BAB III TAKSIRA PROPORSI POPULASI JIKA TERJADI ORESPO Dalam bab ii aa dibaas peasira proporsi populasi jia terjadi orespo da dilaua allba sebaya t ali. Selai itu, juga aa dibaas peetua uura sampel yag diperlua jia diduga terjadi orespo da aa dilaua allba sebaya t ali. Dalam tugas air ii aya aa dibaas pegambila sampel yag dilaua seara SRS pada setiap allba. Sebelumya aa dibaas terlebi daulu besarya bias yag ditimbula pada tasira proporsi populasi jia terjadi orespo. 3. Bias pada Tasira Proporsi Populasi jia Terjadi orespo orespo adala suatu eadaa dimaa uit populasi yag terpili mejadi sampel tida meaggapi aget yag tela diirima. Misala aget yag diirima adala aget sederaa da jawabaya aya dapat berupa setuju atau tida setuju. Jia peeliti aa melaua peasira parameter (dalam tugas air ii proporsi populasi berdasara data yag diperole dari respode yag merespo, maa aa terjadi bias 54 Tasira Proporsi..., adya Rata Eva Mutia, FMIPA UI, 008
55 pada tasira yag diperole. Misala populasi terbagi mejadi dua strata, yaitu:. Stratum I: populasi yag memberia respo. Stratum II: populasi yag tida memberia respo 0 Misala otasi yag diguaa dalam populasi adala: uura populasi yag mejawab "setuju" da memberia respo uura populasi yag mejawab "tida setuju" da memberia respo uura populasi yag mejawab "setuju" tetapi tida memberia respo 0 uura populasi yag mejawab "tida setuju" tetapi tida memberia respo uura populasi yag memberia respo + 0 uura populasi yag tida memberia respo + 0 uura eselurua populasi + Utu lebi jelasya megeai otasi, peratia tabel beriut: Tabel 3. otasi Uura Populasi Jawaba Respo Setuju Tida Setuju Total Uura Merespo 0 Tida Merespo 0 Total Uura Tasira Proporsi..., adya Rata Eva Mutia, FMIPA UI, 008
56 Sebut: W proporsi populasi yag memberia respo W proporsi populasi yag tida memberia respo p proporsi populasi yag mejawab "setuju" da memberia respo p proporsi populasi yag mejawab "setuju" tetapi tida memberia respo Parameter yag aa ditasir dalam populasi adala p, yaitu proporsi + populasi yag memberia jawaba setuju, dega p. Aa tetapi, area tida semua eleme populasi merespo maa tasira proporsi aya dapat diperole dari p. Ole area itu, terjadi bias (sebut b, yaitu: b p p + b b b ( b p W p W Tasira Proporsi..., adya Rata Eva Mutia, FMIPA UI, 008
57 b pw p W W p p (3.. Persamaa (3.. meyataa bawa bias merupaa selisi atara p, yaitu proporsi populasi yag mejawab setuju da memberia respo dega p, yaitu proporsi yag mejawab setuju tetapi tida memberia respo. Karea p merupaa proporsi maa: 0 p Berdasara (3.., jia p 0 maa b Wp da jia p maa b W ( p ( W p. Seigga diperole batas bawa utu b (sebut m da batas atas utu b (sebut M sebagai beriut: ( m W p b W p M (3.. 3. Callba Jia terjadi respode yag tida merespo sala satu ara megatasiya adala dega melaua pegambila subsampel seara SRS dari respode yag tida merespo. Tei pegambila sampel ii yag biasa disebut allba merupaa peerapa double samplig utu stratifiasi yag tela dibaas pada bab sebelumya. Tasira Proporsi..., adya Rata Eva Mutia, FMIPA UI, 008
58 beruura Misala populasi beruura da diambil simple radom sample utu diirima aget. Misala dari sampel beruura tersebut, respode yag memberia respo diaggap sebagai stratum da respode yag tida memberia respo diaggap sebagai stratum. Misal stratum beruura da stratum beruura. Kemudia, pada taap edua ambil subsampel seara SRS dari stratum dega uura sampel, dimaa da dari stratum dega uura sampel, dimaa >. Aget diirima embali aya epada uit subsampel utu medapata data respo. beriut: Jadi, prosedur allba utu t ali yag dilaua adala sebagai. Kirima aget utu sampel beruura yag dipili seara SRS dari populasi beruura. Pada laga ii megasila sampel yag merespo dega uura dega uura. da sampel yag tida merespo. Kirima embali aget utu sampel beruura yag dipili seara SRS dari sampel yag tida merespo pada laga. Pada laga ii mugi juga megasila sampel yag merespo da tida merespo. Aa tetapi, area t dibatasi aya sampai Tasira Proporsi..., adya Rata Eva Mutia, FMIPA UI, 008
59 ali maa tida dilaua embali pegirima aget. Ilusrasi allba seperti ditujua ole gambar beriut: Gambar 3. Callba diatara Respode yag Tida Merespo Misala adala uura populasi pada stratum e-, dimaa da. Sebut w, maa w adala tasira yag ta bias utu W. 3.. Tasira utu Proporsi jia Dilaua Callba { } Misala dalam populasi beruura dietaui ilai populasi u, u,..., u dega: u i 0 ; jia eleme e-i memberia jawaba tida setuju u ; jia eleme e-i memberia jawaba setuju i dimaa i,,...,. Tasira Proporsi..., adya Rata Eva Mutia, FMIPA UI, 008
60 u u u adala ilai populasi dari stratum e-, Misala {,,..., } da dega: u 0 ; jia eleme e-i pada stratum e- memberia jawaba tida i setuju u i ; jia eleme e-i pada stratum e- memberia jawaba setuju dimaa i,,...,. Misala p adala proporsi populasi yag memberia jawaba setuju, maa: p i u i Proporsi populasi pada stratum e- yag memberia jawaba setuju, p, adala: p i u i Dega demiia, p dapat diyataa sebagai: p p i u p i Tasira Proporsi..., adya Rata Eva Mutia, FMIPA UI, 008
6 p p p Wp. p Wp + Wp Misala {,,..., } y y y adala simple radom sample yag diambil dari stratum e- yag mempuyai eleme { u, u,..., u } Defiisia: pˆ pˆ pˆ wpˆ wpˆ + wpˆ dimaa p ˆ adala tasira proporsi populasi yag memberia jawaba y setuju pada stratum e-, yaitu ˆ i p i. Seigga didapata y. L i ˆ i p w Dapat dibutia bawa: (a ˆp adala tasira yag ta bias utu proporsi populasi ( p. Tasira Proporsi..., adya Rata Eva Mutia, FMIPA UI, 008
6 (b V( p ( ( ( ( p p W p p ˆ + bilaga yag > ( Vˆ ( pˆ w, dega suatu ( pˆ ˆ ˆ ˆ p p p w ( + ( ( w ( ˆ ˆ p p + ( dari V( p ˆ, dega da >. adala tasira yag ta bias Pembutia: (a Utu membutia bawa tasira ta bias dari proporsi populasi ( p adala pˆ wpˆ yaitu dega meujua bawa E( pˆ p. Buti: Karea pada double samplig utu stratifiasi tela dibutia bawa: L pˆ wpˆ adala tasira yag ta bias utu L p Wp. Maa pada allba: pˆ wpˆ pˆ wpˆ + wpˆ ( pˆ ˆ + p (3... Tasira Proporsi..., adya Rata Eva Mutia, FMIPA UI, 008
63 adala tasira yag ta bias utu p Wp. Karea tela diperole E( pˆ p, maa terbuti bawa pˆ ( pˆ ˆ + p adala tasira ta bias utu p Wp. (b Selajutya, aa dibutia bawa ( ( ( ( p p W p p V( pˆ + yag >. Buti:, dega suatu bilaga Karea pada double samplig utu stratifiasi tela dibutia bawa: ( L ( ( ( p p W p p V( pˆ + bilaga yag. Maa pada allba diperole:, dimaa suatu ( ( ( ( p p W p p V( pˆ + p p W p p W p p V( pˆ + + Karea pada allba Seigga diperole:, dimaa > da, seigga. Tasira Proporsi..., adya Rata Eva Mutia, FMIPA UI, 008
64 ( ( ( ( p p W p p V( pˆ + Dega demiia terbuti bawa ( ( ( ( p p W p p V( pˆ +. (3... ( Utu membutia ( ˆ Vˆ p w ( ( ( pˆ pˆ pˆ pˆ + w ( w ( ˆ ˆ p p + ( adala tasira yag ta bias dari V( p ˆ, dega da > yaitu dega meujua bawa V( p E V ˆ p ˆ ˆ Buti:. bawa: Vˆ ( pˆ Karea pada double samplig utu stratifiasi tela dibutia ( ( L ( pˆ pˆ pˆ pˆ + L g w w g adala tasira yag ta bias utu L w ( ˆ ˆ p p + L Wp L p g p p ( W V pˆ + g L W p p. Maa pada allba: Tasira Proporsi..., adya Rata Eva Mutia, FMIPA UI, 008
65 ( ˆ Vˆ p w w pˆ ˆ ˆ ˆ p p p + ( ( w ( ˆ ˆ p p + ( (3...3 adala tasira yag ta bias dari ( ( ( ( p p W p p V( pˆ +. ( ˆ Vˆ p w Dega demiia, terbuti bawa ( ( ( pˆ pˆ pˆ pˆ + w ( w ( ˆ ˆ p p + ( adala tasira yag ta bias dari V( p ˆ dega da >. Samplig error dari tasira proporsi tersebut adala: ( pˆ pˆ ˆ ˆ ( ˆ B p V p w ( + pˆ ( ˆ p w ( ˆ ˆ + w p p dega da >. Tasira Proporsi..., adya Rata Eva Mutia, FMIPA UI, 008
66 3.. Uura Sampel Optimum jia Dilaua Callba Misala 0 biaya dalam pegambila setiap uit sampel pertama ali biaya dalam pegolaa per uit data yag diperole dari sampel taap pertama yag merespo biaya dalam pegambila da pegolaa per uit data dari sampel yag tida merespo pada taap pertama tetapi merespo pada taap edua Seigga total biaya ( adala: + + 0 Espetasi dari (sebut C adala: C E E + + + E + E 0 0 ( C 0 + W + W (3... Variasi dari ˆp (sebut V adala: ( ( ( ( p p W p p V V( pˆ + (3... Tasira Proporsi..., adya Rata Eva Mutia, FMIPA UI, 008
67 Permasalaa dalam meetua uura sampel adala:. Memili da supaya memiimuma variasi V dega C tertetu, atau. Memili da supaya memiimuma C dega variasi V tertetu. Peyelesaia edua masala tersebut adala sebagai beriut:. Utu memiimuma V ( p p W p p + dega syarat C 0 + W + W 0 Aa diari da yag memeui dega megguaa pegali Lagrage. Sebelumya, aa dibutia terlebi daulu suatu pegujia ilai miimum, yaitu jia D > 0 da V > 0, V adala sebua ilai miimum. Padag: D(, Buti: V V V. Aa dibutia: ( D, > 0. p( p W p( p (, D + 3 3 0 Wp ( p ( ( Tasira Proporsi..., adya Rata Eva Mutia, FMIPA UI, 008
68 (, D Wp ( p ( ( Karea > seigga > 0, > 0 seigga > 0, 0 < W <, da p ( D, > 0. 0< < seigga 0< p <. Ole area itu diperole: Aa dibutia bawa V > 0. Buti: ( V p p W p p + 3 3 ( Karea > seigga > 0, > seigga > 0, 0 > seigga > 0, 0< W <, 0< p < seigga 0< p <, da 0 < p < seigga p V > 0. 0< <. Ole area itu diperole: Lagragia (sebut L adala: ( p p Wp p L λ C 0 W W + + + + Tasira Proporsi..., adya Rata Eva Mutia, FMIPA UI, 008
69 ( ( L p p Wp p + λ 0 + W + W 0 ( ( ( L Wp p λ W 0 ( L C 0 + W + W 0 λ (3 dari ( diperole: ( ( ( p p W p p λ 0 + W + W + ( ( p p W p p λ 0 + W + W + λ ( ( ( p p W p p + ( 0 + W + W (4 dari ( diperole: ( ( Wp p λ W ( p p λ ( ( Tasira Proporsi..., adya Rata Eva Mutia, FMIPA UI, 008
70 λ p ( ( p ( (5 Substitusia (4 e (5, seigga diperole: ( ( ( p p W p p + ( 0 + W + W p ( ( p ( ( p p W p p + p 0 + W + W ( p ( p p p p Wp p 0 + W + W + ( ( p p Wp p Wp p [ 0 + W ] + Wp p p p + 0 p p Wp p p p [ 0 + W ] + 0 ( [ W ] ( ( ( p ( p p W p p p 0 + Tasira Proporsi..., adya Rata Eva Mutia, FMIPA UI, 008
7 Karea >, maa solusi utu adala: ( [ W ] ( ( ( p ( p p W p p p 0 + p da p tida dietaui, maa area tida ada iformasi apapu megeai p da p, ambil p 0.5 da p 0.5. Seigga ( ( p p p p. Ole area itu: [ W] [ + W ] 0 (6. Utu memiimuma C + W + W dega syarat 0 V ( p p W p p 0. Lagrage. Aa diari da yag memeui dega megguaa pegali Lagragia (sebut L adala: Tasira Proporsi..., adya Rata Eva Mutia, FMIPA UI, 008
7 ( p p Wp p L 0 W W λ + + + V p( p ( Wp( p L 0 + W + W + λ + 0 ( ( ( ( p ( L Wp W λ 0 ( p p W p p 0 L V λ ( (3 dari ( diperole: p( p W p p 0 + W + W λ + ( ( ( ( λ p p W p p 0 + W + W + ( 0 + W + W λ p( p ( Wp( p + ( ( (4 dari ( diperole: ( p ( Wp W λ Tasira Proporsi..., adya Rata Eva Mutia, FMIPA UI, 008
73 p λ ( p ( λ p ( ( p ( (5 Substitusia (4 e (5, seigga diperole: ( p ( p ( 0 + W + W ( p( p ( Wp( p + ( ( ( ( ( ( p ( p p W p p + p + W + W 0 p p p p Wp p 0 + W + W + [ ] ( p p p p W p p + W + W + 0 ( p p W p p Tasira Proporsi..., adya Rata Eva Mutia, FMIPA UI, 008
74 ( ( + p p Wp p Wp p [ 0 + W ] + Wp p p p 0 p p Wp p p p [ 0 + W ] + 0 ( [ W ] ( ( ( p ( p p W p p p 0 + Karea >, maa solusi utu adala: ( [ W ] ( ( ( p ( p p W p p p 0 + p da p tida dietaui, maa area tida ada iformasi apapu megeai p da p, ambil p 0.5 da p 0.5. Seigga ( ( p p p p. Ole area itu: [ W] [ + W ] 0 (6 Tasira Proporsi..., adya Rata Eva Mutia, FMIPA UI, 008
75 Berdasara (6 da (6 diperole ilai optimum adala: opt [ W] [ + W ] 0 Dalam peelitia biasaya biaya ditetua, maa jia C ditetua aa diari dari (3, yaitu: C 0 + W + W 0 C + W + W 0 C 0 + W + W opt C 0 + W + W opt Dega demiia, diperole optimum adala: opt [ W] [ + W ] 0 da uura sampel optimum adala: opt C 0 + W + W opt Tasira Proporsi..., adya Rata Eva Mutia, FMIPA UI, 008