BAB V. PENGGUNAAN TURUNAN

BAB V. PENGGUNAAN TURUNAN (Pertemuan ke 9 & 10) PENDAHULUAN Diskripsi singkat Pada bab ini ang dibahas adalah tentang nilai maksimum dan minimum, kemonotonan dan kean kurva, serta maksimum dan minimum lokal. Manfaat minimum. Manfaat turunan ang diprioritaskan disini adalah untuk menentukan nilai maksimum dan Relevansi Menentukan nilai maksimum dan minimum dalam bidang teknik banak dijumpai, bahkan bidang ekonomipun digunakan. Disamping itu kegunaan bab ini dalam mata kuliah ang lain juga diperlukan, misalna dalam mata kuliah perpindahan kalor, ketika menentukan jari-jari kritis suatu isolasi. Learning Outcomes Mahasiswa dapat menentukan harga maksimum dan minimum, masalah-masalah praktis, terutama ang berkaitan dengan bidang teknik. s. johanes, dtm sv ugm 60

PENYAJIAN 5.1. Maksimum dan Minimum Definisi Andaikan S domain (daerah asal) f, memuat c, dikatakan bahwa: i. adalah nilai maksimum f pada S jika untuk semua di S, ii. adalah nilai minimum f pada S jika untuk semua di S, iii. adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau nilai minimum. O S Gambar 5-1 Y=f() Teorema A (Eksistensi Maks-Min) Jika f kontinu pada selang tertutup [a, b], maka f mencapai nilai maksimum dan nilai minimum. Teorema B (Titik Kritis) Andaikan f didefinisikan pada selang I ang memuat titik c. Jika adalah nilai ekstrim, maka c haruslah suatu titik kritis, akni c berupa salah satu: 1. Titik ujung dari f, 2. Titik stasioner dari f ( ), 3. Titik singular dari f ( tidak ada) maks maks maks min min min Titik-titik ujung Titik-titik stasioner Titik-titik singular Titik-titik kritis Gambar 5-2 s. johanes, dtm sv ugm 61

Prosedur sangat sederhana untuk menghitung nilai maksimum atau minimum suatu fungsi kontiniu f pada selang tertutup I, sebagai berikut: Langkah 1, carilah titik-titik kritis dari f pada I, Langkah 2, hitunglah f pada setiap titik kritis, ang terbesar adalah nilai maksimum, sedangkan ang terkecil adalah nilai minimum. Contoh: 1. Carilah nilai-nilai maksimum dan minimum dari:, pada. Penelesaian:, maka dan. Maka titik-titik kritis: -1 1 2 3-1 nilai maks dan nilai min -2-3 Gambar 5-3 -4 2. Fungsi kontinu dimana-mana. Carilah nilai maksimum dan minimum pada. Penelesaian: tidak pernah 0, 2 1 F= 2/3 tetapi tidak ada, sehingga 0 adalah titik kritis (sama seperrti titik-titik ujung ( ) -1 O 1 2 Gambar 5-4 Masalah-masalah praktis Yang dimaksud masalah-masalah praktis adalah masalah ang mungkin timbul dalam kehidupan sehari-hari. Masalah-masalah demikian jarang mempunai titik-titik singular, tetapi faktana, nilai maksimum dan minimum biasana terjadi pada titik-titik stasioner. Namun demikian titik-titik ujung harus diperiksa. s. johanes, dtm sv ugm 62

3. Biaa operasi sebuah truk diperkirakan sebesar sen dollar per mil saat dikemudikan dengan kecepatan v mil per jam. Pengemudina dibaar $ 14 per jam. Pada kecepatan berapakah biaa pengiriman ke suatu kota ang jauhna k mil akan paling murah? Dengan asumsi bahwa aturan kecepatan ang diperbolehkan adalah. Penelesaian: Misalkan C adalah biaa total dalam sen $ untuk menjalankan truk sejauh k mil. Maka: C = biaa pengemudi + biaa operasi Maka:, sehingga:, 4. Kotak persegi panjang dibuat dari selembar kertas karton, dengan ukuran panjang 24 inci dan lebar 9 inci, dengan memotong bujur sangkar identik pada keempat pojokna dan melipat ke atas sisi-sisina, seperti pada gambar, di bawah ini. Cari ukuran kotak ang volumena maksimum? Berapa volumena? 9 24-2 9-2 24 Gambar 5-5 Volume ang terjadi adalah V: atau atau s. johanes, dtm sv ugm 63

Turunan pertama dari V: Maka (memenuhi) dan (tak memenuhi). Jadi ukuran kotak ang menghasilkan volume maksimum adalah 2052 inci 3. Volumena = 200 inci 3. 5.2. Kemonotonan dan kean Teorema A (teorema kemonotonan) Andaikan f kontinu pada selang I dan dapat didiferensialkan pada setiap titik dalam I. 1. Jika f ()>0 untuk semua titik dalam dari I, maka f naik pada I. 2. Jika f ()<0 untuk semua titik dalam dari I, maka f turun pada I. Sedangkan f monoton murni pada I, jika ia naik pada I atau turun pada I. =f() turun f ()<0 c naik f ()>0 Gambar 5-6 Teorema B (teorema kean) Andaikan f terdiferensial dua kali,, pada selang terbuka (a,b). 1. Jika f () > 0 untuk semua dalam (a,b), maka f ke atas pada (a,b) 2. Jika f () < 0 untuk semua dalam (a,b), maka f ke bawah pada (a,b) s. johanes, dtm sv ugm 64

f > 0: ke atas f < 0: ke bawah Gambar 5-7 ke atas ke bawah Titik balik Andaikan f kontinu di c. kita sebut (c, f(c)) adalah suatu titik balik dari grafik f, jika f ke atas pada satu sisi, dan ke bawah pada sisi lainna dari c. Grafik dalam gambar 5-8 menunjukkan sejumlah kemungkinan. titik-titik balik titik-titik balik ke atas ke bawah ke atas ke bawah ke bawah ke atas Gambar 5-8 Yang merupakan calon titik-titik balik adalah: titik dimana f () = 0; atau f () tidak ada. s. johanes, dtm sv ugm 65

5.3. Maksimum dan minimum lokal Nilai maksimum suatu fungsi f pada himpunan S adalah nilai f terbesar ang dicapai pada keseluruhan himpunan S. Kadang-kadang diacu sebagai nilai maksimum global, atau nilai maksimum absolut dari f. jadi untuk fungsi f dengan Maks global Maks lokal daerah asal S = [a, b] ang grafikna diskets dalam gambar di bawah ini, f(a) adalah nilai maksimum global, sedangkan f(c) adalah nilai maksumum lokal. a c Gambar 5-9 b Maks global Min lokal Maks lokal Min lokal Maks lokal Min global Maks lokal Gambar 5-10 Teorema A (Uji turunan pertama untuk ekstrim lokal) Andaikan f kontinu pada selang terbuka (a, b) ang memuat titik kritis c. 1. Jika f () > 0 untuk semua dalam (a, c) dan f () < 0 untuk semua dalam (c, b), maka f(c) adalah nilai maksimum lokal 2. Jika f () < 0 untuk semua dalam (a, c) dan f () > 0 untuk semua dalam (c, b), maka f(c) adalah nilai minimum lokal 3. Jika f () berttanda sama pada kedua pihak c, maka f(c) bukan nilai ekstrim lokal s. johanes, dtm sv ugm 66

(+) (0) (-) (-) (0) (+) (+) (0) (+) a c b a c b a c b Maksimum lokal Minimum lokal Tanpa nilai ekstrim lokal Gambar 5-11 Contoh 1. Dimana g() = /(1+ 2 ) grafikna naik/turun, ke atas/bawah, ekstrim local dan sketkan grafikkna. Penelesaian. Penebut selalu positif,, maka ang (-,-1); (-1, 1) dan (1, ). Dengan menguji turunan pertama tersebut, diperoleh g () < 0 pada selang (-,-1) & (1, ), dan g () > 0 pada selang (-1, 1). g (+) (0) (-) (0) (+) -1 1 Gambar 5-12 Untuk menentukan batas-batas kean, maka ditentukan lebih lanjut turunan keduana sebagai berikut. s. johanes, dtm sv ugm 66

g (-) (0) (+) (0) (-) (0) (+) 0 Gambar 5-13 Penebut selalu positif, maka ang perlu diselesaikan adalah pembilangna. Titik-titik pemisah adalah -, 0, dan. Tiga titik pemisah ini menentukan empat selang. Dengan menguji turunan kedua pada empat selang tersebut, maka disimppulkan bahwa g() ke atas pada (-, 0) dan (, ), sedangkan ke bawah pada selang (-, - ) dan (0, ). Untuk membuat sketsa grafik g, digunakan semua informasi ang telah diperoleh, dan g adalah merupakan fungsi ganjil,, grafikna simetri terhadap titik asal. turun 1/2 turun -3-2 -1 0 1 2 3-1/2 Cekung ke bawah Cekung Ke atas Cekung ke bawah Cekung Ke atas Gambar 5-14 Kadang uji turunan kedua gagal, karena f () mungkin nol pada titik stasioner. Contoh untuk kedua fungsi berikut: f() = 3 & f() = 4. Untuk f() = 3, f () = 0 & f () = 0 pada titik stasioner, dan tak mempunai nilai maksimum. Untuk f() = 4, f () = 0 & f () = 0 pada titik stasioner, tapi mempunai nilai minimum. s. johanes, dtm sv ugm 67

Gambar 5-15 Di sini uji turunan kedua tak mampu menarik kesimpulan tentang maksimum atau minimum, maka diperlukan informasi tambahan. Informasi tambahan itu adalah, apabila turunan ketiga tidak sama dengan nol, maka titik tersebut adalah titik belok. Tugas pertemuan ke 10, carilah turunan pertama dari soal-soal berikut. Soal no 1 s.d. 5, kenali titik-titik kritis dan carilah nilai maksimum dan minimum. 1., 2., Latihan untuk pertemuan ke 10, carilah turunan pertama dari soal-soal berikut. 1. Sebuah benda dilempar langsung ke atas dari permukaan tanah dengan kecepatan awal 48 kaki/detik kira-kira berada pada ketinggian kaki pada akhir t detik. (a) Berapa ketinggian maksimum ang dicapai? (b) Seberapa cepat ia bergerak, dan ke arah mana pada akhir 1 detik? (c) Berapa lama waktu ang diperlukan untuk kembali ke posisi semula? Petunjuk. Kunci (a) tinggi puncak = 36 ft, (b) kecepatan setelah 1 detik adalah 16 ft/det, dan (c) waktu ang diperlukan benda untuk kembali ke posisi semula adalah 3 detik. s. johanes, dtm sv ugm 68

Soal-Soal Terapan Maksimum & Minimum Soal no 1 s.d. 5, kenali titik-titik kritis dan carilah nilai maksimum dan minimum. 1., 2., 3., 4., 5., 6. Sebuah benda dilempar langsung ke atas dari permukaan tanah dengan kecepatan awal 48 kaki/detik kira-kira berada pada ketinggian kaki pada akhir t detik. (a) Berapa ketinggian maksimum ang dicapai? (b) Seberapa cepat ia bergerak, dan ke arah mana pada akhir 1 detik? (c) Berapa lama waktu ang diperlukan untuk kembali ke posisi semula? 7. Sebuah roda berpusat di titik asal dan berjari-jari 10 cm, berputar berlawanan arah putaran jarum jam pada laju 4 putaran/detik. Sebuah titik P pada pelek berada di (10,0) pada t = 0. (a) Berapa koordinat titik P pada saat t? (b) Pada laju berapa titik P naik (atau turun) pada saat t = 1detik? 8. Sebuah benda dilempar langsung ke atas pada ketinggian kaki setelah t detik. (a) Berapa kecepatan awalna? (b) Kapan ia mencapai ketinggian maksimum? (c) Berapa ketinggian makimumna? (d) Kapan ia membentur tanah? (e) Dengan laju berapa ia membentur tanah? 9. Perhatikan alat roda piston dalam gambar 1. Roda mempunai jari-jari 1 kaki dan berputar berlawanan arah jarum jam pada 2 radian/detik. Batang penghubung panjangna 5 kaki. Titik P berada di (1,0) pada saat t = 0. (a) cari koordinat titik P saat t? (b) Cari ordinat Q pada saat t (absis selalu nol)? (c) cari kecepatan Q pada saat t? Anda akan memerlukan kenataan bahwa s. johanes, dtm sv ugm 69

Q P t = 0 Gambar 5-16 10. Sebuah surat selebaran memuat 50 cm 2 bahan cetak. Jalur bebas cetak di atas dan di bawah selebar 4 cm, sedangkan di samping kiri dan kanan selebar 2 cm. Berapa ukuran surat selebaran tersebut ang memerlukan kertas sesedikit mungkin? 11. Sebuah balok kau persegi-panjang harus dipotong dari sebuah gelondongan dengan penampang ang berbentuk lingkaran. Jika kekuatan balok sebanding dengan hasil kali lebar dan kuadrat tebalna, tentukan ukuran penampang balok ang memberikan paling kuat? 12. Anton berada di perahu daung 2 mil dari titik terdekat B, pada sebuah pantai ang lurus, melihat asap mengepul dari rumahna di pantai, ang berjarak 6 mil dari B. Ia membaangkan dapat mendaung dengan laju 6 mil/jam dan lari 10 mil/jam. Bagaimana ia harus bertindak agar mencapai rumah secepatna? 13. Cari ukuran tabung lingkaran tegak ang volumena sebesar mungkin ang dapat ditempatkan di dalam sebuah kerucut lingkaran tegak? 14. Seorang petani berusaha memagari dua kandang persegi-panjang berdampingan ang identik, masing-masing seluas 900 ft 2, seperti diperlihatkan dalam gambar. Berapa dan agar pagar kawat ang diperlukan sesedikit mungkin? 15. Sebuah bak air dengan alas berbentuk bujur sangkar harus dibangun untuk menampung air 12.000 ft 3. Jika logam untuk tutup atas memerlukan biaa dua kali biaa untuk sisi dan alas beton tiap ft 2, berapa ukuran bak ang paling hemat? 16. Diperlukan sebuah kotak terbuka dengan kapasitas 36.000 in 3. Jika panjang kotak harus dua kali lebarna, berapa ukuran kotak agar bahan ang dan diperlukan sesedikit mungkin? s. johanes, dtm sv ugm 70

17. Jika kekuatan balok persegi-panjang sebanding dengan hasil kali lebar dan kuadrat tebalna, cari ukuran balok ang terkuat ang dapat dipotong dari sebuah gelondong ang penampangna berbentuk elips? 18. Penerangan pada sebuah titik berbanding terbalik terhadap jarak titik tersebut dari sumber cahaa dan berbanding lurus terhadap intensitas sumber cahaa. Jika dua sumber cahaa berjarak s ft dan masing-masing mempunai intensitas I 1 dan I 2, pada titik mana di antara mereka akan minimum? 19. Sebuah pembangkit tenaga listrik terletak di tepi sebuah sungai lurus ang lebarna w kaki. Sebuah pabrik terletak di seberang sungai, L kaki ke arah hilir dari titik A ang berseberangan langsung dengan pabrik. Jalur mana ang paling hemat untuk pemasangan sebuah kabel ang menghubungkan pembangkit dengan pabrik jika biaa pemasangan kabel di bawah air a rupiah tiap kaki dan b rupiah di darat (a>b)? 20. Sebuah observatorium harus berbentuk tabung lingkaran tegak ang diatapi sebuah kubah setengah bola. Jika biaa kubah atap tiap kaki persegi lebih mahal dua kali dari pada biaa dinding silinder, berapa perbandingan ukuran ang paling hemat untuk volume ang diketahui? 21. Sebuah beban ang dihubungkan ke sebuah pegas bergerak sepanjang sumbu, sehingga koordinat na saat t adalah. Berapa jarak terjauh beban dari titik asal? 22. Saa memiliki perak murni ang cukup untuk melapisi suatu luas permukaan satu meter persegi. Saa merencanakan melapisi sebuah bola dan sebuah kubus. Dengan dimensi ang bagaimanakah agar volume total benda ang terlapisi itu maksimum? Atau minimum? (dapat dimungkinkan seluruh perak ang ada hana dapat melapisi salah satu bangun geometri). 23. Suatu kaleng minak berbentuk silinder tertutup, mempunai volume 250π cm 3. Tentukan ukuran kaleng agar luas kulit ditambah luas alas dan tutup minimum? 24. Jumlah biaa untuk membuat radio, adalah. Berapa radio harus dibuat, agar harga tiap radio minimum. 25. Suatu kawat panjangna 8 m, dipotong menjadi dua bagian. Bagian pertama untuk membuat lingkaran, sedangkan bagian kedua untuk membuat bujur sangkar. Berapa panjang masingmasing bagian, agar jumlah luas lingkaran dan luas bujur sangkar minimum. s. johanes, dtm sv ugm 71

PENUTUP Tes formatif dan kunci tes formatif 1. Sebuah bak air dengan alas berbentuk bujur sangkar harus dibangun untuk menampung air 12.000 ft 3. Jika logam untuk tutup atas memerlukan biaa dua kali biaa untuk sisi dan alas beton tiap ft 2, berapa ukuran bak ang paling hemat? Kunci: sisi alas buur sangkar (alas bak) = 20 ft dan tinggina adalah 30 ft. Petunjuk penilaian dan umpan balik Penilaian hasil tugas, latihan dan ujian debiri skor (nilai) antara 0 sampai dengan 100. Kesahan hasil akhir bukanlan merupakan kesalahan ang fatal, kalaupun dikurangi skorna, hana sedikit saja (atau bahkan tak perlu dikurangi), tetapi kesalahan proses itu ang perlu pengurangan nilai. Tindak lanjut Bagi mahasiswa ang skorna kurang dari 50, wajib mempelajari lagi uraian di depan, dan selanjutna diuji lagi. s. johanes, dtm sv ugm 72