CAP (THE CAPITAL AET PRICING ODEL N-OEN PADA AURANI BENCANA EPTIAWATI G5403054 DEPARTEEN ATEATIKA FAKULTA ATEATIKA DAN ILU PENGETAHUAN ALA INTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 007
ABTRACT EPTIAWATI. CAP (The Captal Assets Prcng odel N-oment On Catastrophe Insurance. upervsed by EFFENDI YAHRIL and DONNY CITRA LEANA. kewness s a devaton that occurs to the dstrbuton of rate of return. kewness causes dsequlbrum n premum, rate of return and rsk. One of the applcaton of skewness can be found n catastrophe nsurance. Because of the rareness and randomness of catastrophe, the rate of return s asymmetrcally dstrbuted. Hence, we need an estmator model n rsk and returns that s asymmetrcally dstrbuted. CAP s a rsk and return estmator of rsky assets. CAP accurately predct the relatonshp of rsk and return of normally dstrbuted data. However, t s not accurate for asymmetrcally dstrbuted data. For ths knd of data, we need to modfy -moment CAP to be 3-moment CAP. Usng thrd central moment, we can calculate the dstrbuton of rate of return for asymmetrcally dstrbuted data. Further more, a modfcaton of 3-moment CAP can be appled to calculate the rsk of return of catastrophe nsurance companes.
ABTRAK EPTIAWATI. CAP (The Captal Assets Prcng odel N-omen pada Asurans Bencana. Dbmbng oleh EFFENDI YAHRIL dan DONNY CITRA LEANA. kewness adalah ukuran penympangan yang terjad pada nla dar sebaran mbal hasl. kewness dalam suatu nla pada sebaran mbal hasl menyebabkan terjadnya ketdaksembangan pada nla prem, mbal hasl, dan rsko. Contoh nyata dar sebaran yang mengalam penympangan adalah nla mbal hasl perusahaan asurans bencana. Bencana yang bersfat acak dan langka menyebabkan nla dar sebaran mbal hasl perusahaan asurans bencana mengalam penympangan dan menyebar asmetrs, sehngga dperlukan suatu model penduga rsko dan mbal hasl yang menyebar asmetrs. CAP (The Captal Assets Prcng odel adalah suatu model penduga mbal hasl dan rsko pada aset bersko. CAP dgunakan untuk data yang menyebar normal dan kurang tepat untuk suatu nla mbal hasl yang menyebar asmetrs. Untuk dapat menghtung nla dar mbal hasl yang mengalam penympangan dperlukan pengembangan CAP yang hanya melbatkan - momen pertama menjad CAP 3-momen. Keterlbatan momen pusat ke-3 pada CAP 3-momen menyebabkan CAP 3-momen n dapat dgunakan untuk menghtung sebaran mbal hasl yang asmetrs. Kemudan, CAP 3-momen akan dkembangkan lag untuk aplkas pada mbal hasl perusahaan asurans bencana. Dengan menggunakan pengembangan CAP 3-momen perusahaan asurans bencana dapat menghtung suatu mbal haslnya yang mengalam penympangan.
CAP (THE CAPITAL AET PRICING ODEL N-OEN PADA AURANI BENCANA krps ebaga salah satu syarat untuk memperoleh gelar arjana ans pada Fakultas atematka dan Ilmu Pengetahuan Alam Insttut Pertanan Bogor Oleh: EPTIAWATI G5403054 DEPARTEEN ATEATIKA FAKULTA ATEATIKA DAN ILU PENGETAHUAN ALA INTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 007
Judul Nama NI : CAP (The Captal Assets Prcng odel N-omen pada Asurans Bencana : eptawat : G5403054 enyetuju : Pembmbng I, Pembmbng II, Drs. Effend yahrl, Grad.Dpl. Donny Ctra Lesmana,.c. NIP. 3 804 63 NIP. 3 3 97 engetahu : Dekan Fakultas atematka dan Ilmu Pengetahuan Alam Insttut Pertanan Bogor Prof. Dr. Ir. Yonny Koesmaryono,.. NIP. 3 473 999 Tanggal Lulus :
RIWAYAT HIDUP Penuls dlahrkan d Jakarta pada tanggal 3 eptember 984 dar pasangan Yusuf dan Hlala. Penuls merupakan anak ketga dar empat bersaudara. Tahun 003 penuls lulus dar UN 48 Pnang Rant Jakarta dan pada tahun yang sama dterma sebaga mahassw Departemen atematka, Fakultas atematka dan Ilmu Pengetahuan Alam, Insttut Pertanan Bogor melalu jalur PB (eleks Penermaan ahasswa Baru. elama mengkut kegatan perkulahan, penuls aktf dalam kepantaan yang dselenggarakan oleh Badan Eksekutf ahasswa maupun oleh GUATIKA (Gugus ahasswa atematka pada perode 004/005 dan perode 005/006.
KATA PENGANTAR Puj dan syukur kehadrat Allah WT atas rahmat dan karuna-nya sehngga penuls dapat menyelesakan karya lmah n. halawat serta salam tercurah kepada junjungan kta nab besar uhammad AW yang telah memberkan sur tauladan kepada umatnya hngga akhr jaman. Karya lmah n dsusun sebaga salah satu syarat untuk memperoleh gelar arjana ans pada program stud atematka. Penuls mengucapkan terma kash kepada :. Bapak Drs. Effend yahrl, Grad.Dpl. selaku Pembmbng I yang telah meluangkan waktu untuk memberkan bmbngan, pengarahan, semangat, dan saran sehngga penuls dapat menyelesakan karya lmah n.. Bapak Donny Ctra Lesmana,.c. selaku Pembmbng II atas bmbngan dan saran yang telah dberkan. 3. Ibu Ir. Retno Budart,.. selaku Penguj yang telah memberkan saran dan masukannya. 4. Keluarga d Condet (ama dan Papa, Kaka, Kk, bam, dan De Dhka terma kash atas doa, cnta, semangat, dan kash sayangnya. 5. Dan Eka Pratw (Iwt, Ifn Husnul Khotmah (Ifn, dan Dw Putr ethasar (etha atas persahabatan, semangat, dan kebersamaannya selama d IPB. 6. ansyur Husjan,.. atas doa, nashat, perhatan, semangat, dan kash sayangnya. 7. Dosen-dosen atas lmu yang telah dberkan kepada penuls, serta staff departemen matematka, terma kash atas bantuan selama d Departemen atematka. 8. ahabat-sahabat : Vna (yang selalu memberkan keceraan dan semangat, Gatha, Ame (makash buat perhatan dan bantuannya, Gandronk, ka, Icha, Ache (terma kash atas semangat dan bantuannya, uche, Om Rama, Bedu, Azs, dan Rusl (terma kash atas semangat, persahabatan, jalan-jalannya, dan keceraannya. 9. Teman-teman tercnta : anto, r (makash atas semangatnya, Els, ta, Uly, Kaf, Ar, Al, ayang, Hern, Waldah, awa, Dmas, Fee, Jayu, Abay, arln, Nche, Putra, Uve, Berry, Prma, Yuda, Dw Puspa, Nsa (tetap semangat, makash telah berseda menjad pembahas, Aam, Ll, Anton, Ucup, Dem. Terma kash atas kebersamaannya selama n. 0. emua mahasswa/ matematka atas dukungannya, khususnya Ka Dc 38 (terma kash atas bantuannya, Eche, Ftr, ta, Kuren math 4, Ppt 4. Terma kash atas bantuannya.. Keluarga mungl Pondok Kencana (Venny, Ale, Anjun, dan Lals atas kebersamaannya dan wsma Blobo atas semua bantuannya.. emua phak yang kut membantu dan penuls tdak dapat menyebutkan satu persatu. emoga karya lmah n dapat bermanfaat bag phak yang membaca. Bogor, Oktober 007 eptawat
DAFTAR II Halaman PENDAHULUAN Latar Belakang... Tujuan... etodolog... stematka Penulsan... LANDAAN TEORI Ruang Contoh, Kejadan, dan Peluang... Peubah Acak, Fungs ebaran, dan Fungs Kerapatan assa... Nla Harapan, tandar Devas, Koragam... Fungs Pembangkt omen, omen, omen Pusat... 3 kewness, Coskewness... 3 Deret Taylor, Fungs Utltas Joan, Teorema Lagrange... 3 PEBAHAAN odel eleks Portofolo arkowtz... 4 Pemlhan Portofolo... 5 CAP -omen... 6 CAP 3-omen... 7 CAP N-omen... 8 fat-fat Koragam dan Coskewness... 8 CAP 3-omen pada Asurans Bencana... 9 CAP N-omen pada Asurans Bencana... 0 IPULAN... 0 DAFTAR PUTAKA... 0 LAPIRAN...
PENDAHULUAN Latar Belakang Banyak kejadan alam yang tdak dapat dduga-duga kejadannya msalnya banjr, tanah longsor, tsunam, angn bada, gempa, dan lan-lan. Tdak seorangpun yang mengetahu kapan bencana alam yang merugkan banyak orang tu akan terjad. Kerugan yang dderta pun cukup besar. Untuk mengatas kerugan akbat bencana, salah satu alternatfnya adalah dengan mengkut jamnan asurans bencana. Asurans merupakan salah satu cara pembayaran gant rug kepada phak yang mengalam musbah, sehngga orang yang mengalam musbah dapat mengatas rsko yang dtmbulkan akbat suatu bencana walaupun kerugan tetap terjad. Bencana yang bersfat acak dan langka dapat menyebabkan nla dar mbal hasl perusahaan asurans menyebar asmetrs. Karena tu, dapat dtemu suatu kecondongan (skewness pada nla sebarannya. kewness dgunakan untuk mengukur sebaran asmetrs dar sebaran peluang yang memlk peubah acak yang bernla rl. Dalam bencana terdapat rsko, kerugan, dan ketdakpastan. ehngga phak (perusahaan asurans bencana perlu mempertmbangkan mbal hasl yang akan ddapatkan. Perusahaan asurans bencana tdak ngn mengalam kerugan dan untuk tu dperlukan manajemen rsko, yatu mengurang kemungknan kerugan atau mengurang rsko yang dakbatkan oleh kerugan yang terjad. Dengan demkan, dperlukan suatu model pendugaan mengena kesetmbangan mbal hasl pada aset bersko dan penentuan mbal hasl aset untuk menghtung mbal hasl perusahaan asurans bencana. Dengan menggunakan model pendugaan, perusahaan asurans dapat menghtung mbal hasl yang dharapkannya. The Captal Assets Prcng odel (CAP dapat memberkan predks yang tepat tentang hubungan antara rsko dan mbal haslnya. Dalam CAP, standar devas dar suatu nla mbal hasl adalah ukuran dar rsko yang dhadap oleh nvestor. tandar devas berakbat pada rsko sstematk (beta yang dperhtungkan dalam pasar fnansal. CAP n melbatkan momen pusat ke-, sehngga CAP dapat dgunakan untuk menghtung ketdakpastan mbal hasl. Namun CAP -momen hanya berlaku untuk nla dar sebaran mbal hasl yang menyebar smetrs. Untuk menghtung suatu sebaran mbal hasl yang asmetrs dperlukan momen pusat ke-3. ehngga dperlukan pengembangan model CAP -momen menjad CAP 3-momen. Untuk penerapan pada asurans bencana, akan dlakukan modfkas pada CAP 3-momen. Tujuan Tujuan dar karya lmah n adalah menelaah ulang pengembangan model CAP 3-momen dan model asurans CAP 3-momen yang melbatkan skewness dar suatu aset untuk menghtung prem kesetmbangan pada asurans bencana sebaga kompensas dar baya kecondongan yang terjad. etodolog etode penulsan karya lmah n adalah stud pustaka. Jurnal utama karya lmah n merujuk pada Kozk, T. J. dan Larson, A.. 00. The N-omen Insurance CAP. Allstate Insurance Company. Bahan-bahan yang menunjang penulsan karya lmah n dperoleh dar buku-buku dan jurnal yang terkat dengan tulsan. stematka Penulsan Penulsan karya lmah n terdr atas lma bab. Bab I bers penjelasan mengena latar belakang, tujuan, metodolog dar karya lmah n. Pada Bab II dbahas mengena nla harapan, ekspans deret Taylor, teorema Lagrange, skewness, dan fungs utltas Joan yang akan dgunakan untuk menunjang karya lmah n. Bab III menyajkan pembahasan dar model CAP -momen, CAP 3-momen, CAP n-momen, perumusan model untuk asurans CAP 3-momen, dan asurans CAP n-momen. Pada Bab IV dsajkan kesmpulan dar karya lmah n.
LANDAAN TEORI Ruang Contoh, Kejadan, dan Peluang Defns (Percobaan Acak Percobaan acak adalah suatu percobaan yang dapat dulang dalam konds yang sama, namun hasl pada percobaan berkutnya tdak dapat dtebak dengan tepat, tetap dapat dketahu kemungknan hasl yang muncul. [Hogg dan Crag, 995] Defns (Ruang Contoh Ruang contoh adalah hmpunan yang beranggotakan semua hasl yang mungkn muncul dar suatu percobaan acak dan basa dnotaskan dengan Ω. [Hogg dan Crag, 995] Defns 3 (edan- edan- adalah suatu hmpunan F yang anggotanya terdr atas hmpunan bagan ruang contoh Ω, yang memenuh konds berkut:. F,. Jka A, A,... F maka U A F, c 3. Jka A F maka A F. [Grmmett dan trzaker, 99] Defns 4 (Ukuran Peluang salkan F adalah medan- dar ruang contoh Ω. Ukuran peluang adalah suatu fungs P : F [0,] pada ( Ω, F yang memenuh:. P( 0, P( Ω,. Jka A, A,... F adalah hmpunan yang salng lepas yatu A Aj untuk setap pasangan j, maka P U A P( A. [Grmmett dan trzaker, 99] Peubah Acak, Fungs ebaran, dan Fungs Kerapatan assa Defns 5 (Peubah Acak salkan Ω adalah ruang contoh dar suatu percobaan acak. Fungs X yang terdefns pada Ω yang memetakan setap unsur ω Ω ke satu dan hanya satu blangan real X( ω x dsebut peubah acak. Ruang dar X adalah hmpunan bagan A x: x X( ω, ω Ω. [Hogg dan Crag, 995] blangan real { } Defns 6 (Fungs ebaran Fungs sebaran peubah acak X adalah fungs F : R [ 0,], yang ddefnskan oleh FX ( x P( X x. [Grmmett dan trzaker, 99] Defns 7 (Peubah Acak Dskret Peubah acak X dkatakan dskret jka hmpunan semua nla { x, x,... } merupakan hmpunan tercacah. [Grmmett dan trzaker, 99] Defns 8 (Fungs Kerapatan assa Fungs kerapatan massa dar peubah acak dskret X adalah fungs p: R [ 0,], yatu px ( x P( X x. [Grmmett dan trzaker, 99] Nla Harapan, tandar Devas, Koragam Defns 9 (Nla Harapan Jka X adalah peubah acak dskret dengan p x, maka nla fungs kerapatan massa X ( harapan dar X, dnotaskan dengan E [ X ], adalah [ ] ( E X x p x x asalkan jumlah d atas konvergen mutlak. Beberapa sfat dar nla harapan. Jka k suatu konstanta, maka E [ k] k.. Jka k suatu konstanta dan v, v adalah peubah acak, maka E [ kv + kv ] ke [ v] + ke[ v]. ecara umum, jka k, k,..., kn adalah konstanta dan v, v,..., vn adalah peubah acak, maka E [ kv + kv +... + kv n n] ke [ v] + ke [ v ] +... + ke n [ vn]. [Grmmett dan trzaker, 99] Defns 0 (Ragam Ragam dar peubah acak X adalah nla harapan dar kuadrat selsh antara X dengan nla harapannya, ddefnskan sebaga berkut X
3 Var( X E ( X - E[ X ] EX [ ] ( EX [ ]. [Hogg dan Crag, 995] Defns (tandar Devas Jka X adalah peubah acak maka standar devas dar X ddefnskan sebaga berkut X Var ( X. [Ghahraman, 005] Defns (Koragam salkan X dan Y dua peubah acak dengan E( X µ E Y µ, maka dan ( ( µ ( µ Cov( X, Y E X Y E( XY µ µ dsebut koragam peubah acak X dan Y. [Hogg dan Crag, 995] Fungs Pembangkt omen, omen, omen Pusat Defns 3 (Fungs Pembangkt omen Jka X adalah peubah acak dskret, t merupakan konstanta maka fungs pembangkt momen ddefnskan sebaga berkut tx tx X ( t E e e f( x x dengan h< t < h. elanjutnya, turunan pertamanya sebaga nla harapan dar peubah acak X ' d X( t X( t dt ' tx ( t xe f( x X x ' 0x X x ' X (0 EX [ ]. (0 xe f ( x xf ( x Kemudan, turunan keduanya sebaga nla harapan dar peubah acak X " d ' X( t X( t dt " tx ( t x e f( x X x " 0x X x x " X (0 EX [ ]. (0 xe f( x x f( x x [Hogg dan Crag, 995] Defns 4 (omen omen ke-k dar peubah acak X ddefnskan sebaga k mk E( X, k,,3,... [Hogg dan Crag, 995] Defns 5 (omen Pusat salkan nla harapan dar peubah acak X, m, maka momen pusat ke-k dar peubah acak X ddefnskan sebaga k mp E ( X m, k dengan k,, 3,.. [Hogg dan Crag, 995] kewness, Coskewness Defns 6 (kewness salkan X peubah acak dengan nla harapan µ, ragam, dan momen pusat ke-3 E ( X µ 3. Dalam teor peluang dan statstk, skewness mengukur sebaran E ( X µ 3 asmetrs. Nla dar dsebut 3 sebaga ukuran dar skewness. [Hogg dan Crag, 995] Defns 7 (Coskewness salkan X dan Y dua peubah acak dengan E( X a dan E( Y b, maka ([ ][ ] Cos( X, Y, Y E X a Y b dsebut coskewness peubah acak X dan Y. [Kozg dan Larson, 00] Deret Taylor, Fungs Utltas Joan, Teorema Lagrange Defns 8 (Deret Taylor Jka suatu fungs y f( x memlk turunan maka fungs tersebut memlk ekspans deret Taylor h f ( x+ h f( x + hf '( x + f "( x! 3 h + f '''( x +... 3! yatu h f ( xn+ f( xn + hf '( xn + f "( xn! 3 h + f "'( xn +... 3! p h ( p p+ + f ( xn + Ο ( h p!
4 dengan h xn+ xn. [Fsher, 988] Defns 9 (Fungs Utltas Joan Fungs utltas Joan ddefnskan sebaga berkut u( x x dengan x adalah kekayaan. Teorema (etode Lagrange [Wnston, 004] asalah dengan dua varabel dan satu kendala Untuk memaksmumkan atau memnmumkan f ( x, x terhadap kendala gx (, x 0, selesakan sstem persamaan berkut maksmumkan f( x, x dengan kendala gx (, x 0. Dar masalah tersebut, maka dperoleh fungs Lagrange sebaga berkut: l ( x, λ f( x + λg( x. yarat perlu untuk eksstens ttk ekstrm * X X akan terpenuh jka turunan parsal dar fungs Lagrange sama dengan nol, sehngga menghaslkan: l ( x, x, λ x f g ( x, x + λ ( x, x 0 (a x x l ( x, x, λ x f g ( x, x + λ ( x, x 0 (b x x dan l ( x, x, λ g( x, x 0. λ Dar Persamaan (a dan (b akan dhaslkan * * x, x. λ yang berpadanan ttk ekstrm ( dengan fungs gx (, x 0 dsebut pengal Lagrange. [Rao, 978] Defns 0 (Asurans Asurans atau pertanggungan adalah perjanjan antara dua phak atau lebh. Phak penanggung mengkatkan dr kepada phak tertanggung dengan menerma prem asurans untuk memberkan penggantan kepada tertanggung atas kerugan, kerusakan atau kehlangan, atau tanggung jawab hukum kepada phak ketga yang mungkn akan dderta tertanggung, yang tmbul dar suatu perstwa yang tdak past, atau untuk memberkan suatu pembayaran yang ddasarkan atas mennggal atau hdupnya seseorang yang dpertanggungkan (Undang- Undang Republk Indonesa Nomor Tahun 99. [Iskandar, 0-07-007] PEBAHAAN odel eleks Portofolo arkowtz Pada tahun 95, arkowtz mempublkaskan tulsannya yang berjudul Portfolo electon. Dalam tulsannya, arkowtz memperlhatkan bagamana membuat suatu portofolo dengan peluang yang lebh besar pada mbal hasl yang dharapkan dengan suatu tngkat rsko. ejak saat tu, seleks portofolo menjad hal pentng dalam ekonom keuangan dan dgunakan dalam pasar modal untuk membuat suatu portofolo efsen. arkowtz memasukkan prnsp dversfkas, yang akhrnya membuatnya memperoleh nobel ekonom 990. Prnsp dversfkas adalah suatu prnsp bernvestas pada beragam aset. Imbal hasl yang dharapkan dar suatu portofolo adalah penjumlahan dar mbal hasl yang dharapkan dar tap sekurtas pembentuk portofolo dkalkan dengan bobot masng-masng sekurtas dalam portofolo. salkan E ( r p merupakan nla harapan mbal hasl portofolo P dan w merupakan bobot-bobot sekurtas dalam portofolo, maka E ( r p dapat dtulskan sebaga berkut n ( p we ( r E r. Karena dalam pembentuk portofolo hanya dlhat sekurtas yang bersko saja, maka
5 jumlah bobot dalam suatu portofolo adalah satu, atau secara matemats dtuls n w. Ragam portofolo, dar portofolo dan p, mencermnkan rsko w adalah bobot-bobot sekurtas dalam portofolo. ecara matemats ragam dar suatu portofolo dtulskan sebaga berkut: n n p ww j j j dengan, adalah ragam sekurtas ke-. j adalah koragam sekurtas dan j, dengan j j, untuk j, dan ww j wjw. Portofolo arkowtz n dgunakan untuk memlh w sehngga p mnmum atau dapat dtulskan mn dengan kendala n { w } p w. Pemlhan Portofolo Pemlhan suatu sekurtas dalam pembentukan portofolo dbag ke dalam kasus sekurtas bersko dan bebas rsko. Ketka menunjukkan suatu peluang rsko mbal hasl yang ada bag nvestor dapat dtunjukkan oleh fronter ragam mnmum. Fronter adalah kurva ragam terendah yang bsa dcapa untuk mbal hasl yang dharapkan dar portofolo tertentu. Dalam menghadap masalah pemlhan portofolo, jka dperbolehkan short sales dalam pembentukan portofolo bersko maka portofolo bersko yang hanya terdr atas sebuah aset menjad tdak efsen. Tetap jka short sales tdak dperbolehkan maka sekurtas tunggal mungkn berada pada fronter, yatu kurva ragam terendah yang dcapa untuk nla harapan dar mbal hasl portofolo tertentu. Dengan menggunakan mbal hasl yang dharapkan, ragam, dan koragam maka dapat dhtung portofolo ragam mnmum untuk setap mbal hasl yang dharapkan. emua portofolo yang ada pada fronter ragam mnmum dar portofolo ragam global dan yang d atasnya memberkan kombnas mbal hasl rsko terbak menjad calon portofolo optmal. Gambar : Fronter ragam mnmum aset bersko Bagan fronter yang ada d atas portofolo mnmum global dsebut fronter efsen dar aset bersko (effcent fronter of rsky assets. elanjutnya, bagan dar optmsas adalah keterlbatan aset bebas rsko. Gars CAL (Captal Alocaton Lne adalah suatu gars yang menunjukkan semua kombnas rsko mbal hasl yang mungkn dan terseda dar berbaga plhan alokas aset. Gars n bermula dar r f dan lurus sampa ttk. Kemrngan CAL sama dengan kenakan mbal hasl yang dharapkan dar portofolo lengkap untuk setap kenakan dar standar devas. Kemrngan tersebut dsebut raso mbal hasl terhadap varabltas. Pada Gambar dapat dlhat bahwa ttk adalah ttk snggung dar CAL dan fronter. Ttk merupakan ttk portofolo optmal pada CAL. CAL dar portofolo optmal,, menynggung fronter efsen. CAL unggul d atas gars yang lan. Oleh karena tu, portofolo merupakan portofolo optmal. Gambar : CAL dan fronter dengan E ( r rf r f kemrngan CAL, mbal hasl bebas rsko, E ( r mbal hasl yang dharapkan pada pasar, standar devas pada pasar. ( E r E ( r portofolo ragam mnmum global fronter ragam mnmum E ( r r f fronter efsen fronter ( E r r f aset ndvdual CAL
6 odel CAP dbentuk dar CAL yang bersnggungan dengan portofolo yang efsen. Pada gars CAL n menunjukkan pertukaran rsko mbal hasl. CAL dperoleh dar portofolo bebas rsko dan bersko,. Investor akan memlh CAL yang curam karena mbal hasl yang dharapkan semakn besar. odel CAP -omen Kemampuan untuk mengestmas mbal hasl suatu sekurtas ndvdu merupakan hal yang sangat pentng dan dperlukan oleh nvestor. Untuk dapat mengestmas mbal hasl suatu sekurtas dengan bak dperlukan suatu model estmas. CAP merupakan suatu model untuk mengestmas kesetmbangan mbal hasl yang dharapkan dar suatu aset bersko. odel CAP -momen (klask sebaga berkut E( r rf + β[ E( r rf ] ( (lhat Lampran dengan r nla mbal hasl bebas rsko, f r nla mbal hasl pada aset ke-, E( r rf prem rsko atas sekurtas ndvdu, E( r rf prem rsko atas portofolo pasar, dan rsko sstemats. Ide dasar dar CAP (The Captal Assets β Prcng odel adalah menentukan harga kesetmbangan aset pada pasar. odel klask CAP telah dperkenalkan oleh harp (964, Lntner (965, dan ossn (966, dan tu telah dcatat sebaga kerangka dar kesetmbangan pasar modal sampa sekarang. Hubungan kesetmbangan pada mbal hasl hanya pada satu aset dan hanya pada satu faktor rsko yatu beta. CAP merupakan suatu alat penetapan harga aset yang mempredks tentang bagamana hubungan antara rsko dan mbal hasl yang dharapkan. Hubungan n mempunya dua fungs pentng. Pertama, menyedakan tolok ukur tngkat mbal hasl untuk mengevaluas alternatf nvestas yang mungkn. Kedua, model n dapat dgunakan untuk menduga mbal hasl yang dharapkan atas aset yang belum dperdagangkan d pasar. CAP mempunya beberapa asums penyederhanaan untuk mengarahkan pada vers dasar CAP sebaga berkut. Investor bersfat prce takers. Artnya, nvestor tdak dapat mempengaruh harga dan tdak ada monopol dar nvestor tertentu.. Terdapat banyak nvestor, masng-masng dengan jumlah kekayaan yang sangat kecl dbandngkan dengan total kekayaan seluruh nvestor. 3. eluruh nvestor merencanakan untuk satu perode nvestas yang dentk. 4. Investor yang rasonal berusaha mengoptmalkan mbal hasl dan rsko. 5. emua nvestor memlk nla harapan yang seragam pada mbal hasl sekurtas untuk sebarang waktu perode. 6. Tdak ada pajak dan tdak ada ongkos transaks. Int dar asums n adalah mencoba untuk memastkan bahwa ndvdu adalah mrp satu sama lan, kecual dalam hal besarnya kekayaan awal dan skap penghndaran terhadap rsko (rsk avers. Implkas dar model CAP adalah. etap nvestor akan bernvestas pada portofolo yang sama (portofolo pasar.. Portofolo pasar memuat semua aset yang dperdagangkan d pasar dengan propors nvestas adalah sama sepert propors saham dalam portofolo pasar. 3. Prem rsko pasar bergantung pada tngkat penghndaran rsko semua pelaku pasar. Prem rsko pasar merupakan selsh mbal hasl aset bersko dan aset bebas rsko. 4. Prem rsko masng-masng saham bergantung pada koragam saham tersebut dengan pasar. Nla harapan mbal hasl portofolo atas aset bebas rsko pada CAP -momen sama dengan prem rsko pasarnya dengan nla β adalah sama dengan satu. odel CAP -momen n dasumskan menyebar smetrs. elama sebaran peluangnya lebh atau kurang smetrs d sektar rata-rata, merupakan ukuran rsko yang cukup. Dalam kasus tertentu saja bahwa mbal haslnya dapat dasumskan menyebar normal. ebaran normal memlk cr pentng. Pertama, sebaran normal adalah smetrs dan dgambarkan secara lengkap oleh parameter yatu rata-rata dan standar devas. Cr pertama n berakbat bahwa rsko mbal hasl yang menyebar normal dapat dgambarkan secara penuh oleh standar devasnya. Kedua, rata-rata tertmbang dar varabel-varabel yang menyebar normal juga akan menyebar normal. Oleh karena tu, jka mbal hasl aset ndvdu menyebar normal,
7 mbal hasl portofolo apapun yang mengkombnaskan kumpulan aset n akan menyebar normal pula dan standar devasnya akan secara penuh menunjukkan rskonya. odel CAP 3-omen odel klask CAP -momen yang dperkenalkan oleh harp (964, Lntner (965, dan ossn (966 mendapat banyak penolakan dan krtkan dar beberapa orang. Berdasarkan hasl emprs yang telah dlakukan menunjukkan bahwa CAP klask tdak konssten. Kraus-Ltzenberger memula suatu dskus tentang momen yang lebh tngg dalam CAP yang dtulskan pada sebuah tulsan berjudul kewness Preference and The Valuaton of Rsk Assets. Kraus- Ltzenberger juga menyampakan bahwa perlu dtambahkan skewness pada CAP untuk penlaan suatu aset. Berdasarkan pendugaan beta dan gamma saham NYE dar Januar 96 sampa Desember 935, Kraus-Ltzenberger mendapatkan bukt yang melbatkan skewness pada prem rsko (dkutp dar tess yang berjudul Prcng kewness and Kurtoss Rsk on the wedsh tock arket. ehngga CAP 3-momen dapat lebh efektf pada proses pembentukan harga aset darpada - momen mean-varance. Berdasarkan tes emprs juga, bahwa CAP 3-momen menunjukkan hubungan yang negatf antara sstematk skewness dengan mbal hasl aset. Dengan demkan, sstematk skewness postf lebh dsuka dbandng dengan yang negatf. Aset dkatakan memlk coskewness postf (negatf apabla dapat mengurang (melebhkan rsko portofolo untuk mbal hasl pasar yang mutlak besar dan tngkat rsko rendah (tngg pada kesetmbangan. Dengan menambahkan ruas kanan pada CAP -momen dengan gamma dkal prem penympangan pasar, maka ddapat CAP 3- momen. odel kesetmbangan mbal hasl n mengasumskan bahwa nla mbal hasl pada portofolo pasar bersfat menyebar asmetrs sebaga berkut: E( R Rf + bβ + bγ ( (lhat Lampran dengan R f + rf, R + r, R + r, r nla mbal hasl bebas rsko, f r nla mbal hasl pada aset ke-, r nla mbal hasl pada portofolo pasar, b prem rsko pasar, b prem penympangan (skewness pasar, RR Cov( R, R β Var( R R ( ( ( E R E( R E R E R R E R (. (3 tandar devas dnyatakan sebaga berkut: ( E( R R E R. (4 Gamma (rsko sstemats dnyatakan sebaga berkut: γ τ RR R 3 τ R ( ( ( 3 E R E( R E R E R R E R (. (5 Kemrngan dar nla mbal hasl pada keseluruhan portofolo ddefnskan: ( ( ( 3 3 τ R E R E R. (6 Beta dan gamma pada CAP 3-momen sama dengan ukuran rsko sstemats. Dengan menyederhanakan Persamaan ( sebaga berkut: E( R R + b β + b γ f E( + r ( + rf + bβ + bγ E( + Er ( + rf + bβ + bγ E( r rf + bβ + bγ (7 maka dperoleh Persamaan (7 sebaga model CAP 3-momen. Pada model CAP 3-momen nla mbal haslnya (prem rsko pada nvestor sama dengan penjumlahan dar prem rsko pasar dan prem penympangan pasar, dengan nla β dan γ sama dengan satu. elanjutnya, dar Persamaan (7 akan ddapat portofolo pasar yatu E ( r rf b+ b. (8 Dalam model CAP 3-momen dhaslkan bahwa b merupakan prem penympangan pasar. odel n memperhtungkan kecondongan, dan momen pusat ke-3 dar model n menunjukkan ukuran asmetr. Angka postf pada ukuran skewness menunjukkan kecondongan yang postf dan lebh dsuka.
8 odel CAP N-omen odel kesetmbangan CAP n kemudan dperumum menjad CAP n-momen. odel kesetmbangan CAP n-momen mengasumskan bahwa nla mbal hasl pada portofolo pasar adalah sebaga berkut: (lhat Lampran dengan R + r, R + r, f f n n ( ( E R R + b v (9 f r nla mbal hasl sekurtas ke-, r f nla mbal hasl bebas rsko. Kemudan, b( n dan v n dapat drumuskan sebaga berkut: n b( θ P E R E( R. (0 v n ( ( ( ( ( n E( R E( R n n { } E R E R R E R. ( (lhat Lampran Dengan menyederhanakan Persamaan (9 sebaga berkut: f n n + + f + n n f n n ( + ( E R R b v ( ( ( E r r b v ( ( E r r + b v ( maka dperoleh persamaan CAP n-momen. Dengan tdak memaka momen yang lebh tngg dar rata-rata dan ragam tdak akan mempengaruh nla mbal hasl, tetap bukan berart bahwa kecondongan (skewness tdak pentng. Dalam hal n, suatu mbal hasl yang asmetrs, yang terkat dengan skewness, dapat dhtung dengan momen ketga. fat-fat Koragam dan Coskewness Koragam menghtung potens dversfkas dar sebuah aset. Koragam mengukur banyaknya mbal hasl dar aset bersko bergerak bersamaan. Koragam postf artnya aset tersebut bergerak bersamaan jka mbal hasl keduanya melampau harapan atau keduanya lebh rendah dar harapannya. Koragam negatf artnya aset tersebut bergerak berlawanan jka aset yang satu melampau harapan dan yang satu lebh kecl dar harapannya. enurut Kozg dan Larson, berdasarkan Campbell Harvey dan Akhtar ddque (000, rsko sstematk (coskewness adalah komponen dar suatu penympangan aset yang terkat pada penympangan portofolo pasar. ebaga sebuah ukuran rsko, beta bersfat lner yatu beta pada suatu kombnas lner atas sekurtas adalah kombnas lner dar nla-nla beta pada sekurtas tu sendr. Artnya, suatu beta dar suatu portofolo sama dengan rataan terbobot dar nla-nla beta suatu sekurtas pada portofolo. salkan Z portofolo dar n sekurtas, uang yang dnvestaskan pada sekurtas ke-, r tngkat mbal hasl pada sekurtas ke-, r Z tngkat mbal hasl dar portofolo, r mbal hasl pada portofolo pasar,, maka r r βz Z r ( Z ( Z ( E r E( r E r E r r E r ( r r ( E E r E r ( ( E r E r ( ( ( E( r E( r E r E r r E r β. (3 Untuk Z sama dengan portofolo pasar, sehngga nla beta adalah satu, maka koragam dar tngkat mbal hasl portofolo pasar dengan portofolo pasar tu sendr sama dengan ragam dar tngkat mbal hasl portofolo pasar. Dengan demkan, penjumlahan terbobot dar koragam-koragam pada tngkat mbal hasl semua sekurtas portofolo pasar sama dengan nla ragam dar tngkat mbal hasl portofolo pasar. erupa dengan tu, nla gamma dar suatu portofolo adalah rataan terbobot dar nlanla gamma dar masng-masng sekurtas. τ r Z r r γ Z 3 τ r (( Z ( Z ( ( 3 E ( r E( r E r E r r E r (
9 r r E E r E r E r E r ( 3 (( ( ( ( ( 3 E( r E( r E r E r r E r γ. (4 Coskewness dar mbal hasl pada portofolo pasar dengan drnya sendr sama dengan skewness dar mbal hasl pada portofolo pasar. aka penjumlahan terbobot coskewness dar mbal hasl semua sekurtas dalam portofolo pasar sama dengan skewness dar mbal hasl portofolo pasar. odel CAP 3-omen pada Asurans Bencana enurut Kozg dan Larson pada tulsannya yang berjudul The N-oment Insuranse CAP, berdasarkan penurunan asurans CAP yang dkerjakan oleh D Arcy dan Doherty, tngkat mbal hasl untuk ekutas, r e, tersusun atas kombnas lner dar mbal hasl underwrtng, r u, dan mbal hasl nvestas, r. rp u ( tu r( + kp( t re + (5 dengan: r e tngkat mbal hasl pada ekutas, P prem pada tahun yang dtentukan, modal pemegang saham (shareholder s equty, r u mbal hasl penjamn (underwrtng per unt prem, t u tngkat pajak pada pendapatan underwrtng, k koefsen pembangkt dana (perbandngan antara dana cadangan terhadap prem total, r mbal hasl atas nvestas per unt yang dnvestaskan, t pajak pada pendapatan nvestas. Berdasarkan Persamaan (7, nla harapan ekutas 3-momen dperoleh E ( re rf + bβ e + bγ e. (6 Beta (gamma dar ekutas merupakan kombnas lner suatu beta (gamma underwrtng dan suatu beta (gamma nvestas dan dapat dnyatakan sebaga berkut β ( ( β ( P u tu kp t βe + (7 dan Pγu ( tu ( kp γ( t γ e +. (8 ubsttus Persamaan (5 ke Persamaan (6, maka dperoleh E ( ru P( tu E( r( + kp( t + rf + bβ e + bγ e. (9 ubsttus Persamaan (7, (7, dan (8 ke Persamaan (9 sehngga dperoleh E ( ru P( tu ( + kp( rf + bβ + bγ( t + P( tu( bβ u bγ u rf + ( kp( t( bβ + bγ +. (0 Dengan menyederhanakan dan menyelesakan Persamaan (0 maka dperoleh mbal hasl kesetmbangan underwrtng setelah dpotong pajak sebaga berkut f ( u( tu krf ( t + P b β ( t b γ ( t E r tr + u u + u u ( (lhat Lampran 3 dengan b prem rsko pasar, b prem penympangan pasar, Cov( ru, r β u, Var r γ u ( ( ( 3 E( r E( r ( u u E r E r r E r Imbal hasl kesetmbangan underwrtng setelah dpotong pajak terdr atas empat komponen yatu. ewakl bunga yang dbayarkan ke polcy holder (pemegang kebjakan untuk penggunaan dana mereka,. Untuk menangkap ulang penalt pajak selama menjad underwrtng, 3. Persapan untuk kompensas rsko, dan 4. Persapan untuk kompensas penympangan..
0 odel CAP N-omen pada Asurans Bencana odel CAP dperumum menjad n-momen, dengan mengasumskan bahwa modal pemegang saham adalah, nla mbal haslnya E ( re rf + b( v n. ( e Berdasarkan Persamaan (5 maka ( t ( ( Pvn u u + kp vn vn t +. (3 e ubsttus Persamaan (5 ke Persamaan ( dperoleh kesetmbangan sebaga berkut E ( ru P( tu E( r( kp( t + rf b( v n e +. (4 Dengan melakukan substtus Persamaan ( dan Persamaan (3 ke Persamaan (4 maka dhaslkan ( ( E ru P t r f + u f ( n ( + kp r + b v ( t ( ( + ( Pvn t u kp vn t + b( +. (5 Dengan menyederhanakan dan menyelesakan Persamaan (5 untuk mbal hasl kesetmbangan underwrtng setelah dpotong pajak, maka dhaslkan model asurans CAP n-momen sebaga berkut ( ( t kr ( t E r u (lhat Lampran 4 u tr f f + P ( nu ( + b v t. (6 u IPULAN uatu skewness pada tngkat sebaran mbal hasl tdak bsa dabakan begtu saja. unculnya sebaran-sebaran mbal hasl yang menympang menyebabkan terjadnya ketdaksembangan pada prem, mbal hasl yang dharapkan serta rskonya. Karena sebaran tersebut mengalam penympangan, pentng untuk menla sstematk skewness (coskewness ketka menentukan mbal hasl kesetmbangan dan prem yang dbutuhkan pada kasus jamnan asurans bencana. Pada CAP -momen hanya melbatkan standar devas dan dketahu bahwa standar devas merupakan akar dar momen pusat ke-. omen pusat ke- hanya dapat menghtung ketdakpastan mbal hasl. odel CAP - momen hanya dapat menghtung mbal hasl yang sebarannya smetrs sehngga dperumum CAP 3-momen untuk mengukur mbal hasl yang sebarannya asmetrs. edangkan untuk menghtung mbal hasl underwrtng pada asurans bencana dperlukan pengembangan model asurans CAP 3-momen dar model CAP 3-momen yang melbatkan suatu kecondongannya. ecara eksplst, hal n akan menghaslkan penentuan atas akbat dar penympangan terhadap prem kesetmbangan. Tetap belum dketahu secara jelas dampak yang dtmbulkan untuk momen yang lebh tngg dar momen ke-3 karena belum dlakukan analss secara emprs dan mash bersfat teorts saja. DAFTAR PUTAKA Bode, Z, Kane, A, dan arcus, A J. 00. Investment. Ed. ke-6. The cgraw-hll Companes, Inc. New York. Fsher,. E. 988. Introductory Numercal ethods wth the NAG oftware Lbrary. athematcs Department. The Unversty of Western Australa. Ghahrahman, aeed. 005. Fundamental of Probablty. Ed. Ke-. Prentce Hall, Inc. New Jersey.
Grmmet, G. R. dan D.R. trzaker. 99. Probablty and Random Processes. Ed. ke-. Clarendon Press. Oxford. New- York. Hogg, R. V. dan A. T. Crag. 995. Intoducton to athematcal tatstcs. Ed. ke-5. Prentce-Hall, Inc. New Jersey. Johansson, Andreas. 005. Prcng kewness and Kurtoss Rsk on the wedsh tock arket. aster Thess. Department of Economcs, Lund Unversty, weden. Rao,.. 978. Optmzaton Theory and- Applcatons. an Dego: an Dego tate Unversty. Wkpeda. 007. Defns Asurans. www.ryanskandar.wordpress.com.[0 Jul 007]. Wnston, W. L. 004. Operaton Research Applcatons and Algortms. Brooks/Cole, A Dvson of Thomson Learnng, Inc. UA. Kozk, T. J. dan Larson, A.. 00. The N-omen Insurance CAP. Allstate Insurance Company.
LAPIRAN
3 Lampran Bukt Persamaan ( Gambar: Kurva Fronter dan CAL E ( r CAL E ( r ( E r r f fronter r f ( E r rf Kemrngan gars CAL adalah, merupakan market prce of rsk (rsko harga pasar dan dsebut raso mbal hasl terhadap varabltas. salkan mbal hasl yang dharapkan pada portofolo E ( r P, a adalah bobot dar nvestor. Dapat dgambarkan dalam suatu prospek sederhana sebaga berkut: E ( r P ( a ( ( a ( E rp E r + E r. Ragam portofolo ddapat sebaga berkut: rp w'vw a rp ( a a a ( a ( a a ( a a + + a a + a( a + a a + a ( ( ( ( a a a a + + dengan w vektor bobot, w' vektor transpose dar w, V matrks ragam-koragam. tandar devas a ( a a( a + +. Var rp etap nvestas akan trade off mbal hasl dan standar devasnya merupakan perubahan mbal hasl terhadap perubahan standar devas sebaga berkut: de ( rp E ( rp/ a d / a rp ( rp a ( E r a E ( r E rp E ( r E( r a rp ( a + ( a + a ( a a a + ( a ( + 4a (
4 ( Kemudan de rp E rp d / a a a + a ( ( a + a + a a ( ( / a rp rp E( r E( r ( ( ( + a a a + + a a a a.. Karena setap nvestor memegang portofolo yang sama yatu portofolo pasar (pada ttk ekulbrum maka a 0. de ( rp E ( r E( r. d r P a 0 + Kemrngan CAL sama dengan perubahan mbal hasl yang dharapkan terhadap perubahan standar devas maka dperoleh E( r rf E ( r E( r + ( r ( E r f ( E r rf ( E( r rf + ( ( ( (( ( ( E r r + E r r E r r f f f ( ( ( (( ( ( E r rf + E r rf E r r f ( E ( r r + ( E( r r ( E( r r E( r r ( ( f f f f E r r E r r ( ( ( f f E r r + E r r ( ( ( f f dengan β adalah rsko sstemats. ehngga model CAP klask adalah ( ( β ( E r r + E r r. f f terbukt
5 Lampran Bukt Persamaan ( dan (9 salkan W j adalah kekayaan awal tahun oleh ndvdu ke-j. Kemudan semua kekayaan dnvestaskan dalam uang pada salah satu sekurtas ke-. salkan j adalah banyaknya nvestas yang dlakukan pada salah satu sekurtas ke- oleh ndvdu ke-j. Kekayaan awal tahun ddefnskan sebaga berkut W. (L.7 j j Kekayaan akhr tahunnya adalah W % R. (L.8 j j R + r, r merupakan nla mbal hasl sekurtas ke-. Anggap bahwa setap ndvdu ngn Ej U j W % j dengan kendala Wj j. D mana U j adalah fungs utltas memaksmumkan ( ( yang terdferensal dan kontnu pada fungs kekayaan oleh ndvdu ke-j. Ekspans deret Taylor U j ( W % j d sektar E j ( W % j sebaga berkut ( n U ( ( j Ej W j n U j( W j ( W j Ej( W j. (L.9 0 n! Kemudan nla harapan dar Persamaan (L.8 adalah n ( n U ( ( j Ej W j EU ( j( W j E W j Ej( W j (L.30 0 n! ( n dmana U adalah turunan ke-n dar U j yang devaluas pada Ej ( W j. Dar Persamaan (L.30 j dmsalkan momen pusat ke-n dar peubah acak W j adalah n µ jn E W j Ej ( W j. (L.3 Kemudan dengan membentuk Lagrange, masng-masng ndvdu memaksmumkan Z. Z E U j ( W j dengan kendala Wj j. ehngga maksmumkan Z EU ( ( W + L( W. (L.3 j j j j j 0 ubsttus Persamaan (L.30 dan Persamaan (L.33 ke Persamaan (L.3 sehngga ( n U j ( Ej( W j Z µ jn + Lj ( W j j. (L.33 n! 0 j 0 Untuk penyederhanaan dmsalkan saja j dan turunkan Persamaan (L.33 terhadap, maka dperoleh ( n ( n Z U U µ n + µ n L 0 0 n! n!. (L.34 Dengan j, kekayaan awal tahunnya menjad W (L.35 dan kekayaan akhr tahunnya W R. (L.36 Dmsalkan W E( W. (L.37 ubsttus Persamaan (L.36 ke Persamaan (L.37 dperoleh W E( W E( R E( R. (L.38 j
6 Turunkan Persamaan (L.38 terhadap W E ( R. (L.39 Kemudan, lhat Persamaan (L.34 dan Persamaan (L.39 maka dperoleh ( n ( n+ ( n+ U U W U E( R n!. n! n! (L.40 Lhat Persamaan (L.3 dan Persamaan (L.34 dperoleh ( n µ n E W E ( W n E R E R ( n E R E R ne W W R E ( R ne W W ( R E ( R. (L.4 ubttuskan Persamaan (L.40 dan Persamaan (L.4 ke Persamaan (L.4 dperoleh ( n ( n Z U U µ n + µ n L 0 n! n! ( n+ ( n Z U U E( R µ n + ne ( R E( R W W L. 0 n! n! (L.4 ( Pada Persamaan (L.4, ekspans deret Taylor untuk U d sektar W sebaga berkut ( n+ U µ. (L.43 0 n! n ubsttus Persamaan (L.43 ke Persamaan (L.4 dperoleh ( n ( U E ( R U + ne ( R E( R W W L n! ( n ( U E ( R U + ne ( R E( R W W L. (L.44 nn (! Lhat pada Persamaan (L.3 dengan ndeks maka n µ n EW EW (. (L.45 Jka n 0 µ 0 E W E W dan jka n µ E W E W 0 E( (L.46 E W E W E W E E W E W E W 0. (L.47
7 elanjutnya, turunkan Persamaan (L.46 dan Persamaan (L.47 terhadap ( µ 0 ( µ 0. (L.48 Persamaan (L.48 mengakbatkan n,3, 4,...,. Kemudan kurangkan sekurtas ke- dengan sekurtas ke-k pada Persamaan (L.44 dengan L0, sehngga dperoleh ( n ( U E( R Rk U + E ( R Rk E( R Rk W W 0 ( n! ( n U E ( R Rk E( R Rk W W E( R Rk ( U (! ( n U E ( R Rk ( E( R E( Rk W W E( R E( Rk ( U (! Pada Persamaan (L.49, msalkan θn U U ( ( n ( n!. (L.49 (L.50 ubsttus Persamaan (L.50 ke Persamaan (L.49 E( R E( Rk + θne ( R Rk ( E( R E( Rk W W. (L.5 Anggap ada sekurtas yang bebas rsko. salkan Rf + rf. Kemudan substus R f ke R k pada Persamaan (L.5 dperoleh E( R Rf + θne ( R Rf ( E( R Rf W W Rf + θne ( R Rf E( R + Rf W W Rf + θne ( R E( R W W. (L.5 salkan adalah banyaknya nvestas yang telah dtanamkan pada sekurtas bebas rsko. f Banyaknya nvestas yang telah dtanamkan pada portofolo dar sekurtas-sekurtas bersko adalah P W f (L.53 Rp + rp. (L.54 r p adalah nla mbal hasl pada portofolo dar sekurtas bersko. ubsttus Persamaan (L.35 dan (L.53 ke Persamaan (L.36 menghaslkan W% R W% W R W% ( P+ f R W PR + R. (L.55 p f f
8 Nla harapan dar Persamaan (L.55 E W W PE( Rp + f Rf. (L.56 ubsttus Persamaan (L.55 dan Persamaan (L.56 ke Persamaan (L.5, maka dperoleh E( R Rf + θne ( R E( R W W R + θ E R E R PR + R PE R R f n p f f p f f ( ( ( ( n { } ( ( ( ( n { } ( ( ( ( n { } R + θ E R E R PR PE R f n p p R + θ P E R E R R E R. (L.57 f n p p salkan RP R (L.58 Kemudan substtus Persamaan (L.58 ke Persamaan (L.57 sehngga dperoleh n {( ( ( ( } f + θn ER ( R P E R E R R E R. (L.59 Kemudan, Persamaan (L.59 dbuat sedemkan sehngga ( ( {( ( ( ( } E( R E( R n f + θn n ER ( R P E R E R salkan, pada Persamaan (L.60 ( ( n E R E R R E R. (L.60 b( n θnp E R E R (L.6 dan v n {( ( ( ( } n E( R E( R E R E R R E R. (L.6 Untuk lebh memudahkan, substtus Persamaan (L.6 dan (L.6 ke Persamaan (L.60 menjad model CAP n-momen sebaga berkut ( ( E R R + b v (L.63 f n n Berdasarkan Persamaan (L.63 maka untuk CAP 3-momen dengan,3 dperoleh E R R + b v + b v. (L.64 ( f 3 salkan v β. (L.65 v3 γ. (L.66 ubsttus Persamaan (L.65 dan (L.66 ke Persamaan (L.64 sehngga E R R + b β + b γ. (L.67 ( f Untuk koefsen b dan b dperoleh sebaga berkut salkan RZ + rz, r Z adalah nla mbal hasl pada keseluruhan portofolo yang dmlk oleh suatu ndvdu. salkan R Z standar devas dar nla mbal hasl pada keseluruhan portofolo yang dmlk oleh suatu ndvdu, dan τ R Z kemrngan dar nla mbal hasl pada keseluruhan portofolo yang dmlk oleh suatu ndvdu. salkan β nla beta dar keseluruhan portofolo yang dmlk oleh suatu ndvdu, dan Z
9 γ Z nla gamma dar keseluruhan portofolo yang dmlk oleh suatu ndvdu. Berdasarkan pada rumus CAP n-momen, maka β R R. (L.68 Z Berdasarkan sfat-sfat koragam dan coskewness yatu β βz maka β R R Z β RZ Z R R βz (L.69 RZ dan γτ R τ R Z. (L.70 Berdasarkan sfat-sfat koragam dan coskewness yatu γ γ Z maka τ γ τ RZ Z R τ R γ Z. (L.7 τ RZ Kemudan dketahu bahwa W. (L.7 Z R Z τ W τ. (L.73 Z R Z ubsttus Persamaan (L.36 dan (L.67 ke Persamaan (L.37 dperoleh W E W W E Z R Z ( E R Z ( E R Z Z W Z Z ( f βz γz R + b + b W WR + Wb β + Wb γ. (L.74 f Z Z Kemudan, substtus Persamaan (L.69, (L.7, (L.7, (L.73 ke Persamaan (L.74 maka dperoleh R τ Z RZ W W Rf + Wb + Wb τ R τ R Z Z WR + f b b + R τ. (L.75 R Karena portofolo pasar tak berubah, R dan τ R bernla tetap. Kemudan turunkan Persamaan (L.75 terhadap Z sehngga dperoleh
0 W b Z R W b. (L.76 ( R Z Turunkan Persamaan (L.75 terhadap τ Z sehngga dperoleh W b τ τ Z R W b. (L.77 ( τ R τ Z terbukt
Lampran 3 Bukt Persamaan ( rp u ( tu r( + kp( t re +. (.78 Berdasarkan Persamaan (7 maka nla harapannya maka E r r + bβ + b γ (.79 ( e f e e Kemudan, beta (gamma dar ekutas dapat dnyatakan sebaga kombnas lner dar suatu beta (gamma underwrtng dan suatu beta (gamma nvestas dnyatakan sebaga berkut β ( β ( + ( P u tu kp t βe +. (.80 γ ( γ ( + ( P u tu kp t γ e +. (.8 ubsttus Persamaan (.78 ke Persamaan (.79 maka ( ( + ( rp u tu r kp t E + r + bβ + b γ ( ( ( ( + ( f e e E ru P tu E r kp t + rf + bβ e + bγ e. (.8 ubstus Persamaan (7, (.80, (.8 ke Persamaan (.8 maka ( ( ( rf + bβ + bγ( + kp( t E r P t u u + ( ( + ( ( γ ( + kp( t Pβu tu β kp t Pγu tu r f + b + + b + ( u ( u + ( f + β + γ( + ( rf b( Pβu ( tu ( kp β( t b( Pγu ( tu ( kp γ( t E r P t r b b kp t + + + + + + ( u ( u ( f + β + γ( + ( + f + b( Pβu ( tu + ( + kp β( t + b( Pγu ( tu + ( + kp γ( t E r P t r b b kp t r ( u ( u ( f + β + γ( + ( + f + βu ( u + bβ ( + kp( t + b Pγ ( t + b γ ( + kp( t E r P t r b b kp t r b P t u u ( u ( u ( f + β + γ( + ( + f + P( tu[ bβ u + bγu] + ( + kp( t[ bβ + bγ] ( ( + ( [ β + γ ] E r P t r b b kp t r E r P t r P t b b u u f u u u + ( + kp( t bβ + bγ rf bβ bγ ( u ( u f + ( u[ βu + γu] f ( + ( ( ( ( ( r f f ( [ ] r + β γ kp + + t E r P t r P t b b r kp t E ru tu tu b u b u P P rf E ( ru( tu ( ( + kp( t + ( tu bβu + bγu ( tu P rf E ( r ( t ( t + kp kpt + bβ t + bγ t P ( ( ( u u u u u u
rf E ( ru( tu ( t kp+ kpt + bβu ( tu + bγu ( tu P rf E ( ru( tu ( t kp( t + bβu ( tu + bγu ( tu P tr f E ( ru( tu krf ( t + + bβu ( tu + bγu ( tu P. (.83 terbukt
3 Lampran 4 Bukt Persamaan (6 ubsttus Persamaan (5 ke Persamaan ( sehngga dperoleh ru P( tu r( + kp( t E + rf + b( vne E( ru P( tu E( r( + kp( t + rf + b( vne. (N.84 Kemudan, substtus Persamaan ( dan (3 ke Persamaan (N.84 maka dperoleh r ( ( ( ( ( f + b n vn kp t E r u P t + u + ( ( + ( Pvnu tu kp vn t rf + b( + E r P t r b v kp t ( ( + + ( + ( u u f ( n ( ( ( ( r + b Pv t + + kp v t f ( nu u n E ( r P( t r + b v ( + kp( t + r u u f ( n f ( ( ( ( + b Pv t + + kp v t ( nu u n E ( r P( t r + b v ( + kp( t + r u u f ( n f ( ( ( + b P v t + b + kp v t ( nu u ( n E r P t b v r b v kp t r b Pv t ( ( ( + ( + + ( u u ( n f ( n f ( nu u ( ( ( + ( + + ( E r P t r kp t r P b v t u u f f ( nu u r r E r t kp t b v t f f ( ( ( + ( + + ( u u ( nu u P P rf E ( ru( tu ( ( + kp( t + b( vnu ( tu P rf E ( ru( tu ( ( t + kp kpt + b( vnu ( tu P rf E ( ru( tu ( t kp+ kpt + b( vnu ( tu P rf E ( ru( tu ( t kp( t + b( vnu ( tu P tr f E ( ru( tu krf ( t + + b( vnu ( tu. (N.85 P terbukt