Praktikum STATISTIKA MATEMATIKA Adi Setiawa Uiversitas Kriste Satya Wacaa Salatiga 2006 i
Cotets : Statistik Cukup 2 Latiha Soal Statistik Cukup 6 3 : Estimasi Titik 7 4 Latiha Soal Estimasi Titik 37 5 : Uji Hipotesis 4 6 Latiha Soal Uji Hipotesis 45 7 : Estimasi Iterval 47 8 Latiha Soal Estimasi Iterval 56 ii
Chapter : Statistik Cukup Soal Dalam setiap kasus berikut, tuliska fugsi kepadata probabilitas dari variabel radom X da spesifikasika ruag parameter Ω.. Variabel radom X berdistribusi Poisso(θ). 2. Variabel radom X berdistribusi Gamma(α, β). 3. Variabel radom X berdistribusi ekspoesial dega parameter θ. 4. Variabel radom X berdistribusi Beta(α, β).. Karea X berdistribusi Poisso(θ) maka fugsi probabilitasya : f(x) e θ θ x x! θ (0, ). Ruag parameter : Ω {θ R θ > 0} (0, ). 2. Karea X berdistribusi Ekspoesial(θ) maka fugsi kepadata probabilitasya : f(x) θe θx utuk x > 0 da θ > 0. Ruag parameter : Ω {θ R θ > 0} (0, ).
3. Karea X berdistribusi Gamma(α, β) maka fugsi kepadata probabilitasya : f(x; α, β) Γ(α)β θ xα e x/β utuk x > 0, α > 0, β > 0. Ruag parameter Ω {(α, β) R 2 α > 0, β > 0}. 4. Karea X berdistribusi Beta(α, β) maka fugsi kepadata probabilitasya : f(x; α, β) Γ(α + β) Γ(α)Γ(β) xα ( x) β, 0 < x <, α > 0, β > 0. Ruag parameter Ω {(α, β) R 2 α > 0, β > 0}. Soal 2 Misalka X, X 2,..., X variabel radom salig bebas da berdistribusi idetik. Guaka Teorema da Akibatya utuk meujukka bahwa :. Jika X i berdistribusi Poisso(θ) maka X i atau X merupaka statistik cukup utuk θ. 2. Jika X i berdistribusi Ekspoesial(θ) maka X i atau X merupaka statistik cukup utuk θ. ( 3. Jika X i berdistribusi Gamma(α, β) maka X i, t i) X atau ( X i, X) t merupaka statistik cukup utuk (α, β) t. 4. Jika X i berdistribusi Beta(α, β) maka ( X i, ( X i)) t merupaka statistik cukup utuk (α, β) t.. Karea X i berdistribusi Poisso(θ) maka f(x i ) e θ θ x i x! 2
utuk x i 0,, 2,... sehigga fugsi probabilitas bersamaya adalah f(x, x 2,..., x ; θ) f(x i, θ) e θ θ x i x i! e θ θ P x i x. i! Dega megguaka Teorema diperoleh bahwa g[t (x,..., x ); θ] e θ θ P x i T (x,..., x ) h(x,..., x ) x i x i!. Oleh karea itu X i merupaka statistik cukup utuk θ. Dega megguaka Teorema da Akibatya da medefiisika g : R R dega g(x) x/ maka X juga merupaka statistik cukup utuk θ. 2. Karea X i berdistribusi Ekspoesial(θ) maka f(x i ) θe θx i utuk x i > 0 sehigga fugsi probabilitas bersamaya adalah f(x,..., x ; θ) f(x i ; θ) θe θx i θ e θ P x i. Dega megguaka Teorema diperoleh bahwa g[t (x,..., x ) θ e θ P x i T (x,..., x ) h(x,..., x ). 3 X i
Oleh karea itu X i merupaka statistik cukup utuk θ. Dega megguaka Teorema, Akibatya da medefiisika g : R R dega g(x) x/ maka X merupaka statistik cukup utuk θ. 3. Karea X i berdistribusi Gamma(α, β) maka fugsi kepadata probabilitasya : f(x i ) e x i/β Γ(α)β α xα i utuk x i > 0 sehigga fugsi kepadata probabilitas bersamaya adalah f(x,..., x ) f(x i ; α, β) Γ(α)β α xα i e x i/β ( ) ( ) α ( x Γ(α)β α i exp β x i ). Dega megguaka Teorema diperoleh bahwa ( ) ( ) α ( g[t (x,..., x ); α, β] x Γ(α)β α i exp β ( ) t T (x,..., x ) X i, X i h(x,..., x ). ) x i ( Oleh karea itu X i, t i) X merupaka statistik cukup utuk (α, β) t. Dega megguaka Teorema, Akibat da medefiisika ( fugsi g : R 2 R 2 dega g(x, y) (x, y/) maka X i, X ) t merupaka statistik cukup utuk (α, β) t. 4. Karea X i berdistribusi Beta(α, β) maka fugsi kepadata probabilitasya : Γ(α + β) f(x i ) Γ(α)Γ(β) xα i ( x i ) β utuk 0 < x i < sehigga fugsi kepadata probabilitasya bersamaya 4
adalah f(x,..., x ; α, β) f(x i ; α, β) Γ(α + β) Γ(α)Γ(β) xα i ( x i ) β ( Γ(α + β) ) ( ) α ( ) β x i ( x i ) Γ(α)Γ(β) x i( x i ). Dega megguaka Teorema diperoleh bahwa g[t (x,..., x ); α, β] ( Γ(α + β) ) ( ) α ( ) β x i ( x i ) Γ(α)Γ(β) x i( x i ) ( ) t T (x,..., x ) x i, ( x i ) h(x,..., x ). Oleh karea itu utuk (α, β) t. ( x i, ( x i)) t merupaka statistik cukup Soal 3 Jika X,..., X sampel ( radom dari distriusi N(θ, θ 2 ) dega θ R maka tujukka bahwa X i, ) ( ) X2 i atau X, X2 i merupaka statistik cukup utuk θ. Karea X i berdistribusi N(θ, θ 2 ) maka fugsi kepadata probabilitas dari variabel radom X i adalah f(x i ) [ exp (x i θ) 2 ] 2πθ 2 2θ 2 5
sehigga fugsi kepadata probabilitasya adalah f(x,..., x ; θ) f(x i ; θ) [ exp (xi θ) 2 ] 2πθ 2 2θ 2 ( ) [ exp x ] i 2πθ 2 2θ ( 2 ) [ exp 2πθ 2 Dega megguaka Teorema diperoleh g[t (x,..., x ); θ] T (x,..., x ) ( ) [ exp 2πθ 2 ( ) x i, x ] i exp 2θ 2 x 2 i [ 2θ exp x ] i 2θ [ 2 x i θ x ] [ i exp 2θ 2 [ ] exp θ2 2θ 2 ] exp[ 2 ]. x i θ ] exp[ 2 ] h(x,..., x ) ( sehigga X i, ) X2 i merupaka statistik cukup utuk θ. Bila didefiisika f : R 2 ( R 2 dega f(x, y) (x/, y) da dega megguaka Akibat maka X, ) X2 i merupaka statistik cukup utuk θ. Soal 4 Jika X,..., X sampel radom ukura dega fugsi kepadata probabilitas f(x; θ) e (x θ) utuk x > θ da θ R maka tujukka bahwa X () mi{x,..., X } merupaka statistik cukup utuk θ. 6
Fugsi kepadata probabilitas bersama utuk X,..., X adalah f(x,..., x ) f(x i ; θ) e (x i θ) [ exp [ exp ] x i + θ ] x i + θ utuk u[x (), θ] X () > θ dega u[x () ; θ] Dega megguaka Teorema diperoleh { utuk X() > θ 0 utuk yag lai. g[t (x,..., x ); θ] exp[θ] u[x (), θ] T (x,..., x ) X () [ h(x,..., x ) exp x i ]. Akibatya X () mi{x,..., X } merupaka statistik cukup utuk θ. Soal 5 Jika X,..., X variabel radom salig bebas dega fugsi kepadata probabilitas f(x; θ) maka tetuka statistik cukup utuk θ.. f(x; θ) θx θ utuk 0 < x < da θ (0, ). 2. f(x; θ) 2(θ x)/θ 2 utuk 0 < x < θ da θ (0, ). 3. f(x; θ) x 3 exp( x/θ)/(6θ 4 ) utuk 0 < x < da θ (0, ). 4. f(θ) (θ/c)(c/x) θ+ utuk c < x < da θ (0, ). 7
. Karea X f(x; θ) maka fugsi kepadata probabilitas bersama dari X,..., X adalah f(x,..., x ) f(x i ; θ) θx θ i ( ) θ. θ x i Dega megguaka Teorema diperoleh ( ) θ g[t (x,..., x ); θ] θ x i T (x,..., x ) h(x,..., x ) x i ( ). x i Akibatya X i merupaka statistik cukup utuk θ. 2. Karea X f(x; θ) maka fugsi kepadata probabilitas bersama dari X,..., X adalah f(x,..., x ; θ) f(x i ; θ) 2 θ 2 (θ x i) utuk 0 x i θ ( 2 ) (θ x θ 2 i ) 0 x () θ ( 2 ) (θ x θ 2 i ) h[x () ; θ] dega h[x () ; θ] { utuk X() < θ 0 utuk yag lai. 8
Dega megguaka Teorema diperoleh ( 2 ) g[t (x,..., x ); θ] (θ x θ 2 i ) h[x () ; θ] T (x,..., x ) X () h(x,..., x ). Akibatya X () max{x, X 2,..., X } merupaka statistik cukup utuk θ. 3. Karea X f(x; θ) maka fugsi kepadata probabilitas bersama dari X,..., X adalah g[t (x,..., x ; θ) f(x i ; θ) ( 6θ 4 ) x i e x i/θ ( ) ( 6θ 4 x 3 i ) ( exp θ Dega megguaka Teorema diperoleh g[t (x,..., x ); θ] ( ) ( exp 6θ 4 θ T (x,..., x ) h(x,..., x ) x i x 3 i. x i ). ) x i Akibatya X i merupaka statistik cukup utuk θ. 4. Karea X f(x; θ) maka fugsi kepadata probabilitas bersama dari X,..., X adalah f(x,..., x ; θ) f(x i ; θ) ( θ )( c ) c x i utuk ( θ ) c θ+ ( c ) θ+. x i 9 x i c
Dega megguaka Teorema diperoleh g[t (x,..., x ); θ] T (x,..., x ) h(x,..., x ) ( θ ) c θ ( c ) θ+ x i x i ( ). x i Akibatya X i merupaka statistik cukup utuk θ. Soal 6 Jika X, X 2,..., X sampel radom ukura dari distribusi Poisso(θ) maka buktika bahwa X merupaka statistik tak bias UMV yag tuggal utuk parameter θ. Karea X statistik cukup utuk θ da legkap serta E[ X] θ maka X merupaka statistik tak bias utuk θ. Dega megguaka Teorema 5 diperoleh bahwa X statistik tak bias UMV yag tuggal utuk θ. Soal 7 Tujukka bahwa dalah setiap kasus distribusi tersebut merupaka aggota keluarga ekspoesial.. Variabel radom X berdistribusi Poisso(θ). 2. Variabel radom X berdistribusi Biomial Negatif. 3. Variabel radom X berdistribusi Gamma(α, β) dega β diketahui. 4. Variabel radom X berdistribusi Gamma(α, β) dega α diketahui. 5. Variabel radom X berdistribusi Beta(α, β) dega β diketahui. 6. Variabel radom X berdistribusi Beta(α, β) dega α diketahui. 0
. Karea X berdistribusi Poisso(θ) maka fugsi probabilitas dari X adalah f(x; θ) e θ θ x x! utuk x 0,, 2,... sehigga f(x; θ) dapat diyataka sebagai f(x; θ) e θ e x l θ x! I A(x) dega A {0,, 2,...}. Hal itu berarti bahwa c(θ) e θ, Q(θ) l(θ), T (x) x, da h(x) x! I A(x). Akibatya distribusi Poisso(θ) merupaka aggota keluarga ekspoesial. 2. Karea X berdistribusi Biomial Negatif maka fugsi probabilitas dari X adalah f(x; θ) ( r + x x ) θ r ( θ) x utuk x, 2, 3,..., sehigga f(x; θ) dapat diyataka sebagai f(x; θ) θ r e x l( θ) ( r + x x ) I A (x) dega A {, 2,...}. Hal itu berarti bahwa c(θ) θ r, Q(θ) l( θ), T (x) x da ( ) r + x h(x) I x A (x). Akibatya distribusi Biomial Negatif merupaka aggota keluarga ekspoesial. 3. Karea X berdistribusi Gamma(α, β) dega θ α maka fugsi kepadata probabilitas dari X adalah f(x; θ) Γ(θ)β θ xθ e x/β
utuk x > 0, sehigga f(x; θ) dapat diyataka sebagai atau f(x; θ) f(x; θ) Γ(θ)β θ e(θ ) l x e x/β Γ(θ)β θ eθ l x x e x/β Hal itu berarti bahwa c(θ), Q(θ) θ, T (x) l x, da h(x) x e x/β. Akibatya distribusi Gamma(α, β) dega β diketahui merupaka aggota keluarga ekspoesial. 4. Karea X berdistribusi Gamma(α, β) dega θ β maka fugsi kepadata probabilitas dari X adalah f(x; θ) Γ(θ)θ α xα e x/θ utuk x > 0, sehigga f(x; θ) dapat diyataka sebagai f(x; θ) xα e x/θ θ Γ(α). Hal itu berarti c(θ), Q(θ), T (x) x da θ α θ h(x) xα Γ(α). Akibatya distribusi Gamma(α, β) dega α diketahui merupaka aggota keluarga ekspoesial. 5. Karea X berdistribusi Beta(α, β) dega θ α maka fugsi kepadata probabilitas dari X adalah f(x; θ) Γ(θ + β) Γ(θ)Γ(β) xθ ( x) β sehigga f(x; θ) dapat diyataka sebagai f(θ) Γ(θ + β) e θ l x x ( x) β Γ(θ) Γ(β) Hal itu berarti bahwa c(θ) Γ(θ+β), Q(θ) θ, T (x) l x, da Γ(θ) h(x) x ( x) β. Akibatya distribusi Beta(α, β) dega β Γ(β) diketahui merupaka aggota keluarga ekspoesial. 2
6. Karea X berdistribusi Beta(α, β) dega θ β maka fugsi kepadata probabilitas dari X adalah f(x; θ) Γ(α + θ) Γ(α)Γ(θ) xα ( x) θ sehigga f(x; θ) dapat diyataka sebagai f(x; θ) Γ(α + θ) e θ l( x) x α ( x) Γ(θ) Γ(α) Hal itu berarti bahwa c(θ) Γ(α+θ), Q(θ) θ, T (x) l( x), da Γ(α) h(x) x α ( x). Akibatya distribusi Beta(α, β) dega α Γ(α) diketahui merupaka aggota keluarga ekspoesial. Soal 8 Misalka variabel radom salig bebas dega fugsi kepadata probabilitas f(x; θ) diyataka dega f(x; θ) γ θ xγ exp [ xγ ] θ utuk 0 < x < dega parameter θ > 0 da γ diketahui.. Tujukka bahwa fugsi kepadata probabilitas. 2. Tetuka statistik cukup utuk θ. 3. Apakah f(x; θ) aggota keluarga ekspoesial.. Aka ditujukka bahwa f(x; θ) merupaka fugsi kepadata probabilitas yaitu dega meujukka bahwa Jika dimisalka u x γ /θ maka du 0 x γ exp [ xγ θ f(x; θ)dx γxγ dx θ ] dx 0 sehigga berakibat e u du Berarti f(x; θ) merupaka fugsi kepadata probabilitas. 3
2. Aka ditetuka fugsi kepadata probabilitas bersama dari X,..., X adalah f(x,..., x ) f(x i ; θ) γ θ xγ i e x γ i θ ( γ θ ) x γ i x i e P θ xγ i Dega megguaka Teorema Fatorisasi diperleh bahwa xγ i statistik cukup utuk θ. 3. Aka dibuktika bahwa f(x; θ) merupaka aggota keluarga ekspoesial. Karea f(x; θ) dapat diyataka sebagai f(x; θ) ( ) θ exp xγ γx γ. θ Hal itu berarti C(θ) θ, Q(θ) θ, T (x) xγ, da h(x) γx γ sehigga f(x; θ) merupaka aggota keluarga ekspoesial. Soal 9 Dalam setiap kasus, idetifikasi bahwa distribusi dari variabel radom X merupaka aggota keluarga ekspoesial dua parameter.. Variabel radom X berdistribusi Gamma(α, β). 2. Variabel radom X berdistribusi Beta(α, β).. Misalka θ (θ, θ 2 ) dega θ α da θ 2 β. Fugsi kepadata probabilitas Gamma(α, β) adalah atau f(x; θ) f(x; θ) Γ(θ )θ θ 2 Γ(θ )θ θ 2 x θ e x/θ 2 exp [θ l x x ] x. θ 2 4
Hal itu berarti C(θ) Γ(θ )θ θ 2, T (x) l(x), T 2 (x) l(x), h(x) x, Q (θ) θ, Q 2 (θ) θ 2. Akibatya distribusi Gamma(α, β) merupaka aggota keluarga ekspoesial dua parameter. 2. Misalka θ (θ, θ 2 ) dega θ α da θ 2 β. Fugsi kepadata proabbilitas Beta(α, β) adalah f(x; θ) Γ(θ + θ 2 ) Γ(θ )Γ(θ 2 ) xθ ( x) θ 2 atau f(x; θ) Γ(θ + θ 2 ) [ ] Γ(θ )Γ(θ 2 ) exp θ l x + θ 2 l( x) x ( x). Hal itu berarti C(θ) Γ(θ + θ 2 ) Γ(θ )Γ(θ 2 ), T (x) l x, T 2 (x) l( x), h(x) x ( x), Q (θ) θ, Q 2 (θ) θ 2. Akibatya distribusi Beta(α, β) merupaka aggota keluarga ekspoesial dua parameter. Soal 0 Buktika bahwa keluarga F tidak legkap dega F { utuk θ (0, ). f(x; θ) θ utuk θ x θ } Karea ada g(x) x sehigga E[g(X)] θ Akibatya keluarga F tidak legkap. θ 5 x 2θ dx 0
Chapter 2 Latiha Soal Statistik Cukup. Variabel radom X, X 2,..., X salig bebas da berdistribusi idetik dega fugsi kepadata probabilitas f(θ) exp[ (x θ)] utuk x > 0 da θ R. Tetuka statistik cukup utuk θ. 2. Jika F keluarga semua fugsi probabilitas Biomial Negatif maka tujukka bahwa F legkap. 3. Apakah distribusi geometrik merupaka aggota keluarga ekspoesial satu parameter? 4. Apakah statistik berikut ii ekuivale? (a) x i da i l x i dega x i > 0. (b) x i da i l x i. (c) ( x i, x2 i ) da ( x i, (x i x) 2 ) (d) ( x i, x3 i ) da ( x i, (x i x) 3 ) 5. Diketahui X, X 2,..., X sampel radom dari distribusi dega fugsi kepadata proabbilitas diyataka dega f(x; µ, σ) [ σ exp (x µ) ] σ jika x µ, < µ < da σ > 0. (a) Jika µ diketahui maka tetuka statistik cukup utuk σ. (b) Jika σ diketahui maka tetuka statistik cukup utuk µ. (c) Tetuka statistik cukup utuk (µ, σ). 6
Chapter 3 : Estimasi Titik Soal Jika X, X 2, X 3,..., X sampel radom dari distribusi Biom(, θ) dega θ Ω (0, ) maka tetuka estimator UMVU utuk parameter θ. Karea X statistik cukup tak bias yag legkap utuk θ maka X estimator UMVU utuk θ. Soal 2 Jika X, X 2,..., X sampel radom dari distribusi U(0, θ) dega θ Ω (0, ). Tetuka estimator tak bias utuk mea da variasi dari X yag haya tergatug pada statistik cukup dari parameter θ. Karea X mempuyai distribusi U(0, θ) maka E[X] θ/2 da Var(X) θ 2 /2. Statistik cukup utuk θ adalah Y max{x, X 2,..., X }. Fugsi 7
distribusi dari Y adalah F Y (y) P (Y y) P (max{x, X 2,..., X } y) P (X y, X 2 y,..., X y) ( ) P (X y) ( ) F X (y) ( y θ ) utuk 0 y θ, sehigga fugsi kepadata probabilitas dari Y adalah utuk 0 y θ. Akibatya E[Y ] θ 0 f(y) df y dy θ y y θ dy [ y + ] θ θ + 0 + θ. Karea itu estimator tak bias utuk meaya yaitu θ 2 adalah Demikia juga, berlaku sifat E(Y 2 ) θ 0 + 2 max{x, X 2,..., X }. y 2 y θ dy [ y +2 ] θ θ + 2 0 + 2 θ2. Akibatya estimator tak bias utuk θ 2 /2 adalah + 2 ( 2. max{x, X 2,..., X }) 2 Soal 3 Diketahui X,..., X sampel radom salig bebas dari distribusi Gamma(α, β) dega α diketahui da β tidak diketahui. Tujukka bahwa estimator UMVU dari θ yaitu U(X,..., X ) α 8 X i X α
da variasiya mecapai batas bawah Cramer-Rao. Misalka θ β dega θ Ω (0, ). Karea X i berdistribusi Gamma(α, θ) maka f(x, x 2,..., x ; θ) θ α xα i e x i/θ utuk x i > 0 sehigga fugsi kepadata probabilitas bersamaya adalah f(x; θ) f(x i ; α, θ) θ α xα i e x i/θ ( Γ(α) ) ( x i ) α θ α exp [ θ ] x i. Dega megguaka Teorema Faktorisasi Fisher-Neyma diperoleh bahwa X i merupaka statistik cukup utuk θ. Karea E[X i ] αθ maka E[ X/α] θ sehigga X/α merupaka estimator tak bias utuk θ. Demikia juga dapat dibuktika bahwa X i merupaka statistik yag legkap utuk θ sehigga dega megguaka Teorema, X/α merupaka estimator UMVU utuk θ. Karea V ar(x i ) αθ 2 maka Var( X/α) Var( X 2 α2 αθ2 α 2 θ2 α Utuk medapatka batas bawah Cramer-Rao, terlebih dahulu dihitug iformasi Fisherya. Karea X berdistribusi Gamma(α, θ) maka logaritma atural dari fugsi kepadata probabilitasya adalah l f(x; θ) α l θ l Γ(α) + (α ) l x x θ. Dega medeferesialka terhadap θ diperoleh l f(x; θ) θ α θ + x θ 2 9
da sehigga [ 2 l f(x; θ) ] E θ 2 2 l f(x; θ) θ 2 α θ 2 2x θ 3 [ E α θ 2X ] ( α 2 θ 3 θ 2αθ ) α 2 θ 3 θ. 2 Iformasi Fisherya adalah I(θ) θ2 Var(U). Hal itu berarti bahwa variasi U mecapai batas bawah α Cramer-Rao. Soal 4 Diketahui X, X 2, X 3,..., X sampel radom dari distribusi U(θ, 2θ) dega θ Ω (0, ). Tetuka estimator tak bias utuk θ. Karea X berdistribusi U(θ, 2θ) maka fugsi kepadata probabilitasya dari X adalah f(x; θ) θ utuk 0 x 2θ sehigga fugsi distribusi dari X adalah F X (x) x θ θ utuk 0 x 2θ Misalka statistik cukup utuk θ diotasika dega U mi{x,..., X }. Fugsi distribusi dari U adalah F U (u) P (U u) P (U > u) P (mi{x,..., X } > u) P (X > u, X 2 > u,..., X > u) [P (X > u)] [ P (X u] [ u θ ] θ [ 2θ u ] θ 20
sehigga fugsi kepadata probabilitas dari U adalah df/du yaitu ( ) u) f U (u) 2θ u (2θ θ θ utuk θ x 2θ. Harga harapa dari variabel radom U adalah E[U] 2θ θ u (2θ u) du. θ Misalka diguaka substitusi w 2θ u sehigga dw du. Akibatya utuk u θ maka w θ da utuk u 2θ maka w 0. Diperoleh E[U] 0 θ θ 0 θ (2θ w)w ( dw) θ (2θ w)w dw θ 2θ 0 θ dw [ w ] θ 2θ θ 0 2θ + θ + 2 + θ θ 0 + w dw θ [ w + θ ] θ 0 Hal itu berarti + + 2 mi{x,..., X } merupaka statistik tak bias utuk θ. Misalka V max{x,..., X }. Fugsi distribusi dari variabel radom V adalah F V (v) da fugsi kepadata probabilitas V adalah (v θ) θ utuk θ v 2θ Akibatya f V (v) (v θ) θ utuk θ v 2θ. E[V ] 2θ θ v (v θ) dv. θ 2
Misalka diguaka substitusi w v θ sehigga dw dv. Akibatya utuk v θ maka w 0 da utuk u 2θ maka w θ. Diperoleh E[V ] θ 0 θ 0 (w + θ) w dw w θ dw + + θ + θ 2 + + θ. θ θ 0 w dw θ Hal itu berarti + 2 + max{x, X 2,..., X } juga merupaka statistik tak bias utuk θ. Pada sisi lai dega megigat bahwa maka E[2U + V ] 2E[U] + E[V ] 2 + 4 + θ + 2 + + θ 4 + 5 + θ + [ ] 2 mi{x, X 2,..., X } + max{x, X 2,..., X } 4 + 5 estimator tak bias utuk θ. Soal 5 Diketahui X, X 2,..., X sampel radom dari distribusi Poisso(θ) dega θ Ω (0, ). Tetuka estimator UMVU utuk θ da tetuka variasi serta batas bawah Cramer-Rao. Dari Chapter dapat dilihat bahwa X merupaka statistik cukup yag legkap sehigga dega megguaka Teorema Lehma-Scheffe diperoleh bahwa X estimator UMVU dega variasi θ/. Pada sisi lai, karea X mempuyai distribusi Poisso(θ) maka fugsi probabilitasya adalah f(x; θ) e θ θ x x! 22
utuk x 0,, 2,..., sehigga logaritma atural dari f(x; θ) adalah f(x; θ) θ + x l θ l(x!). Dega medeferesialka terhadap θ diperoleh sehigga Akibatya θ f(x; θ) + x θ ( θ f(x; θ) ) 2 2x θ + x2 θ 2. [ ] 2 E θ f(x; θ) 2E[X] + E[X]2 θ θ 2 2θ θ 2θ θ + θ + θ2 θ 2 θ. + V (x) + (E[X])2 θ 2 Oleh karea itu batas bawah Cramer-Rao yaitu θ/ sama dega variasi dari X. Soal 6 Diketahui X, X 2,..., X sampel radom dari distribusi Biom(, θ) dega θ Ω (0, ). Tetuka MLE utuk θ. Karea X i berdistribusi Biom(, θ) maka fugsi probabilitasya adalah f(x i ; θ) θ x i ( θ) x i dega x i 0,, 2,..., sehigga fugsi likelihoodya adalah L(θ x, x 2,..., x ) f(x i ; θ) θ x i ( θ) x i θ P x i ( θ) P 23 x i.
Logaritma dari fugsi likelihoodya adalah l(θ) (l θ) x i l( θ) + l( θ). Dega medeferesialka terhadap θ diperoleh dl dθ x i + x i θ θ θ. Akibatya θ yag memaksimumka fugsi likelihoodya aka sama dega akar dari persamaa dl 0 yaitu dθ x i + x i θ x i θ x i + θ x i θ( θ) θ θ 0 θ Hal itu berarti MLE utuk θ adalah ˆθ X. Soal 7 θ x i X. Diketahui X, X 2,..., X sampel radom dari distribusi ekspoesial yaitu dega fugsi kepadata probabilitas f(x; θ) θe θx dega θ Ω R. Tetuka MLE utuk θ. Fugsi likelihoodya adalah L(θ x, x 2,..., x ) f(x i ; θ) θe θx i θ e θ P x i 24
sehigga logaritma atural dari fugsi likelihoodya adalah l(θ) l θ θ x i Dega medeferesialka terhadap θ diperoleh dl dθ θ x i. Akibatya θ yag memaksimumka fugsi likelihoodya aka sama dega akar dari persamaa dl dθ 0 θ x i 0 θ θ x i x. i Hal itu berarti MLE utuk θ adalah ˆθ / X. Soal 8 Diketahui X, X 2,..., X sampel radom dari distribusi N(µ, σ 2 ) dega µ da σ 2 tidak diketahui. Tetuka MLE utuk θ. Karea X berdistribusi N(µ, σ 2 ) maka fugsi kepadata probabilitasya adalah f(x; µ, σ) [ exp (x ] µ)2 2πσ 2 2σ 2 25
sehigga fugsi likelihoodya adalah L(θ; x, x 2,..., x ) f(x i ; θ) [ exp (x i µ) 2 ] 2πσ 2 2σ 2 ( ) [ exp (x i µ) 2 ] 2πσ 2 2σ 2 ( ) [ exp x i + 2µ x ] i µ2 2πσ 2 2σ 2 2σ 2 2σ 2 dega θ (µ, σ 2 ). Akibatya logaritma atural dari fugsi likelihoodya adalah l(θ l f(x; µ, σ 2 ) 2 l(2πσ2 ) x2 i + 2µ x2 i µ2 2σ 2 2σ 2 2σ. 2 MLE diperoleh dega meyelesaika sistem persamaa berikut : l µ x i 2µ σ 2 2σ 2 l σ 2 2σ 2 + x i 2σ 4 µ σ 2 + µ4 2σ 4. Diperoleh MLE utuk (µ, σ 2 ) masig-masig adalah atau ˆµ X 2σ 2 σ 2 (x i µ) 2 2σ 4. (X i µ) 2. Soal 9 Diketahui X, X 2,..., X sampel radom dari distribusi dega fugsi kepadata probabilitasya adalah f(x; θ, θ 2 ) [ exp x θ ] θ 2 θ 2 26 utuk x > θ
Tetuka MLE utuk θ da θ 2. Fugsi likelihoodya adalah L(θ, x, x 2,..., x ) f(x i ; θ) [ exp x i θ ] θ 2 θ 2 ( ) [ exp (x i θ ) 2 ] θ 2 θ 2 utuk mi{x, X 2,..., X } > θ. Akibatya logaritma atural dari fugsi likelihoodya adalah l(θ) l f(x; θ, θ 2 ) l(θ 2 ) x i θ θ 2 θ 2 utuk mi{x, X 2,..., X } > θ. Fugsi likelihood mecapai maksimum bila ˆθ mi{x, X 2,..., X } da MLE utuk θ 2 diperoleh dega meyelesaika persamaa berikut : l θ 2 2 θ 2 + x i θ 2 + θ θ 2 0. Diperoleh x i θ 2 2 (θ 2 θ ) θ 2 2 atau ˆθ 2 X + mi{x, X 2,..., X }. Soal 0 Diketahui X, X 2,..., X sampel radom dari distribusi U( θ, θ) dega θ Ω (0, ). Tetuka estimator mome utuk θ. Karea mome pertama dari X yaitu E(X) 0 maka diguaka mome 27
kedua dari X yaitu E[X 2 ] θ 2 /3. Akibatya estimator mome utuk θ merupaka peyelesaia dari θ 2 3 x2 i yaitu ˆθ 3 X. Soal Diketahui X, X 2, X 3,..., X sampel radom dari distribusi N(θ, θ) dega θ Ω (0, ). Tetuka MLE utuk θ. Karea X berdistribusi N(θ, θ) maka fugsi kepadata probabilitasya adalah f(x; θ) [ exp 2πθ sehigga fugsi likelihoodya adalah L(θ x, x 2,..., x ) f(x i ; θ) 2πθ exp ( 2πθ ) /2 exp (x ] θ)2 2θ [ (x i θ) 2 ] 2θ [ (x i θ) 2 2θ Akibatya logaritma atural dari fugsi likelihoodya adalah l(θ) l L(θ x, x 2,..., x ) 2 l(2πθ) (x i θ) 2 2θ 2 l(2πθ) x2 i 2θ MLE utuk θ diperoleh dega meyelesaika persamaa berikut : l θ 2θ + x2 i 2θ 2 2 0 atau θ 2 + θ x 2 i 0. 28 + ]. x 2 i θ 2.
Persamaa tersebut merupaka persamaa kuadrat dalam θ da dega megguaka rumus ABC diperoleh akar-akarya yaitu da θ + 2 + 4 x2 i 2 θ 2 + 4 x2 i 2 Karea parameter θ juga merupaka variasi dari X i maka haruslah positif sehigga yag memeuhi adalah atau atau ˆθ 2 Soal 2 [ ] + 4 x2 i. θ + 2 + 4 x2 i 2 + θ + 4 x2 i 2 Diketahui X, X 2,..., X sampel radom dari distribusi U(θ a, θ + b) dega θ Ω R. Tetuka estimator mome utuk θ da variasiya. Karea X U(θ a, θ + b) maka E[X ] θ + b a da Var(X) (b a)2. Estimator mome utuk θ merupaka peyelesaia dari persamaa E[X ] X 2 2 yaitu θ + b a 2 X sehigga estimator mome utuk θ adalah ˆθ X + b a 2. Variasi utuk estimator mome tersebut adalah V (ˆθ) V ( X + b a 2 ) V ( X) V (X ) 29. (b a)2 2.
Soal 3 Diketahui X, X 2,..., X sampel radom dari distribusi Gamma(α, β). Tetuka estimator mome utuk α da β. E[X ] X E[X 2 ] X 2 X 2 i yaitu αβ X αβ 2 + (αβ) 2 X 2. Diperoleh αβ 2 + (αβ) 2 X 2 ( X) 2 αββ X 2 ( X) 2 S 2 Xβ S 2. Akibatya estimator mome utuk β adalah ˆβ S 2 / X dega S 2 (X i X) 2 da estimator mome utuk α adalah ˆα ( X) 2 /S 2. Soal 4 Te- Diketahui X, X 2,..., X sampel radom dari distribusi Beta(α, β). tuka estimator mome utuk α da β. Karea X berdistribusi Gamma(α, β) maka E[X ] αβ da V (X ) αβ 2 sehigga estimator mome tersebut merupaka peyelesaia dari sistem persamaa 30
Karea X berdistribusi Beta(α, β) maka E[X ] sehigga V (X ) αβ (α + β) 2 (α + β + ) E(X 2 ) V (X ) + (E(X )) 2 α da α+β αβ (α + β) 2 (α + β + ) + α 2 (α + β) 2 α [ β α + β (α + β)(α + β + ) + α ] α + β Estimator mome tersebut merupaka peyelesaia dari sistem persamaa E(X ) X E(X 2 ) X 2 X 2 i yaitu α [ α + β β (α + β)(α + β + ) + α α + β α α + β X ] X 2. Diperoleh α X + β X α atau α( X) β X atau α β X/( X). Akibatya X 2 X [ β ( )( ) + X ] β X X + β β X X + β + X [ β ( )( ) + X ] X X + β X X + β + X [ ] ( )( ) + ( X) 2. X+ X X β X X + β X X + 3
Diperoleh X 2 X 2 X [ ( X β X + X X S 2 X [ ( 2 X) ] (β + X) β + X X [ ( 2 X) ]. S 2 Hal itu berarti estimator mome utuk β adalah ˆβ X [ ( 2 X) ] + S X 2 sehigga estimator mome utuk α adalah ˆα ˆβ Soal 5 ] ) X X. Diketahui X, X 2,..., X sampel radom dari distribusi Biom(4, θ) dega θ (0, ). Tetuka estimator Bayes utuk θ bila priorya adalah π(θ) B(6, 7) θ5 ( θ) 6. Fugsi probabilitas dari X adalah f(x; θ) B(6, 7) θx ( θ) 4 x utuk x 0, 2, 3, 4, 5. Misalka prior utuk θ adalah π(θ) B(6, 7) θ5 ( θ) 6 utuk 0 < θ <. Distribusi posterior dari θ bila diberika X yaitu π(θ x) adalah π(θ x) f(x θ)π(θ) 32
sebadig dega θ x ( θ) 4 x θ 5 ( θ) 6 θ x+5 ( θ) 0 x θ x+6 ( θ) x Dega melihat betuk tersebut maka distribusi posterior dari θ diberika X yaitu π(θ x) adalah distribusi Beta(6 + x, x) sehigga peaksir Bayes utuk θ merupaka mea dari distribusi posterir yaitu ˆθ E[θ x] x + 6 x + 6 + x x + 6 7. Soal 6 Diketahui X, X 2,..., X sampel radom dari distribusi Biom(4, θ) dega θ (0, ). Tetuka estimator Bayes utuk θ bila priorya adalah π(θ) utuk 0 < θ <. Fugsi probabilitas dari X adalah ( 4 f(x θ) x ) θ x ( θ) 4 x utuk x 0,, 2, 3, 4. π(θ x) adalah Distribusi posterior dari θ bila diberika X yaitu π(θ x) f(x θ)π(θ) sebadig dega θ x ( θ) 4 x () θ x+ ( θ) 5 x Dega melihat betuk tersebut maka distribusi posterior dari θ bila diberika X yaitu π(θ x) adalah distribusi Beta( + x, 5 x) sehigga peaksir Bayes utuk θ merupaka mea dari distribusi posterior yaitu ˆθ E[θ x] x + x + + 5 x x +. 6 33
Soal 7 Diketahui X, X 2,..., X variabel radom salig bebas dega fugsi kepadata probabilitas f(x; θ) θx θ dega θ > 0. Bila distribusi prior dari θ adalah π(θ) Γ(r)λ r θr e θ/λ utuk θ > 0. Tetuka estimator Bayes utuk parameter θ. Distribusi posterior dari θ bila diberika sampel radom X, X 2,..., X adalah π(θ x, x 2,..., x ) f(x θ)f(x 2 θ)... f(x θ)π(θ) atau sebadig dega ( ) θ ( θ x i ( Berarti distribusi posteriorya Gamma +r, dari distribusi posterior yaitu x i ) e r e θ/λ θ +r e θ[(/λ) l Q x i] ˆθ merupaka peaksir Bayes utuk θ. ( + r)λ λ l x i θ +r e θ[(/λ) P l x i] λ λ P l x i ). Akibatya mea Soal 8 Diketahui X, X 2,..., X variabel radom salig bebas dega fugsi kepadata probabilitas f(x i ; θ) 2π e 2 (x i θ) 2 34
dega θ > 0. Bila distribusi prior dari θ adalah π(θ) 2π e θ2 /2 utuk θ > 0. Tetuka estimator Bayes utuk parameter θ. Distribusi posterior dari θ bila diberika sampel radom X, X 2,..., X adalah π(θ x, x 2,..., x ) f(x θ)f(x 2 θ)... f(x θ)π(θ) atau sebadig dega [ exp 2 ( 2θ atau sebadig dega x i + ( + )θ 2)] [ exp 2 ( + )( θ 2 2θ + [ exp 2 ( + )( θ 2θ + ) 2 x i ]. ( P Hal itu berarti distribusi posteriorya merupaka distribusi N x i Akibatya mea dari distribusi posterior yaitu Bayes utuk θ. ) ] x i +, + ). P x i + merupaka peaksir Soal 9 Diketahui X, X 2,..., X variabel radom salig bebas dega fugsi kepadata probabilitas f(x i ; θ) 2π e 2 (x i θ) 2 dega θ > 0. Bila distribusi prior dari θ adalah π(θ) 2π e 2 (θ µ 0) 2 Tetuka estimator Bayes utuk parameter θ. 35
Distribusi posterior dari θ bila diberika sampel radom X, X 2,..., X adalah π(θ x, x 2,..., x ) f(x θ)f(x 2 θ)... f(x θ)π(θ) atau sebadig dega atau sebadig dega [ exp ( 2θ 2 x i + ( + )θ 2 2µ 0 θ )] [ exp ( 2 ( + ) θ 2 2θ ( µ0 + + ) )] x i ( µ0 + P ) Berarti distribusi posteriorya merupaka distribusi N x i,. Akibatya mea dari distribusi posterior yaitu µ 0+ P + + x i merupaka estimator + Bayes utuk θ. 36
Chapter 4 Latiha Soal Estimasi Titik. Jika X, X 2, X 3,..., X sampel radom dari distribusi U(0, θ) dega θ Ω (0, ). Tetuka estimator tak bias utuk mea da variasi dari X yag haya tergatug pada statistik cukup dari parameter θ. 2. Diketahui X, X 2,..., X sampel radom salig bebas dari distribusi U(θ, θ 2 ) dega θ < θ 2. Tetuka estimator tak bias utuk mea yaitu (θ + θ 2 )/2 da rage yaitu θ 2 θ yag haya tergatug pada statistik cukup utuk (θ, θ 2 ). 3. Diketahui X, X 2,..., X sampel radom salig bebas dari distribusi dobel ekspoesial yaitu dega fugsi kepadata probabilitas f(x; θ) 2 e x θ dega θ Ω R. Tujukka (X 2 () + X () ) bahwa merupaka estimator tak bias utuk θ. 4. Jika X, X 2,..., X sampel radom dari distribusi yag mempuyai fugsi kepadata probabilitas : f(x; θ) θ e x θ utuk x > 0 dega θ Ω (0, ) maka tetuka estimator UMVU utuk parameter θ. 5. Jika X, X 2,..., X sampel radom dari distribusi yag mempuyai fugsi kepadata probabilitas : f(x; θ) θ e x θ 37
utuk x > 0 dega θ Ω (0, ) maka tetuka estimator MLE utuk parameter θ. 6. Diketahui X, X 2,..., X variabel radom salig bebas da berdistribusi idetik mempuyai fugsi kepadata probabilitas : f(x; θ) γ θ e xγ θ utuk x > 0, θ > 0 da γ > 0 dega γ diketahui. Tetuka MLE utuk θ. 7. Diketahui X da X 2 variabel radom salig bebas da mempuyai fugsi kepadata probabilitas f(x; θ) 2 (θ x) θ utuk 0 < x < θ da θ Ω (0, ). Tetuka estimator mome utuk parameter θ. 8. Diketahui X, X 2,..., X sampel radom dari distribusi Cauchy dega σ da µ tidak diketahui. Misalka diigika utuk megestimasi µ, maakah salah satu dari estimator utuk µ yag ada pilih yaitu X ataukah X? Jelaska jawaba ada! 9. Misalka X, X 2,..., X meotasika sampel radom dari suatu distribusi yaitu N(θ, ). Tetuka estimator terbaik utuk θ 2. 0. Diketahui adalah sampel radom dari suatu distribusi N(0, θ). Statistik Y X2 i merupaka statistik cukup utuk θ. Tetuka estimator terbaik utuk θ 2.. Misalka X pegamata tuggal dari distribusi Beroulli f(x; θ) θ x ( θ) x I {0,} (x) dega 0 < θ <. Misalka T (X) X da T 2 (X0 2. (a) Apakah T (x) da T 2 (x) tak bias? (b) Badigka MSE (mea squared error) dari T (x) dega T 2 (X). 2. Misalka X adalah pegamata tuggal dari N(0, θ) dega θ σ 2. (a) Apakah X statistik cukup utuk θ? 38
(b) Apakah X statistik cukup utuk θ? (c) Apakah X 2 estimator tak bias dari θ? (d) Apakah MLE utuk θ? 3. Diketahui X, X 2,..., X sampel radom dari fugsi kepadata probabilitas dega θ > 0. f(x; θ) θx 2 I [θ, ) (x) (a) Tetuka estimator MLE utuk θ. (b) Apakah mi{x, X 2,..., X } statistik cukup utuk θ? 4. Diketahui X, X 2,..., X sampel radom dari fugsi kepadata probabilitas dega θ > 0. f(x; θ) θx θ I (0,) (x) (a) Tetuka estimator MLE utuk µ θ/( + θ). (b) Tetuka estimator UMVU utuk /θ da µ? 5. Diketahui X, X 2,..., X sampel radom dari fugsi kepadata probabilitas dega θ > 0. f(x; θ) 2x/θ 2 I (0,θ) (x) (a) Tetuka estimator MLE utuk θ. (b) Apakah max{x, X 2,..., X } statistik cukup utuk θ? Apakah max{x, X 2,..., X } legkap? (c) Adakah estimator UMVU utuk θ? Jika ada, tetuka estimator itu. 6. Diketahui X, X 2,..., X sampel radom dari fugsi kepadata probabilitas dega θ > 0. f(x; θ) θ( + x) (+θ) I (0,θ) (x) 39
(a) Estimasi θ dega metode mome dega megaggap θ >. (b) Tetuka estimator MLE utuk /θ. (c) Apakah statistik cukup da legkap utuk θ jika ada? (d) Tetuka batas bawah Cramer-rao utuk estimator tak bias utuk /θ. (e) Tetuka estimator UMVU utuk /θ jika ada. (f) Tetuka estimator UMVU utuk θ jika ada. 7. Diketahui X, X 2,..., X sampel radom dari fugsi kepadata probabilitas dega < θ <. f(x; θ) e (x θ) exp[ e (x θ) ] (a) Tetuka metode mome dari θ. (b) Tetuka MLE dari θ. (c) Tetuka statistik cukup yag legkap utuk θ. (d) Tetuka batas bawah Cramer-Rao utuk estimator tak bias dari θ. (e) Adakah suatu fugsi dari estimator tak bias utuk θ yag variasiya bersesuaia dega batas bawah Cramer-Rao? Jika ada tetuka. 8. Jika X pegamata tuggal dega fugsi kepadata probabilitas f(x; θ) 2x/θ 2 I (0,θ) (x) dega θ > 0. Aggap bahwa θ mempuyai distribusi prior seragam atas iterval (0,). Dega loss fuctio θ 2 ( θ) 2, tetuka estimator Bayes utuk θ. 9. Diketahui X, X 2,..., X sampel radom dari distribusi dega fugsi kepadata probabilitas f(x; θ) θx θ I (0,) (x) dega θ > 0. Aggap bahwa distribusi prior dari θ adalah Gamma(r, λ) dega r da λ diketahui. Apa distribusi posterior dari θ? Tetuka estimator Bayes dari θ dega prior yag diberika dega megguaka fugsi kerugia kuadrat. 40
Chapter 5 : Uji Hipotesis Soal Diketahui X, X 2,..., X variabel radom salig bebas. Kostruksika uji MP utuk meguji bahwa distribusi bersama dari X adalah N(0, 9) melawa alteratif N(, 9) dega tigkat keberartia α 0, 05. Tetuka juga kuasa dari uji tersebut. Utuk meguji hipotesis H : θ 0 melawa alteratif A : θ pada tigkat α 0, 05 diguaka uji MP berikut : { jika X > c0 φ(x) 0 utuk yag lai dega c 0 ditetuka oleh E[φ(x)] P ( X > c 0 ) 0, 05. Variabel radom X, X 2,..., X salig bebas da berdistribusi N(0, 9) maka X berdistribusi N(0, 9/6) sehigga P ( X > c 0 ) 0, 05 P ( X 0 3/4 > c 0 0 ) 3/4 0, 05 P (Z > 4c 0 ) 0, 05. 3 4
Berdasarka tabel distribusi ormal baku diperoleh sehigga c 0, 23. Kuasa ujiya adalah P ( X >, 23) P ( X, 23 > ) 3/4 3/4 P (Z > 0, 725) 0, 5685. Hal itu berarti bila θ maka probabilitas meolak hipotesisya adalah 0,5685. Soal 2 Pajag hidup X bola lampu 50 watt merek tertetu diaggap mempuyai distribusi ormal dega mea µ tidak diketahui sedagka simpaga baku σ 50 jam. Variabel radom X, X 2,..., X variabel radom salig bebas da masig-masig berdistribusi X serta diaggap bahwa X 730 jam. Ujilah hipotesis H : µ 800 melawa alteratif A : µ < 800 pada tigkat keberartia α 0, 0. Utuk meguji hipotesis H : µ 800 melawa alteratif A : µ < 800 pada tigkat keberartia α 0, 0 diguaka uji MP : { jika X < c φ(x) 0 jika X c dega c ditetuka sehigga P ( X < c) 0, 0 da X N(800, 50 2 ). Karea P ( X < c) 0, 0 maka P ( X 800 < c 800 ) 0, 0 atau 50 50 P (Z < c 800 ) 0, 0. 50 Berdasarka tabel distribusi ormal diperoleh c 800 50 2, 33 atau c 800 + (50)( 2, 33) 450, 5. Soal 3 Diketahui X,..., X 30 variabel radom salig bebas dari distribusi Gamma(α, β) dega α 0 da β tidak diketahui. Kostruksika uji MP dari hipotesis 42
H : β 2 melawa alteratif A : β 3 pada tigkat keberartia α 0, 05. Utuk megkostruksika uji MP terlebih dahulu dihitug : R(x; θ 0, θ ) f(x ; θ )... f(x ; θ ) f(x ; θ 0 )... f(x ; θ 0 ) x 0 exp[ x θ ] Γ(0)θ 0 x 0 exp[ x θ 0 ] Γ(0)θ 0 0 ( θ0 θ ) 0 exp [ Logaritma atural dari R(x; θ 0, θ ) adalah ( θ0 ) l R(x; θ 0, θ ) 0 l θ... x0 exp[ x ] θ Γ(0)θ 0... x0 exp[ x ] θ 0 Γ(0)θ0 0 ( ) θ θ 0 ( θ θ 0 ) dega θ 0 < θ. Karea θ 0 < θ maka θ 0 < θ sehigga θ θ < 0 ( ) atau θ θ 0 > 0. Oleh karea itu R(x; θ 0, θ ) > c ekuivale dega l R(x; θ 0, θ ) > l c atau dega ( θ0 ) 0 l θ ( ) x i > l c θ θ 0 x i ]. ( ) ( θ0 ) x i > l c 0 l θ θ 0 θ c 0 x i > c 0 ( ) θ l c 0 l 0 θ ( ). θ θ 0 Hal itu berarti uji MP diyataka dega { jika φ(x) x i > c 0 0 jika x i c 0 43 x i
dega c 0 ditetuka sehigga E[φ(x)] P ( x i > c 0 ) α. Bila θ 0 2 da θ 3 maka X i Gamma(300, 2) sehigga P ( X i > c) 0, 05. Akibatya c 0 658, 09. Kuasa ujiya adalah P ( X i > 658, 09) dega X i Gamma(300, 3). 44
Chapter 6 Latiha Soal Uji Hipotesis. Dalam cotoh berikut ii, tujukka maa peryataa yag merupaka hipotesis sederhaa da yag maa yag merupaka hipotesis komposit : (a) X variabel radom yag mempuyai fugsi kepadata probabilitas f dega f(x) 2e 2x utuk x > 0. (b) X adalah variabel radom yag mempuyai harapa sama dega 5. (c) Ketika melakuka pelempara sebuah mata uag logam, misalka X varaibel radom yag mempuyai ilai jika muka yag tampak da 0 jika belakag yag tampak. Peryataaya adalah mata uagya bias. 2. Diketahui X variabel radom berdistribusi Biom(, θ) dega θ Ω (0, ). (a) Tetuka uji UMP utuk pegujia hipotesis H : θ θ 0 melawa alteratif A : θ > θ 0 pada tigkat keberartia α. (b) Bagaimaa uji tersebut bila 0, θ 0 0, 25 da α 0, 05? (c) Hituglah kuasa uji pada θ 0, 375, 0, 5, 0, 625 da 0, 0875. 3. Diketahui X, X 2,..., X variabel radom salig bebas yag mempuyai fugsi kepadata probabilitas f(x; θ) θ e x/θ utuk x > 0 dega θ Ω. Tetuka uji UMP utuk pegujia hipotesis H : θ θ 0 melawa alteratif A : θ < θ 0 pada tigkat keberartia α. 4. Diketahui variabel radom X, X 2,..., X berdistribusi N(0, σ 2 ). Tetuka uji hipotesis H : σ 2 melawa alteratif A : σ > 2 pada 45
tigkat keberartia α 0, 05. x2 i 20. Apa kesimpula yag diperoleh jika 5. Diketahui varaibel radom yag salig bebas da berdistribusi N(µ, σ 2 ). Tetuka uji UMP utuk pegujia hipotesis H : σ σ 0 melawa alteratif A : σ σ 0 pada tigkat keberartia α. Tetuka uji tersebut bila 25, σ 0 2, α 0, 05. 6. Jika adalah variabel radom salig bebas da berdistribusi N(µ, σ 2 ) maka tetuka uji LR da uji berdasarka pada 2 l λ utuk pegujia hipotesis H : σ σ 0, utuk yag pertama jika µ diketahui da utuk yag kedua jika µ tidak diketahui. 7. Diketahui X i, i, 2, 3, 4 da Y i, i, 2, 3, 4 sampel radom salig bebas da masig-masig dari distribusi N(µ, σ 2) da N(µ 2, σ2 2 ). Jika diketahui bahwa σ 4 da σ 2 3 da data observasi dari X da Y adalah sebagai berikut : x 0,, x 2 8, 4, x 3 4, 3, x 4, 7, y 9, y 2 8, 2, y 3 2,, y 4 0, 3 Uji hipotesis bahwa perbedaa dua mea tidak lebih dari pada tigkat keberartia α 0, 05. 8. Misalka X, X 2, X 3 variabel radom salig bebas da berdistribusi Biom(, θ). (a) Uji hipotesis pada tigkat keberartia α dega meguaka statistik LR da tetuka distribusiya. (b) Badigka uji LR dega uji UMPU utuk pegujia H melawa A : p 0, 25. 46
Chapter 7 : Estimasi Iterval Soal Misalka Φ fugsi distribusi N(0, ) da a, b dega a < b sehigga Φ(b) Φ(a) γ dega 0 < γ <. Tujukka bahwa b a miimum jika b c da a c dega c > 0. Misalka Φ(b) Φ(a) γ maka dega medefresialka kedua ruas terhadap a diperoleh ϕ(b) db da ϕ(a) 0 dega ϕ adalah fugsi kepadata probabilitas ormal baku. Akibatya diperoleh db da ϕ(a)/ϕ(b) 0 Misalka L b a yaitu pajag iterval kepercayaa. Pajag iterval L aka mecapai miimum bila dl/da 0 yaitu db/da 0 sehigga db/da. Akibatya ϕ(a)/ϕ(b) atau ϕ(a) ϕ(b). Hal itu berarti bahwa a b atau a b. Karea b > a maka dipilih b c dega c > 0 sehigga a c. Soal 2 Diketahui X, X 2,..., X variabel radom salig bebas berdistribusi N(µ, σ 2 ) dega µ diketahui. Tetuka iterval kepercayaa utuk σ dega koefisie 47
kepercayaa α. Misalka R X () X () da didefiisika W Z () Z () dega Z () X () µ da Z σ () X () µ. Karea W berdistribusi studetized σ rage maka a da b ditetuka sehigga P (a R σ b) α atau P ( a b ) α atau P ( R σ R ) α. Hal itu berarti R σ R b a bahwa iterval kepercayaa utuk σ adalah [ R/b, R/a ]. Soal 3 Diketahui X, X 2,..., X variabel radom salig bebas da mempuyai fugsi kepadata probabilitas f(x; θ) θ e x/θ utuk x > 0. Tetuka iterval kepercayaa utuk θ dega koefisie kepercayaa α. Karea 2X i berdistribusi χ 2 θ 2 maka 2 P X i berdistribusi χ 2 θ 2 sehigga utuk meetuka iterval kepercayaa utuk θ dilakuka dega meetuka a da b sehigga P (a χ 2 2 b) α P (a 2 X i b) α θ P ( a θ X i b ) α. Dalam hal ii a da b ditetuka sehigga a 2 g 2 (a) b 2 g 2 (b) da b a g 2 (t)dt α 48
dega g 2 (t) adalah fugsi kepadata probabilitas dari distribusi χ 2 2. Soal 4 Diketahui variabel radom X, X 2,..., X salig bebas da berdistribusi seragam pada (0, θ). Guaka rage R X () X () utuk meetuka iterval kepercayaa utuk θ. Karea berdistribusi seragam pada (0, θ) maka berdistribusi seragam pada (0, ) sehigga Y (X () X () )/θ aka mempuyai fugsi kepadata probabilitas { ( )y f(y) 2 ( y) utuk 0 < y < 0 utuk yag lai Iterval kepercayaa utuk θ ditetuka dega meetuka a da b sehigga P (a X () X () θ b) α dega Y (X () X () )/θ mempuyai fugsi kepadata probabilitas seperti tersebut di atas. Akibatya P ( X () X () b P ( a b X () X () θ b ) α θ X () X () ) α a P ( R b θ R a ) α. Soal 5 Diketahui variabel radom X, X 2,..., X salig bebas da berdistribusi dega fugsi kepadata f(x; θ) e x θ utuk x > θ, θ Ω R da misalka Y X (). Tujukka bahwa. Fugsi kepadata probabilitas g dari Y diberika sebagai g(y) exp[ (y θ)] utuk y > θ. 49
2. Variabel radom T (θ) 2(Y θ) berdistribusi χ 2 2. 3. Iterval kepercayaa utuk θ berdasarka pada T (θ) dega koefisie kepercayaa α berbetuk [Y b, Y b ]. 2 2 4. Iterval kepercayaa terpedek θ seperti betuk di atas diberika oleh [Y χ2 2;α 2, Y ] dega χ2 2;α adalah kuatil atas dari distribusi χ2 2. Bagaimaa dega iterval kepercayaa terpedek dari harapa pajagya.. Fugsi distribusi dari X adalah F (x; θ) x x θ x θ 0 f(t)dt e (t θ) dt e u du [ e u] x θ 0 e (x θ) dega u t θ. Akibatya fugsi distribusi dari adalah Y X () mi{x, X 2,..., X } F (y) P (Y y) P (mi{x, X 2,..., X } y) P (mi{x, X 2,..., X } > y) P (X > y, X 2 > y,..., X > y) [P (X > y)] ( P (X y)) (e (y θ) ) e (y θ). Fugsi kepadata probabilitas dari Y diperoleh dega meuruka F (y) terhadap variabel y yaitu diperoleh g(y) F (y) e (y θ) utuk y > θ. 50
2. Misalka statistik T T (θ) 2(Y θ). Bila t 2(y θ) maka y θ + t dy sehigga. Akibatya fugsi kepadata probabilitas 2 dθ 2 dari statistik T adalah h(t) 2 e t/2 utuk t. Hal itu berarti statistik T berdistribusi chi-kuadrat dega derajat bebas 2. 3. Iterval kepercayaa utuk θ ditetuka dega meetuka a da b sehigga Soal 6 P (a χ 2 2 b) α P (a 2(Y θ) b) α P ( a 2 Y θ b 2 ) α P ( Y + a b θ Y + 2 2 ) α P (Y a 2 θ Y b 2 ) α P (Y b 2 θ Y a 2 ) α. Diketahui variabel radom X, X 2,..., X salig bebas da mempuyai fugsi kepadata probabilitas f(x; θ θ x γ exp[ xγ θ ] utuk x > θ, θ > 0 da γ > 0 dega θ Ω R. Karea Y 2Xr i berdistribusi χ 2 θ 2 maka Y 2 P Xr i berdistribusi χ 2 θ 2. Iterval kepercayaa utuk θ dega meetuka a da b sehigga P (a 2Y θ b) α P ( a θ 2Y b ) α P ( 2Y b θ 2Y a ) α dega Y Xr i. Hal itu berarti iterval kepercayaa utuk θ adalah [ 2Y b, 2Y b ] dega a da b memeuhi a2 g 2 (a) da b a g 2(t)dt α. Dalam 5
hal ii g 2 (t) adalah fugsi kepadata probabilitas dari variabel radom yag berdistribusi chi-kuadrat dega derajat bebas 2. Soal 7 Diketahui X,..., X m sampel radom dari populasi N(µ, σ) 2 da Y,..., Y sampel radom dari populasi dega sigma 2, sigma2 2 diketahui. Tetuka iterval kepercayaa utuk µ µ 2. Misalka didefiisika statistik T (µ µ 2 ) ( X m Ȳ) (µ µ 2 ). σ 2 + σ2 2 m Karea X, X 2, X 3,..., X m sampel radom dari populasi N(µ, σ 2) maka X m m m X i berdistribusi N(µ, σ2 ) da karea Y m, Y 2,..., Y sampel radom dari populasi maka Ȳ Y i berdistribusi N(µ 2, σ2 2 ) sehigga X m Ȳ berdistribusi N(µ µ 2, σ2 + σ2 2 m ). Akibatya T berdistribusi N(0, ). Iterval kepercayaa utuk µ µ 2 ditetuka dega cara meetuka a da b sehigga P (a T b) α. Akibatya ( P ( X m Y σ 2 ) + a P ( X m P ( X m Y b P (a ( X m Y ) (µ µ 2 ) σ 2 m + σ2 2 ) b ( σ 2 P a m + σ2 2 X m Y σ 2 ) (µ µ 2 ) b m + σ2 2 m + σ2 2 (µ µ 2 ) ( X m Y σ 2 ) ) + b m + σ2 2 σ 2 Y a m + σ2 2 µ µ 2 X m Y σ 2 ) b m + σ2 2 σ 2 m + σ2 2 µ µ 2 X m Y σ 2 ) a m + σ2 2 Dalam hal ii a da b ditetuka sehigga Φ(b) Φ(a) α. Soal 8 α α α α α. Diketahui X,..., X m sampel radom dari populasi N(µ, σ 2 ) da Y,..., Y sampel radom dari populasi dega µ, µ 2 diketahui. Tetuka iterval kepercayaa utuk σ 2 /σ 2 2 dega koefisie kepercayaa α. 52
Misalka didefiisika statistik T (σ 2 /σ2 2 ) σ2 σ 2 dega S 2 m m m (X i µ ) 2 da S 2 (Y i µ 2 ) 2. Karea X,..., X m sampel radom dari populasi N(µ, σ 2) maka ms2 m berdistribusi σ 2 χ 2 m da karea Y,..., Y sampel radom dari populasi N(µ 2, σ2) 2 maka S2 σ2 2 berdistribusi χ 2 S 2 Sm 2 T (σ 2 /σ 2 2) σ2 σ 2 S 2 Sm 2 S 2 σ 2 2 ms 2 m σ 2 berdistribusi F m,. Karea t berdistribusi F m, maka iterval kepercayaa utuk dapat ditetuka dega meetuka a da b sehigga P (a F m, b) α P (a T b) α P (a σ2 σ 2 S 2 Sm 2 b) α P (a S2 m S 2 σ2 σ 2 b S2 m ) α. S 2 Hal itu berarti iterval kepercayaa utuk σ 2 /σ 2 2 adalah Soal 9 [ a S2 m S 2 σ2 σ 2 b S2 m S 2 ]. Diketahui X, X 2,..., X variabel radom salig bebas dega mea µ tidak diketahui da variasiya σ 2 berhigga da diketahui serta ukura sampel besar.. Guaka teorema limit setral utuk megkostruksika iterval kepercayaa µ dega koefisie kepercayaa medekati α. 2. Tetuka iterval kepercayaa medekati 0, 95 jika ukura sampel 00 da variasi. 3. Tetuka sehigga pajag iterval 0, dega σ da α 0, 05. 53
. Karea X, X 2,..., X variabel radom salig bebas dega mea µ tidak diketahui da variasiya σ 2 berhigga da diketahui serta ukura sampel besar maka dega megguaka teorema limit setral diperoleh X µ σ/ N(0, ) utuk. Iterval kepercayaa utuk µ ditetuka dega meetuka a da b sehigga P (a N(0, ) b) α. Akibatya P (a X µ σ/ b) α P (a σ X µ b σ ) α P ( X + a σ µ X + b σ ) α P ( X a σ µ X b σ ) α P ( X b σ µ X a σ ) α [ Iterval kepercayaa utuk µ adalah X b σ, X ] a σ sedagka iterval kepercayaa terpedek utuk µ adalah X [ σ Zα/2, X ] σ + Z α/2 dega Z α/2 adalah kuatil α/2 utuk distribusi N(0, ). 2. Jika [ 00, σ, α 0, 05 ] maka[ iterval kepercayaa] utuk µ adalah x, 96, x +, 96 atau x 0, 96, x + 0, 96. 0 0 3. Pajag iterval dapat diyataka sebagai l X σ ( σ ) + Z α/2 X Zα/2 0, 2(, 96) 2(, 96) 39, 2 600. 54
Soal 0 Diketahui X, X 2,..., X m variabel radom salig bebas da mempuyai fugsi kepadata probabilitas f(x; θ) e x θ θ utuk x > 0 da Y, Y 2,..., Y variabel radom salig bebas da mempuyai fugsi kepadata probabilitas f(y; θ) θ 2 e y θ 2 utuk y > 0. Tetuka iterval kepercayaa utuk θ /θ 2 dega koefisie kepercayaa α. Karea X, X 2,..., X m variabel radom salig bebas da mempuyai fugsi kepadata probabilitas f(x; θ) θ e x θ utuk x > 0 maka berdistribusi Gamma(, θ ) sehigga 2 P m X i θ berdistribusi χ 2 2m da karea Y, Y 2,..., Y variabel radom salig bebas da mempuyai fugsi kepadata probabilitas f(y; θ) θ 2 e y θ 2 utuk y > 0 maka berdistribusi Gamma(, θ 2 ) sehigga berdistribusi χ 2 2. Dibetuk statistik T (θ /θ 2 ) 2 Y i θ 2 P Y i θ 2 2 P m. X i mθ Dalam hal ii T (θ /θ 2 ) berdistribusi F dega derajat pembilag da derajat bebas peyebut m. Utuk meetuka iterval kepercayaa utuk dilakuka dega meetuka a da b sehigga P (a F 2,2m b) α. Akibatya ( P a 2 P Y i θ 2 2 P m X i mθ ) b α P (a X θ θ 2 bȳ ) α. Hal itu berarti iterval kepercayaa utuk θ /θ 2 adalah [a X, bȳ ]. 55
Chapter 8 Latiha Soal Estimasi Iterval. Sampel ukura 25 dari populasi yag berdistribusi ormal dega variasi 8 diperoleh sampel meaya adalah 8,2. Tetuka iterval kepercayaa 95% utuk mea populasi. 2. Dimiliki sampel radom ukura 25 diambil dari distribusi N(0, σ 2 ). Kostruksika iterval kepercayaa utuk σ 2 dega koefisie kepercayaa 90%. 3. Dimiliki sampel 0,395, 0,034, 0,6858, 0,7626, 0,004, yag diambil dari distribusi ekspoesial dega mea θ da sampel 0,773, 0,5909, 0,3267, 0,477, 0,0322 yag diambil dari distribusi ekspoesial dega mea θ 2. Kostruksika iterval kepercayaa utuk θ /θ 2 dega koefisie kepercayaa medekati 90%. 4. Misalka X,..., X variabel radom yag mempuyai distribusi ekspoesial egatif dega parameter θ Ω (0, ) da aggap bahwa besar. Guaka teorema limit setral utuk megkostruksika iterval kepercayaa utuk θ dega koefisie kepercayaa medekati α. 5. Diketahui X, X 2,..., X m sampel radom dari populasi N(µ, σ) 2 da Y,..., Y sampel radom dari populasi dega µ, µ 2 tidak diketahui. Tetuka iterval kepercayaa utuk σ/σ 2 2 2 dega koefisie kepercayaa α. 56
Bibliography [] Bai, L. J. ad Egelhardt, M., (992), Itroductio to probability ad mathematical statistics, Duxbury, Pasific Grove. [2] Lidgre, B. W., (993), Statistical Theory 4 th editio, Chapma & Hall Ic, New York. [3] Oosterhoff, J., (993), Algemee Statistiek, Faculteit Wiskude e Iformatica, Vrije Uiversiteit Amsterdam, Amsterdam. [4] Roussas, G. G., (973), A first Course i Mathematical Statistics, Addiso-Wesley Publishig Compay, Readig Massachusetts. 57