DERET POSITIF : UJI INTEGRAL DAN UJI LAIN-LAINNYA KELOMPOK 2:

MAKALAH KALKULUS LANJUT DERET POSITIF : UJI INTEGRAL DAN UJI LAIN-LAINNYA OLEH : KELOMPOK 2:. NI LUH PUTU SUARDIYANTI (0830005) 2. I WAYAN WIDNYANA (0830008) 3. LUH PUTU PRAJAYANTHI W. (0830027) JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS PENDIDIKAN GANESHA SINGARAJA 20

KATA PENGANTAR Om Swastiastu Puji syukur peulis pajatka kehadapa Ida Sag Hyag Widhi Wasa karea atas Asug Kerta Wara Nugraha-Nya peulis dapat meyelesaika makalah kalkulus lajut tetag deret positif: uji itegral serta uji-uji laiya tepat pada waktuya. Makalah ii disusu dalam ragka memeuhi persyarata dalam mata kuliah kalkulus lajut. Makalah ii dapat terselesaika karea batua dari berbagai pihak. Utuk itu, melalui kesempata ii peulis meyampaika terima kasih kepada: ) Dra. I Gusti Ayu Mahayukti, M.Si selaku dose pegampu mata kuliah kalkulus lajut. 2) Reka-reka mahasiswa yag secara lagsug ataupu tidak lagsug telah membatu peulis dalam peyusua makalah ii. Peulis meyadari sepeuhya bahwa apa yag tersaji dalam makalah ii masih jauh dari sempura, karea keterbatasa kemampua yag peulis miliki. Oleh karea itu, dega segala keredaha hati peulis sagat megharapka sara da kritik yag kostruktif gua peyempuraa makalah ii. Pada akhirya, peulis berharap mudah-mudaha makalah ii bermafaat bagi pembaca. Om Satih, Satih, Satih Om. Sigaraja, September 20 Peulis Barisa da Deret Page ii

DAFTAR ISI KATA PENGANTAR DAFTAR ISI i ii BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakag.2 Rumusa Masalah 2.3 Tujua Peulisa 2 BAB II PEMBAHASAN 2. Deret Positif: Uji Itegral 3 2.2 Deret Positif: Uji-Uji Laiya 3 BAB IV PENUTUP 4. Simpula 27 4.2 Sara 28 DAFTAR PUSTAKA Barisa da Deret Page iii

BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakag Barisa da deret takhigga diperkealka secara sigkat dalam pegatar kalkulus dalam hubugaya dega paradoks Zeo da betuk desimal bilaga. Petigya kedua hal ii dalam kalkulus mucul dari gagasa Newto yag meyataka fugsi sebagai jumlah deret takhigga. Bayak fugsi yag mucul dalam fisika da kimia matematis, seperti fugsi Bessel, didefiisika sebagai jumlah deret, sehigga sagatlah petig utuk mempelajari kosep dasar kovergesi barisa da deret takhigga. Dalam mempelajari deret, selalu ada dua pertayaa petig yag dapat diajuka. Pertama, apakah deret itu koverge? Sedagka kedua, apabila deret tersebut koverge, berapakah jumlahya? Utuk meetuka apakah suatu deret koverge atau diverge dapat ditetuka dari barisa jumlah-jumlah parsial {S } dari deret tersebut. Jika {S } koverge meuju S (dimaa S adalah jumlah dari deret tersebut), maka deret takhigga tersebut koverge. Jika {S } diverge, maka deret tersebut diverge. Pada umumya, tidaklah mudah meghitug jumlah yag eksak dari suatu deret. Perhitugaya dapat dilakuka utuk deret dega rumus S (jumlah parsial ke-) yag eksak, misalya deret geometrik da deret kolaps. Tetapi biasaya tidaklah mudah meghitug lim S utuk jeis deret yag lai. Utuk megatasi masalah tersebut, dikembagka beberapa uji yag memugkika utuk meetuka apakah suatu deret koverge atau diverge tapa meghitug jumlahaya secara eksplisit. Oleh karea itu, peulis igi megulas materi tetag Deret Positif: Uji Itegral da Uji-Uji Laiya utuk meetuka kekovergea suatu deret positif pada makalah ii. Barisa da Deret Page

.2 Rumusa Masalah Berdasarka latar belakag yag telah dipaparka sebelumya, ada beberapa permasalaha yag dirumuska dalam peulisa makalah ii, atara lai sebagai berikut..2. Bagaimaakah meetuka kekovergea suatu deret positif dega megguaka uji itegral?.2.2 Bagaimaakah meetuka kekovergea suatu deret positif megguaka uji kekovergea selai uji itegral?.3 Tujua Peulisa Adapu tujua dari peulisa makalah ii adalah sebagai berikut..3. Utuk dapat megetahui kekovergea suatu deret positif dega megguaka uji itegral..3.2 Utuk megetahui cara meetuka suatu deret positif koverge atau diverge megguaka uji-uji lai selai uji itegral. Barisa da Deret Page 2

BAB II PEMBAHASAN 2. Deret Positif: Uji Itegral Sebelum membahas kekovergea suatu deret positif megguaka uji itegral, perlu diperhatika hal-hal petig yag aka serig diperguaka dalam pembahasa selajutya. adalah sebuah barisa adalah sebuah deret. PENTING UNTUK DIINGAT adalah jumlah parsial ke- dari deret. a, a 2, a 3,... a + a 2 + a 3 +.... S = a + a 2 + a 3 +... + a S, S 2, S 3,.... adalah barisa jumlah parsial dari deret. Deret koverge jika da haya jika S S berlaku da terhigga, dalam hal maa S disebut jumlah deret. Dalam pasal ii da pasal berikutya, pembahasa tetag deret aka dibatasi haya pada deret dega suku-suku positif (atau setidakya tidak egatif). Dega pembatasa ii, dapat disusu sejumlah uji kekovergea yag sagat sederhaa. Uji utuk deret dega suku suku yag tadaya sembarag tidak aka dibahas pada makalah ii. JUMLAH PARSIAL YANG TERBATAS Salah satu hasil yag dapat dijabarka lagsug dari Teorema Barisa Mooto tetag kekovergea deret dijabarka dalam teorema berikut. Teorema A (Uji Jumlah Terbatas) Suatu deret a k yag sukuya tak egatif adalah koverge jika da haya jika jumlah parsialya terbatas di atas. Barisa da Deret Page 3

Bukti: (bukti ke kaa) Apabila deret a k koverge meuju S, berarti lim S = S. Diketahui a k 0, maka S + S. Berarti barisa {S } adalah barisa yag tak turu. Selajutya, utuk setiap berlaku: S = a k < a k + a k = a k = S k= k= k=+ k= Dega demikia, S merupaka batas atas dari barisa {S } (berarti jumlah parsial deret a k memiliki batas atas). (bukti ke kiri) Adaika barisa jumlah parsial {S } terbatas atas (ada bilaga U sehigga S U utuk semua ). Karea S = a + a 2 + a 3 +... + a da a k 0 maka S + S ; jadi {S } adalah barisa yag tidak turu. Meurut Teorema Barisa Mooto, barisa {S } koverge, sehigga sesuai defiisi (pada materi deret tak terhigga), deret a k juga koverge. Apabila tidak, S aka melampui tiap bilaga da hal ii, {S } diverge. Cotoh Buktika bahwa deret + + + koverge.! 2! 3! Peyelesaia: Kita aka membuktika bahwa jumlah-jumlah parsial S terbatas di atas. Perhatika bahwa! =.2.3.2.2.2 = 2 - da sehigga /! /2 -. Jadi, S =! + 2! + 3! + +! + 2 + 4 + + 2 Suku-suku yag terakhir ii adalah deret geometri dega r = ½. Oleh karea r <, deret geometri tersebut koverge dega jumlah S = a r da jumlah parsial ke- S = a ar r. Sehigga diperoleh Barisa da Deret Page 4

S 2 = 2 2 < 2 2 Jadi, meurut Teorema A (Uji Jumlah Terbatas), deret ii koverge. Dari hasil tersebut, jumlah S tidak lebih dari 2. Aka diperlihatka kemudia bahwa S = e,7828. DERET DAN INTEGRAL TAK WAJAR. Kelakua deret k= f k da itegral tak wajar f x dx megeai kekovergea adalah serupa sehigga kita dapat mejadikaya sebagai pegujicoba. Teorema B ( Uji Itegral ) Adaika f suatu fugsi yag kotiu, positif da tidak aik pada selag [,). Adaika a k = f(k) utuk semua k positif bulat. Maka deret tak terhigga k= koverge, jika da haya jika itegral takwajar koverge. a k f x dx Bukti Diagram pada gambar memperlihatka bagaimaa kita dapat megartika jumlah parsial deret a k sebagai luasa da dega demikia megkaitka deret itu dega itegral bersagkuta. Gambar Barisa da Deret Page 5

Perhatika bahwa luas tiap persegi pajag sama dega tiggiya, oleh karea pajag alasya adalah. Kemudia:. f x dx = Luas daerah di bawah kurva y = f(x) di kuadra dari ke. 2. a 2 + a 3 + a 4 +...+ a = Jumlah luas persegi pajag yag berada di bawah kurva y = f(x) dari ke. 3. a + a 2 + a 3 +...+ a - = Jumlah luas persegi pajag dega batas bawah sumbu-x da batas atas ruas garis di atas kurva y = f(x) dari ke. Dari gambar di atas, dega mudah terlihat a 2 + a 3 + a 4 + + a Oleh karea itu, () (bukti ke kiri) Adaika kita peroleh f x dx karea f(x) 0. Jadi k=2 k=2 f x dx a k f x dx a k a + a 2 + a 3 + + a k= koverge, maka meurut pertidaksamaa sisi kiri, a k f x dx S = a + a k a + k=2 f x dx f x dx = M Karea S M utuk semua, barisa {S } terbatas di atas. Juga S + = S + a + S karea a + = f( + ) 0. Jadi, {S }merupaka barisa tak turu. Berdasarka Teorema Uji Jumlah Terbatas, k= a k koverge. (2) (bukti ke kaa) Misalka k= a k koverge, meurut ketaksamaa sisi kaa, maka apabila t <, kita peroleh Barisa da Deret Page 6

Oleh karea t f x dx t t lim t f x dx f x dx k= a k k= f x dx aik apabila bertambah da terbatas di atas, maka harus ada; jadi f x dx koverge. a k CATATAN Teorema B dapat juga diartika bahwa deret f x dx bersama-sama koverge atau diverge. k= a k da itegral tak wajar Jika f x dx Sehigga kita peroleh diverge, maka f x dx f x dx k= a k meuju tak higga, sebab f(x) 0. = s da kareaya S. Akibatya, S sehigga k= a k diverge. CATATAN 2 Ketika kita megguaka Uji Itegral, deret atau itegral tidak harus dimulai dari =. Misalya, dalam meguji deret =4 3 2 kita guaka 4 x 3 2 dx Juga, f tidak harus selalu turu. Yag petig adalah bahwa f pada akhirya turu, artiya, turu utuk x yag lebih besar daripada suatu bilaga N. Maka =N a koverge karea sejumlah terhigga suku tidak mempegaruhi kovergesi atau divergesi suatu deret. Cotoh 2 Ujilah deret = 2 apakah koverge atau diverge. + Peyelesaia Fugsi f(x) = / (x 2 + ) kotiu, positif, da turu pada [,), sehigga kita guaka Uji Itegral : Barisa da Deret Page 7

x 2 + dx t t x 2 + dx t ta x] t Jadi, / x 2 + dx t ta t π 4 = π 2 π 4 = π 4 merupaka itegral yag koverge da kareaya, meurut Uji Itegral, deret /( 2 + ) koverge. Cotoh 3 (Uji Deret-p) Deret = p = + 2 p + 3 p + 4 p + dega p sebuah kostata diamaka deret p. Utuk ilai berapakah deret tersebut koverge? Peyelesaia Jika p < 0, maka lim (/ p ) =. Jika p = 0, maka lim (/ p ) =. Dalam kedua kasus ii lim (/ p ) 0, sehigga deret di atas diverge meurut Teorema Uji Kedivergea dega Suku ke-. Apabila p > 0, fugsi f x = /x p kotiu, positif da tidak aik pada selag [,), sedagka f = / p. Maka meurut Teorema Uji Itegral, ( p) t koverge jika da haya jika lim t x p dx terhigga). Bila p f x dx = Apabila p = x p dx x p dx t t t t x p dx t x p dx x p t p t t t x dx ada (sebagai bilaga t p p = p lim t t p t l x t t l t Oleh karea lim t t p = 0 apabila p> da lim t t p = apabila p< da oleh karea lim t l t =, kita dapat mearik kesimpula (berdasarka Barisa da Deret Page 8

Teorema Uji Itegral) bahwa deret p koverge apabila p > da diverge apabila 0 p. Perhatika bahwa jika p=, deret p mejadi deret harmoik yag diverge. Deret-p ii merupaka deret yag petig da serig diguaka dalam meguji kekovergea suatu deret. Oleh karea itu, pembahasa pada cotoh 3 di atas dapat diragkum sebagai berikut. Deret-p = koverge jika p > da diverge jika 0 p p Cotoh 4 (a) Deret = 3 = 3 + 2 3 + 3 3 + 4 3 + koverge sebab deret ii merupaka deret-p dega p = 3 >. (b) Deret = /3 = 3 = + = 3 + 2 3 + diverge sebab deret ii adalah deret-p dega p = 3 <. 3 3 + 4 Cotoh 5 Apakah k=4 koverge atau diverge? k,00 Peyelesaia Perhatika bahwa, deret k=4 merupaka deret-p dega p =,00>. k,00 Berdasarka Uji Deret-p ( k=4 koverge. k,00 ) Kekovergea atau kedivergea suatu deret tidak dipegaruhi, apabila dari deret itu dihilagka atau ditambahka beberapa suku yag bayakya terhigga (tetapi mempegaruhi jumlahya). Jadi deret yag diketahui aka koverge. Barisa da Deret Page 9

Cotoh 6 Periksa apakah deret Peyelesaia k=2 koverge atau diverge. k l k Hipotesis dalam Uji Itegral dipeuhi utuk f x = /(x l x) pada [2,). Itervalya buka [,). Hal ii dimugkika berlaku sesuai dega catata yag diberika pada Teorema B (Uji Itegral). Sekarag, x l x dx 2 Sehigga deret f x dx 2 t t 2 /(k l k) diverge. x l x dx t t 2 d (l x) l x t l l x 2 t = diverge. Jadi, berdasarka Teorema B (Uji Itegral), CATATAN 3 Kita tidak dapat meyimpulka dari Uji Itegral bahwa jumlah deret ii sama dega ilai itegral. Keyataaya, = Jadi, secara umum, 2 = π2 6 = semetara a f x dx x 2 dx = Cotoh 7 Tetuka apakah deret Peyelesaia l = koverge atau diverge. Fugsi f(x) = (l x) / x positif da kotiu utuk x > sebab fugsi logaritma kotiu. Tetapi tidak jelas apakah f turu atau tidak, sehigga kita hitug turuaya : f (x) = /x x l x x 2 = l x x 2 Jadi, f (x) < 0 bila l x >, yaki, x > e. Dega demikia f turu bila x > e da kareaya kita dapat meerapka Uji Itegral: Barisa da Deret Page 0

l x dx x t t l x (l x) 2 dx x t 2 Karea itegral tak wajar ii diverge, deret Uji Itegral. t (l t) 2 = t 2 (l )/ juga diverge meurut EKOR SUATU DERET Awal suatu deret tidaklah petig dalam hal kekovergea da kedivergeaya. Yag petig hayalah ekor -ya. Yag dimaksud dega ekor suatu deret atau suku sisa (R ) adalah: R = S S = a + + a +2 + a +3 + dimaa adalah suatu bilaga besar sembarag. Dega demikia, dalam pegujia kekovergea da kedivergea suatu deret, kita dapat megabaika suku-suku awalya atau bahka meggatiya. Tetapi, jelas bahwa jumlah suatu deret tergatug pada semua sukuya, termasuk suku awal. Cotoh 8 Dega megguaka itegral tak wajar, tetukalah batas atas yag sebaik mugki bagi kesalaha jika kita ambil jumlah lima suku pertama da deret koverge e 2 = utuk megaproksimasi jumlah deret. Peyelesaia Kesalaha E adalah besarya suku (R ). Diperoleh E = R = S S = e 2 =6 Dimaa S yag diambil adalah lima suku pertama. Barisa da Deret Page

Perhatika fugsi f x = x/e x 2 da tidak aik (lihat gambar 2). Jadi E = Gambar 2 fugsi ii pada selag [ 5,) adalah kotiu e 2 =6 t 2 t 2 < xe x 2 dx 5 e x 2 5 e x 2 5 2x dx d( x 2 ) t 2 [e x 2 ] 5 t = 2 e 25 6,94 0 2 Jadi batas atas yag sebaik mugki bagi kesalaha (error) adalah 6,94 0-2. Cotoh 9 Hampiri jumlah dari deret Taksirlah kesalaha yag mucul dalam hampira ii. Peyelesaia: Kita perlu megetahui x 3 dx t t x 3 3 = 3dega megguaka jumlah 0 suku pertama. f x dx, dega f x = 3. Kita peroleh dx t t 2x 2 Meurut taksira suku sisa, kita dapatka E = x t 2t 2 + 2 2 = 2 2 S 0 = 3 + 2 3 + 3 3 + + 0 3,975 3 = < 0 x 3 dx t t 0 x 3 dx t t 2x 2 0 Barisa da Deret Page 2

t 2t 2 + 2(0) 2 = 200 Jadi besarya kesalaha dari taksira jumlah deret tersebut megguaka 0 deret pertama adalah tidak lebih dari 0,005. 2.2 Deret Positif: Uji-Uji Laiya Sebelumya telah diaalisa secara tutas kekovergea da kedivergea dua deret, yaitu deret geometri da deret-p, dimaa hasilya adalah sebagai berikut. = r koverge apabila -<r<; diverge utuk r = koverge utuk p > ; diverge utuk p p Deret-deret tersebut dapat diguaka sebagai stadar atau model utuk meetuka kekovergea atau kedivergea deret lai. Igat bahwa kita masih tetap meijau deret yag sukuya positif (atau palig sedikit tak egatif). MEMBANDINGKAN SUATU DERET DENGAN DERET LAIN Gagasa dalam uji perbadiga adalah membadigka deret yag diberika dega deret yag telah diketahui koverge atau diverge. Teorema Uji Badig ii haya berlaku utuk deret dega suku-suku positif. Jika suatu deret suku-sukuya lebih kecil daripada suku-suku suatu deret yag diketahui koverge, maka deret tersebut juga koverge. Sedagka, jika terdapat suatu deret yag suku-sukuya lebih besar daripada suku-suku suatu deret yag diketahui diverge, maka deret tersebut juga diverge. Hal ii, dituagka dalam teorema berikut. Teorema A (Uji Badig) Adaika utuk N berlaku 0 a b (i) Jika b koverge, maka a koverge (ii) Jika a diverge, maka b diverge Bukti (i) Adaika N = ; Jika b koverge (misalya dega jumlah t), dimaa Barisa da Deret Page 3

t = Misalka s = a i i= b = t = b i i= Karea kedua deret ( a da b ) mempuyai suku-suku positif, barisa {s } da {t } adalah barisa yag tidak turu (s + = s + a + s ). Juga t t, sehigga t t utuk semua. Karea a i b i, kita peroleh s t. Jadi, s t utuk semua. Ii berarti bahwa {s } tidak turu da terbatas di atas da meurut Teorema Uji Jumlah Terbatas, a koverge. (ii) Jika a diverge, maka S (karea {S } tidak turu). Tetapi b i a i sehigga s. t. Akibatya, t. Dega demikia, b diverge. Cotoh Tujukka apakah deret berikut koverge atau diverge. Peyelesaia Betuk deret 2 + = 2 + = = megigatka kita aka deret /2, yag merupaka deret geometrik dega r = 2 koverge. Karea deret 2 + sehigga deret geometri tersebut = sagat mirip dega suatu deret koverge, kita dapat perkiraka bahwa deret ii pu pasti koverge. Da keyataaya memag demikia. Ketaksamaa meujukka bahwa deret 2 + < 2 = yag diberika mempuyai suku-suku 2 + yag lebih kecil daripada suku-suku deret geometrik tadi da kareaya semua jumlah parsialya juga lebih kecil daripada (jumlah deret geometrik Barisa da Deret Page 4

tersebut). Ii berarti bahwa jumlah parsialya membetuk suatu barisa aik da terbatas, yag tetuya koverge. Juga dapat disimpulka bahwa jumlah deret di atas lebih kecil daripada jumlah deret geometrik : = 2 + < Jadi berdasarka Uji Badig bagia (i), deret tersebut koverge. Cotoh 2 Apakah Peyelesaia 5 2 4 koverge atau diverge? Kita dapat meduga deret diverge, sebab utuk yag cukup besar suku ke- mirip dega /5. Tetapi uraia di atas buka bukti tepat utuk memperoleh bukti yag eksak. Perhatika 5 2 4 > 5 2 = 5. Kita ketahui jika deret harmoik / diverge, sehigga (sesuai dega teorema). Jadi meurut Uji Badig Biasa deret diverge. 5. juga diverge 5 2 4 Cotoh 3 Tetuka apakah deret Peyelesaia 5 = 2 2 koverge atau diverge. +4+3 Utuk yag besar, suku yag domia pada peyebutya adalah 2 2 sehigga kita badigka deret di atas dega deret 5/(2 2 ). Amati bahwa 5 2 2 + 4 + 3 < 5 2 2 Sebab ruas kiri mempuyai peyebut yag lebih besar. (Dalam otasi pada uji perbadiga, a adalah ruas kiri da b adalah ruas kaa). Kita tahu bahwa = 5 2 2 = 5 2 2 = Barisa da Deret Page 5

Koverge karea deret ii merupaka suatu kostata dikalika dega deret-p dega p = 2 >. Jadi = 5 2 2 + 4 + 3 koverge meurut bagia (i) dari uji perbadiga. Cotoh 4 Apakah Peyelesaia 2 (+) koverge atau diverge? Agakya deret ii koverge, sebab utuk cukup besar suku ke- mirip dega (/2). Tepatya = 2 (+) ( 2 ) < (+) ( 2 ) Deret geometri ( 2 ) koverge, sebab pembadigaya (r) adalah ½. jadi deret yag diketahui juga koverge. Satu-satuya kesulita dalam megguaka Uji Badig tersebut terletak pada pemilika deret badig yag tepat. Adaika kita hedak meetuka kekovergea atau kedivergea deret =3 ( 2) 2 = 2 4 + 4 =3 Kita cederug utuk membadigka /(-2) 2 dega / 2, tetapi sayag bahwa ( 2) 2 > 2 Jadi Teorema Uji Badig tidak dapat diguaka karea arah pertidaksamaa seperti yag kita igika. Aka tetapi, setelah beberapa kali percobaa, kita aka meemuka bahwa ( 2) 2 9 2 Utuk 3; Kita tijau kekovergea deret 9/ 2. Barisa da Deret Page 6

9 2 = 9 2 Kita ketahui bahwa / 2 adalah deret-p dega p = 2, sehigga meurut teorema, 9 2 juga koverge. Oleh karea 9/ 2 koverge, maka deret (sesuai Teorema Uji Badig). ( 2) 2 juga aka koverge CATATAN Walaupu persyarata a b atau a b dalam uji perbadiga dikeaka utuk semua, kita haya perlu memeriksa apakah persyarata ii dipeuhi utuk N, dega N suatu bilaga bulat positif, sebab kovergesi deret tidak dipegaruhi oleh sejumlah terhigga suku. Ii terlihat pada cotoh berikut. Cotoh 5 Ujilah apakah deret Peyelesaia l = koverge atau diverge. Deret ii telah diuji (megguaka Uji Itegral) pada cotoh 7 pada subbab 2., tetapi kita dapat pula meguji deret ii dega membadigkaya dega deret harmoik. Amati bahwa l > utuk 3 da kareaya l > 3 Kita tahu bahwa / diverge (deret-p dega p = ). Jadi, deret yag diberika adalah diverge meurut uji perbadiga. CATATAN 2 Suku-suku deret yag diuji harus lebih kecil daripada suku-suku suatu deret koverge atau lebih besar daripada suku-suku suatu deret diverge. Jika suku-sukuya lebih besar daripada suku-suku suatu deret koverge atau lebih kecil daripada suku-suku suatu deret diverge, maka uji perbadiga tidak berlaku. Tijau, misalya, deret Barisa da Deret Page 7

Ketaksamaa = 2 2 > 2 tak bergua sepajag yag ditijau adalah uji perbadiga sebab b = 2 koverge da a > b. Namu demikia, kita mempuyai dugaa bahwa / (2 ) haruslah koverge sebab deret ii sagat mirip dega deret geometrik dapat diguaka. Bukti 2 Teorema B (Uji Badig Limit) Adaika a 0, b 0 da yag koverge. Dalam kasus demikia uji berikut a lim = L b Apabila 0 < L < maka a da b bersama-sama aka koverge atau diverge. Apabila L=0 da b koverge; maka a koverge. Karea lim a b = L berarti utuk setiap ɛ=l/2 ada bilaga positif N sedemikia higga utuk setiap N a b L < L/2 Pertidaksamaa ii setara dega L 2 < a b L < L 2 L 2 < a b < 3L 2 (dega meambahka L pada seluruh ruas) (semua ruas dikalika b ) L 2 b < a < 3L 2 b Akibatya, L 2 b < a < 3L 2 b Barisa da Deret Page 8

Jadi utuk N, L 2 b < a da a < 3L 2 Berdasarka kedua pertidaksamaa tersebut da sesuai dega Uji Badig Biasa, terlihat bahwa b () Jika a koverge, maka L 2 b juga koverge sehiga b (2) Jika b koverge, maka 3L 2 b juga koverge sehiga a Sehigga a da b bersama-sama koverge atau diverge. Diketahui a 0 da b 0. Karea L=0 maka a b 0 utuk yag cukup besar. Ii berakibat 0 < a < b. Karea b koverge maka berdasarka Teorea Uji Badig a koverge. Cotoh 6 Ujilah apakah deret Peyelesaia = 2 koverge atau diverge. Kita guaka uji perbadiga limit dega a = 2 da memperoleh lim a b Karea limit ii ada da 2 b = 2 2 /2 = > 0 /2 merupaka deret geometrik yag koverge, deret di atas koverge meurut Uji Perbadiga Limit. Perhatika bahwa dalam meguji bayak deret kita memperoleh suatu deret pembadig b yag cocok, cukup dega meyisaka pagkat tertiggi pada pembilag da peyebutya. Cotoh 7 Tetuka apakah deret-deret berikut koverge atau diverge. (a) 3 2 = 3 2 2 + Barisa da Deret Page 9

(b) = Peyelesaia 2 +9 Kita guaka Uji Badig Limit. Utuk ii kita terlebih dahulu harus meetuka pembadig suku ke- deret ii. Kita harus memeriksa betuk suku ke- utuk yag besar; yag dapat kita tetuka dega melihat sukusuku derajat tertiggi dalam pembilag da peyebut suku umum. (a) Utuk deret (a), bagia domia dari pembilag adalah 3 da bagia domia dari peyebut adalah 3. Hal ii medorog kita utuk megambil a = sehigga 3 2 = da b 3 2 2 + = 3 = 3 3 2 a (3 2)/( 3 2 + ) lim b 3/ 2 3 2 2 2 3 3 6 2 + 33 = Karea b = 3 2 = 3 2, dimaa /2 adalah deret-p dega p=2, maka b adalah deret koverge. Jadi, sesuai dega Teorema Uji Badig Limit, deret (a) koverge. (b) Utuk deret (b), bagia domia dari pembilag adalah da bagia domia dari peyebut adalah 2. Hal ii medorog kita utuk megambil a = = da b = 2 = 2 +9 a / 2 + 9 lim b / 2 2 + 9 = Karea b =, dimaa / adalah deret harmoik yag diverge maka sesuai dega Teorema Uji Badig Limit, deret (b) diverge. Cotoh 8 Tetuka apakah deret 2 2 + 3 = koverge atau diverge! 5+ 5 Barisa da Deret Page 20

Peyelesaia Bagia domia dari pembilag adalah 2 2 da bagia domia dari peyebut adalah 5 = 5/2. Ii medorog kita utuk megambil a = 22 + 3 5 + 5 b = 22 5/2 a 2 2 + 3 lim b 5 +. /2 5 2 2 5/2 + 3 3/2 2 5 + 5 lim 2 + 3 2 5 5 + = 2 + 0 2 0 + = Karea b = 2 / /2 diverge (deret-p dega p = 2 diverge meurut uji perbadiga limit. < ), deret di atas Cotoh 9 Apakah Peyelesaia l = koverge atau diverge? 2 Ke betuk maa kita aka membadigka l 2? Jika kita badigka dega / 2 kita peroleh a l lim b 2 : 2 l = Membadigka dega / 2 tampak tidak berhasil, kita coba dega deret /, kita peroleh a l lim b 2 : l = 0 Hasil ii juga tidak memberika kesimpula karea deret / diverge. Mugki dega deret yag sukuya atara / 2 da / dapat meghasilka sesuatu. Misalya / 3/2 dalam hal ii a l lim b 2 : l 3/2 = 0 Barisa da Deret Page 2

(hasil terakhir ii megguaka kaidah I Hopital pada betuk lim x l x/ x). Oleh karea / 3/2 koverge maka deret (lx)/ 2 koverge (meurut bagia kedua uji coba badig limit). MEMBANDINGKAN SUATU DERET DENGAN DIRINYA Utuk dapat megguaka Uji Badig diperluka wawasa luas tetag macam-macam deret yag telah diketahui kekovergea atau kedivergeaya. Kecualiya itu kita harus dapat memilih deret yag hedak dibadigka. Oleh karea kesulita-kesulita itu, kita kemukaka di bawah ii suatu pegujia yag tidak memerluka pegetahua deret lai, kecuali deret yag hedak kita selidiki itu. Teorema C (Uji Hasil Bagi) Adaika a sebuah deret yag sukuya positif da adaika a + lim = ρ a Bukti (i) Jika ρ <, maka deret koverge (ii) Jika ρ >, maka deret diverge (iii) Jika ρ =, pegujia ii tidak memberika kepastia. Iilah yag dimaksudka oleh uji hasilbagi. Oleh karea lim a + a = ρ, maka a + ρa ; ii berarti bahwa deret ii berperilaku seperti suatu deret geometri dega pembadig ρ. Suatu deret geometri aka koverge apabila hasilbagi ρ kurag dari da diverge apabila hasilbagi itu lebih dari. Uraia di atas itu tetuya aka kita tuagka dalam ugkapa yag lebih tepat sebagai berikut. (i) Oleh karea ρ <, kita dapat memilih bilaga r sehigga ρ < r < (misalya, r = (ρ+)/2). Karea lim a a = ρ maka dapat dipilih bilaga asli N sedemikia sehigga utuk N berlaku a + a a N+ < ra N < r maka a N+2 < ra N+ < r 2 a N Barisa da Deret Page 22

a N+3 < ra N+2 < r 3 a N. Oleh karea ra N + r 2 a N + r 3 a N + deret geometri dega 0<r<, maka deret ii aka koverge. Dega megguaka uji badig, biasa =N+ a koverge sehigga = a juga koverge. (ii) Adaika ρ >, karea lim a a = ρ maka dapat dipilih bilaga asli N sedemikia sehigga a + a > utuk semua N. Jadi a N+ > a N a N+2 > a N+ > a N Jadi, a >a N >0 utuk semua > N, yag berarti bahwa lim a tidak mugki sama dega ol. Maka meurut Uji Coba suku-, deret a diverge. (iii)kita tahu / diverge sedagka / 2 koverge. Utuk deret yag pertama, Utuk deret kedua, a + lim a + : + = a + lim a ( + ) 2 : 2 ( + ) 2 = Jadi, Uji Hasilbagi ii tidak dapat membedaka deret yag koverge dega deret yag diverge apabila ρ =. 2 Uji hasilbagi itu selalu aka gagal utuk sebuah deret yag suku ke- ya adalah betuk rasioal dalam, sebab dalam hal ii ρ = ( kasus a =/ da a =/ 2 telah dibahas di atas). Utuk sebuah deret yag suku ke- ya memuat! atau r, Uji Hasilbagi ii dapat memberika peyelesaia yag baik. Cotoh 0 Tetuka apakah deret 5 2 =! koverge atau diverge! Barisa da Deret Page 23

Peyelesaia a + ρ a 5 2+ +! 2.! 5 2 Meurut Uji Hasilbagi deret itu koverge. 5 2+ 52 = ( + )52 + 0 < Cotoh Apakah deret Peyelesaia 2 = koverge atau diverge?! a + ρ a 2 + +! 2.! 2 2 Meurut Uji Hasilbagi deret itu koverge. 2 ( + ) = 0 Cotoh 2 Selidiki apakah Peyelesaia 2 = koverge atau diverge 20 2 + a + 20 ρ. a ( + ) 20 2 Kita simpulka bahwa deret itu diverge. + 20. 2 = 2 Cotoh 3 Periksalah apakah deret Peyelesaia 4 + Perhatika betuk deret tersebut. = 4 +! = koverge atau diverge! = =! 4! +! Kita perhatika jumlaha yag pertama. Sehigga deret a + ρ a 4! = = 4! + =! 4 + +!.! 4 = 4 + 0 < = koverge meurut Uji Hasil Bagi. a + + ρ a +!.! = 0 < Barisa da Deret Page 24

Sehigga deret = koverge meurut Uji Hasil Bagi.! Jadi, dega megguaka sifat keliiera, deret 4 + = koverge.! Cotoh 4 Selidiki deret! = Peyelesaia meurut teorema Sehigga lim + a + +! ρ a ( + ) Jadi deret koverge. = e +.! ( + ) ( + = < ) + (i) Jika a >0 da lim a (ii) Jika a >0 da lim a Jika lim a UJI AKAR = R <, maka deret = a koverge. = R >, maka deret = a diverge. =, maka Uji Akar tidak memberi iformasi apapu. Deret a bisa koverge atau diverge. (Jika ρ = dalam Uji Rasio, jaga mecoba Uji Akar karea R aka tetap sama dega ) Bukti: (i) Diketahui a >0 da lim a = R < Misalka r adalah bilaga atara R da dimaa 0 R < r <, maka a < r jadi a < r utuk yag cukup besar. Karea r adalah deret geometri yag koverge (dimaa 0 < r < ), maka meurut Teorema Uji Badig a koverge. (ii) Diketahui a >0 da lim a = R > Barisa da Deret Page 25

Misalka r adalah bilaga atara R da dimaa < r < R, maka a > r jadi a > r utuk yag cukup besar. Karea r adalah deret geometri yag diverge (dimaa r ), maka meurut Teorema Uji Badig a diverge. Cotoh 5 Ujilah kovergesi deret = 2+3 3+2 Peyelesaia a 2 + 3 a = 3 + 2 = 2 + 3 3 + 2 = 2 + 3 3 + 2 2 3 < Jadi, deret di atas koverge meurut Uji Akar. Barisa da Deret Page 26

BAB III PENUTUP 3. Simpula Utuk meguji apakah deret a koverge atau diverge, perhatika a dega seksama. dega suku-suku positif itu. Jika deret berbetuk / p, deret ii merupaka deret-p, yag kita tahu koverge jika p> da diverge jika p. 2. Jika deret berbetuk ar atau ar, deret ii merupaka deret geometrik, yag koverge jika r < da diverge jika r. Suatu maipulasi aljabar mugki perlu dilakuka utuk megubah deret ke betuk ii. 3. Jika deret mempuyai betuk yag mirip dega deret-p atau deret geometrik, maka salah satu dari uji-uji perbadiga ii harus dipertimbagka. Khususya, jika a merupaka fugsi rasioal atau fugsi aljabar dari (melibatka akar poliom), maka deret harus dibadigka dega suatu deret-p. 4. Jika ada dapat melihat sekilas bahwa lim a 0, maka Uji Divergesi harus diguaka. 5. Deret yag melibatka faktorial atau hasilkali laiya (termasuk suatu kostata yag diaikka mejadi pagkata ke-) serigkali lebih mudah diuji dega Uji Rasio. Igat bahwa a + / a utuk semua deret-p da kareaya semuaya merupaka fugsi rasioal atau aljabar dari. Jadi, Uji Rasio tidak dapat diguaka utuk deret demikia. 6. Jika a berbetuk ( b ), maka Uji Akar mugki bergua. 7. Jika a = f(), di maa f x dx dega mudah dapat dihitug, maka Uji Itegral aka efektif (dega asumsi bahwa hipotesis-hipotesis utuk uji ii dipeuhi). Barisa da Deret Page 27

3.2 Sara Sara yag bisa peulis berika dalam peulisa makalah ii adalah perlu adaya pegkajia lebih lajut dalam pegujia kekovergea deret, dimaa pegujia kekovergea tidak haya dilakuka utuk deret dega suku-suku positif saja tetapi juga utuk deret yag lai. Barisa da Deret Page 28

DAFTAR PUSTAKA Purcell, Edwi J. da Dale Varberg. 987. Kalkulus da Geometri Aalitis. Jilid. Edisi kelima. Peerjemah: I Nyoma Susila, dkk. Jakarta: Peerbit Erlagga. Purcell, Edwi J. da Dale Varberg. 987. Kalkulus da Geometri Aalitis. Jilid 2. Edisi kelima. Peerjemah: I Nyoma Susila, dkk. Jakarta: Peerbit Erlagga. Purcell, Edwi J. da Dale Varberg. 987. Kuci/Peyelesaia Soal-soal Kalkulus da Geometri Aalitis. Jilid 2. Edisi keempat. Peerjemah: I Nyoma Susila, dkk. Jakarta: Peerbit Erlagga. Stewart, James. 2003. Kalkulus. Edisi keempat. Peerjemah: I Nyoma Susila da Hedra Guawa. Jakarta: Peerbit Erlagga Sugima. 2005. Kalkulus Lajut. Malag: Peerbit Uiversitas Negeri Malag