Peerapa Metode Bagi-Dua (Bisectio) pada Aalisis Pulag-Pokok (Break Eve) Oleh: Nur Isai Jurusa Pedidika Matematika FMIPA UNY Yogyakarta Email: urisai001@yahoo.com Abstrak Persoala dalam mecari akar persamaa serig dijumpai dalam berbagai masalah-masalah rekayasa yag yata seperti di bidag ekoomi da tekik. Metode umerik petig utuk terapa praktis karea para ilmuwa serigkali meghadapi masalah-masalah yag tidak dapat didekati dega megguaka metode-metode aalitis. Utuk kasus-kasus tersebut adalah cocok utuk megimplemetasika suatu peyelesaia umerik. Salah satu cotoh masalah rekayasa yag yata di bidag ekoomi yag memerluka peyelesaia umerik adalah masalah pulag- pokok. Masalah pulag-pokok diperguaka utuk meetuka titik pada maa dua piliha alteratif setara. Makalah ii megemukaka peyelesaia masalah tersebut dega megguaka salah satu metode umerik atau pedekata hampira yaitu metode bagi-dua. 1. Pedahulua Dalam matematika terapa serig ditemui masalah utuk mecari peyelesaia persamaa yag berbetuk f ( ) 0, dimaa persamaa f () dapat berbetuk sebagai persamaa aljabar, persamaa trasede atau persamaa campura. Nilai-ilai yag memeuhi disebut akar persamaa. Persoala dalam mecari akar persamaa ii serig juga dijumpai dalam berbagai masalah-masalah rekayasa yag yata seperti di bidag ekoomi da tekik. Sebelum ditemukaya komputer digital, terdapat sejumlah cara utuk mecari akar-akar persamaa seperti rumus kuadrat. Utuk beberapa kasus, akarakar dapat diperoleh secara aalitis, yaki peyelesaia yag dihasilka aka memeuhi persamaa semula secara eksak. Namu masih ada bayak lagi yag kelihataya sederhaa seperti f ( ) e tetapi tidak dapat diselesaika secara aalitis. Dalam kasus demikia salah satu alteratif peyelesaiaya adalah dega metode umerik, khususya yag palig tepat metode-metode iterasi umeris. Dega metode umerik peyelesaia yag dihasilka berupa hampira. Metode ii sagat petig dalam terapa praktis karea para ilmuwa serigkali meghadapi masalah-masalah yag aktual da tidak dapat diselesaika secara aalitis.. Metode Bagi-Dua (Bisectio) Salah satu metode umerik sederhaa utuk pecaria akar persamaa yag telah bayak dikeal adalah Metode Bagi-Dua (Bisectio). Metode Bagi-Dua didasarka pada Dipresetasika dalam Semiar Nasioal MIPA 00 dega tema "Peelitia, Pedidika, da Peerapa MIPA serta Peraaya dalam Peigkata Keprofesioala Pedidik da Teaga Kepedidika" yag diseleggaraka oleh Fakultas MIPA UNY, Yogyakarta pada taggal 1 Agustus 00
Nur Isai Teorema Nilai Atara utuk fugsi kotiu [], yaitu bahwa suatu selag [a,b] harus memuat suatu titik ol f (akar persamaa f) bila f (a) da f (b) berlawaa tada, misalya f ( a), f ( b) > 0. Hal ii meyaraka metode pegulaga pembagiduaa selag da dalam setiap lagkah megambil setegah selag yag juga memeuhi persyarata tersebut. Metode Bagi-Dua memerluka dua ilai sebagai tebaka awal, sebut a da b, dimaa a < b, yag harus memeuhi f ( a). f ( b) sehigga selag ( a, b) memuat satu akar riil. Mula-mula ditetuka titik tegah selag ( a,b), sebut titik tegahya c. Diatara dua selag baru yag diperoleh yaki ( a, c) da (c,b), salah satu diataraya pasti memuat akar. Berikutya yag ditijau adalah selag yag memuat akar tersebut. Proses pembagiduaa selag ii diulag da dilajutka sampai lebar yag ditijau cukup kecil atau dega kata lai utuk memperoleh taksira/hampira yag diperhalus. Peetua selag yag megadug akar dilakuka dega memeriksa tada dari hasil kali f ( a). atau. f ( b). < 0, berarti akar pada ( a, c) f ( a). 0, berarti akar c (.1) > 0, berarti akar pada ( c, b) Secara geometri metode ii diilustrasika pada Gambar.1. y f( Gambar.1 Dalam algoritma Metode Bagi-Dua diguaka peubah-peubah: a sebagai ujug kiri selag, b sebagai ujug kaa selag, da c sebagai titik tegah. Dari pejelasa diatas, Algoritma Metode Bagi-Dua dapat dibetuk sebagai berikut. M - 19 Semiar Nasioal MIPA 00
Nur Isai Tabel.1 Algoritma Metode Bagi-Dua Masuka : f (), a, b da epsilo Keluara : akar Lagkah-lagkah : 1. Periksa apakah f ( a). f ( b), jika tidak pilih a da b yag baru sehigga f ( a). f ( b). Hitug c : a + b. i. Jika f ( a). maka b : c, lajutka ke lagkah ii. Jika f ( a). > 0 maka a : c, lajutka ke lagkah ke lagkah iii. Jika f ( a). 0 maka akar persamaa adalah c, hituga selesai. Hitug perkiraa baru dari akar dega c : a + b 5. Jika b a epsilo maka akar : c da hituga selesai. Jika tidak ulagi lagkah. Karea metode ii selalu meghasilka akar maka dikataka bahwa metode ii selalu koverge. Besarya epsilo tergatug pada ketelitia yag diigika, semaki kecil epsilo aka semaki teliti taksira/hampira akar yag diperoleh.. Masalah Pulag-Pokok Praktek rekayasa di bidag ekoomi baik yag mesyaratka bahwa semua proyek, produksi, da perecaaa harus didekati dega cara yag biaya yag efektif. Seorag ilmuwa yag terlatih baik haruslah meguasai aalisa biaya. Masalah ii diamaka masalah pulag-pokok. Masalah ii diperguaka utuk meetuka titik pada maa dua piliha alteratif setara. Piliha-piliha demikia dihadapi dalam semua bidag rekayasa. Walaupu terlihat sederhaa amu aka sagat rumit apabila masalah tersebut tidak dapat diselesaika secara aalitis atau maual. Salah satu alteratif M - 0 Semiar Nasioal MIPA 00
Nur Isai peyelesaia masalah ii adalah dega metode umerik. Berikut salah satu cotoh peerapa Metode Bagi-Dua dalam peyelesaia masalah pulag-pokok. Tabel.1 Biaya da keutuga utuk dua komputer pribadi. Tada egatif meujukka biaya atau kerugia, sedagka tada positif meujukka keutuga. Komputer Petium AMD Biaya pembelia, $ -000-10.000 Bertambahya biaya perawata/th, $/th/th -00-50 Keutuga da keikmata tahua, $/th 1000 000 Asumsi seorag karyawa X sedag mempertimbagka utuk membeli salah satu dari dua komputer pribadi Petium da AMD. Taksira biaya da keutuga utuk tiap komputer ditujukka pada tabel.1. Jika saat ii daa dapat dipijam dega tigkat buga 0% ( i 0,0 ), berapa lama mesi-mesi harus dimiliki sehigga mesimesi tersebut aka mempuyai ilai setara? Dega kata lai, berapa lama titik pulag-pokokya jika diukur dalam tahu? Seperti umumya dalam masalah ekoomi, X mempuyai suatu campura biaya sekarag da medatag. Misalya, pembelia mesi Petium meyagkut pegeluara awal $000. Selai dari biaya pegeluara satu kali ii harus pula dikeluarka uag setiap tahu utuk merawat mesi. Karea biaya yag demikia cederug bertambah seirig dega maki tuaya komputer, maka biaya perawata diaggap bertambah secara liier terhadap waktu. Misalya setelah 10 tahu diperluka $000 tiap tahu utuk mejaga agar mesi dalam kodisi kerja. Akhirya di sampig biaya-biaya tersebut, X aka juga aka mearik mafaat dega memiliki komputer tersebut. Keutuga tahua da keikmata yag diperoleh dari Petium dicirika oleh suatu pedapata tahua sebesar $1000 tiap tahu. Agar dapat mempertimbagka dua piliha ii, biaya-biaya ii harus dikoversi ke ukura yag dapat dibadigka. Satu cara utuk melakuka ii adalah dega megugkapka semua biaya idividual sebagai pembayara tahua yag setara, yaki M - 1 Semiar Nasioal MIPA 00
Nur Isai ilai dollar tahua yag setara selama retag hidup komputer. Keutuga da keikmata tahua sudah dalam betuk ii. Rumus ekoomi tersedia utuk megugkapka biaya-biaya pembelia da perawata dega cara yag serupa. Misalya, biaya pembelia awal dapat ditrasformasika ke dalam seragkaia pembayara tahua seragam dega rumus dimaa i(1 + i) A P (.1) p (1 + i) 1 Ap adalah besarya pembayara tahua (aual paymet), i tigkat buga, da uag sejumlah P P biaya pembelia, bayakya tahu [1]. Yag artiya bahwa X bersedia memijam utuk membeli komputer da setuju utuk megembalikaya dalam pembayara tahua dega suku buga i. Misalya, pembayara awal utuk Petium adalah $-000, dimaa tada egative meujukka kerugia bagi X. Jika tigkat buga adalah 0 perse ( i 0,0 ) maka 0,(1,) A p 000 (.) (1,) 1 Misal jika pembayara awal harus disebar selama 10 tahu ( 10), maka rumus ii dapat dipakai utuk meghitug bahwa pembayara tahua yag setara adalah $- 715,57 tiap tahu. Di bidag ekoomi, pembayara/biaya perawata yag bertambah pada suatu laju kostata G meurut pertambaha waktu diamaka diamaka deret hitug gradie. Koversi deret yag demikia mejadi laju tahua rumus ekoomi A m dapat dilaksaaka dega 1 A m G (.) i (1 + i) 1 dimaa G adalah laju hitug pertambaha perawata [1]. Persamaa (.) metrasformasika biaya perawata yag terus meigkat ke dalam seragkaia pembayara tahua tetap yag setara. Persamaa-persamaa ii dapat digabugka utuk megugkapka ilai tiap komputer dalam betuk seragkaia pembayara yag seragam. Misalya utuk Petium, dari persamaa (.) da (.) diperoleh M - Semiar Nasioal MIPA 00
Nur Isai dimaa A t 0,(1,) 1 A t 000 00 + 1000 1, 1 0, 1, 1 (.) Harga total - biaya pembelia biaya pemeliharaa + keutuga/laba meyataka ilai total tahua. Persamaa ii dapat disederhaaka mejadi 00(1,) 00 A t + (.5) Dega mesubstitusika ke dalam persamaa (.5) aka memberika hasil yag jika X memutuska utuk membuag Petium setelah memilikiya selama haya tahu, maka X aka meghabiska biaya sebesar $1055 tiap tahu. Jika komputer dibuag setelah 10 tahu ( 10), persamaa (.5) memberi idikasi bahwa biayaya aka sebesar $0 tiap tahu. Serupa utuk AMD, berdasar persamaa (.), persamaa utuk ilai tahua dapat dikembagka seperti dalam 000(1,) 50 A t + + 750 (.) Nilai-ilai utuk persamaa (.) utuk da 10 adalah $-58 da $+11 tiap tahu. Jadi walaupu AMD lebih mahal berdasarka jagka pedek, jika dimiliki cukup lama, tidak haya aka lebih hemat biaya tetapi sebearya aka meghasilka uag utuk X. Idetifikasi titik tempat dua komputer mempuyai ilai setara meujukka kapa Petium mejadi piliha yag lebih baik. Secara grafis, titik tersebut berpadaa dega perpotoga dua kurva dalam Gambar.1. 000 $ AMD Ultimate Waktu (th) -000 Gambar.1 M - Semiar Nasioal MIPA 00
Nur Isai Dari sudut matematis, titik pulag-pokok (titik impas break eve) adalah ilai dimaa persamaa (.5) da (.) setara, yaitu 00(1,) 00 000(1,) + 50 + + 750 (.7) Dega membawa semua suku persamaa ii ke satu ruas, persamaa (.7) direduksi mejadi pecaria akar dari 100(1,) 150 f ( ) + 750 (.8) Akar-akar persamaa (.8) tidak dapat ditetuka secara aalitis. Di lai pihak pembayara tahua yag setara mudah dihitug utuk suatu yag diberika. Jadi, masalah ii meciptaka kebutuha utuk pedekata umerik.. Peyelesaia dega Metode Bagi-Dua (Bisectio) Akar-akar persamaa (.8) dapat dihitug dega salah satu metode umerik yag cukup dikeal yaitu Metode Bagi-Dua, yag pedekataya dapat diterapka dega usaha yag miimal. Berdasarka Gambar.1 diketahui bahwa akarya berada atara da 10. Nilai-ilai ii meyediaka ilai-ilai pemulai utuk Metode Bagi- Dua. Ambil a, b 10 da epsilo 0.001. Berdasar (.8) maka Iterasi 1 100(1,) 150. a, f (a) + 750 151, 10 100(1,) 150.10 b 10, f (b) + 750 1791, > 0 10 10 + 10 100(1,) 150. c : + 750 1191,88 > 0 Sehigga, f ( a). ( 151,)(1191,88) Berarti b : c, atau ujug kaa selag digeser mejadi b. a + b + c baru da b a 0,001 M - Semiar Nasioal MIPA 00
Nur Isai Iterasi Iterasi Iterasi 100(1,) 150. a, f (a) + 750 151, 100(1,) 150. b, f (b) + 750 1191,88 > 0 + 100(1,) 150. c : + 750 87,1 > 0 Sehigga, f ( a). ( 151,)(87,1) Berarti b : c, atau ujug kaa selag digeser mejadi b. a + b + c baru da b a 0,001 100(1,) 150. a, f (a) + 750 151, 100(1,) 150. b, f (b) + 750 87,1 > 0 + 100(1,) 150. c : + 750 191, Sehigga, f ( a). ( 151,)( 191,) > 0 Berarti a : c, atau ujug kiri selag digeser mejadi a. a + b + c baru,5 da b a 1 0,001 100(1,) 150. a, f (a) + 750 191, 100(1,) 150. b, f (b) + 750 87,1 > 0,5 + c :,5 750 07,5 0 ( 100(1,) (150)(,5) f c) + >,5, 1, 5 1 Sehigga, f ( a). ( 191,)(07,5) Berarti b : c, atau ujug kaa selag digeser mejadi b,5. M - 5 Semiar Nasioal MIPA 00
Nur Isai a + b +,5 c baru,5 da b a,5 0,5 0,001 Pembagiduaa selag dapat diulag sampai 18 iterasi utuk memberika suatu hasil hampira yag halus/akurat dega epsilo sebesar 0,001. Titik pulag-pokok terjadi pada, tahu. Hasil ii dapat diperiksa dega mesubstitusi kembali ke persamaa (.8) bahwa f (,) 0. Pesubstitusia, ke dalam persamaa (.5) atau persamaa (.) aka memberika hasil bahwa pada titik pulag-pokok kedua komputer tersebut memerluka biaya sekitar $5 tiap tahu. Di luar titik ii AMD mejadi aka lebih hemat biaya. Akibatya jika X bermaksud memiliki mesi komputer selama lebih dari, tahu, maka lebih baik membeli AMD. 5. Kesimpula Metode umerik merupaka salah satu alteratif metode peyelesaia yag berupa hampira da petig dalam terapa praktis dimaa para ilmuwa serigkali meghadapi masalah-masalah yag aktual da tidak dapat diselesaika secara aalitis. Di bidag ekoomi, salah satu peerapa metode umerik ii adalah pada peyelesaia masalah pulag-pokok. Masalah utuk meetuka titik pada maa dua piliha alteratif setara ii sebelumya dikoversi ke suatu ukura yag dapat dibadigka da akhirya masalah tersebut direduksi mejadi masalah pecaria akar persamaa. Dega megguaka salah satu metode yaitu Metode Bagi-Dua, peyelesaia dapat diperoleh dega melalui 18 iterasi. Sehigga dapat disimpulka alteratif piliha maa yag lebih baik diambil. Daftar Pustaka [1] Chapra, S.C ad Caale, R.P. (1991). Metode Numerik Jilid 1. Erlagga. Jakarta [] Hartoo, D. E. Jui. (000). Modul praktikum Komputasi Metode Numerik. Uiversitas Gadjah Mada [] Purcell, E.J ad Varberg, D. (001). Kalkulus Jilid 1. Iteraksa. Batam [] Sulila, I Nyoma. (198). Dasar-Dasar Metode Numerik. Badug. M - Semiar Nasioal MIPA 00