FUNGSI DAN GRAFIK 1.1 Pendahuluan Deinisi unsi adalah suatu aturan padanan yan menhubunkan tiap objek x dalam satu himpunan, yan disebut daerah asal, denan sebuah nilai unik x dari himpunan kedua. Himpunan nilai yan diperoleh secara demikian disebut daerah hasil unsi tersebut. Funsi Bukan Funsi Daerah asal 1. Daerah asal dan daerah hasil unsi F x = x - 4-1 1 0 0 1 Contoh: Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari: 1. x = x 1. x = 1 3. x = x 1+x Daerah hasil Daerah asal 1. Karena unsi x selalu terdeinisi untuk setiap x maka D = x R =, x = x 1 R = [ 1, ). Aar x R, syaratnya adalah x 3 > 0 maka Daerah hasil Daerah asal adalah himpunan elemen-elemen pada mana unsi itu mendapat nilai. Notasi D, yaitu D = x R x R. Daerah hasil adalah himpunan nilai-nilai yan bersesuaian denan daerah asal. Notasi R, yaitu R = x R x D Misalkan F x = x jika daerah asalnya adalah, 1, 0, 1, maka daerah hasilnya adalah 0, 1, 4
D = x R x > 3 = (3, ) Karena x 3 > 0, maka untuk x > 3 R = 0, 3. Karena penyebutnya berbentuk kuadrat, maka nilai x terdeinisi untuk setiap nilai x. Ini menakibatkan daerah asal unsi adalah D =,. Untuk menentukan daerah hasilnya misal y = x 1+x maka dapat dibentuk y 1 + x = x y 1 x + y = 0 Karena unsi bernilai real, maka persamaan kuadrat ini harus mempunyai akar real, yan syaratnya adalah diskriminan D 0. Ini memberikan 4y y 1 0 y y 1 0 0 y 1 Maka R = [0,1) Operasi Funsi 1. + x = x + x daerah asalnya D + = D D. x = x x daerah asalnya D = D D 3.. x = x. x daerah asalnya D = D D 4. Contoh x x =, daerah asalnya D = D x D x x = 0 Jika x = x dan x = denan masin-masin daerah asal, dan 3,. Cari rumus untuk +,,., dan berikan daerah asalnya. 1. + x = x + x = x +, D + = 3,. x = x x = x, D = 3, 3.. x = x. x = x = 3, 4. x = x = x x = x, D = 3, 1.3 Deinisi unsi komposisi Komposit denan adalah jika bekerja pada x menhasilkan x dan kemudian bekerja pada x untuk menhasilkan x dinyatakan = x. Syarat yan harus dipenuhi aar ada (terdeinisi) adalah R D. Dalam komposisi Contoh: Diketahui x = x dan x =, tentukan x, x
Jawab Untuk menentukan x ada maka x = x D =,, R = [0, ) x = D = 3,, R = 0, R D = 0, x = x = x 3 = x 3 Untuk menentukan x ada maka R D = 3, = 4 x 3 x = x = x = x 3 1.4 Daerah asal dan hasil unsi komposisi Daerah asal, D = x D x D. Daerah hasil, R = y R y = x, x R. x x x Contoh: Diketahui x = x dan x = x = x D =,, R = [0, ) x = D = 3,, R = 0,, tentukan D dan R Daerah asal, D = x D x D = x 3,, = 3, Daerah hasil, R = y R y = x, x R = x [0, ) x 0, = 0,
1.5 Penambaran raik unsi 1.5.1 Sistem Koordinat Sistem koordinat kartesis terdiri dari dua sumbu, aris horizontal (sumbu x) dan aris vertikal (sumbu y) yan berpotonan teak lurus di titik O. 1.5. Graik Funsi Misal y = x, himpunan titik x, y x D, y R disebut raik unsi. Secara umum cara menambar raik unsi: 1. Tentukan beberapa titik koordinat yan memenuhi unsi. Gambar dalam sistem koordinat 3. Hubunkan denan menunakan kurva halus 1.5..1 Graik Funsi Linier Bentuk untuk unsi linier: x = ax + b, a 0 Cara menambar: 1. Tentukan titik-titik poton sumbu x dan sumbu y. Gambar dalam sistem koordinat 3. Hubunkan titik-titik tersebut menunakan kurva mulus. Contoh: Gambarkan raik y = x + y Titik poton denan sumbu x y = 0 x =,0-0 y Titik poton denan sumbu y x = 0 y = 0, 1.5.. Graik Funsi Kuadrat Bentuk umum unsi kuadrat: x = ax + bx + c Untuk bentuk umum unsi kuadrat: x = ax + bx + c, maka diskriminan dari unsi tersebut Penaruh nilai diskriminan terhadap unsi: D = b 4ac 1. Jika unsi memiliki diskriminan positi maka unsi akan memiliki dua akar real. Jika unsi memiliki diskriminan neati maka unsi tidak akan memiliki akar real 3. Jika unsi memiliki diskriminan sama denan nol maka unsi akan memiliki akar kembar Penaruh nilai a terhadap raik unsi: 1. Jika a > 0 maka raik menhadap keatas. Jika a < 0 maka raik menhadap ke bawah
a =1 Contoh: Gambarkan raik y = x 4 Deinit unsi x, D = 0 4 1 4 = 16 > 0 Maka raik akan menhadap keatas dan memiliki dua akar real Titik poton denan sumbu x (akar real) y = 0 x 4 = 0 x = ± Titik poton denan sumbu y Untuk titik-titik lain x -3-1 1 3 y 5-3 -3 5 x = 0 y = 4 1.6 Jenis-jenis unsi 1. Funsi konstanta Bentuk umum: x = k, denan k adalah bilanan real.. Funsi polinom (suku banyak) Bentuk umum: a 0 + a 1 x + a x + a 3 x 3 + + a n x n Daerah asal untuk unsi polinom adalah x R 3. Funsi rasional x Bentuk umum: x Denan x dan x merupakan unsi polinom dan x 0 Daerah asal untuk unsi rasional adalah x R kecuali untuk x pembuat nol penyebut. 4. Funsi enap dan unsi anjil Funsi enap: x = x, contoh: x = x Funsi anjil: x = x, contoh: x = x 5. Funsi periodik Funsi x disebut periodik denan perioda T jika x + T = x, contoh: x = cos x merupakan unsi periodik denan perioda π karena
x + π = cos x + π = cos x, untuk setiap x R Kesamaan trionometri sin θ = y r cos θ = x r tan θ = y x = sin θ cos θ θ r x y sec θ = r x = 1 cos θ csc θ = r y = 1 sin θ cot θ = x y = cos θ sin θ esamaan anjil-enap sin x = sin x cos x = cos x tan x = tan x Kesamaan ko unsi sin π x = cos x cos π x = sin x Kesamaan phytaoras sin x + cos x = 1 1 + tan x = sec x 1 + cot x = csc x Kesamaan penambahan sin x ± y = sin x cos y ± cos x sin y cos x ± y = cos x cos y sin x sin y tan x ± tan y tan x ± y = 1 tan x tan y Kesamaan jumlah x + y sin x + sin y = sin x + y cos x + cos y = cos tan π x = cot x Kesamaan sudut anda sin x = sin x cos x cos x = cos x sin x = cos x 1 = 1 sin x x y cos x y cos Kesamaan setenah sudut sin 1 cos x x = cos 1 + cos x x = Kesamaan hasilkali sin x sin y = 1 cos x + y cos x y cos x cos y = 1 cos x + y + cos x y sin x cos y = 1 sin x + y + sin x y