BAB IV HITUNG DIFERENSIAL

Transkripsi

1 BAB IV HITUNG DIFERENSIAL (Pertemuan ke 5 s/d 8) PENDAHULUAN Diskripsi singkat Pada bab ini dibahas tentang derivatif macam-macam fungsi, yaitu fungsi aljabar, fungsi trigonometri, fungsi logaritma, fungsi eksponensial, fungsi siklometri, dan fungsi hiperbolik. Selain itu derivatif tingkat tinggi, derivatif yang dinyatakan dalam persamaan parameter, deriatif parsiil. serta arti derivatif suatu fungsi. Manfaat Untuk menentukan derivatif fungsi aljabar, fungsi trigonometri, fungsi logaritma, fungsi eksponensial, fungsi siklometri, fungsi hiperbol, baik tingkat satu maupun tingkat tinggi. Untuk menentukan koefisien arah garis singgung dan garis normal. Untuk menghitung lau-laju perubahan. Relevansi Arti deriatif sangat luas bila diterapkan di bidang mesin. Selain bermakna sebagai koefisien arah garis singgung dan berkaitan juga dengan garis normal, pada terapannya dalam bidang teknik berhubungan dengan laju-laju perubahan. Penerapannya dalam mata kuliah yang lain juga sangat besar, misalnya digunakan dalam fisika, perpindahan kalor dan lainnya. Learning Outcomes Mahasiswa dapat menentukan garis singgung suatu kurva dan mampu mencari derivatif berbagai fungsi. Serta mahasiswa mampu menerapkan pengertian derivatif dalam bidang mesin dan mata kuliah lainya. s.johanes, dtm sv ugm 33

2 PENYAJIAN Matematika Teknik 1,Bab 3 Diketahui kontinu dan berharga tunggal dalam interval a x b. Bila x berubah sebesar x maka y berubah sebesar y, sehingga, atau: berubah menjadi Jika y dibagi dengan x, maka: y dan x disebut diferensi dan disebut hasil bagi diferensi. Bila untuk x 0, kemudian hasil bagi diferensi dilimitkan, dan ternyata hasilnya ada, maka limit ini disebut derivatif dari ke peubah x. dy dan dx disebut diferensial. Operasi mencari derivatif disebut menurunkan atau mendiferensialkan. Aturan rantai Jika dan, maka derivatif dari y tehadap peubah x, yaitu, dapat diperoleh dari aturan rantai berikut:. Secara umum aturan rantai ditulis sebagai: s.johanes, dtm sv ugm 34

3 Peran aturan rantai menjadi sangat penting terutama untuk pemecahan soal-soal yang begitu kompleks. Karena dengan pemisalan terhadap komponen soal, serta menerapkan aturan rantai ini, soal-soal yang dipecahkan akan mengarah kepada rumusrumus yang ada. Arti derivatif suatu fungsi Garis singgung & garis normal Telah dibahas pada limit dan fungsi, bahwa koefisien arah suatu garis lurus sama dengan tangent α. Bila garis lurus itu adalah garis singgung pada suatu kurva, berarti Δx 0. Maka: Persamaan garis singgung pada kurva di titik (x o, y o ), adalah: Sedangkan persamaan garis normalnya adalah: Laju perubahan Misalkan x dan y adalah dua kuantitas fisik yang dihubungkan oleh fungsi. Maka adalah laju perubahan rata-rata dari y terhadap x dalam interval Δx. Limit untuk Δx mendekati nol, jika ada, disebut laju perubahan (sesaat) dari y terhadap x, maka s.johanes, dtm sv ugm 35

4 Cara mencari derivatif Matematika Teknik 1,Bab 3 Misalnya diketahui Jawab:, maka apa derivatif pertamanya? Jadi derivatif pertama dari adalah y = 2x. Rumus-Rumus Derivatif 1. Derivatif Fungsi Aljabar Jika c dan k masing-masing adalah konstanta, sedangkan u, v dan w masing-masing adalah merupakan fungsi dengan peubah x, maka : a. b. c. d. e. f. g. s.johanes, dtm sv ugm 36

5 Contoh soal dan penyelesaian 1. Carilah turunan pertama dari Jawab: Matematika Teknik 1,Bab 3 2. Carilah turunan pertama dari Jawab: 3. Carilah turunan pertama dari Jawab: s.johanes, dtm sv ugm 37

6 Soal-soal Carilah turunan pertama dari: a. b. c. d. e. Tentukan persamaan garis singgung terhadap grafik fungsi,, pada titik (1,4). Gambarkan fungsinya dan tunjukkan garis singgung tersebut. f. Tentukan persamaan garis singgung terhadap grafik fungsi,, pada titik (1,2). Gambarkan fungsinya dan tunjukkan garis singgung tersebut. g. Apakah garis singgung pada grafik, di (1,1) melalui titik (2,5)? h. Sebuah pesawat pembom terbang dari arah kanan menuju ke kiri menurut kurva. Jika bom yang diluncurkan bergerak menurut garis lurus (pada bidang x- y), dimana pilot harus melepaskan bom jika sasaran berada pada titik (1,0)? i. Volume bola adalah V=4πR 3 /3. Jika radius bola berubah dari R menjadi R+ΔR, tentukan a) perubahan volume, b) laju perubahan rata-rata volume terhadap radius, dan c) laju perubahan volume terhadap radius. j. Sebuah kubus metal dengan panjang sisi x, mengembang secara proporsional, jika dipanaskan. Tentukkan a) laju perubahan rata-rata volume kubus terhadap sisinya, jika bertambah dari 2 cm menjadi 2,01 cm, b) laju perubahan sesaat volume kubus terhadap sisinya, pada x = 2 cm. 2. Derivatif Fungsi Logaritma Jika diketahui fungsi logaritma berubah dengan Δx, maka:, dan y berubah dengan Δy karena x s.johanes, dtm sv ugm 38

7 Jika persamaan pertama dikurangkan dengan persamaan yang kedua, maka hasilnya adalah: Ingat bahwa: atau Bilangan Napier,,71828 Maka: Jadi: Jika dan, dan jika, maka atau dapat ditulis sebagai. Jika, maka atau dapat ditulis sebagai. Domain dari x adalah bilangan riil. s.johanes, dtm sv ugm 34

8 y y y 0 1 x x 0 x Gambar 4-1 a. b. c. d. Contoh soal dan penyelesaian 1. Carilah turunan pertama dari Jawab: Misalkan,, maka, maka: s.johanes, dtm sv ugm 35

9 2. Carilah turunan pertama dari Jawab: 3. Carilah turunan pertama dari Jawab: misalkan, misalkan, maka Soal-soal Carilah turunan pertama dari: s.johanes, dtm sv ugm 36

10 6. Laju aliran kalor radial melewati isolator berbentuk silinder, dinyatakan oleh persamaan:, dengan L, r i, k, h, T o & T adalah konstanta. Carilah : turunan pertama dari q ke peubah r o, yaitu? 3. Derivatif Fungsi Eksponensial Jika diketahui Maka:, dengan a = konstanta, berapakah turunannya?. Jika persamaan ini diturunkan ke peubah u, maka: Jadi dari a u adalah: Rumus-rumus untuk turunan fungsi eksponensial, adalah disajikan sebagai berikut: a. b. c. d. Contoh soal dan penyelesaian 1. Carilah turunan pertama dari Jawab: s.johanes, dtm sv ugm 33

11 2. Carilah turunan pertama dari Jawab:, misalkan, maka 3. Carilah turunan pertama dari Jawab:, misalkan dan, maka Soal-soal. Carilah turunan pertama dari: s.johanes, dtm sv ugm 34

12 4. Derivatif Fungsi Trigonometri (Goniometri) berikut: Rumus-rumus untuk turunan fungsi Trigonometri, adalah disajikan sebagai a. b. c. d. e. f. Contoh soal dan penyelesaian 1. Carilah turunan pertama dari Jawab 2. Carilah turunan pertama dari Jawab s.johanes, dtm sv ugm 34

13 3. Carilah turunan pertama dari Jawab Soal-soal Carilah turunan pertama dari: Derivatif Fungsi Siklometri Funggsi siklometri disajikan dengan hubuungan arcus, dan merupakan kebalikan dari fungsi goniometri. Ambillah :, diubah menjadi Jika diturunkan, hasilnya: Dengan melihat hubungan pada segitiga y 1 u di samping, maka: Jadi : Gambar 4-2 s.johanes, dtm sv ugm 35

14 atau Rumus-rumus untuk turunan fungsi siklometri, adalah disajikan sebagai berikut: a. b. c. d. e. f. Contoh soal dan penyelesaian 1. Carilah turunan pertama dari Jawab 2. Carilah turunan pertama dari Jawab s.johanes, dtm sv ugm 36

15 3. Carilah turunan pertama dari Jawab: Soal-soal Carilah turunan pertama dari: Derivatif Fungsi Hiperbolik Rumus-rumus untuk turunan fungsi Hiperbolik, adalah disajikan sebagai berikut: a. b. c. d. e. f. s.johanes, dtm sv ugm 37

16 Contoh soal dan penyelesaian 1. Carilah turunan pertama dari Jawab 2. Carilah turunan pertama dari Jawab 3. Carilah turunan pertama dari Jawab Soal-soal Carilah turunan pertama dari: s.johanes, dtm sv ugm 38

17 Derivatif Tingkat Tinggi Matematika Teknik 1,Bab 3 Jika diderivatifkan akan didapatkan y. Jika y masih merupakan fungsi x, maka masih dapat diderivatifkan lagi, hasil derivatif ini disebut derivatif ke-dua atau turunan ke-dua. Notasi :, (dengan ) derivatif tinkat (order) satu, derivatif tinkat (order) dua, derivatif tinkat (order) tiga, derivatif tinkat (order) ke-n. Pada ungkapan turunan (tingkat satu saja) di atas ada tiga macam notasi yang digunakan, yaitu notasi aksen ( ), notasi d ( ) dan notasi Leibniz ( ). Contoh: tentukan derivatif tingkat tiga, dari: Jawab: Soal-soal Tentukan: 1), dari: 2), dari: 3), dari: 4), dari: s.johanes, dtm sv ugm 39

18 Derivatif fungsi-fungsi yang dinyatakan dalam persamaan parameter Bila untuk menyatakan hubungan antara y sebagai fungsi x digunakan peubah ketiga (disebut parameter), maka derivatif y ke peubah x ditentukan dengan aturan sebagai berikut: a) Jika: dan, maka b) contoh: Carilah jika diketahui & Jawab:,,, maka: Soal-soal: Tentukan dari a) & b) & s.johanes, dtm sv ugm 40

19 Derivatif Parsiil Derivatif parsiil: derivatif fungsi dengan dua peubah atau lebih. Misalkan, dengan x dan y adalah variabel bebas. 1. Z bertambah dengan z oleh karena x bertambah dengan x, sedangkan y tetap, maka: (-) = derivatif parsiil tingkat satu ke-x, sedangkan y = konstan. 2. Z bertambah dengan z oleh karena y bertambah dengan y, sedangkan x tetap, maka: (-) = derivatif parsiil tingkat satu ke-y, sedangkan x = konstan. Derivatif parsiil tingkat tinggi Derivatif parsiil tingkat dua diperoleh dari derivatif parsiil tingkat satu ( & ), masing-masing diturunkan ke peubah x dan y. Maka menghasilkan: a. b. s.johanes, dtm sv ugm 41

20 c. d. Dapat dibuktikan bahwa: = Derivatif parsiil tingkat tiga diperoleh dari derivatif parsiil tingkat dua (,, & ), masing-masing diturunkan ke peubah x dan y. Maka menghasilkan: a. b. c. d. e. f. g. h. Dapat dibuktikan bahwa: & Contoh 1. Tentukan derivatif parsiil tingkat satu dari: 2. Tentukan derivatif parsiil tingkat satu dari: s.johanes, dtm sv ugm 42

21 Soal-soal Tentukan derivatif parsiil tingkat satu dari: Suhu pada (x, y, z) dari sebuah bola yang berpusat di titik asal, diberikan oleh persamaan berikut:, dengan pemeriksaan, putuskan di bagian mana yang paling panas? 12. Hitung harga:, bila 13. Hitung:, bila 14. Tentukan, bila 15. Tentukan derivatif parsiil tingkat dua dari: 16. Hitung harga, bila, dimana s.johanes, dtm sv ugm 43

22 Diferensial Total Jika fungsi dengan dua variabel bebas, z berubah dengan Δz karena x berubah dengan Δx dan y berubah dengan Δy, maka: Persamaan terakhir di atas dapat ditulis menjadi: Diferensial total Turunan pertama Turunan kedua: Suku 1 Suku 2 Turunan ketiga: s.johanes, dtm sv ugm 44

23 Turunan tingkat ke-n: total menjadi: Bila persamaan menggunakan parameter: &, maka derivatif Derivatif fungsi implisit. Deriatif fungsi implisit dengan satu peubah Contoh fungsi implisit: Jika: Turunan pertama: Turunan kedua: s.johanes, dtm sv ugm 45

24 Contoh: Tentukan & dari: dapat dicari menggunakan rumus yang telah tersedia, atau langsung diturunkan dari yang sudah diperoleh, sebagai berikut: Tugas pertemuan ke 5, carilah turunan pertama dari soal-soal 1 & 2 berikut Tentukan persamaan garis singgung terhadap grafik fungsi,, pada titik (1,4). Gambarkan fungsinya dan tunjukkan garis singgung tersebut. Latihan untuk pertemuan ke 5, selesaikan soal-soal berikut. 1. Carilah turunan pertama dari s.johanes, dtm sv ugm 46

25 2. Tentukan persamaan garis singgung terhadap grafik fungsi,, pada titik (1,2). Gambarkan fungsinya dan tunjukkan garis singgung tersebut. Petunjuk. 1. Misalkan dan, selanjutnya gunakan rumus derivatif fungsi aljabar berikut:. jawabnya: 2. Turunkan dulu:, maka.turunan ini, yaitu:, yaitu koefisien arah garis singgung. Karena garis singgung melalui titik (1,2), maka masukkan nilai x pada m. selanjutnya ggunakan persamaan garis melalui suatu titik (x o, y o ) dan mempunyai koefisien arah m, yaitu:. Jawabnya:. Tugas pertemuan ke 6, carilah turunan pertama dari soal-soal berikut Latihan untuk pertemuan ke 6, carilah turunan pertama dari soal-soal berikut Petunjuk. 1. Misalkan, maka. Selanjutnya y turunkan ke peubah w, menghasilkan. Selanjutnya dimisalkan dulu, dan, kemudian dihitung. Selanjutnya y diturunkan ke peubah x, dengan menggunakan aturan rantai, yaitu. 2. Untuk menyelesaikan soal:, dimisalkan dulu, sehingga. Selanjutnya y turunkan ke peubah u, menghasilkan:. Kemudian u turunkan ke x, menghasilkan:. Untuk s.johanes, dtm sv ugm 47

26 mempermudah misalkan, maka dapat dicari. Sehingga:. Selanjutnya. Tugas pertemuan ke 7, carilah turunan pertama dari soal-soal berikut Latihan untuk pertemuan ke 7, carilah turunan pertama dari soal-soal berikut Petunjuk. 1. Untuk menyelesaikan, dimisalkan dan, sehingga. Kemudian masing-masing diturunkan ke x menghasilkan dan, Maka. 2. Untuk menyelesaikan, dimisalkan, maka. Sehingga & dapat dicari. Dengan aturan rantai maka:. Tugas pertemuan ke Carilah dari: & 2. Tentukan derivatif parsiil dari: Latihan untuk pertemuan ke Tentukan derivatif parsiil dari: 2. Hitung:, bila Petunjuk. 1. Untuk menyelesaikan, dimisalkan, dan, sehingga. Maka: s.johanes, dtm sv ugm 48

27 2. Untuk menyelesaikan soal nomer 2, dicari, dan. PENUTUP Tes formatif dan kunci tes formatif 1. Tentukan dari. Kuncinya: 2. Tentukan dari. Kuncinya: 3. Tentukan dari &. Kuncinya: 4. Tentukan, bila. Kuncinya: Petunjuk penilaian dan umpan balik Penilaian hasil tugas, latihan dan ujian debiri skor (nilai) antara 0 sampai dengan 100. Kesahan hasil akhir bukanlan merupakan kesalahan yang fatal, kalaupun dikurangi skornya, hanya sedikit saja (atau bahkan tak perlu dikurangi), tetapi kesalahan proses itu yang perlu pengurangan nilai. Tindak lanjut Bagi mahasiswa yang skornya kurang dari 50, wajib mempelajari lagi uraian di depan, dan selanjutnya diuji lagi. s.johanes, dtm sv ugm 49