BAB VIII KONSEP DASAR PROBABILITAS

BAB VIII KONSEP DASAR PROBABILITAS 1.1. Pedahulua Dalam pertemua ii Ada aka mempelajari beberapa padaga tetag permutasi da kombiasi, fugsi da metode perhituga probabilitas, da meghitug probabilitas. Pada akhir perkuliaha ii Ada diharapka dapat; (1) Memahami permutasi da kombiasi, (2) Memahami fugsi da metode perhituga probabilitas, (3) Mejelaska arti dari kejadia/peristiwa da otasi himpua, (4) Meghitug probabilitas. Dari beberapa padaga ii aka membatu ada dalam megikuti perkuliaha berikutya tetag distribus probabilitas. 1.2. Peyajia Sebelum mempelajari kosep dasar probabilitas, kita pelajari dulu aalisis kombiatorial yag aka sagat membatu da bayak diguaka dalam kosep dasar probabilitas, yaitu aalisis bilaga faktorial, permutasi, da kombiasi. 1. Bilaga Faktorial Bila bilaga bulat positif, maka bilaga faktorial ditulis dega! da didefiisika sebagai: Rumus 9.1! ( 1)( 2)...321 0! 1 da 1! 1 Cotoh 9.1 3! = 3.(3-1)(3-2) = 3.2.1 = 6 5! = 5.(5-1)(5-2)(5-3)(5-4) = 5.4.3.2.1 = 120 6! = 6.(6-1)! = 6.120 = 720 Cotoh 9.2 Pembagia bilaga faktorial dega bilaga faktorial dilakuka dega cara meyederhaaka pembilag da peyebut, yaitu: Baha Ajar Statistik Tekik 2008 8-1

7! 7.6.5.4.3.2.1 1. 7.6 42 5! 5.4.3.2.1 17! 17.16.15! 2. 17.16 272 15! 15! Terlihat bahwa semaki besar bilaga, maka bilaga faktorial! membesar dega cepat. 2. Permutasi Padaglah himpua {a,b,c} yag mempuyai tiga aggota, yaitu a,b,da c! Oleh karea bayakya aggota himpua tersebut =3, maka kita dapat megambil seluruhya atau sebagia dari aggota himpua tersebut. Katakalah kita ambil seluruhya r = 3, kita ambil dua r = 2, kita ambil satu r = 1, atau tidak diambil r = 0. Dari aggota-aggota yag diambil itu kemudia kita buat suatu susua atau ragkaia dega memberi arti pada uruta letak aggota pada susua tersebut. Dega demikia, kita peroleh jeis-jeis susua yag ditetuka oleh uruta letak aggota himpua tersebut pada setiap susua. Bila diambil 1 aggota, r = 1, tetu susua itu ada tiga, yaitu: a b c Bila diambil 2 aggota, r = 2, kita peroleh susua yag terdiri atas dua aggota, yaitu: ab ac bc ba ca cb Kita peroleh sebayak 6 susua. Jeis susua ab berbeda dega jeis susua ba, ab ba, sebab letak a pada susua pertama berbeda artiya dega letak a pada susua kedua, yaitu a terletak pada uruta pertama dari susu ab da a terletak pada uruta kedua dari susua ba. Begitu juga ac berbeda dega susua ca, da susua bc berbeda dega susua cb. Dega demikia, keeam susua itu berbeda satu sama lai. Baha Ajar Statistik Tekik 2008 8-2

yaitu: Bila diambil 3 aggota, r = 3, kita peroleh susua yag terdiri atas 3 aggota, abc bac cab acb bca cba Kita peroleh sebayak 6 susua. Susua-susua yag dibetuk dari aggota-aggota suatu himpua dega megambil seluruh atau sebagia aggota himpua da memberi arti pada uruta aggota dari masig-masig susua tersebut disebut permutasi yag ditulis P. Bila himpua itu terdiri atas aggota da diambil sebayak r, tetu saja r <, maka bayakya susua yag dapat dibuat dega permutasi tersebut adalah: Cotoh 9.3 Rumus 9.2 P r! ( r)! 1. Bila =4 da r = 2 4! 4! 4.3.2.1 Maka 4 P2 12 (4 2)! 2! 2.1 2. Bila =5 da r = 3 5! 5! 5.4.3.2.1 Maka 5 P3 60 (5 3)! 2! 2.1 3. Bila = 7 da r = 7 7! 7! 7! Maka 7 P7 5. 040 (7 7)! 0! 1 Cotoh 9.4 Perhatika himpua {a,b,c}, di maa = 3. 1. Bila diambil 1, r = 1, maka bayakya susua yag diperoleh adalah Baha Ajar Statistik Tekik 2008 8-3

3! 3! (3 1)! 2! 3 P1 3 susua Tiga susua itu adalah a b c (lihat uraia di atas). 2. Bila diambil r = 2, maka bayakya susua yag diperoleh adalah 3! 3! 3.2 (3 2)! 1! 1 3 P2 6 susua (Keeam jeis susua dapat dilihat pada uraia di atas). 3. Bila diambil r = 3, maka bayakya susua yag diperoleh adalah 3! 3! 3.2.1 (3 3)! 0! 1 3 P3 6 susua Keeam jeis susua dapat dilihat pada uraia di atas. Cotoh 9.5 Bila suatu himpua terdiri atas aggota da diambil sebayak, semuaya dipermutasika, maka bayakya susua yag diperoleh adalah; P! ( )!!! 0! 3. Beberapa Jeis Permutasi a. Permutasi Meligkar (Kelilig) Permutasi meligkar adalah suatu permutasi yag dibuat dega meyusu aggota-aggota suatu himpua secara meligkar. Bayakya permutasi dari aggota yag disusu secara meligkar sebagai berikut. Rumus 9.3 Bayakya permutasi = ( 1)! b. Permutasi dari Sebagia Aggota yag Sama Jeisya Bila kita mempuyai himpua yag terdiri atas aggota, maka ada kemugkia sebagia dari aggotaya mempuyai jeis yag sama. Katakalah jeis 1 terdiri atas, yag sama, jeis 2 terdiri atas 2 yag sama, jeis 3 terdiri Baha Ajar Statistik Tekik 2008 8-4

atas 3 yag sama,..., jeis k terdiri atas k yag sama, maka bayakya permutasi yag dapat dibuat adalah: Rumus 9.4! 1, 2, 3,..., 1!. 2!. 3!... k! di maa 1 + 2 + 3 +... + k = Cotoh 9.6 Berapa bayak susua yag dapat dibuat dari kalimat "AKU SUKA KAMU"? Jawab: Semuaya ada = 11 huruf, yag terdiri atas: jeis 1, huruf A, yag bayakya adalah 1 = 3 jeis 2, huruf K, yag bayakya adalah 2 = 3 jeis 3, huruf U, yag bayakya adalah 3 = 3 jeis 4, huruf S, yag bayakya adalah 4 = 1 jeis 5, huruf M, yag bayakya adalah 5 = 1 Jadi, bayakya permutasi yag dapat dibuat adalah: 11 11! 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1. 3,3,3,1,1 3!3!3!1!1! 3.2.1.3.2.1.3.2.1.1.1 11.10.9.8.7.6.5.4 184.800 3.2.3.2 4. Kombiasi Padaglah kembali himpua {a,b,c}!. Dega permutasi kita peroleh susua yag terdiri atas dua aggota, yaitu: ab ba ac ca bc cb Dalam permutasi uruta aggota pada susua itu mempuyai arti, sehigga: ab ba, ac ca, da be cb Baha Ajar Statistik Tekik 2008 8-5

Bila sekarag uruta aggota pada susua itu tidak mempuyai arti atau tidak diperhatika, maka susuaya: ab = ba, ac = ca, da bc = cb Dega demikia, bayakya susua yag diperoleh mejadi 3. Dega cara ii kita peroleh defiisi kombiasi, yaitu sebagai berikut. Rumus 9.5 C r r! r!( r)! Cotoh 9.7 6 6! 6! 6.5.4! 1. 6 C2 15 2 2!(6 2)! 2!.4! 2.1.4! 6 6! 6! 6.5.4! 2. 6 C4 15 4 4!(6 4)! 4!.2! 4!.2.1 10 10! 10! 10.9.8.7! 3. 10 C3 120 3 3!(10 3)! 3!.7! 3.2.1.7! Cotoh 9.8 Bila dari (a, b, c, d) diambil 3 obyek, maka bayakya permutasi da kombiasi yag diperoleh ialah: Kombias i abc abd acd bcd abc abd acd bcd acb adb adc bdc Permutasi bac bad cad cbd 4 4x6 = 24 Bayakya: 4! 4! Permutasi 4 P3 4.3.2.1 24 (4 3)! 1! bca bda cda cdb cab dab dac dbc cba dba dca dcb Baha Ajar Statistik Tekik 2008 8-6

4 4! 4.3! Kombiasi 4 C3 4 3 3!(4 3)! 3!.1! Cotoh 9.9 Ada 4 orag berama A, B, C, da D. Bila dipilih 2 orag, ada berapa bayak piliha yag diperoleh? jawab: 4 4! 4! Bayakya piliha = 4 C 2 6, yaitu AB, AC, AD, BC, BD, 2 2!(4 2)! 2!.2! CD. Cotoh 9.10 Bila dalam suatu kelompok terdapat 4 kimiawa da 3 fisikawa, buatlah paitia 3 orag yag terdiri atas 2 kimiawa da 1 orag fisikawa! jawab: Misalka, kimiawa = {K 1, K 2, K 3, K 4 }, fisikawa = {F 1, F 2, F 3 } 4 4! 4! 2 kimiawa dipilih dari 4 kimiawa = 4 C2 6 2 2!(4 2)! 2!.2! 3 3! 3! 1 fisikawa dipilih dari 3 fisikawa = 3C1 3 1 1!(3 1)! 1!.2! Bayakya seluruh cara utuk membuat paitia tersebut adalah 6 x 3 = 18 cara atau 18 jeis paitia. Kosep Dasar Probabilitas 1. Pegatar Meuju Pemahama Kosep Probabilitas Bayak kejadia dalam kehidupa sehari-hari yag sulit diketahui dega pasti, apalagi kejadia di masa yag aka datag, misalya sebagai berikut. 1. Apakah ati malam aka datag huja? 2. Apakah Pesawat Garuda aka beragkat tepat waktu? Baha Ajar Statistik Tekik 2008 8-7

3. Apakah tahu depa harga miyak metah di pasara duia aka aik? Begitu juga dalam percobaa statistika, kita tidak bisa megetahui dega pasti hasil-hasil yag aka mucul, misalya: 1. pada pelempara sebuah uag logam, kita tidak tahu dega pasti hasilya, apakah yag aka mucul sisi muka atau sisi belakag dari uag logam itu; 2. pada pelempara sebuah dadu, kita tidak tahu dega pasti hasilya, apakah yag aka mucul muka dadu 1, 2, 3, 4, 5 atau 6; da 3. pada pearika sebuah kartu bridge dalam kotak yag berisi 52 kartu, kita juga tidak tahu dega pasti, apakah yag aka mucul kartu as, kig, atau yag lai? Derajat/tigkat kepastia atau keyakia dari muculya hasil percobaa statistik disebut probabilitas atau peluag. Suatu probabilitas dilambagka dega P. 2. Perumusa Probabilitas Perumusa kosep dasar probabilitas dilakuka dega dua cara, yaitu dega cara klasik da cara frekuesi relatif. Bila kejadia-kejadia pada cotoh di atas kita lambagka dega huruf besar E, maka kita dapat merumuska probabilitas kejadia E, yaitu P(E). a. Perumusa Klasik Bila kejadia E terjadi dalam m cara dari seluruh cara yag mugki terjadi da masig-masig cara itu mempuyai kesempata atau kemugkia yag sama utuk mucul, maka probabilitas kejadia E yag ditulis P(E) dirumuska sebagai berikut. Rumus 9.6 P( E) m Cotoh 9.11 Sebuah uag logam dilemparka. Misalka sisi pertama kita sebut muka = m, da sisi kedua kita sebut belakag = b. Maka ada dua kejadia yag mugki, yaitu kejadia Baha Ajar Statistik Tekik 2008 8-8

muculya muka m kita sebut E = {m) atau kejadia muculya belakag b kita sebut E = {b}. Oleh karea sisi uag logam terdiri atas dua sisi ( = 2) da kedua sisi itu mempuyai kesempata yag sama utuk mucul, maka probabilitas muculya kejadia E = {m} atau E= {b} adalah: m P( E) P[{ m}] 1 2 atau b P( E) P[{ b}] 1 2 Lebih sigkat ditulis P(E) = P(m) = 2 1 da P(E) = P(b) = 2 1 Cotoh 9.12 Sebuah dadu dilemparka. Muka dadu ada 6, yaitu: 1,2,3,4,5,6. Semua muka dadu mempuyai kesempata yag sama utuk mucul. Yag aka mucul salah satu dari muka-muka dadu itu (m = 1) yaitu muka 1, muka 2, muka 3, muka 4, muka 5, atau muka 6. Kita misalka: E = {1} bila mucul muka 1 E = {2} bila mucul muka 2 E = {3} bila mucul muka 3, da seterusya. Maka probabilitas kejadia E adalah: P(E) = P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = Cotoh 9.13 Hituglah probabilitas memperoleh kartu hati bila sebuah kartu diambil secara acak dari seperagkat kartu bridge yag legkap. Jawab: Jumlah seluruh kartu; = 52 Jumlah kartu hati; m = 13 Misalka E = kejadia muculya kartu hati. Semua kartu h mempuyai kemugkia yag sama utuk mucul, maka: 1 6 Baha Ajar Statistik Tekik 2008 8-9 m

m P( E) 13 52 b. Perumusa dega Frekuesi Relatif Jika kejadia E terjadi bayak f kali dari keseluruha pegamata sebayak, di maa meedekati tak berhigga ( maka probabilitas kejadia E -rumuska sebagai: Rumus 9.7 P( E) Lim f Cotoh 9.14 Pada suatu percobaa statistik, yaitu pelempara sebuah dadu y diulag sebayak = 1.000 kali, frekuesi muculya muka dadu adalah seperti pada Tabel 9.1 berikut ii. Tabel 9.1 Muka dadu (X) 1 2 3 4 5 6 Frekuesi (f) 164 165 169 169 166 167 Bila E meyataka kejadia muculya muka-muka dadu tersebut, maka E = (1), (2), (3), (4), (5), atau (6), sehigga probabilitas kejadia E utuk masig-masig kemugkia muculya muka dadu tersebut adalah: 164 165 P( E) P(1), P( E) P(2), P( E) P(3) 1000 1000 169 166 P( E) P(4), P( E) P(5), P( E) P(6) 1000 1000 pada S, yaitu Sifat-Sifat Probabilitas Kejadia A 169, 1000 167 1000 Dega pegetahua kejadia A, ruag sampel S, da peluag kejadia A Sifat 1 0 < P(A) < 1 ( A) m P( A), maka dapat diselidiki sifat- Sifat dari P(A). ( S) A merupaka himpua bagia dari S, yaitu A S, maka bayakya Baha Ajar Statistik Tekik 2008 8-10

aggota A selalu lebih sedikit dari bayakya aggota S, yaitu (A) (S), sehigga 0 < ( A) ( S) < 1 atau 0 < P(A) < 1, (1) Sifat 2 Dalam hal A =, himpua kosog, artiya A tidak terjadi pada S, maka (A) = 0, sehigga ( A) 0 P( A) 0 ( S) Sifat 3 Dalam hal A = S, maksimum bayakya aggota A sama dega bayakya aggota S, maka (A) = (S) =, sehigga ( A) P( A) 1 ( S) Bila hasil (1), (2), da (3) digabug maka diperoleh sifat: 1.3 Peutup 0 < P(A) < 1 Berdasarka uraia di atas dapat diambil suatu kesimpula bahwa utuk megetahui probabilitas suatu peristiwa maka perlu dipahami dega baik tetag aalisis bilaga faktorial, permutasi, da kombiasi. Dega mempelajari kosep probabilitas maka kita dega mudah megetahui ataupu meghitug peluag dari suatu kejadia Soal Latiha 1. Hituglah a. P b. P C. P 10 3 20 15 30 1 2. Hituglah 10 a. 3 20 b. 15 25 C. 5 Baha Ajar Statistik Tekik 2008 8-11

3. Utuk ilai berapa berlaku persamaa-persamaa berkikut; 1 a. 1P3 P4 b. 3 7 3 2 4. Ada beberapa bayak cara 6 orag dapat diduduka pada sebuah sofa jika yag tersedia haya 4 tempat duduk? Ada berapa bayak cara 7 buku dapat disusu pada rak jika: a. sembarag susua dimugkika; b. 3 buku tertetu harus selalu berdiri berdampiga; c. 2 buku tertetu harus meempati Ujug-Ujug? 5. Empat jeis buku matematika, 6 buku fisika, da 2 buku kimia harus disusu di rak buku. Ada berapa bayak peyusua yag berbeda-beda yag mugki terjadi jika: a. buku-buku pada tiap jeis harus semuaya berdiri berkumpul; b. haya buku matematika yag berdiri berkumpul? 6. Ada berapa bayak cara utuk 3 pria, 5 waita, 4 pemuda, da 4 gadis dapat dipilih dari 7 pria, 9 waita, 5 pemuda, da 5 gadis jika: a. semua orag bebas dipilih pada masig-masig kelompok; b. seorag pria da waita tertetu harus terpilih; c. seorag pria, 1 orag waita, 1 orag pemuda, da 1 orag gadis tidak boleh dipilih? 7. Ada suatu kelompok yag terdiri atas 12 orag. Ada berapa bayak cara utuk membagi kelompok orag itu: a. bila kelompok itu dibagi mejadi dua kelompok yag terdiri atas 8 orag da 4 orag; b. bila kelompok itu dibagi mejadi tiga kelompok yag terdiri atas 5, 4, da 2 orag? Baha Ajar Statistik Tekik 2008 8-12

8. Perusahaa Garuda mempuyai suatu jeis kedaraa yag berisi 6 tempat duduk (3 meghadap ke muka da 3 meghadap ke belakag). a. Dega berapa cara 6 karyawa yag dijemput dapat meempati tempat duduk yag tersedia? b. Bila ada 2 karyawa yag tidak mau duduk meghadap ke belakag, ada berapa cara 6 karyawa itu meempati tempat duduk yag tersedia? Baha Ajar Statistik Tekik 2008 8-13