjaga awal ahu dari seseorag berusia ahu dega pembayara sebesar saua pembayara, diyaaa dega [] 0 v p. (4) x Dega megguaa persamaa (), ilai uai auias hidup berjaga awal dega huum De Moivre diyaaa dega ahu Ia v x (5) dega meyaaa usia masimal seseorag, v faor diso, auias pasi awal, da auias pasi yag berubah dega iga buga [7], yaiu a v i. Selajuya, ilai uai auias hidup berjaga awal ahu dega ali pembayara dalam seahu dari seseorag berusia ahu dega pembayara sebesar saua pembayara, diyaaa dega [3] v px. (6) 0 Dega megguaa persamaa (), ilai uai auias hidup berjaga awal ahu dega ali pembayara dalam seahu megguaa huum De Moivre diyaaa dega Ia x v (7) x dega meyaaa usia masimal seseorag, auias pasi awal dega ali pembayara dalam seahu, auias pasi yag berubah dega ali pembayara dalam seahu dega iga buga omial [7], yaiu JOM FMIPA Volume No. Oober 04 75
a i v. Kemudia meyaaa faor diso yaiu [7] i sera hubuga iga buga omial da iga buga efeif yaiu [3]. /. 3. PREMI ASURANSI JIWA BERJANGKA NAIK DENGAN HUKUM DE MOIVRE Premi merupaa seragaia pembayara yag dilaua oleh pemegag polis asurasi. Premi yag dibayara pesera asurasi epada perusahaa asurasi melipui premi bersih (e premium) da biaya-biaya yag dieaa seperi biaya peerbia polis, biaya pegumpula premi, biaya pemeliharaa polis selama masa pembayara premi da biaya pemeliharaa polis seelah masa pembayara premi. Pembayara premi asurasi yag dilaua pada wau ora asurasi diseujui, selajuya ida ada pembayara lagi disebu premi uggal [5]. Premi uggal asurasi jiwa berjaga ai dari pesera asurasi berusia ahu selama ahu, da uag peragguga sebesar saua pembayara diyaaa dega [6]. (8) Dega da meyaaa biaya-biaya maajeme asurasi, meyaaa auias hidup berjaga awal, da meyaaa premi bersih uggal asurasi jiwa berjaga ai dari pesera asurasi berusia ahu selama ahu, uag peragguga sebesar saua pembayara da iga buga dari uag peragguga adalah, yaiu v px qx v px qx. (9) Dega mesubsiusia persamaa () da (3) e persamaa (9), premi bersih uggal asurasi jiwa berjaga ai dapa diyaaa dega j x 3 v v v v j x v v 3v 3 v JOM FMIPA Volume No. Oober 04 76
a x Ia. (0) x Sehigga, dega mesubsiusia persamaa (5) da (0) e persamaa (8), premi uggal asurasi jiwa berjaga ai diyaaa dega ja j Ia Ia a x v. () x Premi ahua merupaa premi yag dibayara oleh pesera asurasi seiap ahuya sampai masa ora berahir. Premi ahua asurasi jiwa berjaga ai dari pesera asurasi berusia ahu selama ahu, dega masa pembayara premi ahu,,,, da merupaa biaya-biaya maajame asurasi da uag peragguga sebesar saua pembayara, diyaaa dega [6] ( ), () Dega mesubsiusia persamaa (5) da (0) e persamaa (), premi uggal asurasi jiwa berjaga ai dapa diyaaa dega γ γ' β α x R ja j Ia xa Ia β x a m ' Ia v m x a Ia m mv m γ m mv m. (3) Jia masa pembayara premi da jaga wau peragguga pada asurasi jiwa berjaga ai diaggap sama, yaiu ahu. Maa dari persamaa (), premi ahua asurasi jiwa berjaga ai diyaaa dega. (4) Dega mesubsiusia persamaa (5) da (0) e persamaa (4), premi ahua asurasi jiwa berjaga ai dega jaga wau da masa pembayara premi sama, yaiu ahu dapa diyaaa dega γ β β R ja j Ia α x x a Ia v. (5) JOM FMIPA Volume No. Oober 04 77
Selajuya, premi dega ali pembayara dalam seahu pada asurasi jiwa berjaga ai dari pesera asurasi berusia ahu selama ahu, dega masa pembayara premi ahu,,,, da merupaa biaya-biaya maajame asurasi da uag peragguga sebesar saua pembayara, diyaaa dega ( ). (6) Dega mesubsiusia persamaa (5), (7) da (0) e persamaa (6), premi dega ali pembayara dalam seahu pada asurasi jiwa berjaga ai dapa diyaaa dega γ β β γ' c a a Ia Ia c m a ja j Ia m v mv m m Ia mv m m (7) dega. Jia masa pembayara premi da jaga wau peragguga pada asurasi jiwa berjaga ai diaggap sama, yaiu ahu, maa dari persamaa (6), premi dega ali pembayara pada asurasi jiwa berjaga ai dapa diyaaa dega R c a m Ia m α c mv m. (8) Dega mesubsiusia persamaa (7) da (0) e persamaa (), premi dega ali pembayara dalam seahu pada asurasi jiwa berjaga ai dapa diyaaa dega γ β β R j a j Ia α x x a Ia v 4. CONTOH. (9) Perusahaa asurasi jiwa meawara sebuah polis asurasi jiwa berjaga ai epada Pa Budima, seorag aryawa ba swasa, dega uag peragguga sebesar Rp30.000.000,00, iga buga efeif da iga buga dari uag peragguga sebesar 6% dalam jaga wau 0 ahu. Biaya peerbia polis,5% dari uag peragguga awal, biaya pegumpula premi 3% dari premi ahua, biaya pemeliharaa premi pada masa pembayara premi 0,3% da seelah masa JOM FMIPA Volume No. Oober 04 78
pembayara premi 0,5%, masig-masig dari uag peragguga awal. Jia usia Pa Budima adalah 35 ahu da dari Tabel Moralia Idoesia ahu 999, usia masimum uu pria adalah 00 ahu, sera pembayara premi dilaua secara warala aau 4 ali pembayara dalam seahu bila ida igi melaua pembayara ahua, maa dapa dieua premi uggal, premi ahua da premi dega beberapa ali pembayara dalam seahu pada asurasi jiwa berjaga ai dega megguaa huum De Moivre bila: a. masa pembayara premi da jaga wau peraggugaya sama, yaiu 0 ahu, b. masa pembayara premi adalah 5 ahu da jaga wau peraggugaya 0 ahu. Dari asus di aas, dieahui = 35 ahu, = 00 ahu, = 0 ahu, = 6% per ahu = 0,06, ahu,, = 6% = 0,06, = Rp30.000.000,00, = Rp750.000,00, =, = Rp90.000,00, da = Rp75.000,00. a. Jia ahu, maa premi uggal asurasi jiwa berjaga ai yag aa dibayara pa Budima yag berusia 35 ahu pada persamaa () adalah Rp30.000.000,00 0,04,4699 0,06 98,70036590 00 35 seali pembayara. Kemudia, premi ahua asurasi jiwa berjaga ai yag aa dibayara oleh Pa Budima berusia 35 ahu selama 0 ahu pada persamaa (5) adalah Rp90.000,00 { seiap ahu., - Selajuya, premi dega 4 ali pembayara dalam seahu pada asurasi jiwa berjaga ai yag aa dibayara oleh pa Budima berusia 35 ahu selama 0 ahu pada persamaa (9) adalah Rp90.000,00 { } } seiap ahu, seiap 3 bula pembayara selama seahu. b. Jia ahu da ahu, maa premi uggal asurasi jiwa berjaga ai yag aa dibayara pa Budima berusia 35 ahu pada bagia a, adalah. JOM FMIPA Volume No. Oober 04 79
Kemudia, premi ahua asurasi jiwa berjaga ai yag aa dibayara oleh pa Budima berusia 35 ahu dega masa pembayara premi 5 ahu, yag jaga wau peraggugaya 0 ahu pada persamaa (3) adalah Rp90.000,00 Rp75.000,00 * + 608,66309 seiap ahu. Selajuya, premi dega 4 ali pembayara dalam seahu pada asurasi jiwa berjaga ai yag aa dibayara oleh pa Budima berusia 35 ahu dega masa pembayara premi 5 ahu, selama jaga wau peragguga 0 ahu pada persamaa (7) adalah Rp90.000,00 * 863,4994 seiap ahu seiap 3 bula pembayara selama seahu. Uu meghiug besarya premi asurasi jiwa berjaga ai pada usia selajuya, dapa dihiug dega megguaa Microsof Excel, sehigga diperoleh abel perhiuga premi asurasi jiwa berjaga ai. Tabel meampila bila jaga wau peragguga da masa pembayara premiya sama pada cooh bagia a, da Tabel bila jaga wau peragguga da masa pembayara premiya berbeda pada cooh bagia b. Tabel. Premi asurasi jiwa berjaga ai uu masa pembayara premi da jaga wau peragguga sama Usia 35 9.45.65,4 905.33,30 60.355,06 36 9.544.084,43 98.40,3 64.84,55 37 9.666.304,33 93.66,67 69.56,4 38 9.79.466,8 946.48,83 74.387,64 39 9.9.765,77 96.5, 79.469,89 40 0.057.408,03 976.586,38 84.776,89 4 0.96.64,43 99.545,33 90.33,86 4 0.340.6,05.009.37,64 96.7,48 43 0.489.680,53.06.40,77 30.05,96 44 0.644.063,57.044.379,37 308.579,3 45 0.804.060,53.063.5,60 35.69,53 46 0.969.983,3.08.659,5 3.300,83 JOM FMIPA Volume No. Oober 04 80 +
47.4.67,33.03.064,49 39.699,99 48.30.973,80.4.388,7 337.496,65 49.506.79,30.46.695,74 345.73,74 50.700.043,54.70.055, 354.47,89 Tabel. Premi asurasi jiwa berjaga ai uu masa pembayara premi da jaga wau peragguga berbeda Usia 35 9.45.65,4.036.75,66 304.349,8 36 9.544.084,43.050.987,83 309.554,6 37 9.666.304,33.066.5,56 34.97,66 38 9.79.466,8.08.986,40 30.68,5 39 9.9.765,77.098.39,97 36.506,4 40 0.057.408,03.5.78,0 33.65,9 4 0.96.64,43.3.864,73 339.073,46 4 0.340.6,05.5.6,89 345.788,87 43 0.489.680,53.70.04,8 35.89,9 44 0.644.063,57.89.839,43 360.87, 45 0.804.060,53.0.378,99 367.97,58 46 0.969.983,3.3.773,05 376.037,98 47.4.67,33.54.076,06 384.578,6 48.30.973,80.77.347, 393.57,95 49.506.79,30.30.650,94 403.058,4 50.700.043,54.37.057,5 43.075,49 5. KESIMPULAN Pada perhiuga premi asurasi jiwa berjaga ai, usia berbadig lurus dega premi, yaiu semai iggi usia pesera maa semai besar premi yag dibayara. Selai iu, semai iggi periraa usia masimal pesera maa semai ecil premi yag dibayara. Premi ahua asurasi jiwa berjaga ai dega huum De Moivre yag diberia persamaa (3) da (5), lebih redah pembayaraya dibadiga premi dega ali pembayara dalam seahu pada asurasi jiwa berjaga ai dega huum De Moivre pada persamaa (7) da (9) jia dibadiga secara ahua, area perhiuga auias hidup ahua da iga buga efeif lebih iggi dibadiga auias hidup dega ali pembayara dalam seahu da iga buga omialya. Pembayara premi dega ali pembayara dalam seahu ida memberaa euaga pesera asurasi dibadiga premi ahuha maupu premi uggal, amu euuga yag diperoleh pesera asurasi lebih besar pada pembayara premi ahua dibadiga premi dega ali pembayara dalam JOM FMIPA Volume No. Oober 04 8
seahu dari selisih uag peragguga erhadap pembayara premi secara eseluruha. Selai iu, pada perhiuga premi, pembayara premi aa lebih besar jia periode masa pembayara premiya lebih ecil dari jaga wau peraggugaya, dibadiga pembayara premi dega masa pembayara premi da jaga wau peraggugaya yag sama periodeya. DAFTAR PUSTAKA [] Achdija, D. 993. Tei Pegelolaa Asurasi Jiwa. Guadarma, Jaara. [] Bowers, N. L., H. U. Geerber, J. C. Hicma, D. A. Joes & C. J. Nesbi. 997. Acuarial Mahemaics. The Sociey of Acuaries, Schaumburg. [3] Dicso, D. C. M., M. R. Hardy & H. R. Waers. 009. Acuarial Mahemaics for Life Coige Ris. Cambridge Uiversiy Press, Cambridge. [4] Fia, M. B. 03. A Readig of he Theory of Life Coigecy Models: A Preparaio for Exam MLC/3L. Arasas Tech Uiversiy, Arasas. hp://faculy.au.edu/mfia/acuarieshall/mlcboo.pdf, di ases pada Taggal 7 November 03. [5] Fuami, T. 993. Maemaia Asurasi Jiwa, Bagia I. Terj. Dari Seimei Hoe Sugau, Joa ( 9 Revisio), oleh Herliyao, G. Peerbi Icorporaed Foudaio Orieal Life Isurace Culural Developme Ceer, Japa. [6] Fuami, T. 994. Maemaia Asurasi Jiwa, Bagia II. Terj. Dari Seimei Hoe Sugau, Joa ( 9 Revisio), oleh Herliyao, G. Peerbi Icorporaed Foudaio Orieal Life Isurace Culural Developme Ceer, Japa. [7] Kelliso, S. G. 99. The Theory of Ieres Secod Ediio. Irwi Ic., Homewood. JOM FMIPA Volume No. Oober 04 8