Materi Pedugaa Parameter. Ilutrai Ifereia Statitika : Mecaku emua metode yag diguaka utuk earika keimula atau geeraliai megeai oulai dega melakuka egambila amel (amlig) Etimai / Pedugaa Parameter Yaitu eetua ilai uatu arameter oulai berdaarka ilai dari tatitik amel. Sedagka tatitik amel yag diguaka utuk meduga ilai uatu arameter oulai diebut etimator Proedur Pedugaa Parameter:. Meetuka ebuah amel. Megumulka iformai yg dierluka dari tia aggota amel 3. Meghitug ilai tatitik amel 4. Meghubugka ilai tatitik amel dega arameter oulai Suatu ilai, hail hitug dari cotoh yag berukura, meruaka ilai dugaa (etimator) bagi arameter oulai µ
Rata-rata, µ Parameter Poulai Etimator Beda Rata-rata oulai, µ - µ - Simaga baku, Peduga Tak Berbia : bila tatitik memiliki ilai yag ama dega ilai arameter oulai, µ µ E() Peduga Palig Efeie : memiliki ilai ragam /imaga baku terkecil < meruaka eduga yag lebih efiie dibadig utuk ilai µ Margi Kealaha : Ketika dieroleh ilai eduga bagi uatu ilai arameter, erlu dihitug Margi of Error Margi of Error.96. atau.96. dimaa, ilai eduga bagi / da / 3. Selag Pedugaa Suatu elag edugaa bagi arameter oulai < < da tergatug ilai tatitikya da juga ada ebara earika amel Jika imaga baku bear, maka elag edugaa juga haru bear Selag edugaa yag didaarka ada tigkat keercayaa diebut elag keercayaa ( < < ) ( - ). 00% utuk 0 < < dimaa, ( - ) koefeie/derajat keercayaa igificace level Maki bear elag keercayaa (%) maki yaki bahwa elag terebut mecaku ilai arameter oulai terebut. 4
3. Selag Pedugaa Rata-Rata µ : Samel Bear Dalam uatu amel yag berukura bear, dimaa 30, diguaka ditribui ormal baku z utuk meghitug elag keercayaa µ Teori Bata Puat atau Dega amel bear, meruaka eduga yag akurat bagi µ (-z / < z < z / ) - -μ dimaa z -μ (-z / < < z / ) - ( -z /. < µ < z /. ) - Jadi, elag keercayaa bagi µ, adalah : ± z. / Jika diketahui ± z. / Jika tidak diketahui / / µ - z / 0 z / z 5 Cotoh: Suatu eruahaa eerbita melakuka eelitia ttg harga buku Pegatar Statitika terbitaya yag terebar di aara. Didaatka 36 amel dega rata-rata harga $48.40. Telah diketahui bahwa imaga baku utuk eluruh buku $4.50. a. Beraa titik eduga utuk rata-rata harga emua buku yag beredar? Da beraa margi kealaha utuk eduga terebut? b. Buat rata-rata harga buku terebut dega elag keercayaa 90%. Peyeleaia: 36, $48.40, da $4.50 Maka, 4.50 36 $ 0.75 a. µ $48.40 Margi of error titik µ.96..96 * 0.75 $.47 b. ( -z. / < µ < z. / ) - 0.9 6 3
- 0.9-0.9 0. / 0.05 Nilai Z / dimaa lua daerah di bawah kurva ebelah kiri 0.05.65 (Tabel Ditribui Normal Z) Maka, harga buku rata-rata dega elag keercayaa 90%, adalah: µ ± z. / 48.40 ± (.65 * 0.75) 48.40 ±.4 47.6 /d 49.64 Atau $ 47.6 < µ < $ 49.64 Yag berarti bahwa dega elag/tigkat keercayaa 90%, rata-rata harga buku yaitu $ 47.6 /d $ 49.64 0.95 µ / 0.05 0 0.05 z 7 4. Galat & Ukura Samel Dalam Pedugaa µ Bila diguaka utuk meduga µ, maka dega tigkat keercayaa (- ). 00%, galat edugaa makimum, e adalah: e z /. atau e z /. Serig kita igi megetahui beraa bear ebuah amel haru diambil, agar galat edugaa µ tidak melebihi uatu ilai e. Dalam hal ii jumlah amel, adalah: z /. E adalah imaga baku oulai, bia dituruka dari ebagai etimatorya. 8 4
4. Selag Keercayaa Bagi Pedugaa µ Pada Samel kecil Dalam uatu amel yag berukura kecil, dimaa < 30; imaga baku tidak diketahui; da ditribui medekati ormal utuk meghitug elag keercayaa µ diguaka ditribui amel t -μ T / / Selag keercayaa ( - )00% bagi µ : (-T / < T < T / ) - -μ P(-T / < < T / ) - ( -T. / < µ < T. / ) - - T / µ 0 T / T T / adalah ilai T dega derajat beba df - yg di ebelah kaa terdaat daerah elua / 9 Cotoh: Dr Joh igi memrediki rata-rata tigkat koleterol utuk emua orag dewaa di ebuah kota. Ia megambil 5 laki-laki dewaa ebagai amel da meemuka rata-rata tigkat koleterol amel terebut yaitu 86 dega imaga baku. Jika diaumika tigkat koleterol utuk emua laki-laki dewaa di kota terebut terditribui ormal, tetuka elag keercayaa 95% utuk rata-rata oulai µ. Peyeleaia: 5, 86, da df - 5-4 Tabel ditribui T df 4; / 0.05 0.4750 0.4750 0.05 0.05 T.064 µ Selag keercayaa bagi µ adalah: ( -T. / < µ < T. / ) -.064 0.064 T 86.064. < µ < 86.064. 8.05 < µ < 90.95 5 5 Jadi dega tigkat keercayaa 95%, rata-rata koleterol utuk emua laki-laki dewaa di ebuah kota (A) terletak berkiar atara 8.05 /d 90.95 0 5
6. Selag Keercayaa bagi Pedugaa Rata-Rata Poulai A. Bila buah amel berukura da diambil dari oulai yag bear, dg µ da µ, maka beda kedua ilai rata-rata amel aka medekati ebara ormal. µ µ - µ da Sehigga: (-) - (μ - μ) z ( / ) ( / ) Cotoh oal: Televii merek A dega umur rata-rata 6.5 tahu da imaga baku 0.9 tahu. Sedagka merek B, dega µ 6 tahu da 0.8 tahu. Beraa eluag bahwa ebuah amel acak yg terdiri 36 TV merek A memiliki umur tahu lebih lama dariada rata-rata amel dega 49 TV merek B? Peyeleaia: Poulai A µ 6.5 0.9 36 Poulai B µ 6.0 0.8 49 (-) - (μ - μ) z ( / ) ( / ) Ditribui amlig A - B : µ A B 6.5 6.0 0.5 A B (0.9/ 36) (0.64/ 49) 0.89 z.0-0.5 0.89.65 Yag ditayaka adalah P( A - B.0)? P( A - B.0) P(Z.65) P(Z <.65) Lihat Tabel Z 0.9960 0.004 0.9960 0.0040 µ 0.5 A - B 0.65 Z 6
Selag keercayaa ( - ) 00% bagi µ - µ adalah : ( - ) ± z ( ) atau ( - ) ± z ( ) Z / adalah variabel ormal baku yag lua daerah diebelah kaa ebear / Latiha oal: Berdaarka laora Biro Statitik USA, ada tahu 993 ekerja bagia kotruki gaji rata-rata miggua $55, edagka ekerja bagia maufaktur ebear $487. Rata-rata gaji miggua terebut dihitug dari amel acak yag maig-maig terdiri dari 500 da 700 ekerja. Jika diaumika imaga baku oulai maig-maig adalah $66 da $60, maka: a. Hituglah ilai eduga bagi (µ - µ ) b. Dega elag keercayaa 95%, tetuka beda ilai rata-rata gaji miggua utuk dua oulai di ata! 3 Peyeleaia: Diaumika: oulai bagia kotruki; oulai bagia maufaktur 500, $55, $66 700, $487, $60 a. Nilai eduga bagi (µ - µ ) $55 $487 $64 b. Tigkat keercayaa (- ) 0.95 0.05 / 0.05 Z /.96 maka, 66 ( -) ± z ( ) (55-487) ±.96 ( 500 60 ) 700 64 ± 7.30 $56.70 amai $7.30 Jadi dega tigkat keercayaa 95%, daat dikataka bahwa beda rata-rata gaji miggua utuk emua ekerja bagia kotruki da maufaktur adalah atara $56.70 da $7.30 4 7
B. Bila ukura amel kecil ( da < 30), diambil dari oulai yag terditribui (medekati) ormal, da tidak diketahui, maka elag keercayaa ( - ) 00% bagi µ - µ adalah : ( - ) ± T.( ) - ( ) dimaa, ( -) ( -) - S ilai dugaa gabuga imaga baku dua oulai da adalah ragam dari dua amel T / ilai T dega df, yag lua daerah di ebelah kaa ebear / (-) - (μ - μ) T S ( ) 5 Cotoh: Diketahui oulai da oulai, maig-maig diambil amel, dega ricia: 5, 80 miligram, 5 miligram, 77 miligram, 6 miligram Jika kedua oulai meyebar ormal, dega imaga baku oulai adalah ama, tetuka eliih rata-rata atara dua oulai dega tigkat keercayaa 95%! Peyeleaia: Diketahui oulai da oulai, maig-maig diambil amel, dega ricia: 5, 80 miligram, 5 miligram, 77 miligram, 6 miligram Pertama, hitug imaga baku - : ( -) ( -) (5-)5 (-)6 5.466-5- - 5.466 ( 5 ).57 6 8
Kedua, tetuka ilai T / dari tabel ditribui T : - 0.95 0.05 / 0.05 df 5 5 Nilai T dega df 5 da 0.05 lua daerah kaa dibawah kurva ditribui T.060. Sehigga : ( - ) ± T (80-77) ±.060(. 57) - 3 ± 4.36 -.36 amai 7.36 7 C. Bila ukura amel kecil ( da < 30), diambil dari oulai yag terditribui (medekati) ormal, da tidak diketahui, maka elag keercayaa ( - ) 00% bagi µ - µ adalah : ( - ) ± T ( ) - ( ) dimaa T / ilai T yag lua daerah di ebelah kaa ebear / da derajat beba (df): df - - da ( -) - (μ - T S - μ ) 8 9
7. Selag Keercayaa bagi Pedugaa Proori Proori oulai, diotaika ebagai meujukka raio jumlah eleme uatu oulai yag memiliki karakteritik tertetu dega jumlah total eleme oulai terebut N jumlah eleme oulai dega karakteritik tertetu N jumlah total eleme oulai Proori amel, diotaika ebagai meujukka ratio jumlah eleme uatu amel yag memiliki karakteritik tertetu dega jumlah total eleme amel terebut Cotoh : jumlah eleme amel dega karakteritik tertetu jumlah total eleme amel Mial terdaat 789654 keluarga di kota Deok, da 5638 dari keluarga terebut udah memiliki rumah ediri 9 N ukura oulai 789654 keluarga yg udah memiliki rumah ediri 5638 Sehigga : Proori emua keluarga di Deok yag udah memiliki rumah ediri : N 5638 0.7 789654 Kemudia, jika diambil amel acak ebayak 40 keluarga, da teryata ada 58 keluarga yag udah memiliki rumah, maka : ukura amel 40 keluarga dari amel yg udah memiliki rumah 58 58 0.66 40 Seerti rata-rata, roori amel juga meruaka variabel acak yag memiliki ditribui eluag yag diebut ditribui amlig Cotoh : Sebuah koulta memiliki 5 taf. Tabel berikut adalah daftar 5 taf & egetahuaya ttg Statitika. 0 0
Nama Ali Joh Sua Lee Tom Samel 5 ( ) 3 Megerti Statitika Ya Tidak Tidak Ya Ya 0.33 3 0.67 6.00 5! 0 3! (5-3)! f f 0 P( ) 0.33 3/0 0.30 0.67 6/0 0.60.00 /0 0.0 P( ) 0 Dari oulai ii, roori taff yag megerti tatitika : 3/5 0.60 Jika diambil amel berukura 3 dari oulai terebut, maka aka dihailka 0 kemugkia kombiai amel. Samel Proori yag Megerti Statitika ( ) Ali, Joh, Sua /3 0.33 Ali, Joh, Lee /3 0.67 Ali, Joh, Tom /3 0.67 Ali, Sua, Lee /3 0.67 Ali, Sua, Tom /3 0.67 Ali, Lee, Tom 3/3.00 Joh, Sua, Lee /3 0.33 Joh, Sua, Tom /3 0.33 Joh, Lee, Tom /3 0.67 Sua, Lee, Tom /3 0.67 Utuk yag bear ( 30) ebara bagi terditribui medekati ormal dega rata-rata da imaga baku : μ da.q q ; bia diduga dega.q P ( < < ) P (z / < z < z / ) ( - ) dimaa Z - Selag keercayaa bagi : - z. < < z. Cotoh : Berdaarka laora Biro Seu USA, 86% dari eluruh keluarga di New York, memiliki kedaraa roda 4. Jika adalah roori uatu amel acak berukura 0 keluarga yag memiliki kedaraa roda 4, tetuka eluag bahwa ilai adalah atara 0.88 da 0.9.
Peyeleaia : Diketahui : 0.86 da q 0.86 0.4 adalah roori eluruh keluarga yag memiliki kedaraa roda 4 Ditayaka : P(0.88 < < 0.9)? μ 0.86 da.q (0.86)(0.4) 0.037 0 Utuk 0.88 Utuk 0.9-0.88-0.86 z 0.63 0.037-0.9-0.86 z.89 0.037 Sehigga, eluag bahwa atara 0.88 da 0.9 ditujukka dega lua daerah dibawah kurva ormal baku atara z 0.63 da z.89 P(0.88 < < 0.9) P(0.63 < z <.89) P(0 < z <.89) - P(0 < z < 0.63) 0.4706 0.357 0.349 µ 0.86 0.9 0.88 0.349 0.037 0.89 z 0.63 3 Cotoh : Berdaarka hail oolig terhada 500 waita, dieroleh iformai bahwa ebayak 79% dari mereka daat melakuka emerikaa terhada oli kedaraa. Buatlah elag edugaa roori bagi eluruh waita yag daat melakuka emerikaa terhada oli kedaraa mereka dega tigkat keercayaa 98%! Peyeleaia : Diketahui : 500, 0.79 maka q 0.79 0. adalah roori amel waita yag daat melakuka emerikaa terhada oli kedaraa mereka Ditayaka : - z. < < z. Maka:.q (0.79)(0.) bia diduga dega 0.08 500 Utuk tigkat keercayaa 98% - 0.98 0.0 / 0.0 Nilai Z dega / 0.0 adalah.33 Sehigga, elag edugaa roori bagi eluruh waita yag daat melakuka emerikaa terhada oli kedaraa mereka dega tigkat keercayaa 98% : - z. < < z. 0.79 ±.33 (0.08) 0.748 /d 0.83 4
8. Galat & Ukura Samel dlm Pedugaa Bila diguaka utuk meduga, maka dega tigkat keercayaa (- ). 00%, galat edugaa makimum, e adalah:.q e z /. Serig kita igi megetahui beraa bear ebuah amel haru diambil, agar galat edugaa tidak melebihi uatu ilai e. Dalam hal ii jumlah amel, adalah: z. q E Cotoh : Dari 500 orag amel acak, ebayak 60 orag meyukai makaa ea food. Jika kita igi ercaya 95%, bahwa ilai dugaa roori orag yg meyukai ea food yag dihailka berada dalam 0.0 dari ilai roori yg ebearya, tetuka jumlah ukura amel yg dierluka! 5 Peyeleaia : z. q 60 diketahui 500, 0.3 q 0.3 0.68 E 500 Utuk tigkat keercayaa 95% - 0.95 0.05 / 0.05 Nilai Z dega / 0.05 adalah.96 Maka: z. q (.96) (0.3)(0.68) 090 E (0.0) 6 3
9. Selag Keercayaa bagi Pedugaa Seliih Proori Bila da maig-maig adalah roori keberhaila dalam amel acak yag berukura da erta q - da q, maka elag keercayaa (- ).00% bagi eliih atara - : ( - ) - ( z - q.. < - < ( - ) z - ) q q. ( - ) - z.. q. Cotoh oal: Suatu ollig dilakuka terhada eduduk kota A da eduduk di ekitar kota terebut, utuk megetahui kemugkia diajukaya uatu recaa embagua TPA amah. Bila 400 diatara 5000 eduduk kota da 00 dari 000 eduduk ekitar etuju dega recaa tb, tetuka eliih roori ebearya yag etuju dega tigkat keercayaa 90%! 7 Peyeleaia : - eliih roori 400 0.48 ; 5000 00 0.60 000 Utuk tigkat keercayaa 90% - 0.90 0.0 / 0.05 Nilai Z dega / 0.05 adalah.65 Maka eliih - dega tigkat keercayaa 90% : q q.. < - < ( - ) z q. ( - ) - z.. (0.48) (0.5) (0.48-0.60) ±.65 5000-0.44 < - < - 0.0986 (0.60) (0.40) 000 q. 8 4
9 30 5