REGRESI LINIER DAN KORELASI Variabel dibedaka dalam dua jeis dalam aalisis regresi: Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yag mudah didapat atau tersedia. Dapat diyataka dega X 1, X,, X k Dega k 1 Variabel tak bebas atau variabel respo -> variabel yag terjadi karea variabel bebas. Dapat diyataka dega Y. Cotoh: feomea yag meliputi hasil pae padi dega volume pupuk yag diguaka, sebaikya diambil variabel bebas X = volume pupuk da variabel takbebas Y = hasil pae padi. Persamaa regresi secara umum: μ y,x1,x,..,x k = f X 1, X,, X k θ 1, θ,, θ m Dega θ 1, θ,, θ m parameter-parameter yag ada dalam regresi itu. Jeis-jeis regresi adalah 1. Regresi liier: regresi liier sederhaa da regresi liier bergada. Regresi o liier: regresi ekspoesial, regresi parabola kuadratik, regresi parabola kubik, regresi logistik, regresi geometrik 1. Regresi Liier A. Regresi Liier Sederhaa Merupaka regresi dega satu variabel bebas, regresi dega variabel bebas X da variabel takbebasya Y atau diamaka juga regresi Y atas X, betuk persamaaya: μ y.x = θ 1 + θ X Regresi liear sederhaa berdasarka sampel, maka θ 1 ditaksir dega a da θ ditaksir dega b diperoleh: Y = a + bx Cara peetua ilai a da b dapat dilakuka dega dua cara: 1. Metode taga bebas Metode Taga Bebas adalah metode peetua persamaa regresi kira-kira megguaka diagram pecar. Jika feomea meliputi sebuah variabel bebas X da variabel tak bebas Y, maka data yag didapat digambarka pada diagram dega sumbu datar meyataka X da sumbu tegak meyataka Y.
Jika letak titik-titik sekitar garis lurus maka utuk meetuka persamaa regresiya, dapat dicari dega megguaka dua titik yag dilalui garis tersebut, kemudia dicari persamaa garisya, yaitu jika garis melewati titik-titik x 1, y 1 da x, y maka: y y 1 y y 1 = x x 1 x x 1 Peetua regresi dega cara ii bersifat tidak tuggal, artiya tiap orag aka memberika perkiraa yag berbeda bergatug pada pertimbaga pribadi masig-masig.. Metode kuadrat terkecil Seperti dikataka sebelumya regresi dega variabel bebas X da variabel takbebas Y dimaa model regresi liier utuk populasi yaitu μ y.x = θ 1 + θ X aka ditaksir harga-harga θ 1 da θ oleh a da b sehigga didapat persamaa regresi megguaka data sampel: Dega Y = a + bx a = Y i Y i b = Y i Y i Dimaa adalah jumlah sampel, adalah data variabel bebas ke i da Y i adalah data variabel takbebas ke i. Jika terlebih dahulu dihitug koefisie b, maka koefisie a dapat pula ditetuka oleh rumus: a = Y bx dimaa X da Y adalah rata-rata utuk masig-masig variabel X da Y. Koefisie b diamaka koefisie arah regresi liier da meyataka perubaha rata-rata variabel Y utuk setiap perubaha variabel X sebesar satu uit. Perubaha ii merupaka pertambaha jika b bertada positif da peurua atau peguraga jika bertada egatif.
Belaja (Y) Cotoh: Data berikut melukiska hasil pegamata megeai bayak orag yag datag (X) da bayak orag yag berbelaja (Y) di sebuah toko selama hari. Daftar.1 Bayak Pegujug da yag Berbelaja Di Sebuah Toko Selama Hari Pegujug Berbelaja Pegujug Berbelaja 38 39 3 4 4 Y i 3 31 38 9 3 31 31 4 41 3 39 38 Y i 38 3 3 3 3 39 31 9 y = 0.68x + 8.43 R² = 0.767 45 Pegujug (X) Gambar.1
Jawab: 38 39 3 4 4 Y i Y i Y i Y i 3 1088 1156 4 38 1596 1764 18 1444 41 1517 1681 31 1054 1156 3 960 104 38 150 1600 100 1156 9 870 900 1080 196 10 1600 11 19 1 1600 3 115 196 100 1156 158 19 3 110 15 39 15 151 14 151 14 1600 31 103 1089 3 1056 1089 31 99 104 3 1088 1156 151 1764 14 196 1480 1600 3 1184 19 1470 1764 38 19 1444 Setelah dijumlahka didapat: = 1105, Y i = 1001, Y i = 094 da = 4109 Maka diperoleh: a = 1001 4109 1105 094 4109 1105 = 8,4 b = Sehigga persamaa liier Y atas X adalah 094 1105 1001 4109 1105 = 0,681 Y = 8,4 + 0,681X Artiya utuk setiap X bertambah dega seorag maka rata-rata pembeli Y bertambah dega 0,68 orag. Berbagai Varias Sehubuga Dega Regresi Liear Sederhaa Utuk aalisis selajutya tetag regresi liier sederhaa, beberapa asumsi harus diambil. Pertama, megigat hasil pegamata variabel takbebas Y belum tetu sama besarya dega harga diharapka, yaki Y yag didapat dari regresi hasil pegamata, maka terjadi perbedaa e = Y Y, biasa disebut kekelirua prediksi atau galat prediksi. Dalam populasi, galat prediksi ii dimisalka berbetuk variabel acak yag megikuti distribusi ormal dega rata-rata ol da varias σ ε.
Kedua, utuk setiap harga X yag diberika, variabel tak bebas Y idepede da berdistribusi ormal dega rata-rata θ 1 + θ X da varias σ Y.X. Varias σ Y.X dimisalka sama utuk setiap X da kareaya dapat diyataka oleh σ ε yag biasa pula diamaka varias kekelirua taksira sedagka σ y.x dikeal dega kekelirua baku taksira. Berpegag kedua asumsi di atas, maka varias σ ε ditaksir oleh rata-rata kuadrat peyimpaga sekitar regresi atau disebut juga rata-rata kuadrat residu, diyataka oleh varias s e yaitu s Y.X = s e = Y i Y i Dega Y = variabel tak bebas hasil pegamata da Y = didapat dari regresi berdasarka sampel, da = ukura sampel. Dapat ditulis juga s Y.X = 1 s Y b s X Dega s Y da s X masig-masig meyataka varias utuk variabel-variabel Y da X. Varias koefisie b: s b = s Y.X X Varias koefisie a: s a = s 1 Y.X + X X Varias ramala rata-rata Y utuk X 0 yag diketahui: s Y = s 1 Y.X + X 0 X X Varias ramala idividu Y utuk X 0 yag diketahui s Y = s Y.X 1 + 1 + X 0 X X Utuk rumus-rumus di atas X dapat digati oleh x i
Cotoh: Utuk dega data dalam daftar.1, kita dapat meghitug varias-varias di atas. Kita perlu X =,8; s x = 11,3; s y = 6,86 da X = 38,, diperoleh b = 0,68 da = didapat Varias ramala rata-rata Y utuk X 0 = adalah s Y.X = 1 6,86 0,68 11,3 = 1,684 s b = 1,684 = 5,13 10 3 38, s a = 1,684 1 +,8 38, = 7,005 s Y = 1,684 1,8 + 38, = 0,1087 Varias ramala idividu Y utuk X 0 = adalah s Y = 1,684 1 + 1,8 + 38, = 1,797 Korelasi Koefisie korelasi (r): ukura hubuga liier peubah X da Y Nilai r berkisar atara -1 da 1. r = 1 Hubuga liier sempura tak lagsug. Titik-titik yag ditetuka oleh, Y i seluruhya terletak pada garis regresi da harga X besar berpasaga dega Y kecil da X kecil berpasaga dega Y besar r = +1 Hubuga liier sempura lagsug. Titik-titik yag ditetuka oleh, Y i seluruhya terletak pada garis regresi da harga X besar berpasaga dega Y besar da X kecil berpasaga dega Y kecil r < 1 Korelasi tak lagsug atau korelasi egatif r > 1 Korelasi lagsug atau korelasi positif r = 0 Tidak terdapat hubuga liier atara variabel X da Y Utuk keperlua perhituga koefisie korelasi r berdasarka sekumpula data, Y i berukura dapat diguaka rumus: r = Y i Y i Y i Y i
Betuk lai dapat pula diguaka: r = 1 s y.x s y dega s y.x = kekelirua baku taksira da s y = simpaga baku utuk variabel Y. Jika persamaa regresi liier Y atas X telah ditetuka da sudah didapat koefisie arah,b, maka koefisie determiasi, r, dapat ditetuka oleh rumus: atau dapat juga megguaka formula: r = b Y i Y i Y i Y i r = bs x s y dega s x simpaga baku utuk variabel X da s y simpaga baku utuk variabel Y. Jika b 1 adalah koefisie arah regresi Y atas X da b adalah koefisie arah regresi X atas Y utuk data yag sama, maka r = b 1 b Rumus ii meyataka bahwa koefisie korelasi r adalah rata-rata ukur daripada koefisie-koefisie arah b 1 da b. Cotoh: Utuk dega data dalam daftar.1, utuk meetuka korelasi diperlu X =,8; s x = 11,3; s y = 6,86 da X = 38,, diperoleh b = 0,68 da = didapat r = 0.68 11.3 6.86 = 0.87 B. Regresi Liier Bergada Bayak data pegamata yag terjadi sebagai akibat lebih dari dua variabel. Misalya, rata-rata pertambaha berat dagig sapi (Y) bergatug pada berat permulaa X 1, umur sapi ketika pegamata dimulai dilakuka X, berat makaa yag diberika setiap hari X 3 da mugki masih ada faktor lai.
Aka ditetuka hubuga atara Y da X 1, X,, X k sehigga didapat regresi Y atas X 1, X,, X k. Yag aka ditijau di sii hayalah garis regresi sederhaa ialah yag dikeal dega regresi liier gada. Model tersebut ditaksir oleh: Y = a 0 + a 1 X 1 + a X + + +a k X k Koefisie-koefisie a 0, a 1,, a k ditetuka dega megguaka metode kuadrat terkecil. Utuk regresi liier gada dua variabel bebas: Y = a 0 + a 1 X 1 + a X maka utuk megetahui koefisie-koefisieya harus meyelesaika persamaa-persamaa berikut: Y i = a 0 + a 1 X 1 i + a X i Y i X 1 i = a 0 X 1 i + a 1 X 1 i + a X 1 i persamaa (*) Y i X i = a 0 X i + a 1 X 1 i + a X i a 0 = Y a 1 X 1 a X a 1 = a = x 1 i x 1i y i x 1 i x i x i y i x 1 i x i x 1i x i x 1 i x i y i x 1 i x i x 1i y i x 1 i x i x 1i x i Koefisie a 1 merupaka perubaha rata-rata Y uutuk setiap perubaha satua dalam variabel X 1 apabila X, X 3,, X k semua diaggap tetap, begitu juga a merupaka perubaha rata-rata Y uutuk setiap perubaha satua dalam variabel X apabila X 1, X 3,, X k semua diaggap tetap da begitu seterusya. Jelas bahwa di sii setiap koefisie haya memberika gambara parsial apa yag terjadi pada Y utuk perubaha X yag berhubuga dega koefisie dimaksud. Kareaya, koefisiekoevisie a 1, a,, a k disebut pula koefisie regresi parsil. Utuk regresi liier gada variabel, maka ukura kekelirua yag diguaka adalah: s y.1,,,k = Y i Y i k 1 dimaa Y i = ilai data hasil pegamata da Y i = ilai harapa yag didapat dari persamaa regresi. Korelasi Liier Bergada Koefisie Determiasi Sampel utuk Regresi Liier Bergada diberi otasi sebagai berikut R y.1
Sedagka Koefisie korelasi adalah akar positif koefisie determiasi atau r y.1 = R y.1 Rumus: Keteraga: JKG: Jumlah Kuadrat Galat s y : Jumlah Kuadrat y (terkoreksi) Dimaa: (sumber: thomasyuiguarto) R y.1 = 1 JKG 1 s y s y = y y 1 JKG = y a 0 y a 1 x 1 y a x y Berikut adalah data Volume Pejuala (juta uit) Mobil dihubugka dega variable biaya promosi (X 1 dalam juta rupiah/tahu) da variable biaya peambaha asesoris (X dalam ratusa ribu rupiah/uit) x 1 x y x 1 x x 1 y x y x 1 x y 3 4 6 8 1 4 9 16 3 4 5 1 15 0 9 16 5 5 6 8 48 5 64 6 8 10 48 60 80 64 100 7 9 11 63 77 99 49 81 11 8 10 1 80 96 10 64 100 144 x 1 x y x 1 x x 1 y x y = 31 = = 50 = 39 = 96 = 9 Tetapka persamaa regresi liier bergada: a 0 + a 1 X 1 + a X Substitusi kedalam persamaa: (i) 6a 0 + 31a 1 + a = 50 (ii) 31a 0 + 187a 1 + 39a = 96 (iii) a 0 + 39a 1 + 6a = 9 Guaka elimiasi da substitusi utuk medapatka ilai a 0, a 1, a yaitu: x 1 = 187 x = 6 y = 470
Sehigga diperoleh: a 0 = 3 4, a 1 = 1, a 3 = 3 4 Maka betuk regresi liier bergada: Y = 3 4 + 1 X 1 + 3 4 X Koefisie korelasi adalah s y = 6 470 50 6 5 = 10.667 JKG = 470 0.75 50 0.5 96 0.75 9 = 0.5 R y.1 = 1 0.5 5 10.667 = 0.99. Regresi No Liier 1. Parabola kuadratik: Y = a + bx + cx Dega megguaka metode kuadrat terkecil, maka a, b, da c dapat dihitug dari sistem persamaa: Y i = a + b + c Y i = a + b + c 3 Y i = a + b 3 + c 4. Parabolik kubik: Y = a + bx + cx + dx 3 Utuk meetuka ilai a, b, c, da d guaka sistem persamaa berikut: Y i = a + b + c + d 3 Y i = a + b + c 3 + d 4 Y i = a + b 3 + c 4 + d 5 3 Y i = a 3 + b 4 + c 5 + d 6 3. Ekspoe : Y = ab X Besar ilai a da b ditetuka megguaka persamaa: log a = log Y i log b log b = log Y i log Y i X i X i 4. Geometrik: Y = ax b Besar ilai a da b ditetuka megguaka persamaa:
5. Logistik: Y = 1 ab X +c log a = log Y i b log b = log log Y i log log Y i log log log a = log 1 Y i log b log 1 X Y i log 1 log b = i Y i X i X i 6. Hiperbola: Y = 1 a+bx Jika Y tidak ada yag berilai ol, maka a da b adalah 1 X Y 1 i a = i Y i X i X i b = 1 Y i 1 Y i