BAB II FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI. Funsi. Graik Funsi. Barisan dan Deret.4 Irisan Kerucut. Funsi Dalam berbaai alikasi koresondensi/hubunan antara dua himunan serin terjadi. Sebaai 4 contoh volume bola denan jari-jari r diberikan oleh relasi V r. Contoh an lain temat kedudukan titik-titik an jarakna satuan dari titik ankal O adalah. Ada hal entin an bisa dietik dari contoh di atas. Misalkan X menatakan himunan semua absis lebih dari atau sama denan dan kuran dari atau sama denan sedankan Y himunan ordinat lebih dari atau sama denan dan kuran dari atau sama denan. Maka elemen-elemen ada X berkoresondensi denan satu atau lebih elemen ada Y. Selanjutna koresondensi disebut relasi dari X ke Y. Secara umum aabila A dan B masin-masin himunan an tidak koson maka relasi dari A ke B dideinisikan sebaai himunan tak koson R A B. A a a a B b b b b4 Gambar.. Relasi dari himunan A ke B
Jika R adalah relasi dari A ke B dan A berelasi R denan B a b R atau arb atau b R a maka ditulis: Aabila dierhatikan secara seksama ternata dua contoh di atas memunai erbedaan an mendasar. Pada contoh an ertama setia r menentukan teat satu V. Sementara ada contoh an ke dua setia [] berelasi denan beberaa dalam hal ini dua nilai [] an berbeda. Relasi seerti ada contoh ertama disebut unsi. Deinisi.. Diketahui R relasi dari A ke B. Aabila setia teat satu B maka R disebut unsi dari A ke B. A berelasi R denan Jadi relasi R dari A ke B disebut unsi jika untuk setia A terdaat teat satu B sehina b Ra. Sebaai contoh misalkan X dan Y 6. Himunan meruakan unsi dari X ke Y karena setia anota X berelasi denan teat satu anota Y. Demikian ula himunan 6 meruakan unsi dari X ke Y. Sementara himunan 6 bukan meruakan unsi dari X ke Y karena ada anota X aitu an menentukan lebih dari satu nilai di Y. Funsi dinatakan denan huru-huru: h F H dst. Selanjutna aabila meruakan unsi dari himunan A ke himunan B maka dituliskan: : A B Dalam hal ini himunan A dinamakan domain atau daerah deinisi atau daerah asal sedankan himunan B dinamakan kodomain atau daerah kawan unsi. Domain unsi ditulis denan notasi D dan aabila tidak disebutkan maka diseakati bahwa domain unsi adalah himunan terbesar di dalam R sehina terdeinisikan atau ada. Jadi: D R : ada terdeinis ikan Himunan semua anota B an memunai kawan di A dinamakan unsi ditulis R atau Im Perhatikan Gambar... rane atau daerah hasil 4
A B R Gambar.. Jika ada unsi : A B sebaran elemen A memunai kawan B maka dikatakan meruakan baanan oleh atau meruakan nilai unsi di dan ditulis =. A B Gambar.. unsi dari himunan A ke B. Selanjutna dan masin-masin dinamakan variable bebas dan variabel tak bebas. Sedankan = disebut rumus unsi. Contoh.. Tentukan domainna. a. b. c. ln 6 5 Penelesaian: a. Suatu hasil bai akan memiliki arti aabila enebut tidak nol. Oleh karena itu D R : terdeinis ikan R : R { } b. Karena akar suatu bilanan ada hana aabila bilanan tersebut tak neati maka: 5
D R : ada R : R : atau ]. c. Suatu jumlahan memiliki arti aabila masin-masin sukuna terdeinsikan. Sehina: D R : ln 6 ada 5 R : ada dan ln 6 ada 5 R : 5 dan 6 R : 5 dan atau R : 5 dan atau R : 5 dan = 5 5. Contoh.. Jika maka tentukan: a. b. c. d. Penelesaian: a... b.... c. d.. 6.... Funsi Surjekti Funsi Injekti dan Funsi Bijekti Berikut diberikan beberaa unsi an memenuhi sarat-sarat tertentu. Diberikan unsi : A B. i. Aabila setia anota himunan B memunai kawan anota himunan A maka disebut unsi surjekti atau unsi ada onto unction. 6
A a a a a4 B b b b Gambar..4 unsi surjekti dari himunan A ke himunan B ii. Aabila setia anota himunan B memunai an kawan di A kawanna tunal maka disebut unsi injekti atau unsi - into unction. A a a a B b b b b4 b5 Gambar..5 Funsi injekti dari A ke B iii. Jika setia anota himunan B memunai teat satu kawan di A maka disebut unsi bijekti atau koresodensi -. Mudah diahami bahwa koresondensi - adalah unsi surjekti sekalius injekti. A B a a a a4 b b b b4 Gambar..6 Koresondensi. 7
.. Oerasi Pada Funsi Diberikan skalar real dan unsi-unsi dan. Jumlahan selisih hasil kali skalar hasil kali. dan hasil bai masin-masin dideinisikan sebaai berikut:.. D asalkan Domain masin-masin unsi di atas adalah irisan domain dan domain kecuali untuk D D :. Contoh..4 Jika dan masin-masin: maka tentukan:. dan 5 beserta domainna. Penelesaian: 5 5.. 5 5 Karena D [ dan D R { 5} maka. dan masin-masin memunai domain: [... Funsi Invers Diberikan unsi : X Y. Kebalikan invers unsi adalah relasi dari Y ke X. Pada umumna invers suatu unsi belum tentu meruakan unsi. Sebaai contoh erhatikan Gambar..7 di bawah ini. 8
A B Gambar..7 Aabila : X Y meruakan koresondensi maka mudah ditunjukkan bahwa invers jua meruakan unsi. Funsi ini disebut unsi invers ditulis denan notasi. Perhatikan Gambar..8 berikut. X Y Gambar..8 Jadi: denan D R dan R D Contoh..5 Tentukan jika diketahui. 9
Penelesaian: Jadi. Contoh..6 Tentukan inversna jika diketahui: jika jika jika Penelesaian: i. Untuk. Sehina: ii. Untuk. Sehina dieroleh:. iii.untuk atau: Selanjutna dari i ii dan iii dieroleh:
jika jika. jika..4 Funsi Komosisi Perhatikan unsi. Aabila dideinisikan u u dan u maka denan substitusi dieroleh u aitu rumus unsi an ertama disebutkan. Proses demikian ini disebut komosisi. Secara umum daat diterankan sebaai berikut. Diketahui dan sebaran dua unsi. Ambil sebaran D. Aabila D maka daat dikerjakan ada dan dieroleh unsi baru h. Ini disebut unsi komosisi dari dan ditulis. Deinisi..7 Funsi komosisi dari dan ditulis dideinisikan sebaai: denan domain D D : D. z Gambar..9 Funsi komosisi
Contoh..7 Jika = dan = maka tentukan unsi-unsi berikut beserta domainna. a. b. c. d. Penelesaian: a. denan domain R D. b. denan domain R D. c. 4 denan domain R D. d. denan domain R D. Contoh..8 Jika dan maka tentukan unsi-unsi berikut ini beserta domainna. a. b. Penelesaian: a. 4 4 denan domain: : : : : D D D R R R. b. denan domain: : : R D D D. Contoh..9 Tentukan jika diketahui: jika jika jika jika
Penelesaian: i. Untuk ii.untuk. Sehina:.. Karena maka daat dibedakan menjadi dan. Selanjutna a. aabila atau. Hal ini berakibat untuk b. aabila atau. Jadi untuk dieroleh: Dari i dan ii dieroleh: jika jika jika. Graik Funsi Diberikan unsi. Himunan : D disebut raik unsi... Graik Funsi Dalam Sistem Koordinat Kartesius Dalam sistem koordinat kartesius unsi daat dibai menjadi: a. Funsi Aljabar b. Funsi Transenden Funsi disebut unsi aljabar jika daat dinatakan sebaai jumlahan selisih hasil kali hasil bai ankat atauun akar unsi-unsi suku banak. Sebaai contoh unsi denan rumus:
meruakan unsi aljabar. Funsi an bukan unsi aljabar disebut unsi transenden. Beberaa contoh unsi transenden adalah unsi trionometri unsi loaritma dsb. Funsi Aljabar Funsi Aljabar meliuti :. Funsi rasional : a. Funsi bulat unsi suku banak b. Funsi ecah.. Funsi irasional. Funsi Suku Banak Funsi suku banak berderajat n memunai ersamaan = Pn = a + a +... + an n denan n bilanan bulat tak neati a... an bilanan-bilanan real dan an. a. Funsi konstan: c. Graik unsi ini berua aris lurus sejajar sumbu X. Y = a = a X = Gambar.. 4
b. Funsi linear: = m + n Graik unsi ini berua aris lurus denan radien m dan melalui titik n. = + = = = Gambar.. c. Funsi kuadrat: a b c a. Graik unsi kuadrat berua arabola. Diskriminan: kuadrat ini daat diambarkan sebaai berikut: D b 4ac. Secara umum raik unsi 5
D> a> D> a< a b D= a< D= a> c d D< a< D< a> e Gambar.. Perhatikan ula ambar berikut ini. 6
Y = = ¼ X 4 = 4 Gambar..4 d. Funsi kubik: a a a a a. Y = = X Gambar..5 7
Funsi Pecah Funsi an daat dinatakan sebaai hasil bai dua unsi suku banak a b a... a b... b disebut unsi ecah. Graik beberaa unsi ecah sederhana seerti: dierlihatkan dalam ambar berikut. = dan n m n m = = = / = Gambar..6 Funsi Irasional Beberaa contoh unsi irasional beserta raikna dierlihatkan ada ambar berikut ini. 8
a a a a a a a a a b c Gambar..7 Funsi Transenden Funsi transenden meliuti: Funsi Trionometri Funsi Siklometri Funsi Eksonen dan Funsi Loaritma. a. Funsi trionometri Ditinjau titik sebaran P ada bidan koordinat seerti terlihat dalam ambar berikut ini. 9
r P Q Gambar..8 Aabila r menatakan jarak titik P ke O dan menatakan besar sudut antara OP denan sumbu X arah berlawanan denan jarum jam maka berturut-turut dideinisikan sebaai berikut: sin = /r cos = /r tan = / cot = / sec = r/ csc = r/ Dari deinisi mudah ditunjukkan hubunan-hubunan berikut: sin cos tan = cos cos sin sec = csc cos sin dan: sin + cos = + tan = sec + cos = csc Berbeda halna denan eometri an biasana besar sudut diukur dalam derajat maka dalam kalkulus besar sudut dinatakan dalam radian. Besar sudut satu radian sama denan besar sudut usat jurin linkaran OPQ an anjan busurna sama denan jari-jari linkaran erhatikan Gambar..9. 4
Q r O r P Gambar..9 Besar sudut POQ radian Oleh karena itu radian = 6 o atau radian = 8 derajat. Selanjutna daat dibentuk unsi-unsi trionometri. Beberaa raik unsi trionometri daat diambarkan sebaai berikut lihat Gambar.. dan Gambar..: Gambar.. a Graik sin Gambar.. b Graik cos Untuk raik = sin dan = cos berotonan di = /4 dan = 5/4. 4
Gambar.. a Graik tan Gambar.. b Graik cot Gambar.. c Graik sec Gambar.. d Graik csc b. Funsi Siklometri Untuk domain tertentu invers unsi trionometri jua meruakan unsi. Invers unsi trionometri dikenal denan nama unsi siklometri. Invers unsi sinus ditulis denan sin atau arcsin dan dideinisikan sebaai berikut: 4
= sin = arcsin = sin [/ /] Demikian ula untuk invers unsi trionometri an lain. = cos = arccos = cos [ ] = tan = arctan = tan / / = cot = arccot = cot = sec = arcsec = sec / / = csc = arccsc = csc Selanjutna raik unsi siklometri daat dilihat ada Gambar.. di bawah ini. Gambar.. a arcsin Gambar.. b arccos Gambar.. a arctan 4
c Funsi Eksonensial Untuk a a unsi denan rumus: = a disebut unsi eksonensial. Graik unsi eksonensial dierlihatkan ada ambar berikut: a a a a Gambar.. d. Funsi Loaritma Untuk a a a lo a. Sebaai contoh: Selanjutna unsi denan rumus: lo8 lo 7 karena karena 8 7 a lo disebut unsi loaritma. Dalam hal ini : ambar dibawah. D R. Graik unsi loaritma dierlihatkan ada 44
a lo a a lo a Gambar..4.. Graik Funsi Dalam Sistem Koordinat Kutub Seerti telah diterankan di muka dalam sistem koordinat kutub koordinat suatu titik daat dieksresikan denan tak hina banak cara. Oleh karena itu untuk menambarkan raik unsi dalam sistem koordinat kutub dierlukan kehati-hatian an lebih dibandin ketika menambar dalam sistem koordinat Kartesius. Graik unsi an disajikan dalam sistem koordinat kutub r adalah himunan semua titik P sehina alin sedikit satu reresentasi titik P aitu r memenuhi ersamaan tersebut. Contoh.. Gambarlah raik r =. Penelesaian: Titik-titik r an memenuhi ersamaan r= adalah titik-titik an berjarak satuan dari kutub O. Jadi kumulan titik-titik ini akan membentuk linkaran berjari-jari. Denan cara lain karena r maka 4. Graik diberikan ada Gambar..5. 45
/ /4 Gambar..5 Contoh.. Gambarl raik r = sin dan r = + sin. Penelesaian: Tabel di bawah memberikan beberaa titik an memenuhi kedua ersamaan unsi di atas untuk Tabel.. r = sin r = + sin 6 4 + + 4 + 4 + 5 6 7 6 5 4 4 5 7 4 46
Berdasarkan hasil ada Tabel.. raik daat dilihat ada Gambar..6. Gambar..6 a r sin Gambar..6 a r sin Contoh.. Gambarlkan daerah an berada di dalam kurva r = r = sin. cos tetai di luar linkaran Penelesaian: Untuk beberaa nilai maka titik-titik an dilalui oleh kurva di atas daat dilihat ada tabel berikut: Tabel.. r = cos r = sin 4 + 6 4 + 4 Selanjutna ambar daerah an dimaksud adalah sebaai berikut: 47
Gambar..7 Soal Latihan Untuk soal diberikan ersamaan dalam dan. Tentukan ersamaan an mana meruakan unsi.. 6.. 4 4. 4 5. 4 6. 4 7. 8. 9.... 9 9 Untuk soal tentukan domain dan rane unsi.. 5 4. 5. 48
6. t t 7. 8. u u u 9. ln. s s s. ln s. Tentukan dan h jika 5.. Tentukan 6 dan h jika 4. Diberikan. Jika h tunjukkan: h h h 5. Untuk sebaran bilanan real h tentukan h h jika sin. Untuk soal 6 diberikan unsi dan. Tentukan. dan beserta denan masin-masin domainna. 6. 7. 8. 9.... Untuk soal 4 tentukan dan serta masin-masin domainna... 4. 5. 6.. 7. 49
5 8. 9. 4. 5 4. Untuk 4 46 tentukan inversna beserta domainna. 4. 4. 44. 45. 46.. Barisan dan Deret Perhatikan himunan tak hina berikut ini.... 8 7 9 A Aabila unsi dideinisikan sebaai: N n n n maka himunan A daat ula dinatakan sebaai: n N n A : Dalam hal ini unsi disebut barisan. Secara umum daat dideinisikan enertian barisan sebaai berikut.
Deinisi.. Barisan bilanan real adalah unsi bernilai real denan domain sistem Pada baian ini akan dibicarakan unsi denan domain sistem bilanan asli. an bilanan asli. Nilai unsi di n disebut suku ke-n. Jadi barisan bilanan real adalah unsi : N R. Untuk seterusna barisan bilanan real cuku disebut sebaai barisan. Suku ke-n suatu barisan aitu n Selanjutna barisan denan suku-suku an n N ditulis denan notasi biasa dinatakan denan an n N. a n. Contoh.. Berikut adalah contoh-contoh barisan: b. n a. a n n d. a n sin n e. Deinisi.. Diberikan barisan a n c. n n a n n! n a n. a a k a a... a n... k disebut deret tak hina atau deret untuk sinkatna. Untuk setia bilanan asli n dideinisikan: S = a S = a + a Sn = a + a + + an Sn nn disebut jumlahan arsial. a n. Jumlahan tak hina: n Contoh..4 Bilanan daat ditulis sebaai:......... n Ruas terakhir ada ersamaan di atas adalah suatu deret. 5
.4 Irisan Kerucut Diketahui luasan berbentuk kerucut teak denan setenah sudut uncak dan titik uncak P. Aabila kerucut tersebut diiris denan bidan W tidak melalui P dan membentuk sudut terhada sumbu kerucut maka irisanna akan berbentuk suatu kurva an selanjutna disebut irisan kerucut. Bentuk irisan kerucut ini terantun ada besar sudut. Aabila: a. maka irisan kerucut berua eilis. Perhatikan ambar di bawah. P W Gambar.4. b.. maka irisan kerucut an terjadi berbentuk arabola lihat Gambar.4.. P W Gambar.4. 5
c.. maka terjadi kelas hierbola P W Gambar.4. Irisan kerucut jua daat dideinisikan sebaai himunan semua titik an erbandinan jarakna ke suatu titik tertentu dan kesuatu aris tertentu teta. Selanjutna titik tertentu tersebut dinamakan titik okus an dinatakan denan F aris tertentu tersebut dinamakan aris arah an dinatakan denan d dan erbandinan an teta tersebut dinamakan eksentrisitas an ditulis. Berdasarkan eksentrisitasna irisan kerucut daat dibedakan menjadi: denan >. a. Kelas ellis jika b. Kelas arabola jika c. Kelas hierbola jika Diambil okus F berimit denan titik asal O dan aris arah d memunai ersamaan + = 5
+ = O F Gambar.4.4 Jika P sebaran titik ada irisan kerucut maka erbandinan jarak P ke F dan P ke d sama denan aitu: atau PF PD i. Untuk dieroleh arabola denan ersamaan: Jika diambil substitusi = + = + maka ersamaan arabola menjadi = *. Selanjutna = * meruakan ersamaan arabola denan okus F sumbu simetris aris = atau sumbu X. aris arah d: + titik uncak O dan 54
55 ii.untuk dieroleh elis atau hierbola denan ersamaan: 4 4 = Selanjutna denan menambil ** = dieroleh: ** + ** O F + = Gambar.4.5 P
a. Untuk ** diambil: c dan a a Karena b dan ** a c a b maka dieroleh: denan usat O sumbu simetris aris = dan = okus F ersamaan = a c diberikan oleh: Jika a = b maka ellis memunai ersamaan: a maka: b + c = a. Secara umum ersamaan ellis b + = a c dan aris arah d denan Ini adalah ersamaan linkaran denan usat O dan berjari-jari a. Jadi linkaran adalah ellis denan titik okus dan titik usat O. b P a a b Gambar.4.6 56
b. Untuk dan c a diambil dan: a dan a ** a b = b maka dieroleh c = a + b Jadi ersamaan herbola denan usat O sumbu simetris aris = dan = titik okus F c dan aris arah d : = a diberikan oleh: c a b b a b b a c a a c b Gambar.4.7 57