Prosidig Semiar Nasioal Statistika Uiversitas Padadara 3 November 00 S.3 EVALUASI INTEGRAL MONTE CARLO DENGAN METODE CONTROL VARIATES ulhaif adi Suriadi Jurusa Statistika FMIPA Uiversitas Padadara Badug Idoesia Jurusa Statistika FMIPA Uiversitas Padadara Badug Idoesia e-mail: dzulhaif@yahoo.om yadi@bdg.etri.et.id Metode Mote Carlo adalah algoritma komutasi utuk mesimulasika berbagai erilaku sistem fisika matematika da statistika. Pegguaa klasik metode ii adalah utuk megevaluasi itegral defiit terutama itegral multidimesi dega syarat da batasa yag rumit yag dikeal sebagai metoda itegral Mote Carlo. Pada makalah ii aka diteliti egguaa metoda Cotrol Variates utuk mereduksi varias dari roses evaluasi itegral Mote Carlo Kata kui : Itegral Mote Carlo Cotrol Variates. Pedahulua Pegguaa simulasi serig utuk megevaluasi itegral yag dikeal dega itegral Mote Carlo salah satu otoh egguaaya dalah utuk meghitug ilai haraa dari suatu variable aak : E X xf x dx. Maaeme Risiko di Bidag Perbaka da Asurasi 0
Prosidig Semiar Nasioal Statistika Uiversitas Padadara 3 November 00 Dalam bayak kasus terdaat kesukara dalam meghitug ilai haraa seara aalitis dari suatu variabel aak X. Oleh karea aka diambil samel aak berukura x x K x dari distribusi X da megguaka samel ii utuk memerkiraka ilai ratarata dari X : E X x i i Argume ii dega mudah daat geeralisasi. Misalka utuk meghitug ilai haraa dari beberaa fugsi dari X katakalah φ. Kemudia 3 θ φ x f x dx da θ E φ X meruaka ilai haraa variable aak φ X dega fugsi desitas f x. Kemudia ika diambil samel x x K x dari distribusi X kita medaati bahwa 4 θ φ x i i θ meruaka taksira takbias utuk θ. Proses ii ersis sama dega meghitug ilai haraa dari rata-rata samel utuk memerkiraka ilai rata-rata teoritisya. Pedekata ii sagat mudah diguaka bahka utuk distribusi multidimesi. Namu metoda ii memiliki sisi egatifya yaitu ilai varias yag besar dari estimator Pada makalah ii aka dikemukaka metoda eguraga varias dalam simulasi yag dikeal sebagai metoda Cotrol Variates utuk mereduksi varias dari estimator θ. θ. Maaeme Risiko di Bidag Perbaka da Asurasi
Prosidig Semiar Nasioal Statistika Uiversitas Padadara 3 November 00. Metode Cotrol Variates Adaika dalam ilai θ E dimaa h da meruaka outut dari suatu exerime simulasi. Adaika uga terdaat variabel yag uga meruaka outut dari suatu exerime simulasi da diasumsika ilai E daat dieroleh dega mudah da eaksir tak bias utuk θ adalah :. θ. θ + E dimaa meruaka sebuah bilaga real sehigga E θ θ da memiliki ilai varias Varθ adalah : Var θ Var + Var + Cov 5 diharaka ilai Varθ miimum dega memilih ilai tertetu dega megguaka kalkulus didaat ilai adalah : 6 Cov Var Subsitusi ilai kedalam ersamaa didaat: Cov Var θ Var Var 7 Dari ersamaa 3 daat dilihat bahwa ilai Varθ aka tereduksi ika ilai Cov 0 dalam hal ii variabel adalah otrol variate. Modifikasi algoritma simulasi yag aka dilakuka adalah dega memasuka variabel dalam ersamaa sbb: Maaeme Risiko di Bidag Perbaka da Asurasi
Prosidig Semiar Nasioal Statistika Uiversitas Padadara 3 November 00 Maaeme Risiko di Bidag Perbaka da Asurasi 3 E i i i + θ 8 Sedagka ilai Cov ditaksir melalui simulasi awal sbb: E Cov 9 E Var 0 Sehigga didaat Var Cov Seara legka algoritma metode otrol variates disaika sbb: 3. Desai Simulasi
Prosidig Semiar Nasioal Statistika Uiversitas Padadara 3 November 00 Utuk megetahui erformasi ilai taksira dega megguaka algoritma Metode Cotrol Variates aka ditaksir ilai taksira dari ilai eksektasi U+ W θ E e dega rosedur simulasi sbb:. Bagkitka 000 samel IID U0 utuk masig-masig ilai U...U da W...W. Hitug ilai fugsi U + W U + W e... e da U + W U + W... 3. Hitug ilai Cov Var 4. Ulagi lagkah da da hitug ilai V + E 5. Hitug E V U+ W Tabel Nilai Taksira θ E e Metoda Rata-rata Varias Cotrol Variates 4.939 3.8 No Cotrol Variates 5.0340 6.507 4. Kesimula da Sara Itegral Mote Carlo dega metode Cotrol Variates meruaka salah satu alteratif yag daat diilih utuk meari ilai hamira dari itegral tetu. Ada beberaa keutuga dari metoda ii: Maaeme Risiko di Bidag Perbaka da Asurasi 4
Prosidig Semiar Nasioal Statistika Uiversitas Padadara 3 November 00. Perhituga dega metoda ii relatif mudah. Daat diguaka utuk meari hamira itegral tetu yag iterval egitegralaya berua iterval yag aagya tak berhigga. 3. Daat diguaka utuk meari hamira dari itegral tetu dari fugsi lebih dari satu eubah. 4. Nilai hamira yag dieroleh relatif uku baik asal diilih yag uku besar Daftar Pustaka Edwi J.Purell Calkulus ad Aalyti Geometri 7th ed.pretie Hall. Hogg R.V. ad Craig Itrodutio to Mathematial Statistis5th ed.. Mamilla. Ross Shelldo.M SimulatioHarourt Aademi Press 997. Maaeme Risiko di Bidag Perbaka da Asurasi 5