PENGGUNAAN METODE HOMOTOPI PADA MASALAH PERAMBATAN GELOMBANG INTERFACIAL JAHARUDDIN Departeen Mateatika Fakultas Mateatika Ilu Pengetahuan Ala Institut Pertanian Bogor Jl Meranti, Kapus IPB Daraga, Bogor 1668, Indonesia Abstrak : Metode hootopi erupakan suatu etode pendekatan analitik yang dapat digunakan untuk enyelesaikan asalah taklinear. Metode hootopi tersebut digunakan untuk enyelesaikan asalah gelobang internal pada fluida dua lapisan. Persaaan gerak gelobang interfacial yang diperoleh berupa persaaan diferensial taklinear. Dengan etode hootopi diperoleh suatu ruus rekursif dari basis-basis penyelesaian asalah perabatan gelobang interfacial. Penyelesaian pendekatan awal diisalkan dala bentuk gelobang soliter. Kata kunci: etode hootopi, gelobang interfacial, asalah taklinear. 1. PENDAHULUAN Gelobang internal adalah gelobang yang terjadi di bawah perukaan laut sehingga tidak teraati secara kasat ata. Keberadaan gelobang internal ini diakibatkan oleh rapat assa air laut yang tidak konstan. Perbedaan rapat assa ini diakibatkan oleh perbedaan suhu kadar gara pada setiap lapisan. Gelobang internal ini berada pada batas antara dua lapisan air dengan rapat assa berbeda. Salah satu bentuk gelobang internal yang banyak dikaji adalah gelobang soliter internal, yaitu gelobang internal yang erabat dengan bentuk kecepatan yang tidak berubah. Gelobang internal ini terdeteksi elalui SAR (Synthetic Aperture Radar) sebagai pola gelap terang yang tapak teratur di perukaan laut. Model persaaan bagi gerak gelobang internal uunya berbentuk tak linear. Model berupa persaaan taklinear biasanya sulit diselesaikan secara analitik. Masalah tak linear ini enarik perhatian peneliti sejak pertengahan abad ke-19 untuk endapatkan suatu etode yang efisien untuk enyelesaikannya. Liao dala (Liao, 1998) eperkenalkan suatu etode
5 JAHARUDDIN yang disebut etode hootopi untuk enyelesaikan suatu persaaan diferensial tak linear. Dala tulisan ini akan digunakan etode hootopi untuk enyelesaikan asalah gelobang internal pada fluida dua lapisan. Fluida dua lapisan adalah fluida yang terdiri atas dua lapisan, yang asing-asing epunyai rapat assa yang konstan. Gelobang internal uncul pada batas kedua lapisan tersebut disebut gelobang interfacial. Berdasarkan etode hootopi ini akan dikonstruksi suatu etode nuerik untuk enghapiri sipangan aplitudo gelobang interfacial. Hasil nuerik yang diperoleh akan diipleentasikan dengan enggunakan bantuan software Maple.. PERSAMAAN GERAK GELOMBANG INTERNAL Model ateatika untuk enjelaskan gerak gelobang internal, digunakan persaaan dasar dala forulasi Lagrange. Dala hal ini diasusikan bahwa fluida yang ditinjau berupa fluida tak apat tak kental dengan batas atas berupa perukaan bebas, batas bawah oleh batas rata. Misalkan ξ enyatakan sipangan partikel fluida dari posisi kesetibangannya, bergantung pada koordinat horizontal x posisi partikel fluida pada keadaan setibang z, serta waktu t. Rapat assa dala keadaan setibang dinyatakan oleh ρ o. Persaaan gerak gelobang internal diturunkan dengan enggunakan etode asitotik (Jaharuddin, 4). Berdasarkan etode asitotik, pada orde rendah, sipangan partikel fluida dinyatakan dala bentuk: ( x, z, t) A( x, t) ( z) (.1) dengan fungsi A(x,t) eenuhi persaaan berikut: A AA A. (.) t x xxx Koefisien μ δ asing-asing eenuhi: o z o h h oz dz oz h h c dz c dz,. Fungsi adalah penyelesaian asalah nilai batas berikut: o z z o c z g z dz c N, h z, di z h di (.) (.4) dengan h, N, c, g asing-asing enyatakan kedalaan fluida, frekuensi Brunt-Väisälä, kecepatan gelobang, percepatan gravitasi. Masalah nilai batas untuk pada persaaan (.4) dapat dipang sebagai asalah nilai eigen dengan nilai eigen c(ⁿ) fungsi eigen (ⁿ) yang berkaitan, n=,1,, dengan c(ⁿ)>c(ⁿ+¹). Mode pertaa, yaitu pasangan ( ¹,c(¹)) yang akan
JMA, VOL. 9, NO.1, JULI 1, 49-55 51 digunakan, karena kecepatan phase gelobang untuk ode ini yang terbesar fungsi eigennya epunyai satu nilai ekstri di dala doain fluida (Grishaw, 1997). Karena persaaan diferensial dala asalah nilai eigen di atas berbentuk linear, aka penyelesaian asalah nilai eigen tersebut euat perkalian dengan hanya satu konstanta. Konstanta ini dipilih sedeikian sehingga fungsi bernilai satu pada titik ekstrinya ( z z ). Peilihan ini enyatakan bahwa A(x,t) erupakan sipangan gelobang internal di z z. Persaaan gerak gelobang internal pada persaaan (.) diasusikan eiliki penyelesaian berbentuk gelobang berjalan. Oleh karena itu, isalkan A( ) au( ), dengan ( x ct) ε suatu paraeter. Dengan deikian persaaan (.) enjadi. (.5) cu auu U Salah satu gelobang berjalan yang dikaji adalah gelobang soliter. Penyelesaian gelobang soliter yang erupakan penyelesaian persaaan (.5) berbentuk: U( ) sec h dengan a /1 c1 a / dengan c 1 erupakan koreksi kecepatan phase gelobang. Selanjutnya dengan eisalkan penyelesaian dala bentuk gelobang soliter, aka diperoleh hubungan c sehingga persaaan (.5) enjadi cu auu cu. (.6) Persaaan (.6) erupakan persaaan bagi gerak gelobang internal yang akan diselesaikan dengan etode hootopi.. ANALISIS METODE Pada bagian ini akan dibahas etode hootopi untuk enjelaskan gerak gelobang soliter internal. Model ateatika yang ditinjau diberikan oleh persaaan (.6). Dala etode ini, suatu operator linear operator taklinear N dipilih berdasarkan persaaan (.6), yaitu L( ; q) ( ; q), N ( ; q) c ( q) c (.1) dengan ( q) ( ; q) erupakan dua fungsi real yang bergantung pada suatu paraeter q [,1]. Jadi, terdapat peetaan: U( ) ( ; q), a ( q). Peetaan - peetaan tersebut dikonstruksi dengan eperhatikan nilai paraeter q yang berubah dari ke 1, yang engakibatkan ( ; q), ( q) asing - asing berubah dari pendekatan awal enjadi penyelesaian eksak U( ) a. Persaaan (.6) eberikan persaaan untuk deforasi orde nol berikut: (1 q) L[ ( ; q) ( )] qpn[ ( ; q), ( q)]. (.) Berdasarkan persaaan (.1) (.), aka untuk q = diperoleh ( ;) ( ), ()=a
5 JAHARUDDIN yang asing - asing erupakan pendekatan awal untuk U( ) a. Selanjutnya, untuk q = 1 diperoleh ( ;1) U( ), (1)= a. Peilihan pendekatan awal tersebut enjain aya fungsi ( ; q) yang dapat diturunkan hingga kali terhadap q. Turunan ke dari fungsi ( ; q), ( q) terhadap q di q = asingasing dinotasikan sebagai berikut: ( ; q) ( ) q q, a d ( q) dq Deret Taylor dari fungsi ( ; q), ( q) di sekitar q = asing-asing adalah: ( ) ( ) ( ; q) ( ;) q ( ) q 1! 1! a a ( q) () q a q.!! 1 1 q Dengan deikian untuk q = 1 diperoleh ( ) U( ) ( ),! 1 (.) a aa. (.4)! 1 Hasil ini enunjukkan hubungan antara penyelesaian persaaan (.6) pendekatan awal ( ), a. Berikut ini akan ditentukan ( ), a. Jika kedua ruas persaaan (.) diturunkan terhadap q hingga kali dihitung di q 1 keudian dibagi!, aka diperoleh bentuk deforasi orde- berikut: L ( ) ( ) pr (, a ) (.5) dengan 1-1 1 1 1 N[, ] R(, a ) ( 1)! q -1 1 1 q (,,, ), a ( a, a1, a, a) Berdasarkan bentuk operator N pada persaaan (.1), diperoleh bentuk R berikut: 1 d d d R a c a c (.6) 1 i 1 i1 1 ( 1, 1) ji j dq i j1 dq dq
JMA, VOL. 9, NO.1, JULI 1, 49-55 5 Jika persaaan (.6) disubstitusikan ke persaaan (.5) berdasarkan persaaan (.1) dengan syarat awal U() 1, U '(), U( ), aka penyelesaian persaaan (.5) dapat dinyatakan dala bentuk: * ( ) C exp( ) C exp( ) C ( ) (.7) diana 1 * ( ) adalah penyelesaian khusus dari persaaan (.5) a, 1, akan ditentukan berikut. Jika persaaan (.7) disubstitusikan ke dala persaaan (.4), aka diperoleh: * * * d C1 (), C C, () q. (.8) dq Berdasarkan persaaan (.8), a, 1, dapat ditentukan. Berikut ini langkah-langkah yang harus dilakukan untuk enyelesaikan persaaan (.6) dengan etode hootopi. Misalkan diberikan pendekatan awal dari persaaan (.6), yaitu a. Penyelesaian untuk orde ke- yaitu a, 1,... dari persaaan (.) (.4) dilakukan sebagai berikut. 1. Tentukan R ( 1, a1) dari persaaan (.6).. Tentukan * ( ) dari persaaan (.5) (.7).. Tentukan a dari persaaan (.7) (.8). 4. Tentukan ( ) dari persaaan (.7) dengan C 1,C C dari persaaan (.8), fungsi * ( ) dari hasil langkah kedua. 5. Tentukan penyelesaian persaaan (.6) berdasarkan persaaan (.) (.4). Berdasarkan penyelesaian persaaan (.6), aka diperoleh penyelesaian persaaan (.), yaitu A( ) au( ), dengan ( x ct) yang erupakan sipangan gelobang internal. Aplitudo gelobang internal diperoleh berdasarkan hasil dari langkah ketiga di atas. 4. APLIKASI PADA FLUIDA DUA LAPISAN Untuk engaplikasikan hasil-hasil yang diperoleh pada bagian sebelunya, aka pada bagian ini akan ditinjau fluida dua lapisan, yang asing-asing epunyai rapat assa yang konstan. Dala hal ini gelobang internal uncul pada batas kedua lapisan tersebut. Gelobang ini biasa disebut gelobang interfacial. Untuk itu, isalkan rapat assa fluida dua lapisan ini diberikan dala bentuk: 1 h z z O() z z z. Penyelesaian asalah nilai eigen (.4) berbentuk:
54 JAHARUDDIN z h, h z z h z ( z) g c z, z. z c gz g Jika pendekatan Boussinesq ( 1 ) digunakan, aka diperoleh g ' z( h z) g( 1) c, g'= h g( 1) dengan g '. Berdasarkan persaaan (.) diperoleh c( z h) c z ( h z ). z ( h z ) 6 Perhitungan eksplisit dilakukan dengan data-data berikut: g'.5, h 1 z.1 h. Berdasarkan data tersebut diperoleh c.7,.9,.1. Selanjutnya, dala etode hootopi yang akan digunakan, isalkan pendekatan awalnya berbentuk: ( ) sec h (6, ) a, Gabar 4.1 enunjukkan grafik fungsi A( ) au( ), dengan U( ) erupakan penyelesaian persaaan (.) untuk beberapa orde. Gabar. Sipangan gelobang interfacial enggunakan etode hootopi untuk orde (...), orde (- - -), penyelesaian gelobang soliter (garis penuh) Berdasarkan Gabar 4.1, diperoleh bahwa aplitudo gelobang interfacial adalah,5 satuan. Selain itu, seakin tinggi orde dala etode hootopi yang digunakan, sipangan gelobang interfacial seakin endekati aplitudo gelobang soliter. Ini berarti etode hootopi cocok digunakan untuk enyelesaikan asalah perabatan gelobang interfacial. Perhitungan yang digunakan dala etode ini juga sangat sederhana.
JMA, VOL. 9, NO.1, JULI 1, 49-55 55 5 KESIMPULAN Persaaan gerak gelobang interfacial diturunkan berdasarkan asusi fluida tak apat tak kental pada fluida dua lapisan. Penyelesaian asalah perabatan gelobang interfacial dilakukan dengan enggunakan etode hootopi. Metode hootopi adalah suatu etode pendekatan analitik untuk enentukan penyelesaian dari suatu asalah taklinear. Dala etode ini diperlukan suatu operator linear taklinear yang dipilih berdasarkan persaaan gerak gelobang interfacial. Berdasarkan peilihan ini, diperoleh suatu ruus rekursif terhadap basis-basis dari penyelesaian persaaan gerak gelobang interfacial. Orde dala etode ini ditentukan berdasarkan banyaknya basis yang digunakan. Hasil yang diperoleh dari penelitian ini berupa hapiran untuk sipangan gelobang interfacial. Gelobang interfacial yang terjadi pada kedalaan,1 satuan, diperoleh kecepatan gelobang sebesar,7 satuan aplitudo gelobang interfacial adalah,5 satuan. Selain itu, seakin tinggi orde dala etode hootopi yang digunakan, sipangan gelobang interfacial seakin endekati aplitudo gelobang soliter. Ini berarti etode hootopi cocok digunakan untuk enyelesaikan asalah perabatan gelobang interfacial. Perhitungan yang digunakan dala etode ini juga sangat sederhana. DAFTAR PUSTAKA [1]. Grishaw, R. 1997. Internal Solitary Waves, dala Advances in Coastal and Ocean Engineering, Bab 1, Liu, P.L.F., Editor, World Scientific Pub. Copany, Singapore :1-. []. Jaharuddin. 7. Forulasi Lagrange untuk Menggabarkan Gerak Gelobang Internal di Atosfir. Jurnal Mateatika Aplikasinya, 6:7-46.. []. Liao. 4. Beyond Pertubation: Introduction to the Hootopy Analysis Method. Boca Raton, London, New York Washington, D.C.