Kaeda Runge-Kutta Bab 5
D ar bab n anda sepatutna: Bole menjelasan gambaran vsual aeda Euler Heun dan tt tenga Faam ubungan antara aeda Euler dan sr Talor dan ralat ang beratan Dapat membezaan ralat (local & global truncaton errors Tau bentu umum aeda Runge_Kutta; aam terbtan perngat edua aeda RK dan bagamana a datan dengan sr Talor dan aam terdapat pelbaga vers aeda RK perngat edua dan leb tngg
D ar bab n amu sepatutna: Tau bagamana untu menggunaan manamana aeda RK e dalam persamaan sstem; bole mengurangan perngat e-n ODE e dalam n sstem ODE perngat pertama.
Kaeda Runge-Kutta Untu menelesaan persamaan pembezaan basa (ODE dalam bentu: d dx d ( x dx x ( Untu mendapatan nla ang baru : anggaran cerun (5.
Raja 5.
Kaeda Euler
Darpada raja nla cerun pada x ( x d mana ( x merupaan persamaan pembezaan pada x dan. Masuan e dalam persamaan (5.: ( x (5. denal sebag aeda Euler atau Euler-Cauc
Dengan ralat ( atau! '( cuup ecl Ja (...! '( O E x E O x E a a n t (5.7 (5.8 (5.9
Conto ngat!penelesaan sebenar: =-0.5x4+4x3-0x+8.5x+ Gunaan aeda Euler untu mengamran secara beranga ungs berut dar x =0 ngga x = 4 dengan saz langa 0.5. d x 3 x 0x 8.5 dx Keadaan awal pada x = 0 adala =.
Penelesaan (0.5 d ( mana (0 (0.5 (0 (0 (00.5 (0 8.5(0.5 Untu langa edua: (0 (0.5 5.5 5.875 dan anggaran cerun pada 3 (0.5 0(0 5.5 (0.55.50.5 3 (0.5 8.5 0(0.5 8.5 x *nla sebenar (0.5=3.875 dengan ralat -.035(-63.% 0 : 8.5 0.5
Raja 5.3
Mengganggar ralat Kaeda Euler menggunaan sr Talor
Conto Gunaan persamaan (5.7 untu menganggar ralat pada persamaan d dalam conto sebelum n seterusna tentuan ralat ang dsebaban ole sr talor perngat tngg
Penelesaan( Ole erana ungs adala dalam bentu polnomal sr Talor bole dgunaan untu menentuan ralat menggunaan aeda Euler. Menggunaan persamaan (5.7 E t '( x! '( x 3! 3 '( x 4! 4
Penelesaan( '( x (3 ( x Maa 6x ralat x pada 4 0 perngat : 6(0 4(0 0 Et (0.5.5 peratan nla (0 4 3 E 3 (0.5 0.5 ralat ang ddapat t 6 adala tepat untu langa pertama 4 Et4 (0.5 0.035 4 E E E E.5 0.5 0.035.035 t ''( x t t3 4x t4 *peratan bagamana sr Talor dapat menganggaran ralat bag aeda Euler
Kesan pada pengurangan saz langa pada aeda Euler Gunaan aeda Euler untu mengamran secara beranga ungs berut dar x =0 ngga x = 4 dengan saz langa 0.5. d x 3 x 0x 8.5 dx Keadaan awal pada x = 0 adala =.
Raja 5.4
Raja 5.5
Pembaan epada Kaeda Euler
Kaeda Heun
Raja 5.9
Menggunaan dua persamaan penganggar dan pembetul: x x x x x x x ( ( ( ( ' ' ' cerun adala : Purata ( ' ( seterusna nla mana d ( ' 0 0 0 0 (5. (5.3 (5.4 persamaan penganggar persamaan pembetul
Dengan ralat a j j j 00%
Conto Gunaan aeda Heun dengan saz langa = untu mengamran persamaan ' 4e 0.8x 0.5 dar x = 0 ngga x = 4 dengan eadaan awal x = 0 dan =.
Penelesaan( *Persamaan penganggar : 0 ( x. cerun pada (x 0 0 adala ' 4e 0.5(. Gunaan ps n penganggar mencar pada x =.0 0 3( 0 0 5 3 3. Car nla 0.8( ' 4e 0.5(5 4. Car nla purata ' 3 6.4064 6.4064 4.7008
Penelesaan( 5. Masuan e dalam persamaan pembetul: 4.7008( 6.7008
Kaeda Tt Tenga Kaeda n menggunaan aeda Euler bag mencar tt tanga nla : / ( x (5.5 Bag cerun pada tt tenga ' ( x / / / (5.6
Kaeda Tt Tenga Cerun n emuadan dgunaan untu mencar nla + ( x / / (5.7
Raja 5.
Kaeda Runge-Kutta
Kaeda Heun dengan pembetul tunggal Dengan andaan a = ½ maa a = ½ dan p =q =. d mana = (x dan = (x +0.5 + 0.5 (5.36 (5.36a (5.36b
Kaeda Tt Tenga (a = Dengan andaan a = maa a = 0 dan p =q =/. d mana = (x dan = (x + + (5.37 (5.37a (5.37b
Kaeda Ralston ( a = /3 Dengan andaan a = /3 maa a = /3 dan p =q =3/4. ( 3 3 d mana = (x dan = (x +0.75 + 0.75 (5.38 (5.38a (5.38b
Conto Menggunaan aeda tt tenga dan aeda Ralston amran secara beranga: ( x x 3 x 0x 8.5 dar x = 0 ngga x = 4 dengan saz langa 0.5. Keadaan awal adala x = 0 dan =.
Penelesaan( Menggunaan aeda tt tenga (0 (0.5 4.875 cerun d tt tenga bole dgunaan untu menganggar (0.5 3 (0 3 0(0 8.5 8.5 (0.5 0(0.5 8.5 4.875(0.5 3.09375
Penelesaan( Menggunaan aeda Ralston 3 (0.375 (0.375 0(0.375 dengancerun purata (8.5 (.58035 4.5546875 3 3 angmana bole dgunaanuntu menganggar (0.5.58035 4.5546875(0.5 3.7734375 8.5
Raja 5.4
Kaeda Runge-Kutta perngat e-3 ( ( ( mana d 4 ( 6 3 3 x x x (5.39 (5.39a (5.39b (5.39c
Kaeda Runge-Kutta perngat e-4 ( ( ( ( mana d ( 6 3 4 3 4 3 x x x x (5.40 (5.40a (5.40b (5.40c (5.40d