Kelebihan dan Kekurangan Homotopy Analysis Method (HAM) dan Homotopy Perturbation Method (HPM)

Transkripsi

1 Prosiding Seirata FMIPA Universitas Lapung, 213 Kelebihan dan Kekurangan Hootopy Analysis Method (HAM) dan Hootopy Perturbation Method (HPM) Musli Ansori dan Suharsono S Jurusan Mateatika FMIPA Universitas Lapug Eail: ansoath@yahoo.co Abstrak. Metode HAM dan HPM pada dasarnya adalah etode yang digunakan untuk enyelesaikan persaaan diferensial taklinear yang didasarkan pada deret Taylor. Keduanya eberikan hasil aproksiasi yang baik untuk beberapa suku tertentu. HAM tidak eerlukan nilai penduga awal yang baik, berbeda dengan HPM. Juga HAM eiliki paraeter seu h, yang berfungsi untuk engontrol daerah konvergensi deret. Keywords: HAM, HPM, paraeter seu, nilai penduga awal. PENDAHULUAN Akhir- akhir ini banyak uncul peinat aplikasi teknik hootopy dala eecahkan asalah taklinear. Alasan utaa, kenyataannya adalah bahwa etose hootopy lebih udah dugunakan dala eecahkan asalah sulit. Pada tahun 1992, Liao [2] eperkenalkan hootopy analysis ethod (HAM) sebuah tenik endapatkan solusi analitik persaaan taklinear tanpa enggunakan paraeter kecil. Liao sukses enerapkan HAM untuk enghasilkan solusi analitik yang eksplisit, valid seraga dari persaaan Blasius [7] atau persaaan Falkner-Skan [9]. Teori hootopy enjadi perangkat ateatika yang sangat berguna ketika sukses digabungkan dengan teori perturbasi [1]. Pada tahun 1998, He [11,12] eperkenalkan hootopy perturbation ethod (HPM), keudian dikebangkan lagi [13,14]. Banyak lagi iluwan yang turut enerapkannya. Pada bagian selanjutnya akan dibicarakan kekurangan dan kelebihan asing-asing etode ini. TINJAUAN PUSTAKA Liao [1] eperkenalkan sebuah teknik analisis yang disebut Hootopy Analysis Method (HAM). Validitas dari HAM adalah tidak tergantung pada ada tidaknya paraeter kecil dala persaaan yang sedang diselesaikan. Liao berhasil enerapkan HAM untuk enyelesaikan asalah- asalah taklinear. Zedan dan Adrous [16] ereview secara ringkas teori tentang HAM dan HPM seperti di bawah ini. Pandang persaaan diferensial N[z(h,t)] =, (1) Di ana N adalah operator taklinear, h dan t elabangkan peubah bebas, seentara z(h,t) adalah fungsi tak diketahui. Singkatnya, dengan engabaikan syarat batas dan syarat awal, Liao [1] engkonstruksi persaaan deforasi ordenol (1 p) L[ ( h, t; p) z( h, t)] ph N[ ( h, t; p)], (2) di ana p [,1] adalah ebedding paraeter, h adalah paraeter seu taknol, L adalah operator linear seu, z (, ) h t adalah nilai penduga awal dari z(h,t) dan ( h, t; p) adalah fungsi tak diketahui. Paraeter h dan operator L di sini dipilih secara bebas.. Bilaana p dan p 1, aka asing asing berlaku: Seirata 213 FMIPA Unila 361

2 M. Adi Sidauruk dkk: Karakteristik Pendugaan Eperical Best Linear Unbiased Prediction (EBLUP) Pada Pendugaan Area Kecil ( h, t;) z( h, t) dan ( h, t;1) z( h, t). (3) Dengan deikian bilaana p bertabah dari ke 1, solusi ( h, t; p) bergerak dari nilai awal z (, ) h t ke solusi z(h,t). Bila ( h, t; p) diperluas dala deret Taylor terhadap p, aka diperoleh ( h, t; p) z ( h, t) z ( h, t) p, (4) 1 di ana 1 ( h, t; p) z( h, t) p (5)! p Jika operator linear seu L, nilai penduga awal z ( h, t ), dan paraeter seu h dipilih dengan benar, deret (4) konvergen untuk p=1, sehingga diperoleh 1 z( h, t) z ( h, t) z ( h, t), (6) yang harus erupakan solusi dari persaaan taklinear awal [1]. Bila h = -1, aka (2) enjadi (1 p) L[ ( h, t; p) z ( h, t)] pn[ ( h, t; p)], (7) Bentuk ini banyak digunakan pada etode perturbasi hootopi. Dengan endiferensialkan (2) kali terhadap paraeter p dan keudian setting p =, lalu bagi dengan!, selanjutnya diperoleh L [ z( h, t) z 1( h, t)] h R ( z 1), (8) di ana 1 1 ( h, t; p) R ( z 1) 1 p, (9) ( 1)! p, 1 (1) 1, 1 Di sisi lain, ide dasar Hootopy Perturbation Method adalah kobinasi dari teknik perturbasi klasik dan teknik hootopy, yang engeliinasi pebatasan etode perturbasi tradisional. Teknik ini eiliki banyak keunggulan dari teknik perturbasi tradisional [13]. Untuk eahai ide dasar etode HPM dala enyelsaikan persaaan differensial tak linear, pandang persaaan differensial taklinear berikut: A( u) f ( r), r (11) terhadap syarat batas u Bu,, r (12) n di ana A adalah operator diferensial uu, B adalah operator batas, f adalah fungsi analitik yang diketahui dan adalah batas dari doain Ω. Operator A dapat dibagi enjadi dua operator linear bagian, sebut L dan N. Karena itu persaaan (11) dapat ditulis enjadi L( u) N( u) f ( r) (13) Dengan teknik hootopy, dikonstruksi hootopy V( r, p) :,1 (14) yang eenuhi H( V, p) (1 p) L( V) L( u) pa( V) f ( r), p[,1], r, (15) atau H( V, p) L( V) L( u ) pl( u ) p N( V) f ( r) (16) Di ana p [,1] adalah ebedding paraeter dan u adalah aproksiasi awal untuk (11) yang eenuhi syarat batas. Selanjutnya dari (14) dan (15) diperoleh H( V,) L( V) L( u), (17) H( V,1) A( V) f ( r). (18) Dengan deikian, proses perubahan p dari nol ke 1 tak lain adalah perubahan v( r, p ) dari u () r ke ur () Dala topologi, hal ini disebut deforasi. Dengan deikian L( v) L( u) dan A( v) f ( r) adalah hootopik. Sesuai dengan HPM, kita dapat enggunakan paraeter p sebagai paraeter bernilai kecil, dan asusikan bahwa solusi (14) dan (15) dapat ditulis sebagai deret pangkat dala p: 2 V V pv p V (19) Seirata 213 FMIPA Unila

3 Prosiding Seirata FMIPA Universitas Lapung, 213 Setting p=1 sehingga diperoleh solusi aproksiasi dari (11) u liv V V V (2) p1 1 2 Deret (2) adalah konvergen, naun asih bergantung kepada operator taklinear A(V). He [13] dan Cveticanin [17] enyarankan: 1. Turunan kedua dari N(V) terhadap V haruslah kecin sebab paraeter dapat enjadi besar, yaitu p Nor dari L N V haruslah lebih kecil daripada 1 sehingga deret konvergen. PEMBAHASAN HPM pada dasarnya erupakan kasus khusus dari HAM, yaitu bilaana h = -1 dan H( r, t) 1. Karena itu HAM secara logis pada prinsipnya euat HPM [2, 1]. Selain itu HPM secara ateatis erupakan peruuan dari deret Taylor, eskipun hanya perlu beberapa suku deret. Jadi jika peilihan nilai awal dan operator linear seu dilakukan dengan benar, hanya perlu beberapa suku agar hasilnya cukup akurat. Beberapa perbedaan HAM dan HPM dapat diungkapkan sebagai berikut. Konvergensi dari solusi deret Liao bergantung kepada epat factor, yaitu nilai awal, operator linear seu, fungsi seu H(r,t) dan paraeter seu h. bagaianapun untuk kasus khusus h = -1 dan H( r, t) 1, konvergensi solusi HPM hanya bergantung kepada dua factor, dan HPM tak dapat enyediakan cara lain untuk enjain konvergensi. Inilah alasan engapa peilihan nilai awal dan operator seu harus dilakukan dengan baik [1], seentara rabu-rabu untuk enentukan pilihan tidak tersedia. Di sisi lain, pada HAM tidak disyaratkan seperti deikian. Akibat pengaruh peilihan nilai awal pada HPM ini, untuk kasus asalah taklinear yang ruit, seperti penyelesaian persaaan Blasius and Falkner-Skan, He [13] n engabaikan suku sekuler exp( n) (enurut He), padah tidak benar-benar n sekuler sebab li exp( n), n 1. n Sedangkan Liao [2], dengan enggunakan HAM suku ini tetap dipertahankan. Untuk engeneralisasi suku ini, Liao enyediakan Rule of Solution Expression [2], yang sangat berguna untuk eilih nilai awal, operator linear seu dan fungsi seu. Berbeda dengan HPM, konvergensi solusi deret Liao bergantung kepada epat factor. Meskipun peilihan nilai awal dan operator linear seu tidak cukup baik, asal rasional, hasilnya tetap bisa konvergen [2], sebab konvergensi pada HAM ditentukan oleh peilihan nilai paraeter h. He [1] juga engakui bahwa HAM adalah etode deret Taylor yang diperuu, untuk encari solusi deret takhingga dan daerah konvergensi enjadi lebih luas. Paraeter hootopy h harus dipilih sesuai dengan radius konvergensi deret takhingga yang telah diperoleh. Seentara HPM adalah etode perturbasi baru, untuk encari solusi asitotik dengan 2 sapai 4 suku, tanpa eerlukan teori konvergensi. Dala enyelesaikan persaaan evolusi, Liang and Jeffrey [18] enyipulkan bahwa HPM enghasilkan deret yang divergen untuk seua x dan t, kecuali pada t = ( di nilai awal ), yaitu radius konvergensi solusi HPM adalah nol. Karena itu HPM tidak eberikan hasil pendekatan yang beranfaat, baik dala hal deret konvergen atau deret asitotik. Di sisi lain, etode HAM eberikan hasil solusi konvergen untuk nilai,2 h 1.4. Seirata 213 FMIPA Unila 363

4 M. Adi Sidauruk dkk: Karakteristik Pendugaan Eperical Best Linear Unbiased Prediction (EBLUP) Pada Pendugaan Area Kecil Untuk asalah purely nonlinear fin-type, Chowdhury et al [15] enyipulkan bahwa penggunaan HAM eberikan hasil yang lebih akurat dan perhitungan suku-sukunya lebih udah dibandingkan dengan HPM. Peilihan nilai h juga dapat dilakukan dengan tepat. Dibandingkan dengan etode dekoposisi dan solusi eksak, etode HAM erupakan etode yang sangat enjanjikan untuk endapatkan pendekatan solusi analitik bagi asalahasalah taklinear yang sangat ruit. KESIMPULAN Berdasarkan dari uraian di atas dapat disipulkan bahwa etode HAM lebih baik dan lebih udah diaplikasikan untuk enyelesaikan asalah taklinear. Metode HPM, di saping agak ruit, juga kurang akurat. Menurut penilaian Liao, HPM asih euat beberapa kesalahan dan eerlukan dasar ateatika yang rasional. Di saping itu pula, perlu diperuu dan diverifikasi untuk enyelesaikan asalah-asalah taklinear yang ruit. DAFTAR PUSTAKA S J Liao, Hootopy Analysis Method: A new Analytic Method for Nonlinear Probles, Applied Matheatics and Mechanics, English Edition, Vol. 19, No. 1,(1998) S J Liao, Beyond Perturbation: Introduction to Hootopy Analysis Method, Chapan &Hall/ CRC Press, Boca Raton, 23. S J Liao, A kind of approxiate solution technique which does not depend upon sall paraeters II. An application in fluid echanics, Int. J. Non-Linear Mech, 32 (5) (1997) S J Liao, Hootopy Analysis Method, a kind of nonlinear analytical technique not depending on sall paraeters. J. Shanghai Mech. 18. (3) (1997() ( in Chinese) S J Liao, Hootopy Analysis Method, A new Analytic Method for Nonlinear Probles without sall paraeters, in The 3 rd International Conference on nonlinear Mechanics, Shanghai, 1998, pp S J Liao. An Explicit, totally analytic solution of lainar viscous flow over a sei infinite flat plate. Co. Nonlinear Sci Nuer Siulat. 3.(2) (1998) S J Liao. An Explicit, totally analytic approxiation solution for Blasius viscous flow probles. Int. J. Nonlinear Mech. 34 (1999) S J Liao. A uniforly valid analysis solution of two diensional viscous flow over a sei infinite flat plate. J. Fluid Mech. 385 (1999) S J Liao. A non-iterative nuerical approach for 2_D viscous flow prpbles governed by the Falkner-Skan equation. Int. J. Nuer. Methods Fluids. 35 (5) (21) J H He, Coparison of Hootopy perturbation Methods and Hootopy Analysis Method, Appl. Math. Coput. 156 (24) J H He. An approxiate solution technique depending upon an artificial paraeter. Coun. Nonlinear Sci. Nuer. Siulat. 3 (2) (1998) J H He. Newton-like Iteration Method for solving algebraic equations. Co. Nonlinear Sci. Nuer. Siulat. 3 (2) 364 Seirata 213 FMIPA Unila

5 Prosiding Seirata FMIPA Universitas Lapung, 213 (1998) J H He. Hootopy Perturbation Technique. Coput. Methods Appl. Mech. Eng. 178 (3/4) (1999) J H He. A Coupling Method of hootopy technique and perturbation technique for nonlinear probles. Int. J. Nonlinear Mech. 35 (1) (2) M. S. H. Chowdhury, I. Hashi, O. Abdulaziz. Coparison of Hootopy perturbation Methods andhootopy Analysis Method for purely nonlinear fin-type probles. Co. In nonlinear science and Nuerical Siulation. 14. (29), H. A. Zedan and E. El Adrous, The Application of the Hootopy Perturbation Method and the Hootopy Analysis Method to the Generalized Zakharoz Equations. Hindawi Publishing Corporation, Abstract and Applied Analysis, Vol 212. Article ID , 19 pages. L. Cveticanin. Hootopy Perturbation Method for pure nonlinear differential equations. Chaos, Soliton & fractals. Vol. 3 (26) no S Liang and D.J. Jeffrey. Coparison of Hootopy analysis ethod and hootopy perturbation ethod through an evolution equation. Co Nonlineaqr Sci Nuer Siulat. 14 (29) Seirata 213 FMIPA Unila 365