BAB 2 LANDASAN TEORI DAN KAJIAN PUSTAKA

Transkripsi

1 BAB 2 LANDASAN TEORI DAN KAJIAN PUSTAKA 2.1 Estimasi Bayes Definisi 1 Estimasi Bayes yang paling mungkin dari suatu nilai kebenaran θ 0 yang tidak diketahui pada parameter θ adalah nila ˆθ yang meminimumkan distribusi posterior fungsi densitas atau marginal probabilitas πθ x. Sehingga estimasi Bayes yang paling mungkin diberikan oleh πˆθ x = sup πθ x θ Sebagai contoh, asumsikan X 1,X 2,...,X n sebagai suatu sampel acak dari distribusi binomial Bm, θ dengan m diketahui dan asumsikan suatu distribusi prior Beta α, β untuk θ. Sehingga, Akibatnya, likelihood = f X x θ = θ n x i 1 θ nm mxi θ x i 1 θ m x i x i 2.1 πθ x likelihood. prior θ t 1 θ nm t θα 1 1 θ β 1 Bα, β θ α+t 1 1 θ nm t+β Distribusi posterior yang diperoleh adalah Betaα + t, nm t + β dan πθ x = θα+t 1 1 θ nm t+β 1, 0 <θ<1 2.3 Bα + t, nm t + β Sehingga, estimasi Bayes yang mungkin yang diperoleh dapat dituliskan sebagai berikut ˆθ = α + t 1 nm + α + β

2 5 Definisi 2 Keakuratan pada suatu estimasi ϑ pada parameter θ diberikan oleh accϑ =ϑ µ p 2 + σ 2 p dengan µ p dan σ 2 p merupakan rata-rata dan variansi pada distribusi posterior, berturutturut. Dari Definisi 2, asumsikan bahwa keakuratan pada suatu estimasi adalah meminimumkan jika estimasi yang dipilih sama dengan rata-rata posterior µ p, yaitu ˆθ = µ p. Ini mengakibatkan beberapa Bayesian lebih menggunakan nilai rata-rata distribusi posterior sebagai estimasi pada θ dibandingkan dengan estimasi Bayes yang paling mungkin. Jika µ p dan σp 2 adalah mean dan variansi berturut-turut pada distribusi posterior, maka accϑ = ϑ µ p + µ p θ 2 πθ xdθ = ϑ µ p 2 πθ xdθ + θ µ p 2 πθ xdθ +2 ϑ µ p µ p θπθ xdθ 2.5 =ϑ µ p 2 + σp 2 +2ϑ µ p µ p θπθ xdθ =ϑ µ p 2 + σp 2 +0 =ϑ µ p 2 + σp 2 Definisi 3 Nilai rata-rata pada distribusi posterior adalah µ p = Eθ x = θπθ xdθ dengan integral adalah hasil penjumlahan seluruh dengan asumsi bahwa adalah diskrit merupakan estimasi pada θ dengan keakuratan yang rendah. Sehingga estimasi pada µ p selanjutnya disebut sebagai estimasi Bayes pada θ. Definisi 4 Asumsikan φθ merupakan suatu fungsi pada parameter θ dan ϑ merupakan suatu estimasi pada φθ. Keakuratan pada ϑ didefinisikan oleh accϑ ϑ φθ 2 πθ xdθ

3 6 dengan integral adalah hasil penjumlahan seluruh dengan asumsi bahwa adalah diskrit. Asumsikan µ p φ =Eφθ x = φθπθ xdθ dengan integral adalah hasil penjumlahan seluruh dengan asumsi bahwa adalah diskrit sebagai nilai rata-rata atau ekspektasi pada φθ terhadap distribusi posterior pada θ. Sehingga, accϑ =ϑ µ p φ 2 + σpφ 2 dengan σpφ 2 =Varφθ x = φθ µ p φ 2 πθ xdθ merupakan variansi pada φθ terhadap distribusi posterior pada θ dan estimasi pada φθ dengan keakuratan terendah adalah ˆφ = µ p φ. Definisi 5 Estimasi µ p θ = Eφθ x = φθπθ xdθ merupakan estimasi pada φθ dengan keakuratan terendah dan disebut sebagai estimasi Bayes pada φθ. Metode Bayes merupakan metode yang menggabungkan informasi dari informasi lain yang diketahui atau disebut juga dengan prior sehingga lebih dikenal sebagai peluang subjektif. Dalam Bayesian, hasil dari sebarang masalah inferensi yang dinyatakan dalam distribusi posterior merupakan gabungan dari informasi yang disediakan oleh data dan informasi prior relevan yang ada. Andaikan tidak terdapat informasi prior, maka dipilih suatu fungsi prior yang relatif uniformative, yaitu fungsi prior yang memberikan pengaruh minimum pada inferensi fungsi posterior. 2.2 Parameter Pareto Distribusi Pareto diperkenalkan oleh seorang pengamat ekonomi, Vilfredo Pareto, yaitu suatu distribusi yang digunakan di bidang sosial, ilmiah, geofisika, aktuaria dan fenomena di bidang lainnya. Andaikan X adalah suatu variabel acak dengan distribusi Pareto, maka probabilitas dimana X adalah lebih besar dari sejumlah bilangan tertentu x dapat dinyatakan sebagai xmx α untuk x x m Fx =PrX >x= 1 untuk x<x m

4 7 dengan x m merupakan nilai minimum yang mungkin pada X dan α adalah suatu parameter positif. Adapun karakteristik distribusi Pareto Tipe I yaitu terdapat suatu parameter skala x m dan suatu parameter kondisi α, yang juga disebut sebagai index akhir tail index. Sehingga α disebut sebagai parameter Pareto. Adapun fungsi distribusi kumulatif dan fungsi densitas probabilitas pada parameter Pareto berturut-turut adalah 1 x mx α untuk x x m F x x = 0 untuk x<x m Asumsikan terdapat suatu data merupakan n variabel acak berdistribusi saling bebas identik yang masing-masing mempunyai distribusi Pareto dengan parameter pertidaksamaan α dan parameter konsentrasi τ. Sehingga bentuk likelihood pada data dapat dinyatakan sebagai berikut [ ] fx x ; α, τ =exp n log α nα log τ log x i α +1 Iτx 1:n > 1 yang diperoleh dari hasil estimasi maximum likelihood yaitu ˆτ = 1 minx 1,...,x n ; ˆα = dengan ketentuan sebagai berikut. n n log τ + n log x i 1. Jika τ diketahui, maka prior konjugasi natural pada densitas untuk α merupakan gamma. 2. Jika α diketahui, maka prior konjugasi natural pada prior τ merupakan Pareto. Dari dua kondisi diatas, dapat ditentukan densitas pada prior konjugasi. Asumsikan bahwa nilai α dan τ tidak diketahui, maka untuk densitas diperoleh: 1. Diberikan densitas kondisional pada τ adalah α dengan parameter pertidaksamaan γτ dan parameter intensitas λτ yaitu fα τ α γτ 1 e ατα 2.6

5 8 dengan mean dan variansi adalah Eα τ = 1 + a 2 + m 12 log τ a 1 + m 11 log τ 2.7 varα τ = 1 + a 2 + m 12 log τ a 1 + m 11 log τ Diberikan densitas kondisional pada α adalah τ dengan parameter pertidaksamaan δα dan parameter konsentrasi υα yaitu fτ α υαδα[υατ] τα+1 Iυατ >1 2.9 dengan δα = 1 + b + m 11 α + m 12 log α dan υα =c Densitas marginal untuk α dan τ masing-masing dapat dinyatakan sebagai c [b+m 11α+m 12 log α+1] fα expa 1 α + a 2 log α [b + m 11 α + m 12 log α +1] 2.11 fτ τ b Γ[a 2 + m 12 log τ +1] [ a 1 m 11 log τ] a 2+m 12 log τ+1 Iτc > Untuk fungsi densitas probabilitas pada distribusi Pareto adalah fx α, τ =ατ α x α dan fungsi densitas kumulatif pada distribusi Pareto adalah x α F x α, τ = τ dengan x τα, τ > 0, x. 2.3 Distribusi Posterior y 2,...,Y m Asumsikan terdapat m cuplikan informasi yang diindekskan sebagai Y 1 = y 1,Y 2 = = y m dengan fungsi densitas probabilitas fx θ dan fungsi densitas kumulatif F x θ dengan parameter θ R k. Y =Y 1,Y 2,...,Y m adalah f 1,2,...,m y 1,y 2,...,y m θ = m 1 Fungsi densitas probabilitas joint pada hy i θfy m θ, <y 1 < <y m < 2.15

6 9 dengan hy θ = fy θ/[1 F y θ]. Sehingga fungsi densitas probabilitas marginal pada cuplikan informasi k pada Y k adalah f k y θ = [Hy θ]k 1 fy θ 2.16 Γk dengan Hy θ = ln1 F y θ. Dengan parameter Pareto α dan τ yang belum diketahui, diberikan fungsi likelihood yaitu Lα, τ y α m τ α y α m I[y 1 >τ] 2.17 dengan I[A] merupakan fungsi indikator pada kejadian A. Suatu prior konjugasi joint untuk α, τ digeneralisasikan dengan prior Lwin atau prior power-gamma yang didenotasikan sebagai PGυ,λ,µ,L 0 yaitu πα, τ α υ τ λα 1 µ α α>0, 0 <τ<l dengan υ,λ,µ,l 0 merupakan konstanta positif dan L 0 <µ. Prior mengidentifikasikan πα sebagai Gaυ,ln µ λ, ln L 0 dan πτ α sebagai distribusi fungsi power PFλα, L 0 yaitu πτ α λατ λα 1 L λα 0 0 <τ<l Dengan menggabungkan persamaan 3.13 dan 3.14, diperoleh densitas posterior pada α dan τ sebagai berikut πα, τ y αm+υ exp{ α[λ 1 λ + 1 ln τ]}i[τ <M 1 ] 2.20 τ dengan M 1 = miny 1,L 0 dan Λ 1 =lnµ+ln y m. Integrasikan α dan τ sehingga diperoleh densitas prior pada α dan τ, berturut-turut yaitu πα y α m+υ 1 exp{ α[λ 1 λ + 1 ln M 1 ]} 2.21 dan πτ y 1 τ [Λ 1 λ + 1 ln τ] m+υ+1 I[τ <M 1 ] 2.22 Sehingga, diperoleh estimator Bayesian pada α secara eksplisit yaitu m + υ α B = [Λ 1 λ + 1 ln M 1 ] 2.23 Analisis data uji hidup merupakan persoalan analisis data uji statistik terhadap daya tahan hidup suatu benda atau individu didasarkan pada keadaan operasional

7 10 tertentu. Penerapan dari analisis ini biasanya banyak digunakan di bidang kedokteran yang berkaitan dengan pemodelan ketahanan hidup penderita penyakit tertentu Lee, 1992 dan di bidang pertanian yang berkaitan dengan pemodelan ketahanan hidup benda-benda produksi Barlow dan Proschan, Freud 1992 menjelaskan persoalan utama dalam estimasi Bayes adalah menggabungkan suatu parameter dengan sampel tertentu secara langsung dengan menentukan ϕθ x, dengan kondisional densitas pada θ adalah X = x. Reiss dan Thomas 1999 memberikan cara lain dalam menentukan estimasi Bayes pada parameter Pareto. Asumsikan terdapat suatu fungsi distribusi Pareto yaitu F α y =1 1 + y α,y 0 dengan parameter kondisi yang tidak diketahui, α>0, dan proses homogen Poisson dengan intensitas yang tidak diketahui, λ>0. Diberikan data t 1,y 1,...,t k,y k, maka maximum likelihood estimate MSE pada λ, α k ˆλ, ˆα = T, k i k log1 + y i Estimator Bayes, λ, α dinotasikan sebagai prior gamma yang saling independen. Dengan fungsi quadratic loss, diperoleh estimasi Bayes pada λ dan α yaitu ˆλ, ˆα = r + k c + kˆλ, s + k d + kˆα Reed 2001 menjelaskan tentang estimasi parameter pada distribusi Pareto yang berhubungan dengan estimator Hill di bidang asuransi. Ini disebabkan oleh estimator lain yang digunakan pada distribusi Pareto memiliki kinerja yang kurang baik jika parameter yang digunakan tidak sama dengan 0 pada model Pareto. Sehingga diperlukan suatu formula alternatif dalam hal estimasi dengan adanya estimasi Bayes. Andaikan terdapat fungsi densitas probabilitas dan fungsi distribusi kumulatif pada distribusi simetrik ganda Pareto berturut-turut θ 1 x fx; θ, β = θ 0 <x<β β 2β θ+1 β x β x

8 11 dan 1 2 F x; θ, β= untuk beberapa θ>0 dan β>0, berturut-turut. θ x 0 x<β β θ β x β x Abdul-Sathar et al., 2005 memberikan penjelasan sebagai berikut. Andaikan X 1,X 2,...,X n adalah suatu sampel acak dari distribusi Uniform U0,θ dan asumsikan suatu distribusi prior Pareto untuk θ dengan fungsi densitas probabilitas yaitu πθ = β α α θ β+1 ; α<θ< Sampel yang digunakan yaitu x =x 1,x 2,...,x n. Diperoleh fungsi densitas probabilitas pada θ 1 0 <x<θ fx θ = θ 0 otherwise = 1 θ I [0,θ]x Adapun prior fungsi densitas probabilitas πθ = β α β+ ; α<θ< α θ = β α β+1 1 ; Iα, θ; α θ θ β+1i α, θ dan estimasi Bayes yang mungkin yaitu ˆθ max max 1 i n x i,α Doostparast dan Balarishnan 2012 memberikan pandangan mengenai estimasi Bayes. Andaikan terdapat suatu barisan {R 1,K 1,...,R m,k m 1} dari suatu parameter Pareto Parβ,α. Sehingga dengan fungsi likelihood diperoleh Lβ,α r, k= αm β α m k 1 Π m rαk 1+1 i Sehingga, dengan menggunakan interval kepercayaan pada α dan β dapat diperoleh hasil estimasi Bayes untuk parameter r, k pada distribusi Pareto.

9 12 Diberikan suatu himpunan n pengamatan saling bebas X 1,X 2,...,X n =X dari suatu distribusi dengan fungsi densitas fx θ dengan nilai data yang diuji x 1,x 2,...,x n = x. Dari Persamaan , dapat ditentukan distribusi prediktif untuk parameter Pareto dalam menentukan nilai suatu data di masa yang akan datang, X n+1. Diberikan definisi sebagai berikut Efx θ x = fx θπθ xdθ 2.24 Karena X n+1 di X, maka fx θπθ x = f Xn+1 x θ, xπθ x = f Xn+1,θ 0 x, θ x = fungsi densitas joint di X n+1,θ 0 dengan X = x diperoleh fx θπθ xdθ = f Xn+1,θ 0 x, θ xdθ = f Xn+1 x x = distribusi kondisional fungsi densitas dengan X = x Distribusi kondisional pada X n+1 dengan X = x merupakan distribusi prediktif dari X n+1. Estimasi Bayes dari f Xn+1 x θ =fx θ, likelihood pada pengamatan di masa yang akan datang merupakan fungsi densitas dari distribusi prediktif dari X n+1 yang diperoleh dari estimasi Bayes di fx θ. Asumsikan terdapat suatu data pengamatan X 1,X 2,...,X n sebagai sampel acak dari distribusi eksponensial dengan fungsi densitas probabilitas fx θ = θe θx i,x > 0. Asumsikan terdapat prior Gammaα, β untuk θ. Dari prior pada fungsi densitas probabilitas tersebut, dapat ditentukan distribusi prediktif untuk pengamatan X n+1 dimana likelihood dengan nilai x =x 1,x 2,...,x n adalah n n Lθ = fx i θ = θe θx i = θ n e θ x i 2.27 dan fungsi densitas probabilitas prior dinyatakan dengan πθ = βα θ α 1 e βθ Γα θ α 1 e βθ 2.28

10 13 Dari fungsi densitas probabilitas prior dan likelihood pada distribusi eksponensial, diperoleh fungsi densitas probabilitas posterior yang dapat diformulasikan sebagai πθ x likelihood. prior θ n e θ x i.θ α 1 e βθ = θ n+α 1 e x i +β θ 2.29 dengan distribusi posterior adalah Gamman + α, n x i + β dan fungsi densitas probabilitas yang diperoleh dinyatakan sebagai berikut πθ x = n n+α x i + β θ n+α 1 e Γn + α x i +β θ dan distribusi prediktif untuk X n+1 mempunya fungsi densitas probabilitas yaitu f Xn+1 x X=x = 0 θe θx n x i + β = Γn + α n x i + β = Γn + α n n+α x i + β θ n+α 1 e Γn + α n+α n+α 0 θ n+α 1 1 e x i +β x+ n Γn + α +1 x + n x i + β = n + α x i + β x i + β x + n x i + β n+α+1 n+α+1 θ dθ x i +β θ dθ untuk x>0, maka X n+1 + x i + β P areto x i + β,n + α X n+1 P areto x i + β,n + α x i + β 2.32