ANUITAS DUE PADA STATUS HIDUP PERORANGAN BERDASARKAN FORMULA WOOLHOUSE

2 ANUITAS DUE PADA STATUS HIDUP PERORANGAN BERDASARKAN FORMULA WOOLHOUSE Sri Purwati 1, Johaes Kho 2, Aziskha 2 1 Mahasiswa Program S1 Matematika FMIPA Uiversitas Riau email : srii_purwatii@yahoo.co.id 2 Dose Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Riau ABSTRACT A formula called Woolhouse formula that obtaied based o approach the Euler Maclauri formula are discussed. The Woolhouse formula is used to calculate preset value of a auity with payable m times a year. Here, year temporary of a auity-due is used. This study is a review of the work doe by David C.M. Dickso, Mary R Hardy ad Howard R. Waters Actuarial Mathematics for Life Cotigecies Risk. 3: 132-136 (2009). Keywords: Auity-due, Preset Value, Euler Maclauri Formula, Woolhouse Formula. 1. PENDAHULUAN Auitas adalah suatu ragkaia pembayara dalam jumlah tertetu, yag dilakuka setiap selag waktu da lama tertetu. Pada mulaya istilah auitas haya diguaka utuk pembayara yag dilakuka tiap tahu, aka tetapi dega seirig berjalaya waktu, auitas juga mecakup pembayara yag dilakuka tiap bula, kuartal, semester ataupu iterval waktu laiya. Meurut sistem pembayaraya, auitas dibagi mejadi dua yaitu auitas due da auitas immediate. Orag yag melakuka aktifitas auitas disebut dega auita. Formula Woolhouse merupaka formula yag diguaka utuk meghitug auitas yag dibayarka secara tahua atau selag waktu laiya berdasarka pedekata formula Euler Maclauri. Dega megguaka formula Woolhouse aka ditetuka ilai sekarag dari auitas due dega melakuka m kali pembayara dari auita yag berusia x tahu sampai usia maksimum tahu. Dalam artikel ii peulis mempelajari ulag dari buku yag ditulis oleh David C.M. Dickso, Mary R Hardy, ad Howard R. Waters yag berjudul Actuarial Mathematics for Life Cotigecies Risk. 1

2 2. ANUITAS DUE BERDASARKAN FORMULA WOOLHOUSE Berdasarka pedekata formula Euler Maclauri yag secara umum ditulis dalam betuk dega da N adalah iteger, aka ditujukka formula Woolhouse yag ditulis dalam teorema sebagai berikut. Teorema 1 Misalka terdapat fugsi, dimaa lim g ( t ) = 0 t, maka dega tahu dega h > 0. da h merupaka bayakya pembayara yag dilakuka setiap Bukti: Misalka,, da, maka persamaa (1) mejadi Karea lim g ( t ) = 0 t, maka persamaa (3) mejadi Karea, maka terbukti

3 Kemudia, dega megguaka formula Woolhuse aka ditujukka ilai sekarag dari auitas due dega m kali pembayara setahu. Teorema 2 Misalka x meyataka usia, m adalah bayakya pembayara yag dilakuka, adalah kekuata buga, da adalah percepata mortalita maka auitas due auita yag berusia x dega m kali pembayara berdasarka formula Woolhouse adalah Bukti : Dega meuruka fugsi diperoleh Karea, persamaa (5) mejadi Utuk, maka persamaa (6) mejadi (7) Substitusika persamaa (7) ke persamaa (2) dega megambil da da diperoleh Karea, persamaa (8) mejadi

4 Karea, maka diperoleh Utuk pembayara auitas yag dilakuka m kali pembayara setahu, maka ilai. Sehigga persamaa (2) mejadi Karea persamaa (9) da persamaa (10) mempuyai pedekata yag sama, maka terbukti Kemudia berikut ii aka diberika teorema yag meujukka ilai sekarag dari auitas due berjagka tahu berdasarka formula Woolhouse, sebelumya diberika beberapa betuk umum dari auitas due berdasarka jeisya dega m kali pembayara. i. Auitas due seumur hidup (11) ii. Auitas due berjagka m 1 t ( m ) 1 m a = v p x: x m t= 0 iii.auitas due yag dituda t m (12)

5 ( m ) ( m ) ( m ) = a v pxa (13) : a x x x+ Teorema 3 Misalka auitas due berjagka tahu adalah da melakuka m kali a x : pembayara mempuyai faktor disko, peluag hidup sampai tahu p x, percepata mortalita, da percepata pembugaaya maka ilai sekarag auitas due berjagka dega m kali pembayara berdasarka formula Woolhouse adalah dega pedekata Bukti : Dega mesubstitusika persamaa (4) ke persamaa (13) diperoleh Utuk auita yag berusia tahu, persamaa (4) dapat ditulis mejadi Kemudia dega mesubstitusika persamaa (16) ke persamaa (15), diperoleh Berdasarka persamaa (13), maka terbukti

6 Tabel berikut ii merupaka aplikasi dari persamaa (14). Dimaa data yag diguaka berdasarka tabel mortalita. Tabel 1 Nilai Sekarag Auitas Due utuk Auitas Berjagka dega usia Auita 60 Tahu 4 p 60 ( 4) a 60: 0 1,00000 1,000000 1,00000 1 0,97645 1,000000 0,97645 2 0,95346 0,715328 0,68204 3 0,93101 0,715328 0,66598 5 0,88769 0,715328 0,63499 6 0,86678 0,489051 0,42390 7 0,84637 0,489051 0,41392 8 0,82645 0,489051 0,40417 9 0,80699 0,489051 0,39466 10 0,78799 0,350365 0,27608 11 0,76943 0,350365 0,26958 12 0,75131 0,350365 0,26323 4 p 60 ( 4) a 60: 14 0,71635 0,284672 0,20392 15 0,69948 0,284672 0,19912 16 0,68301 0,284672 0,19443 17 0,66693 0,284672 0,18986 18 0,65123 0,262774 0,17113 19 0,63589 0,262774 0,16710 20 0,62092 0,262774 0,16316 21 0,60630 0,262774 0,15932 22 0,59203 0,248175 0,14693 23 0,57809 0,248175 0,14347 24 0,56447 0,248175 0,14009 25 0,55118 0,248175 0,13679 26 0,53820 0,226277 0,12178 27 0,52553 0,226277 0,11892 28 0,51316 0,226277 0,11612 29 0,50108 0,226277 0,11338 30 0,48928 0,189781 0,09286 31 0,47776 0,189781 0,09067 32 0,46651 0,189781 0,08853 33 0,45552 0,189781 0,08645 34 0,44480 0,160584 0,07143 35 0,43432 0,160584 0,06975

7 36 0,42410 0,160584 0,06810 37 0,41411 0,160584 0,06650 38 0,40436 0,138686 0,05608 39 0,39484 0,138686 0,05476 Tabel 2 Nilai Sekarag Auitas Due utuk Auitas Berjagka dega usia Auita 60 Tahu p 60 a 60: 0 1,00000 1,00000 1,00000 1 0,90909 0,98978 0,89980 2 0,82645 0,97889 0,80900 3 0,75131 0,96710 0,72660 4 0,68301 0,95435 0,65183 5 0,62092 0,94052 0,58399 6 0,56447 0,92552 0,52243 7 0,51316 0,90926 0,46659 8 0,46651 0,89162 0,41595 9 0,42410 0,87249 0,37002 Tabel 1 merupaka ilai sekarag dari auitas due secara umum dega ilai sekarag 2,63575, sedagka Tabel 2 merupaka ilai sekarag dari auitas due berdasarka formula Woolhouse dega ilai sekarag sebesar 6,44622. 3. DAFTAR PUSTAKA [1]Bai, Lee J. & Egelhardt, Max.(1991). Itroductio To Probability ad Mathematical Statistics, Uiversity of Idaho. Belmot, Califoria. [2]Bowers, N.L., Gerber, H.U., Hickma, J.C., Joes, D.A. & Nesbitt, C.J. (1997).Actuarial Mathematics, The Society of Actuaries, Itasca, IL.

8 [3]Dickso, David C. M, Hardy, Mary R, & Waters, Howard R. (2009). Actuarial Mathematics for Life Cotigecies Risk. Uited Kigdom at The Uiversity Pers. Cambridge. [4]Futami, T. 1993. Matematika Asurasi, Bagia I. Terj. Dari Seimei Hoke Sugaku, Joka ( 92 Revisio), Icorporated Foudatio Oretal life Isurace Developmet Ceter. Tokyo. Jepag. [5]Kelliso, Stephe G. 1970.The Theory of Iterest. Fellow of Actuaries Uiversity of Nebrasks.