BAB III LIMIT (Pertemuan ke 4) PENDAHULUAN Diskripsi singkat Pada bab ini dibahas tentang limit, antara lain mengenai pengertian limit secara intuisi/tak formal, pengertian persis tentang limit, pengkajian mendalam tentang limit, teorema limit utama dan teorema subtitusi. Manfaat Pengertian limit memberikan gagasan baru, ang membedakan kalkulus dengan matematika lainna. Kalkulus dapat didefinisikan sebagai pengkajian tentang limit. Jadi fungsi limit merupakan andil ang sangat dominan ketika mendalami kalkulus. Relevansi Untuk mempelajjari kalkulus dengan baik, maka pengertian tentang limit sangat diperlukan, karena pemahaman tentang limit akan mendasari pemahaman tentang kalkulus.. Learning Outcomes Mahasiswa dapat mengenal, mamahami arti limit serta terapanna dalam bidang-bidang terkait, dan dapat mengerjakan soal-soal limit dengan baik. s. johanes, dtm sv ugm 22
PENYAJIAN Pengertian limit memberikan gagasan baru, ang membedakan kalkulus dengan matematika lainna. Kalkulus dapat didefinisikan sebagai pengkajian tentang limit. Definisi (pengertian limit secara intuisi/tak formal) Untuk mengatakan bahwa, berarti bahwa bilamana dekat tetapi berlainan dari c (atau ), maka f() dekat ke L. Contoh : Pandang fungsi ang ditentukan oleh rumus berikut. Fungsi tersebut tak terdefinisi pada =, karena di titik ini berbentuk, ang tanpa arti. Sebuah pertanaan: Apa ang terjadi pada bila mendekati?.,25 3,83, 3,3, 3,3, 3,3,?,,,999,99,25,,9 3,83 3,3 3,3 3,3 2,997 2,97 2,7 4 3 2,999 2,997,75,99 2,97,9 2,7 2,33,75 2,33 Tabel nilai Diagram skematis Grafik: Gambar 3- s. johanes, dtm sv ugm 23
Telah dihitung beberapa nilai f() untuk dekat (lihat tabel), dan telah dibuat diagram skematisna, serta telah disketsakan garfik (Gambar ). Semua informasi tampakna menunjuk ke kesimpulan aitu f() mendekati 3 bila mendekati. Dalam lambang matematis ditulis sebagai: dibaca: limit dari untuk mendekati adalah 3. kalkulus. Berikut adalah definisi ang menurut sementara orang disebut definisi terpenting dalam Definisi (pengertian persis tentang limit) Mengatakan bahwa, berarti bahwa untuk tiap > ang diberikan (betapapun kecilna), terdapat δ > ang berpadanan sedemikian sehingga asalkan bahwa, akni, Perhatikan bahwa tidak disaratkan agar sesuatu tepat benar di c. Fungsi f bahkan tidak perlu terdefinisi di c. Pemikiran limit dihubungkan dengan perilaku suatu fungsi dekat c, bukanna di c. Pertanaan: seberapa dekat? Contoh. Cari limit berikut : Bila dekat 3, maka 4 5 dekat terhadap 4.3 5 = 7. Ditulis sebagai berikut: Contoh 2. Cari limit berikut: Penelesaian. Perhatikan bahwa tidak terdefinisi di = 3, tetapi tak masalah (sama dengan contoh sebelumna). Untuk mendapatkan gagasan tentang apa ang terjadi bila mendekati 3, dapat memakai kalkulator untuk menghitung ungkapan ang diberikan, misalna di 3,; 3,; 3,,dan seterusna.tetapi adalah jauh lebih baik memakai sedikit aljabar untuk menederhanakan persoalan. Maka s. johanes, dtm sv ugm 24
Contoh 3. Cari limit berikut : Penelesaian. Contoh 4. Cari limit berikut : Penelesaian. Tidak ditemukan cara unttuk menederhanakan limit tersebut secara aljabar. Kalkulator akan menolong memperoleh baangan tentang nilai itu (lihat tabel). Kesimpulanna (walau tak kuat) adalah: -, -,5 -, -,,,,5,,8447,95885,99833,99998?,99998,99833,95885,8447 Tanda Peringatan Ternata keadanna tidak semudah apa ang kelihatan. Kalkulator mungkin mengecoh, demikian juga dengan intuisi kita. Contoh berikut mengetengahkan jebakan ang mungkin terjadi. Contoh 5. Cari limit berikut : Dengan seperti ang terdahulu, maka disusun tabel nilai seperti terlihat pada Gambar.,99995,5,2499,,99,,5 Dengan melihat angka-angka ang ada pada tabel, nampakna kesimpulan nilai limit tersebut mengarah pada harga =. Tetapi itu salah. Jika diingat bahwa grafik, nilaina untuk mendekati. Maka :? Contoh 6. Cari limit berikut : Penelesaian. Contoh ini mengetengahkan pertanaan paling rumit tentang limit. Untuk itu perhatikan dua hal berikut: s. johanes, dtm sv ugm 25
. Ambil sebarisan nilai ang mendekati, jika anda beruntung maka menemukan angka-angka ang berakibat nilai akan beraun secara liar (lihat tabel). 2. Jika menggambarkan gafik, siapapun tidak akan menghasilkan gafik ang sangat baik, tetapi dengan bantuan nilai-nilai ang ada pada tabel, nampakna memberikan petunjuk ang baik, tentang apa ang tejadi. Di sekitar titik asal grafik bergoang ke atas dan ke bawah di antara harga - dan berulang kali secara tak hingga. Jelas - - - bahwa tidak berada pada suatu bilangan unik L bila dekat.? Kesimpulanna ada. tidak - Gambar 3-2 s. johanes, dtm sv ugm 26
Soal-soal. Carilah limit berikut.. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9... 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 2. Pengkajian mendalam tentang limit Seharusna tidak mudah percaa terhadap apa ang dikatakan orang, dalam arti bijaksana dalam menikapina. Kehati-hatian menerima pernataan orang menjadi hal penting, sambil memeriksana. Jika mengatakan kepada seorang matematikawan bahwa sesuatu adalah benar, maka wajar jika kemungkinan mendapat tanggapan: buktikan!. Untuk membuktikan, maka haruslah memahami arti kata-kata ang digunakan dengan sejelas-jelasna, terutama ang menangkut kata limit, karena kalkulus semuana bersandar pada arti kata tersebut. Untuk mengatakan bahwa, berarti selisih antara f() dan L dapat dibuat sekecil mungkin, dengan mensaratkan bahwa cukup dekat tetapi tidak sama dengan c. Untuk mengemukakan buktina, menggunakan huruf Yunani aitu ε (epsilon) dan δ (delta) untuk menggantikan bilangan-bilangan kecil positif. Mengatakan bahwa f() berbeda dari L dan lebih kecil dari ε, sama saja mengatakan bahwa: Ini berarti bahwa f() terletak dalam selang terbuka (L-ε, L+ε). Selanjutna ucapan bahwa cukup dekat tetapi berlainan dengan c, sama saja mengatakan bahwa untuk suatu δ, terletak dalam selang terbuka (c-δ, c+δ), dengan c tidak diikutkan. Untuk mengatakan ini, dapat ditulis: s. johanes, dtm sv ugm 27
Definisi ang menurut sementara orang disebut definisi ang terpenting dalam kalkulus adalah sebagai berikut. Definisi (pengertian persis tentang limit) Mengatakan bahwa, berarti bahwa untuk setiap ε> ang deberikan (betapapun kecilna), terdapat δ> ang berpadanan sedemikian sehingga asalkan bahwa ; akni Gambar 3-3, kirana dapat membantu untuk memahami pengertian definisi tersebut di atas. F() F() L L c c δ δ Untuk setiap > terdapat δ > sedemikian sehingga F() F() L L- L- L c-δ c c-δ c Gambar 3-3 s. johanes, dtm sv ugm 28
Teorema Limit Teorema A (Teorema Limit Utama) Andaikan n bilangan bulat positif, k konstanta, f dan g adalah fungsi-fungsi ang mempunai limit di c. maka :. 2. 3. 4. 5. 6. 7., asalkan 8. 9., asalkan bilamana n genap Contoh. Carilah Penelesaian. 3 8 2 Contoh 2. Carilah Penelesaian. 5 3 8 2 s. johanes, dtm sv ugm 29
Contoh 3. Carilah 7 9 4 Penelesaian. 8, 2 Teorema B (Teorema Subtitusi) Jika f suatu fungsi polinom atau fungsi rasional, maka: Asalkan dalam kasus fungsi rasional nilai penebut c tidak nol. Contoh 5. Carilah Penelesaian. Contoh 6. Carilah Penelesaian. Baik Teorema B ataupun pernataan 7 Teorema A tidak berlaku, karena limit dari penebut. Tetapi karena limit pembilang adalah, jika dibagi oleh bilangan positif dekat dengan, hasilna sebuah bilangan positif ang besar (dapat dibuat sekehendak). Dikatakan bahwa limitna tidak ada (atau + ). Contoh 7. Carilah Penelesaian. Lagi-lagi teorema B tak dapat diterapkan. Tetapi kali ini hasil bagina mengambil bentuk tanpa arti ( ) di = 2. Harus disederhanakan dulu secara aljabar (faktorisasi), sebelum menentukan limitna. Maka s. johanes, dtm sv ugm 3
Kekontinuan Fungsi Dalam arti umum, kata kontinu digunakan untuk memberikan suatu proses ang berkelanjutan tanpa perubahan ang mendadak. Gagasan inilah ang berkenaan fungsi, ang sekarang ingin dibuat persis. Pandang tiga grafik ang diperlihatkan dalam Gambar. Hana grafik ang ketiga memperlihatkan kekontinuan di c. F() F() F() c c c tidak ada ada, tetapi Gambar (a) (b) (c) Gambar 3-4 Definisi (kekontinuan di satu titik) Dikatakan bahwa f kontinu di c jika beberapa selang terbuka di sekitar c tekandung dalam daerah asal f dan Dengan definisi ini, bermaksud mensaratkan 3 hal:. ada, 2. ada, 3. Jika salah satu dari ketiga hal tersebut tak dipenuhi, maka f tak kontinu (diskontinu) di c. s. johanes, dtm sv ugm 3
Contoh. Andaikan, 2. Bagaimana seharusna f didefinisikan di = 2, agar kontunu di titik it? Penelesaian: 4 Karena itu definisikan f(2) = 4. Grafik dari fungsi ang dihasilkan, diperlihatkan pada 3 2, 2, = 2 Gambar 3-5. Kenataanna dapat dilihat bahwa f() = + 2, kontinu untuk semua. 2 3 Gambar 3-5 Soal-soal. Natakan apakah fungsi ang ditunjukkan kontinu di 2? Jika tak kontinu jelaskan sebabna! 2. 22. 23. 24. 25. 26. Dalam soal nomer 28 s/d 3 tak terdifinisi di suatu titik tertentu. Bagaimana mendifinisikanna di sana, agar kontinu pada titik itu. 27. 28. 29. 3. s. johanes, dtm sv ugm 32