METODE METODE PENGUJIAN UNTUK HIPOTESIS BERGANDA INTAN PERMATA SARI

METODE METODE PENGUJIAN UNTUK HIPOTESIS BERGANDA INTAN PERMATA SARI 341293 UNIVERSITAS INDONESIA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM DEPARTEMEN MATEMATIKA DEPOK 29

METODE METODE PENGUJIAN UNTUK HIPOTESIS BERGANDA Skripsi diajukan sebagai salah satu syarat untuk eperoleh gelar Sarjana Sains Oleh: INTAN PERMATA SARI 341293 DEPOK 29

SKRIPSI : METODE-METODE PENGUJIAN UNTUK HIPOTESIS BERGANDA NAMA : INTAN PERMATA SARI NPM : 341293 SKRIPSI INI TELAH DIPERIKSA DAN DISETUJUI DEPOK, 16 DESEMBER 29 DRA. SASKYA MARY, M.Si PEMBIMBING I DRA. SITI NURROHMAH, M.Si PEMBIMBING II Tanggal lulus Ujian Sidang Sarjana : 21 Deseber 29 Penguji I : Dra. Saskya Mary, M.Si Penguji II : Dra. Rianti Setiadi, M.Si Penguji III : Dra. Yaha Wisnani, M.Ko

KATA PENGANTAR Alhadulillahi rabbil aalaiin. Segala puji dan syukur hanya kepada ALLAH SWT, yang telah eberikan banyak cobaan serta elipahkan rahat dan karunia-nya kepada penulis sehingga skripsi ini dapat diselesaikan dengan baik, walaupun dengan tertatih-tatih. Shalawat dan sala penulis sapaikan kepada suri tauladan kita, anusia biasa dengan akhlak luar biasa, Rasulullah SAW, dengan seangat dan perjuangan beliaulah yang ebuat penulis bisa bertahan hingga detik ini. Terselesaikannya skripsi ini tidak terlepas dari bantuan, bibingan, dorongan, dan doa yang tulus dari banyak pihak. Oleh karena itu, pada kesepatan ini, penulis ingin enyapaikan ucapan teria kasih yang sebesar-besarnya kepada: 1. Ibu tercinta, yang selaa ini tak pernah berhenti untuk selalu endukung dan endoakan penulis, seoga lekas sebuh dan tetap kuat enjalani pengobatan keoterapi & sinarnya. Bapak tercinta, yang selaa ini tak pernah engeluh dan terus bekerja keras walaupun cobaan selalu enghapiri keluarga kai. Dan adik tersayang, seoga bisa segera enyelesaikan kuliahnya. Ya ALLAH., berilah kekuatan dan kesabaran kepada kai agar selalu tetap istiqoah di jalan-mu 2. Ibu Saskya Mary selaku Pebibing 1 penulis yang telah eluangkan waktunya untuk eberikan bibingan, saran, pengarahan dan keudahan lainnya dengan sangat sabar sehingga skripsi ini dapat diselesaikan dengan baik.

3. Ibu Siti Nurrohah selaku Pebibing 2, yang juga telah eluangkan waktu disela kesibukkan. Teria kasih banyak atas saran dan pengarahan yang ibu berikan selaa penulisan skripsi ini. 4. Lek husni yang sudah bersedia einjakan laptop, ebantu eperbaiki koputer dan sala sayang, adik kecilku dengan celotehannya bisa enghiburku di sela-sela kepenatan. 5. Mbah kakung, Mbah Putri, Pak De, Bu De, Pak Lek, Bu Lek, saudarasaudara sepupu dan seluruh keluarga besar penulis yang banyak eberikan dukungan dan doa. 6. Ibu Siti Ainah dan Ibu Yekti Widyaningsih selaku pebibing akadeis yang telah eberikan nasihat dan bibingannya. 7. Seluruh dosen Departeen Mateatika atas segala ilu yang penulis peroleh selaa enjadi ahasiswa Mateatika UI 8. Seluruh karyawan Departeen Mateatika yang telah banyak eberikan bantuannya. 9. Avi, Desti, Nura, Mia, Rani, Raisa, Miranti, Nabung, Tean-tean seperjuangan penulis yang saa-saa berjuang untuk enyelesaikan skripsi pada seester ini. Sebentar lagi kita bebas... ALLAHU AKBAR!!!! 1. Spina dan Leli, tetap seangat ya... Allah pasti punya rencana yang indah untuk kalian 11. Lisa, Nola, Dina, Ias, Iif, atas support, bantuan dan doanya yang selalu enyepatkan diri bertanya kepada penulis: How are you?

12. Tean-tean angkatan 24, atas persahabatan kita selaa ini, dukungan, bantuan, support dan doa, seoga silaturahi kita terus terjalin. 13. Tean-tean angkatan 21, 22, 23, 25, 26, 27 14. Tean-tean Liqo, beladiri Thifan, tahsin Utsani, renang GTA, aluni SMUN 14, yang telah engisi hari-hari penulis, berbagi ilu, sharing dan pengalaan hidup. 15. Adik-adik binaan Mateatika UI 26, SMUN 14 angk28, SMUN 14 kelas XI, adik-adik urid privat dan bibel yang telah eberikan inspirasi kepada penulis untuk terus berseangat. 16. Abu Bakar, Uar, Mush ab, Lintang, Ikal, Arai, Delisa, Jangge, Deokan, Hwarang Ki Yu Shin, Conan, Harry Potter, Kobe Bryant, Tung Fang Xiang, Kick Andy, Ustadz, Ustadzah, dr.walta, dr.hilan, suster Maya, suster Maria, pasien di RS Dharais, tokoh-tokoh dan orang-orang yang telah enginspirasikan penulis untuk terus berjuang eraih ipi-ipi, selalu optiis, dan tak kan pernah enyerah. 17. Seua pihak yang telah ebantu penulis dengan dukungan dan doanya. Seoga skripsi ini dapat berguna bagi siapa saja yang engkajinya, serta dapat dikebangkan dan disepurnakan agar lebih beranfaat untuk kepentingan orang banyak. Penulis 29

ABSTRAK Dala pengujian hipotesis berganda, dilakukan pengujian lebih dari satu hipotesis, yang diuji pada satu waktu secara siultan. Apabila asingasing pengujian dala suatu faily hipotesis epunyai probabilitas elakukan kesalahan tipe 1, aka secara keseluruhan pada pengujian hipotesis berganda akan terjadi penggandaan probabilitas kesalahan tipe 1. Probabilitas elakukan kesalahan tipe1 pada pengujian hipotesis berganda akan seakin ebesar seiring dengan eningkatnya julah pengujian. Untuk engatasi hal itu, ada beberapa cara untuk engukur kesalahan tipe1 dala faily hipotesis diantaranya Faily Wise Error Rate (FWER), False Discovery Rate (FDR), dan positif False Discovery Rate (pfdr). Untuk engontrol kesalahan tersebut, diperlukan suatu etode sedeikian sehingga probabilitas kesalahan tipe 1 keseluruhan α. Pada tugas akhir ini, akan dibahas etode - etode pengujian untuk hipotesis berganda yaitu etode Bonferroni yang erupakan salah satu etode untuk FWER, etode Benjain-Hochberg untuk FDR yang eperbaiki Metode Bonferroni dan etode Storey untuk pfdr yang eperbaiki Metode Benjain-Hochberg. Kata kunci : faily hipotesis, kesalahan tipe 1, pengujian hipotesis berganda ix + 65 hl.; lap Bibliografi: 7 (1995-23)

DAFTAR ISI Halaan KATA PENGANTAR... ABSTRAK... DAFTAR ISI... i iv v DAFTAR TABEL... viii DAFTAR LAMPIRAN... ix BAB I PENDAHULUAN... 1 1.1 Latar Belakang... 1 1.2 Peruusan Masalah... 2 1.3 Tujuan Penulisan... 3 1.4 Pebatasan Masalah... 3 1.5 Sisteatika Penulisan... 3 BAB II LANDASAN TEORI... 5 2.1 Variabel Rando... 5 2.2 Ekspektasi... 8 2.2.1 Ekspektasi Bersyarat... 8 2.3 Sapel Rando... 1 2.4 Distribusi Statistik Terurut... 1 2.5 Huku De Morgan... 12 2.6 Teorea Bayes... 14

2.6.1 Probabilitas dan Partisi... 14 2.6.2 Teorea Bayes.... 15 2.7 Pengujian Hipotesis... 15 2.7.1 Hipotesis Statistik... 16 2.7.2 Statistik Uji... 19 2.7.3 Aturan Keputusan... 21 2.8 Pengujian Hipotesis Tunggal... 21 BAB III METODE-METODE PENGUJIAN UNTUK HIPOTESIS BERGANDA... 24 3.1 Pengertian Pengujian Hipotesis Berganda... 24 3.2 Faily Wise Error Rate (FWER)... 26 3.2.1 Metode Bonferroni... 27 3.3 False Discovery Rate (FDR)... 29 3.3.1 Perbandingan Antara FWER dan FDR... 32 3.3.2 Metode Benjain dan Hochberg... 33 3.4 Positif False Discovery Rate (pfdr)... 41 3.4.1 Perbandingan Antara FDR dan pfdr... 42 3.4.2 Metode Storey... 42 3.4.3 Intrepretasi Bayesian dari pfdr... 43 3.4.4 Menaksir pfdr... 47 3.4.5 q-value... 48 BAB IV APLIKASI PENGUJIAN HIPOTESIS BERGANDA PADA DATA DNA MICROARRAY EKSPERIMENT... 49

4.1 Latar Belakang Masalah... 49 4.2 Perasalahan... 51 4.3 Suber Data... 51 4.4 Analisis Data... 52 BAB V KESIMPULAN DAN SARAN... 56 5.1 Kesipulan... 56 5.2 Saran... 57 DAFTAR PUSTAKA... 58

DAFTAR TABEL Halaan Tabel 2.1 Probabilitas kejadian dari pengujian tunggal 22 Tabel 3.1 Nilai FWER. 27 Tabel 3.2 Kejadian-kejadian dala pengujian.. 3

DAFTAR LAMPIRAN Halaan LAMPIRAN 1 Output Multivariate Test 59 LAMPIRAN 2 Output Tests of Between-Subjects Effects 6 LAMPIRAN 3 Nilai p-value dan q-value.. 63

BAB I PENDAHULUAN 1.1 LATAR BELAKANG Pengujian erupakan salah satu bagian yang penting dala statistika inferensi. Statistika inferensi adalah etode-etode analisis terhadap sapel untuk endapatkan pendugaan atau penarikan kesipulan tentang keseluruhan inforasi dala populasi. Pengujian dilakukan terhadap paraeter populasi dala bentuk hipotesis statistik, yaitu hipotesis null dan hipotesis alternatif. Pengujian hipotesis adalah suatu aturan yang engacu pada keputusan eneria atau enolak hipotesis statistik yang diuji. Keputusan enolak atau tidak enolak hipotesis biasanya dilakukan terhadap hipotesis null. Dala pengujian hipotesis, terdapat dua jenis kesalahan yang ungkin terjadi. Kesalahan tipe 1 terjadi apabila hipotesis null ditolak ketika hipotesis ini benar. Kesalahan tipe 2 terjadi apabila hipotesis null tidak ditolak ketika hipotesis ini salah. Adakalanya dijupai asalah yang eerlukan pengujian lebih dari satu hipotesis pada satu waktu yang dilakukan secara siultan. Pengujian tersebut dinaakan pengujian hipotesis berganda. Sebagai contoh, Misal akan diuji beda ean diantara 5 populasi, aka akan dilakukan sebanyak 5 C 2 pengujian beda ean antar populasi. Jika tingkat signifikansi untuk

setiap pengujian α, aka dala pengujian tersebut telah dilakukan kesalahan sebesar 5 C2α. Kesalahan tipe 1 akan eningkat seiring dengan eningkatnya julah pengujian. Bagaiana halnya dengan asalah biologi? Untuk enguji perbedaan ekspresi gen, akan elibatkan banyak sekali pengujian hingga berjulah ratusan atau ribuan. Hal ini engakibatkan eningkatnya besar kesalahan tipe 1. Untuk engatasi hal itu diperlukan suatu cara untuk engukur kesalahan tipe 1 secara keseluruhan. Ada beberapa cara untuk engukur kesalahan tipe 1 secara keseluruhan pada pengujian hipotesis berganda antara lain Faily Wise Error Rate (FWER), False Discovery Rate (FDR), dan positif False Discovery Rate (pfdr). Ketiganya eiliki etode pengujian yang berbeda. Metode pengujian untuk hipotesis berganda adalah Metode Bonferroni yang erupakan salah satu etode untuk FWER, etode Benjain- Hochberg untuk FDR, dan etode Storey untuk pfdr. Dala tugas akhir ini, akan dibahas cara engukur kesalahan tipe 1 secara keseluruhan pada pengujian hipotesis berganda disertai penjelasan tentang ketiga etode pengujian untuk hipotesis berganda 1.2 PERUMUSAN MASALAH Peruusan asalah pada tugas akhir ini adalah bagaiana enguji hipotesis berganda

1.3 TUJUAN Tujuan dari penulisan adalah ebahas etode-etode pengujian untuk hipotesis berganda 1.4 PEMBATASAN MASALAH Pada tugas akhir ini, pebatasan asalahnya adalah : 1. Statistik uji untuk setiap pengujian hipotesis adalah bersifat independen. 2. π yang enyatakan proporsi H benar di antara seua pengujian yang terkait dengan etode Storey, diasusikan diketahui. 1.5 SISTEMATIKA PENULISAN Penulisan tugas akhir yang erupakan hasil studi pustaka ini, dibagi enjadi lia bab, yaitu : Bab I : Pendahuluan Mebahas tentang latar belakang asalah, peruusan asalah, tujuan penulisan, pebatasan asalah, dan sisteatika penulisan. Bab II : Landasan Teori Mebahas tentang dasar-dasar teori yang digunakan dala penulisan skripsi, yaitu variabel rando, ekspektasi, ekspektasi bersyarat, sapel

rando, distribusi statistik terurut, huku De Morgan, teorea Bayes, pengujian hipotesis, pengujian hipotesis tunggal. Bab III Bab IV Bab V : Mebahas pengujian hipotesis berganda : Aplikasi dari etode-etode pengujian untuk hipotesis berganda : Kesipulan dan saran untuk tugas akhir ini.

BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas teori-teori yang endukung etodeetode pengujian untuk hipotesis berganda, antara lain variabel rando, ekspektasi, sapel rando, distribusi statistik terurut, hoku de Morgan, teorea Bayes, pengujian hipotesis, dan pengujian hipotesis tunggal. 2.1 VARIABEL RANDOM Misalkan dilakukan percobaan rando dengan ruang sapel C. Sebuah ruang sapel C ungkin enggabarkan eleen dari C yang bukan angka. Misalnya dapat dilihat dala percobaan rando peleparan sebuah ata uang, ruang sapel yang berkaitan dengan percobaan tersebut adalah C {c c adalah uka atau c adalah belakang}. Misalkan X adalah sebuah fungsi sedeikian sehingga X ( c) jika c adalah uka dan X ( ) c 1 jika c adalah belakang. Fungsi X adalah variabel rando. Definisi 1 Misalkan suatu percobaan rando dengan ruang sapel C. Suatu fungsi X, yang eetakan setiap eleent c C ke satu dan hanya satu

bilangan real x A sedeikian sehingga X ( c) x, disebut variabel rando. Doain dari X adalah C dan range dari X adalah A { x X ( ) X ( c) c x,c C }. C C terjadi jika dan hanya jika A A terjadi, diana C {c c C, A}, sehingga probabilitas kejadian A saa dengan probabilitas bahwa hasil suatu percobaan berada di C atau aka Pr{ X A} P(C), P(C) adalah probabilitas kejadian C terjadi dan P adalah fungsi hipunan probabilitas. Ada dua jenis variabel rando yaitu variabel rando diskrit dan variabel rando kontinu. Definisi 2 Misalkan X adalah variabel rando dengan ruang hasil A. Misalkan A erupakan suatu hipunan yang berisi titik-titik berhingga atau dapat dikorespondensikan satu-satu dengan bilangan bulat positif. A dengan sifat seperti ini disebut hipunan diskrit. Misalkan f suatu fungsi sedeikian sehingga : 1. f ( x) >, x A 2. f ( x ) 1 A 3. P(A) Pr( X A) f ( x) A Maka X disebut variabel rando diskrit dan f ( x ) disebut fungsi kepadatan dari X atau (Probability Density Function) yang selanjutnya disingkat p.d.f.

Definisi 3 Misalkan X adalah variabel rando dengan ruang hasil A, A R dan f adalah suatu fungsi pada bilangan riil. Jika : 1. f ( x) >, x A 2. f ( x) dx 1 A 3. A A berlaku P(A) Pr( X A) f ( ) A x dx dipenuhi, aka X disebut variabel rando kontinu dan f ( x ) disebut fungsi kepadatan dari X atau (Probability Density Function) yang selanjutnya disingkat p.d.f Misalkan variabel rando X eiliki probabilitas P(A), A R. Abil suatu bilangan riil x dan anggap hipunan A adalah hipunan tak terbatas dari sapai x, titik x terasuk dala hipunan tersebut. Untuk setiap hipunan berlaku P(A) Pr{ X A } Pr{ X x}. F ( x) Pr{ X x}, fungsi F ( x ) disebut fungsi distribusi atau fungsi distribusi kuulatif dari variabel rando X. Karena F ( x) Pr{ X x}, aka dengan enggunakan p.d.f untuk f ( x ), fungsi distribusi dari X dapat dinyatakan dengan F ( x) f ( w) x variable rando diskrit dan ( ) ( ) w x F x f w dw untuk variabel rando kontinu.

2.2 EKSPEKTASI Misalkan X suatu variabel rando dengan p.d.f f ( x ), jika X adalah variabel rando diskrit dan x f ( x) ( ) ( ) x konvergen aka ekspektasi dari X : x E X x f x. Jika X adalah variabel rando kontinu dan x f ( x) dx konvergen aka ekspektasi dari X : ( ) ( ) E X x f x dx. 2.2.1 Ekspektasi Bersyarat Jika X dan Y adalah variabel rando diskrit, dengan p.d.f bersaa f ( x, y ) dan p.d.f arjinal f ( x ) dan f ( ) X diberikan Y y, didefinisikan oleh : X Y { } { } P X x, Y y f x, y f X Y ( x y) P{ X x Y y} P Y y f y atau fy ( y ) >. Ekspektasi bersyarat dari X diberikan Y adalah x x { } E X Y y xp X x Y y xf X Y ( x y) Akan ditunjukkan bahwa : E E X Y E [ X ] y, aka probabilitas bersyarat dari ( ), diana P{ Y y} > ( ) Y y dari p.d.f bersyarat di atas

y y y x y x x x y { } E E X Y E X Y y P Y y { } { } xp X x Y y P Y y {, } P{ Y y} {, } P X x Y y x P Y y xp X x Y y {, } x P X x Y y { } xp X x x [ ] E X { } Jika X dan Y adalah variabel rando kontinu, dengan p.d.f bersaa f ( x, y ) dan pdf arjinal f ( x) dan f ( ) X Y y, aka probabilitas bersyarat dari X diberikan Y y didefinisikan oleh : f ( x y) X Y f ( x, y) f ( y), diana ( ) Y Y f y >. Ekspektasi bersyarat dari X diberikan Y E X Y y xf X Y ( x y) dx Akan ditunjukkan bahwa : E E X Y E[ X ] X Y ( ) E E X Y E X Y y fy y dy ( ) Y ( ) ( x, y) ( y) Y (, ) xf x y f y dxdy f x fy ( y) dxdy f xf x y dxdy y dari pdf bersyarat di atas adalah

X [ ] (, ) x f x y dydx xf E X ( ) x dx 2.3 SAMPEL RANDOM Misalkan X1, X 2,..., X n enotasikan n buah variabel rando yang saling bebas dan asing-asing epunyai p.d.f yang saa yaitu f ( x ), artinya p.d.f dari X1, X 2,..., X n asing-asing adalah ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x f x, f x f x,..., fn xn f xn, sehingga p.d.f bersaa dari 1 1 1 2 2 2 X X X adalah f ( x, x,..., x ) f ( x ) f ( x )... f ( x ) 1, 2,..., n X, X,..., X n 1 2 n 1 2 n, aka 1 2 disebut sapel rando dari distribusi dengan p.d.f f ( x ). Artinya observasiobservasi dari sapel rando independen dan epunyai distribusi yang saa, sering dinotasikan dengan i.i.d (independent and identically distributed). 2.4 DISTRIBUSI STATISTIK TERURUT Misalkan X1, X 2,..., X n adalah saple rando dari distribusi tipe kontinu dengan p.d.f f ( x ) yang bernilai positif pada interval a < x < b.

Keudian, isalkan Y 1 adalah yang terkecil dari X i, Y2 adalah yang terkecil berikutnya dari X i,, Yn adalah yang terbesar dari X i. Sehingga diperoleh Y1 < Y2 <... < Yn. Maka Yi ; i 1,2,..., n disebut statistik terurut ke-i dari saple rando X1, X 2,..., X n, dan p.d.f bersaa dari Y 1, Y 2,..., Yn adalah : ( ) ( ) ( ) ( ) g y, y,..., y ( n!) f y f y... f y, a < y <... < y < b 1 2 n 1 2 n 1 n, yang lainnya Untuk a < yn < b, p.d.f arginal dari Y n adalah : yn y4 y3 y2 ( ) ( ) ( ) ( ) g y... ( n!) f y f y... f y dy dy dy... dy n n 1 2 n 1 2 3 n 1 a a a a yn y4 y3 y2 n!... f ( y ) dy f ( y )... f ( y ) dy dy... dy a a a a yn y4 y3 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 n 2 3 n 1 n!... F y f y... f y dy dy... dy a a a yn n!... a y4 a y3 a F y 2 2 n 2 3 n 1 2 ( ) f ( y ) dy... f ( y ) dy... dy 2 2 n 3 n 1 y 2 n y4 F y3 n!... f ( y ) dy f ( y ) dy... dy 2 a a 3 3 n 4 n 1 Catatan: Perhatikan ( ) ( ) F y f y dy 2 2 2 ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) u F y dv f y dy 2 2 2 du F y dy v f y dy 2 2 2 2 du f y dy v F y 2 2 2

2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F y f y dy F y F y f y dy 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) F y2 f y2 dy2 F y2 ( ) ( ) F y f y dy 2 2 2 ( ) F y 2 2 2 2 Dengan cara yang saa, F ( y ) f ( y ) dy F ( y ) α 1 Secara uu : ( ) ( ) x a 1 3 2 3 2 2 2 2 dan ( ) F x F w f w dw, α > α ( ) g y n f y dy f y dy dy y 2 n y4 F y3 n ( n )!... ( 3 ) 3 ( n ) 4... n 1 2 a a Dan seterusnya sehingga diperoleh ( n ) ( n ) n 1 F y n 1 gnyn n! f ( yn ) n F ( yn ) f ( yn ), a < yn < b 1!, yang lain α 2.5 HUKUM DE MORGAN Misal S adalah ruang saple dari suatu eksperien dan A1, A2,..., A k adalah peristiwa-peristiwa di dala S sedangkan A c 1, A c 2,..., A c adalah kopleen dari peristiwa-peristiwa di dala S sedeikian sehingga A, A,..., A k tidak saling asing. Akan ditunjukkan, Huku De Morgan yang 1 2 pertaa, yaitu : ( ) c c c c 1 2... 1 2... A A A A A A

c Akan dibuktikan bahwa : Jika ( ) ( c c 1 2... c ) x A A A : x A1 A2... A aka c Misalkan ( ) berarti x ( A A A ) x A1 A2... A 1 2..., Hal ini berarti bahwa x tidak terdapat pada salah satu A ; i 1, 2,...,. Oleh c karena itu, x A ; i 1,2,..., i sehingga x ( A c c 1 A2... A c ) Akan dibuktikan bahwa : Jika x ( A c 1 A c 2... A c ) ( ) x A1 A2... A : Misalkan x ( A c 1 A c 2... A c ) x A ; i 1, 2,..., i c aka c berarti x A ; i 1,2,..., dan. Oleh karena itu, x ( A A A ) ( ) x A1 A2... A. x A1 A2... A Karena ( ) c i i 1 2... sehingga c jika dan hanya jika x ( A c 1 A c 2... A c ) c c c c 1 2... 1 2... aka ( ) A A A A A A., Selanjutnya, akan ditunjukkan Huku De Morgan yang kedua : ( ) c c c c 1 2... 1 2... A A A A A A Bukti: Untuk ebuktikan hoku De Morgan kedua, gunakan hoku De Morgan yang pertaa untuk endapatkan : c c c c c c ( A1 A2 A ) ( A1 ) ( A2 ) ( A ) c c c c......,

karena ( A c ) c c c c c c c A, aka ( A1 ) ( A2 )... ( A ) A1 A2... A. c c c Jadi, A1 A2... A ( A1 A2... A ) c c c c 1 2... 1 2... Dan ( ) A A A A A A c 2.6 TEOREMA BAYES 2.6.1 Probabilitas dan Partisi Misal S adalah ruang saple dari suatu eksperien dan A1, A2,..., A k adalah peristiwa-peristiwa di dala S yang ebentuk partisi di dala S sedeikian sehingga A1, A2,..., A k saling asing dan k Ai S. Jika k peristiwa i 1 A, A,..., A k ebentuk partisi di dala S dan isalkan B adalah sebarang 1 2 peristiwa di dala S, aka A1 B, A2 B,..., Ak B ebentuk partisi di dala B. Sehingga dapat kita tulis B ( A B) ( A B) ( A B) 1 2... k Selanjutnya karena peristiwa-peristiwa di ruas kanan saling asing, aka k ( ) ( i ). Jika ( i ) P B P A B i 1 P A > untuk i1,2,,k aka k ( i ) ( i ) ( i ). Sehingga didapat P( B) P( Ai ) P( B Ai ). P A B P A P B A Sekarang akan diberikan teorea Bayes i 1

2.6.2 Teorea Bayes Misal peristiwa-peristiwa A1, A2,..., A k ebentuk partisi di dala P A > i k dan isalkan B ruag saple sedeikian sehingga ( ) ; 1, 2,..., sebarang peristiwa sedeikian sehingga P( B ) >. Maka untuk i1.2,,k, ( i ) P A B k j 1 ( i ) ( i ) P A P B A ( j ) ( j ) P A P B A Teorea Bayes eberikan aturan sederhana untuk enghitung probabilitas bersyarat peristiwa A i diberikan B terjadi, jika asing-asing probabilitas tak bersyarat A i dan probabilitas bersyarat B diberikan A i terjadi diketahui. i 2.7 PENGUJIAN HIPOTESIS Selain penaksiran paraeter, pengujian hipotesis erupakan salah satu bagian yang penting dala statistika inferensi. Statistika inferensi adalah etode-etode analisis terhadap sapel untuk endapatkan pendugaan atau penarikan kesipulan tentang keseluruhan inforasi dala populasi. Pengujian dilakukan terhadap paraeter populasi dala bentuk hipotesis statistik. Berikut ini adalah langkah-langkah dari pengujian : 1. Mebuat pernyataan hipotesis.

2. Statistik uji disesuaikan berdasarkan inforasi dari distribusi dan hipotesis dala pengujian. 3. Aturan keputusan dibuat berdasarkan sapel yang diabil dari populasi dengan enghitung nilai statistik uji untuk eutuskan apakah eneria atau enolak hipotesis. Untuk enjelaskan langkah-langkah di atas, berikut ini diterangkan beberapa konsep dala pengujian hipotesis. 2.7.1 Hipotesis Statistik Definisi 2.7.1 Hipotesis statistik adalah pernyataan atau dugaan engenai satu atau lebih paraeter Definisi 2.7.2 Pengujian hipotesis adalah suatu aturan yang engacu pada keputusan eneria atau enolak hipotesis statistik yang diuji, berdasarkan nilai yang diperoleh dari sapel. Untuk ebentuk sebuah pengujian statistika, biasanya beberapa inforasi pendukung telah diketahui terlebih dahulu. Berdasarkan infoasi pendukung tersebut, pernyataan yang telah diketahui dan pernyataan yang

akan diuji dirangku dala hipotesis statistik, yaitu hipotesis null dan hipotesis alternatif. Hipotesis null, biasanya disibolkan dengan H, enyatakan pernyataan yang telah diketahui sebelunya. Sedangkan hipotesis alternatif, biasa disibolkan dengan H 1, enyatakan pernyataan yang akan dicapai dala pengujian statistika. Sebagai contoh pengaruh penggunaan obat jenis baru. Hipotesis null adalah rata-rata laa waktu sebuh engkonsusi obat jenis baru saa dengan rata-rata laa waktu sebuh engkonsusi obat jenis laa. Maka dapat ditulis H : tidak terdapat perbedaan rata-rata laa waktu sebuh antara kedua obat. Sedangkan hipotesis alternatif adalah rata-rata laa waktu sebuh engkonsusi obat jenis baru lebih kecil daripada rata-rata laa waktu sebuh engkonsusi obat jenis laa. Maka dapat ditulis H 1 : terdapat perbedaan rata-rata laa waktu sebuh antara kedua obat. Pengujian hipotesis dilakukan bila ada dugaan yang berbeda dari pernyataan yang telah diketahui sebelunya. Oleh karena itu, pengujian hipotesis selalu dilakukan terhadap hipotesis null, sehingga kesipulan akhir yang diperoleh adalah enolak H atau tidak enolak H, bukan eneria H 1 atau enolak H 1. Jika disipulkan bahwa H tidak ditolak tidak berarti H adalah benar, hanya dapat disipulkan bahwa berdasarkan inforasi dari sapel tidak terdapat cukup bukti untuk enolak H. Penolakan H enyarankan bahwa hipotesis alternatif ungkin benar.

Apabila hipotesis enyatakan distribusi populasi secara jelas, aka hipotesis disebut hipotesis sederhana. Contoh hipotesis sederhana : H 1 : θ 75 H : θ > 75 Sedangkan jika distribusi populasi tidak dinyatakan secara jelas, aka hipotesis tersebut disebut hipotesis koposit. Contoh hipotesis koposit : H 1 : θ 75 H : θ > 75 Dala pengujian hipotesis, terdapat dua jenis kesalahan yang ungkin terjadi. Kesalahan tipe 1 terjadi apabila hipotesis null ditolak ketika hipotesis ini benar. Kesalahan tipe 2 terjadi apabila hipotesis null tidak ditolak ketika hipotesis ini salah. Sebagai contoh pengaruh penggunaan obat jenis baru terhadap ratarata laa waktu sebuh dibandingkan enggunakan obat yang telah ada. Hipotesis null, H : tidak terdapat perbedaan rata-rata laa waktu sebuh antara obat baru dengan obat yang telah ada. Hipotesis alternatif, H 1 : terdapat perbedaan rata-rata laa waktu sebuh antara obat baru dengan obat yang telah ada. Kesalahan tipe 1 terjadi apabila disipulkan bahwa rata-rata laa waktu sebuh obat jenis baru berbeda dari yang telah ada, padahal kenyataannya tidak deikian. Kesalahan tipe 2 uncul jika disipulkan bahwa rata-rata laa waktu sebuh obat jenis baru tidak berbeda dari yang telah ada, padahal kenyataannya berbeda.

2.7.2 Statistik Uji Statistik uji adalah statistik yang digunakan untuk ebantu ebuat kesipulan enolak atau eneria hipotesis (pernyataan) pada pengujian hipotesis. Peilihan statistik uji bergantung kepada inforasi distribusi dan hipotesis dala pengujian. Berikut adalah definisi-definisi yang dikenal dala pengujian hipotesis. Definisi 2.7.3 Suatu ruang sapel dibagi enjadi dua daerah, yaitu daerah penolakan H dan daerah tidak enolak H. Selanjutnya daerah penolakan H disebut daerah kritis. Sesuai dengan aturan keputusan, jika nilai statistik uji jatuh pada daerah kritis, aka ebawa keputusan pada penolakan H. Sebaliknya, bila nilai statistik uji tidak jatuh pada daerah kritis atau berada pada daerah tidak enolak H, aka keputusannya adalah tidak enolak H. Definisi 2.7.4 Nilai kritis untuk hipotesis adalah suatu nilai batas antara daerah kritis dan daerah tidak enolak H. Nilai kritis untuk setiap pengujian hipotesis bergantung kepada tingkat signifikansi pengujian hipotesis yang dipilih.

Definisi 2.7.5 Power function dari suatu pengujian adalah suatu fungsi dari paraeter yang enghasilkan probabilitas bahwa titik sapel jatuh dala daerah kritis atau suatu fungsi yang enghasilkan probabilitas penolakan H. Nilai dari power function pada sebuah titik paraeter disebut power pengujian dari titik tersebut. Power dari pengujian hipotesis adalah probabilitas nilai sapel berada pada daerah kritis, yaitu probabilitas penolakan H. Definisi 2.7.6 Tingkat signifikansi dari suatu pengujian hipotesis adalah probabilitas enolak H ketika H benar atau nilai aksiu power function dari suatu pengujian ketika H benar Definisi 2.7.7 Nilai probabilitas (p-value) dari suatu pengujian hipotesis adalah probabilitas yang diperoleh dari nilai statistik uji, dihitung ketika H benar. Untuk eutuskan enolak atau tidak enolak H, nilai p-value dibandingkan terhadap nilai signifikansi. Jika nilai p-value kurang dari tingkat signifikansi, hipotesis null akan ditolak.

2.7.3 Aturan Keputusan Misalkan hipotesis statistik yang akan diuji telah didefinisikan, selanjutnya diperlukan suatu aturan untuk engabil tindakan enolak atau eneria hipotesis tersebut. Keputusan enolak hipotesis null dilakukan bila statistik uji berada di daerah kritis, sebaliknya bila statistik uji berada di daerah tidak enolak H aka tidak cukup alasan untuk enolak H. Bila statistik uji jatuh pada daerah kritis, sebenarnya yang terjadi adalah nilai p-value lebih kecil dari tingkat signifikansi yang dipilih. Sehingga cukuplah dilakukan tindakan enolak atau tidak enolak H hanya berdasarkan ebandingkan nilai p-value dengan tingkat signifikasi yang dipilih. Bila p-value lebih kecil daripada tingkat signifikansi, keputusan adalah enolak H. 2.8 PENGUJIAN HIPOTESIS TUNGGAL Misalkan ingin diuji sebuah hipotesis null H versus hipotesis alternatif H 1, Hipotesisnya adalah : H : θ θ H : θ θ 1 Diana : θ adalah suatu paraeter θ adalah suatu nilai dari paraeter yang dihipotesiskan.

Misalkan dilakukan pengujian dengan statistik uji T dan diberikan sebuah daerah kritis Γ, aka H ditolak ketika T Γ dan H tidak ditolak ketika T Γ. Kesalahan tipe 1 terjadi ketika T Γ padahal H benar dan kesalahan tipe 2 terjadi ketika T Γ padahal H salah. Berikut disajikan tabel probabilitas kejadian-kejadian dari suatu pengujian hipotesis tunggal: Tabel 2.1 : Probabilitas kejadian-kejadian dari pengujian tunggal H tidak ditolak H ditolak H benar 1-α α H salah β 1-β Diana : α adalah probabilitas enolak H ketika H benar (probabilitas elakukan kesalahan tipe1) β adalah probabilitas tidak enolak H ketika H salah (probabilitas elakukan kesalahan tipe2) 1-α adalah probabilitas tidak enolak H ketika H benar (keputusan benar) 1-β adalah probabilitas enolak H ketika H salah (keputusan benar) Peilihan daerah kritis terbaik, adalah eilih daerah kritis sedeikian sehingga probabilitas kesalahan tipe1 α, keudian diantara daerah kritis-daerah kritis ini, dipilihlah satu yang eininukan probabilitas

kesalahan tipe2 (β). Artinya, eilih daerah kritis yang eaksiukan power (1-β) dengan epertahankan probabilitas kesalahan tipe1 pada suatu level tertentu.

BAB III METODE-METODE PENGUJIAN UNTUK HIPOTESIS BERGANDA 3.1 PENGERTIAN PENGUJIAN HIPOTESIS BERGANDA Pengujian hipotesis berganda adalah pengujian lebih dari satu hipotesis pada satu waktu yang dilakukan secara siultan. Misalkan dilakukan pengujian hipotesis identik, hipotesisnya adalah : H H : θ θ i : θ θ 1i Diana : H i adalah H untuk hipotesa ke i ; i1,2,..., H 1i adalah H 1 untuk hipotesa ke i ; i1,2,, θ adalah suatu paraeter θ adalah suatu nilai dari paraeter yang dihipotesiskan Kupulan hipotesis-hipotesis di atas, dinaakan faily hipotesis. Contohnya, seorang guru Sosiologi yang engajar di tiga SMA di Jakarta enerapkan dua etode pengajaran yang berbeda di setiap SMA yaitu etode pengajaran pasif dan etode pengajaran aktif. Ingin dilihat apakah ada perbedaan rata-rata nilai ulangan uu ata pelajaran Sosiologi diantara dua etode pengajaran untuk asing-asing SMA.

Hipotesisnya adalah H H : µ µ 1 11 12 : µ µ 11 11 12, H H : µ µ, dan : µ µ 2 21 22 12 21 22 H H : µ µ 3 31 32 : µ µ 13 31 32 Diana : µ 11 adalah rata-rata nilai ulangan uu SMA 1 etode pengajaran pasif. µ 12 adalah rata-rata nilai ulangan uu SMA 1 etode pengajaran aktif. µ 32 adalah rata-rata nilai ulangan uu SMA 3 etode pengajaran aktif. Pada pengujian hipotesis berganda, karena pengujian-pengujian dilakukan pada satu waktu secara siultan, aka akan terjadi penggandaan nilai probabilitas kesalahan tipe 1 (enolak H ketika H benar). Untuk engatasi hal itu diperlukan suatu cara untuk engukur kesalahan tipe 1 secara keseluruhan. Ada beberapa cara untuk engukur kesalahan tipe 1 secara keseluruhan pada pengujian hipotesis berganda antara lain Faily Wise Error Rate (FWER), False Discovery Rate (FDR), dan positif False Discovery Rate (pfdr). Ketiganya eiliki etode pengujian yang berbeda. Metode pengujian untuk hipotesis berganda adalah Metode Bonferroni yang erupakan salah satu etode untuk FWER, etode Benjain- Hochberg untuk FDR, dan etode Storey untuk pfdr.

3.2. FAMILY WISE ERROR RATE (FWER) Probabilitas elakukan kesalahan tipe 1 secara keseluruhan diukur dengan epertibangkan keberadaan kesalahan tipe 1 dala suatu faily hipotesis yaitu probabilitas elakukan paling sedikit satu kesalahan tipe 1 diantara seluruh pengujian dala faily hipotesis. Hal inilah yang disebut Faily Wise Error Rate (FWER). Apabila pengujian hipotesis berganda dilakukan dengan tingkat siginifikansi α, aka probabilitas kesalahan tipe 1 secara keseluruhan dala faily hipotesis perlu dikontrol sedeikian sehingga FWER α. Misalkan pada pengujian hipotesis berganda dilakukan pengujian secara independen, asing-asing dengan tingkat signifikansi α dan isalkan A i adalah kejadian bahwa H ke i tidak ditolak, A i adalah kejadian bahwa H ke i ditolak, diana i1,2,...,. Jika setiap H benar, P(A i ) 1-α dan P(A i ) α, aka FWER atau probabilitas elakukan paling sedikit satu kesalahan tipe 1 di antara pengujian adalah : ' ' ' ' ( ) ' ' ' 1 2... 1 ( 1 2... ) P A A A P A A A Dari huku de Morgan, diketahui bahwa ' ' ' ' ( ) A A... A A A... A 1 2 1 2 ' ' ' ' ( ) 1 2 ( 1 2 ) 1 P A A... A 1 P A A... A P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A ) ( α ) ( α ) ( α ) 1.... 1 1. 1... 1 ( α ) 1 1

Berikut ini tabel nilai FWER pada pengujian hipotesis berganda dengan pengujian. Andai dipilih tingkat signifikan α.5.. Tabel 3.1 : Nilai FWER pada pengujian hipotesis berganda dengan pengujian 1 ( 1 α ) 1.5 2.98 3.143 4.185 5.226 1.41 2.642 Hal ini enunjukkan bahwa pada pengujian hipotesis berganda terjadi penggandaan nilai probabilitas kesalahan tipe 1, sehingga kenyataannya nilai FWER lebih besar dari α dan FWER akan eningkat seiring dengan eningkatnya julah pengujian. 3.2.1 Metode Bonferroni Untuk engontrol FWER, diperlukan suatu etode sedeikian sehingga FWER α, yaitu salah satunya adalah etode Bonferroni. Berikut ini akan dijelaskan penggunaan dari etode Bonferroni.

Teorea : Misalkan A 1,A 2,,A ewakili kejadian, A i adalah kejadian bahwa H ke i tidak ditolak, A i adalah kejadian bahwa H ke i ditolak, diana i1,2,3,4. Jika setiap H benar, P(A i ) 1-α dan P(A i ) α, aka Pertidaksaaan Bonferroni : ' ( 1 2... ) 1 ( i ) P A A A P A i 1 Bukti : Dari huku de Morgan, diketahui bahwa ( ) ' ' ' ' 1 2 1 2 A A... A A A... A Dari sifat probabilitas, ( ' ' ' ) ( ' 1 2... i ) P A A A P A, aka ' (... ) 1 (... ) P A1 A2 A P A1 A2 A Jadi, ( ) 1 2 i 1 ' ' ' ( 1 2 ) 1 P A A... A 1 i 1 ' ( i ) P A P A A... A 1 α 1 α Sehingga probabilitas elakukan paling sedikit satu kesalahan tipe 1 di antara pengujian adalah : ' ' ' ' ' ' ' ( 1 2... ) 1 ( 1 2... ) P A A A P A A A ( ) 1 P A1 A2... A 1 1 α α α i 1 i 1. i 1

Jadi, dengan pengujian hipotesis berganda, diperoleh kesalahan tipe 1 secara keseluruhan endekati α. Berdasarkan pertidaksaaan Bonferroni, untuk engontrol kesalahan tipe 1 secara keseluruhan pada tingkat signifikansi α, pada asing-asing pengujian dipilih tingkat signifikansi α/, diana adalah banyaknya ' ' ' pengujian, sehingga P ( A1 A2 A )... 1 1 α α α. i 1 i 1 Jadi, setiap pengujian dipilih tingkat signifikansinya saa dengan α/, dengan harapan FWER α. Peilihan tingkat signifikansi untuk setiap pengujian senilai α/, akan enyebabkan tingkat signifikansi untuk setiap pengujian seakin kecil. Sehingga power untuk setiap pengujian juga akan seakin kecil. Meningkatnya julah pengujian berakibatnya engecilnya power pengujian. Hal inilah, yang enjadi keleahan dari etode Bonferroni. 3.3 FALSE DISCOVERY RATE (FDR) Untuk engatasi keleahan dari FWER, berdasarkan penjelasan di sub bab 3.2, khususnya ketika julah pengujian eningkat, diperlukan suatu ukuran kesalahan tipe 1 yang lebih baik. Kali ini, julah kesalahan tipe 1 akan diperkirakan dahulu, dengan perkiraan ini diharapkan pengujian akan epunyai power yang lebih baik dibandingkan etode Bonferroni. Untuk lebih jelasnya diberikan uraian sbb:

Misalkan terdapat pengujian hipotesis, adalah banyaknya H yang benar dan R adalah banyaknya hipotesis yang ditolak. Kejadian-kejadian yang ungkin akan terjadi, disajikan dala tabel berikut : Tabel 3.2 : Kejadian-kejadian yang ungkin akan terjadi dala pengujian H tidak ditolak H ditolak Total H benar U V H salah T S 1 W R Diana : R Banyaknya H yang ditolak W Banyaknya H yang tidak ditolak Banyaknya H benar 1 Banyaknya H salah V Banyaknya kesalahan jenis 1 terjadi (enolak H ketika H benar) S Banyaknya H ditolak ketika H salah T Banyaknya kesalahan tipe 2 terjadi (tidak enolak H ketika H salah) U Banyaknya H tidak ditolak ketika H benar R, W adalah variabel rando terobservasi U, V, S, T adalah variabel rando tidak terobservasi

Proporsi banyaknya kesalahan tipe1 terjadi (enolak H ketika H benar) di antara hipotesis-hipotesis yang ditolak dapat ditunjukkan oleh variable rando QV/(V+S). Q adalah variabel rando tidak terobservasi, saa halnya dengan tidak diketahuinya nilai dari V dan S. Keudian probabilitas elakukan kesalahan tipe 1 secara keseluruhan dala faily hipotesis disebut False Discovery Rate (FDR) dan didefinisikan sebagai: V V E [ Q] E E ( + ) V S R Pada definisi diatas dapat terjadi kondisi : Tidak ada H yang ditolak, hal ini artinya R sehingga V, agar Q terdefinisi aka perlu didefinisikan Q. Sebaliknya bila ada H ditolak, aka R> sehingga QV/(V+S)V/R. Jadi dari definisi diatas aka nilai harapan dari proporsi kesalahan penolakan di antara hipotesis yang ditolak didefinisikan sebagai berikut : V FDR E, R R >, R V Karena ketika R enyebabkan E, aka FDR dapat pula R didefinisikan sebagai: V 1 E diana R 1 ax ( R,1) R

V Pengaruh dari R 1 adalah enyatakan bahwa E R ketika R dan V. Dala suatu pengujian, ada keungkinan terjadinya R walaupun diberikan ax(r,1). Sehingga perlu enaksir terjadinya R> atau Pr( R > ). Sehingga definisi FDR dapat pula dinyatakan sebagai :. V V E E R >.Pr R > R 1 R ( ), diana R 1 ax ( R,1). 3.3.1 Perbandingan Antara FWER dan FDR Berikut akan dibandingkan antara FWER dan FDR dala berbagai kondisi : Kasus 1 : Jika seua H benar ( ), ketika, berarti S, VR V jika V >, aka 1 R, jadi V E R R > 1, sehingga ( ) ( ) FDR 1.Pr R> Pr V Jadi, FDRFWER Kasus 2 : Jika <, aka 1 FWER V jika V, S>, aka R V V jika V>, S, aka 1 jadi, E R > 1 R R V jika V>, S>, aka < 1 R

V FDR E R >.Pr ( R> ) R 1.Pr >, Pr > Pr V 1 FDR Pr V 1 ( R ) ( R ) ( ) ( ) jadi, FDR FWER Dari pebuktian diatas ditunjukkan: Ketika yang artinya tak ada H yang salah aka kesalahan tipe1 keseluruhan dala faily hipotesis pada FDR saa dengan dala FWER. Ketika < yang artinya ada H yang salah aka kesalahan tipe1 keseluruhan dala faily hipotesis pada FDR akan lebih kecil daripada FWER. Maka disipulkan bahwa FDR lebih baik daripada FWER. Dengan perkataan lain dapat disipulkan bahwa, prosedur yang engontrol FWER juga engontrol FDR dan prosedur yang hanya engontrol FDR epunyai power yang lebih baik daripada prosedur yang engontrol FWER. Untuk lebih jelasnya, pada sub-bab selanjutnya akan dibahas engenai prosedur yang engontrol FDR. 3.3.2 Metode Benjain dan Hochberg Benjain dan Hochberg (1995) eperkenalkan suatu etoda atau prosedur yang bertujuan eperbaiki etoda Bonferroni. Prosedur Benjain dan Hochberg engontrol FDR pada tingkat signifikansi α :

Misalkan pada pengujian hipotesis berganda dilakukan pengujian dengan hipotesis asing-asing H 1, H 2,, H dan p-value asing-asing P 1, P 2,, P. Selanjutnya p-value tersebut diurutkan dari yang terkecil ke terbesar yakni P (1) P (2) P () diana P (i) adalah p-value yang bersesuaian dengan hipotesis H (i). Jika k adalah bilangan i terbesar yang eenuhi P( i ) i α, aka Hipotesis Null (H ) pada hipotesis H (1), H (2),, H (k) ditolak. (1) Untuk ebuktikan prosedur (1) engontrol FDR pada tingkat signifikansi α, diberikan teorea berikut: Teorea : Untuk statistik uji independent dan sebarang konfigurasi dari H salah, prosedur (1) engontrol FDR pada q* Pebuktian teorea dibantu dengan adanya lea berikut : Lea : Untuk sebarang yang enyatakan banyaknya independent p-value untuk hipotesis H yang benar, dan 1 - adalah banyaknya p-value untuk hipotesis H yang salah, prosedur (1) eenuhi pertidaksaaan : E Q P p P p P p q + 1 1, + 2 2,..., * + 1 1 (2)

V R diana E[ Q] E R > Pr ( R > ). P, P,..., P enyatakan p-value untuk hipotesis H yang salah. + 1 + 2 Pertidaksaaan tersebut ada dengan engabaikan distribusi dari p-value untuk hipotesis H yang salah. Dengan ebuktikan lea, didapatkan E[ Q] q* q* dan FDR dapat dikontrol. Pebuktian Lea : Pebuktian lea dilakukan dengan cara induksi : berlaku... (2) 1) Untuk 1, terdapat 2 kondisi yakni ketika dan 1 : Jika aka Q dan E Q P1 p1 q*, pertidaksaaan (2) terpenuhi. Jika 1 aka E Q P2 p1 q *, pertidaksaaan (2) terpenuhi. Jadi, untuk 1 lea (2) benar. 2) Misalkan untuk berlaku : E Q P p P p P p q + 1 1, + 2 2,..., * + 1 1 adalah benar, 3) Akan ditunjukkan bahwa untuk +1 lea juga benar, yaitu : E Q P + 1 p1, P + 2 p2,..., P * + 1 p q. 1 + 1

Ketika, seua H salah, aka Q dan E Q P1 p1, P2 p2,..., P * 1 p q + 1, benar. Ketika >, tidak seua H salah: Misalkan P, P,..., P adalah variabel rando yang enyatakan p-value ' ' ' 1 2 ' ' ' untuk H benar. Selanjutnya urutkan p-value P( ) P 1 ( 2 )... P( ) dan P ' ( ) adalah p-value yang paling besar. P ; i 1, 2,..., adalah variabel ' ( i) rando independen berdistribusi Unifor (,1) dan P, P,..., P adalah p- ' ' ' (1) (2) ( ) value untuk hipotesis H( ), H 1 ( 2),..., H ( ). Misalkan P,..., + 1 p1 P p 1 enyatakan p-value untuk H salah, diurutkan dari yang terkecil ke terbesar p1 p2... p. P 1 ( ),..., 1 P + ( ) adalah p-value untuk hipotesis H H. + ( ),..., 1 ( ) ' Maka, dengan bersyarat P ( ) 1 p, diperoleh ( ) ' E Q P + 1 p1,..., P p E E Q P 1 + 1 p1,..., P p P 1 ( ) p E Q P p, P p,..., P p f ( p) dp ' ( ' ) + 1 1 1 P( ) Akan dicari pdf arginal dari P yaitu f ' ( p ) : ' ( ) P( ) pdf dari P, diana i1,2,, adalah: ' ( )

1 f ( p) 1 1, p 1, yang lain Fungsi distribusi dari P adalah ' ( ) ( ), p < F p p p 1, < p<1 1, p>1 Jadi, pdf arginal dari P adalah ' ( ) ' P 1 ( ) ( ) ( ) f p F p f p, < p < 1 p.1 p 1 1, yang lainnya Keudian, akan ditunjukkan: E Q P 1 p1, P 2 p2,..., P * 1 p + + + q 1 + 1 benar jika j adalah bilangan j terbesar, diana j 1,yang eenuhi : p j + j + 1 q * (4) aka Hipotesis null H( ),..., H( ), H 1 ( 1), H( 2),..., H + + ( + j ) ditolak.

+ j Misalkan q * p ", aka + 1 p" + 1 1 1 ' ( ' ) + 1 1 1 P( ) E Q P p,..., P p E Q P p, P p,..., P p f ( p) dp 1 + E Q P p, P p,..., P p f ( p) dp (5) p" ' ( ' ) + 1 1 1 P( ) pada integral bagian pertaa, < p < p", berdasarkan pertidaksaaan (4) p j p" aka Hipotesis null H,..., H, H +, H +,..., H + ditolak 1 1 2 j atau sebanyak ( +j ) hipotesis ditolak. Dan Q + j, E Q P p, P p,..., P p + ' ( ) + 1 1 1 j sehingga pada integral bagian pertaa, p" p" ( 1) 1+ 1 p dp p + j + j 1+ 1 + j + j p p" ( p" ) Gunakan pertidaksaaan (4), + j q * p" + 1 + j + j p" + j p" + j + 1 ( p" ). ( p" ). q *( p" ) 1 1 q * p " (6) + 1 ( )

Pada integral bagian kedua, p" < p < 1, berdasarkan pertidaksaaan (4), Karena j dan p terdefinisi, aka tidak ada hipotesis yang ditolak, yaitu hipotesis dengan p-value p +, p +,..., p, karena yang ditolak hanya j 1 j 2 1 hipotesis dengan p-value p, p,..., p j p j. 1 2 Oleh karena itu, ketika seua hipotesis (H benar dan H salah) dipertibangkan bersaa dan seua p-value diurutkan. Hipotesis H (i) ;i1,2,, dapat ditolak hanya jika terdapat k, diana i k + j 1 yang k eenuhi p( ) q * k + 1. p k q + 1 ( ) * k ekivalen dengan p( k ) k + j 1 q p + j 1 + 1 p. * (7) ( ) Ketika bersyarat P p, ' ( ) ' P i ( ), i 1,2,..., 1 adalah variabel rando p independen berdistribusi U(,1) dan, i 1, 2,..., j p p i Dengan enggunakan pertidaksaaan (7) untuk enguji + j 1 ' hipotesis, ekivalen enggunakan prosedur (1) dengan konstanta + j 1 q *. Sehingga p ( + 1) 1 j 1 1 E Q P p, P p,..., P p +. q * q * (8) + j 1 + 1 p + 1 p ' ( ) + 1 1 1 Sehingga integral bagian kedua : ( ) ( )

1 1 1 q p dp q dp q dp 1 1 1 ( 1) p p * * * 2 " ( + 1) p " ( + 1) p p " ( + 1 p p p ) p 1 ( 2 q ) * 1 p dp p" ( ) + 1 1 q * p + 1 2 + 1 1 q * p + 1 1 2+ 1 p" 1 1 ( 1) ( ) 1 p" q p * 1 " + 1 q p ( 1) ( ) * 1 " + 1 1 (9) Tabahkan pertidaksaaan (6) dan (9) * ( ) ( ) 1 1 q *( p" ) + q * 1 p" + 1 + 1 q * p" q* q * + 1 + 1 + 1 p" q + 1 ( ) + ( ) 1 1 Terbukti bahwa ketika <, E Q P 1 p1, P 2 p2,..., P * 1 p + + + q 1 + 1 benar. Sehingga untuk +1 lea (2) benar. Jadi, berlaku E Q P p P p P p q + 1 1, + 2 2,..., * + 1 1

Dengan prosedur (1), tingkat signifikansi untuk asing-asing k pengujian dipilih α ;1 k sedeikian sehingga FDR α, sehingga prosedur Benjain-Hochberg epunyai power untuk asing-asing pengujian yang lebih baik dibandingkan dengan etode Bonferroni. Akan tetapi, prosedur tersebut ternyata engontrol FDR pada tingkat signifikansi α. Prosedur ini enjain bahwa FDR α dengan engabaikan banyaknya H benar dan engabaikan distribusi dari p-value untuk hipotesis H yang salah. Hal inilah yang enjadi keleahan dari etode Benjain dan Hochberg. 3.4 POSITIF FALSE DISCOVERY RATE (pfdr) Pada pengujian hipotesis berganda, terkadang diteukan beberapa kasus yang enyertakan banyak sekali pengujian dan dapat dipastikan bahwa akan selalu ada hipotesis yang ditolak. Oleh sebab itu, Pr ( R > ) V R bernilai satu. Jadi, definisi FDR E R >.Pr ( R > ) dirubah enjadi V V E R >.1 E R >, yang dinaakan pfdr (positif False R R Discovery Rate). V Definisi : pfdr E R > R

3.4.1 Perbandingan Antara FDR dan pfdr Berikut akan dijelaskan tentang perbandingan antara FDR dan pfdr : Secara nuerik pfdr dekat dengan FDR tetapi secara konsep pfdr epunyai beberapa keuntungan. Pada FDR, ketika daerah penolakan sangat kecil karena α endekati, aka Pr(R>) endekati dan FDR akan endekati. Sedangkan pada pfdr, dengan kondisi yang saa, bukan berarti kesalahan penolakan akan enurun enuju, tetapi kesalahan penolakan akan endekati nilai π yaitu proporsi H benar diantara seua pengujian. Ketika daerah penolakan sangat kecil hingga ungkin hanya satu p- value yang jatuh pada daerah penolakan, aka π digunakan untuk enaksir kesalahan penolakan. 3.4.2 Metode Storey Storey (22) eperkenalkan suatu etoda yang bertujuan eperbaiki etoda Benjain-Hochberg. Pada etoda ini, akan ditetapkan π, proporsi H benar diantara seua pengujian. Dengan ditetapkannya π, diharapkan pengujian akan epunyai power yang lebih baik dibandingkan dengan etode Benjain-Hochberg.

Berbeda dengan dua etode sebelunya, pfdr tidak dapat dikontrol apabila ditentukan tingkat signifikansi tertentu. Misalkan pada pengujian hipotesis berganda dengan tingkat signifikansi α, dilakukan pengujian. V Ketika, artinya seua H benar, E R > 1 > α, sehingga pfdr R tidak dapat dikontrol. Oleh karena itu, Metode Storey yang engontrol pfdr, diawali dengan enentukan daerah penolakan terlebih dahulu baru keudian akan enaksir tingkat signifikansi untuk pengujian hipotesis berganda 3.4.3 Interpretasi Bayesian dari pfdr Misalkan dilakukan pengujian hipotesis (H 1, H 2,, H ) dengan statistik uji yang independent T 1, T 2,, T. (T i,h i ) adalah pasangan terurut yang enyatakan bahwa statistik uji ke i adalah statistik uji untuk hipotesis ke i; i1,2,,. Diberikan daerah penolakan yang saa, Г. Definisi positif false discovery rate : ( ) ( Γ) ( Γ) V pfdr Γ E R ( Γ ) > R diana ( Γ ) #{ null : Γ} dan ( Γ ) #{ : Γ} V T T R T T. V adalah i i i i banyaknya kesalahan tipe 1 atau enolak H ketika H benar, dan R adalah banyaknya H ditolak. Misalkan, ketika H hipotesis ke i benar dinotasikan sebagai H i dan ketika H hipotesis ke i salah dinotasikan sebagai H i 1, untuk i1,2,..,. Misalkan π adalah probabilitas prior bahwa H benar.

Diasusikan bahwa H i adalah i.i.d, variabel rando Bernoulli dengan ( H ) ( H ) Pr π dan Pr 1 1 π π. i i 1 Ketika 1, terlihat jelas bahwa probabilitas terjadinya suatu kesalahan ketika hipotesis ditolak adalah probabilitas H benar ketika H ditolak yaitu Pr ( Γ) H T. Akan ditunjukkan bahwa ketika >1, probabilitas terjadinya suatu kesalahan ketika hipotesis ditolak adalah ( Γ) Pr H T juga. Akan ditunjukkan pfdr Pr ( Γ) H T : V V pfdr ( Γ ) E R > E E R > R i R R Misalkan didefinisikan, fungsi operator : 1 jika T V E R > R i Pr R i i 1 R V E R i Pr ( R i R > ) i 1 i jika T Γ Γ dan fungsi operator: 1 jika H j j jika H 1 Terdapat epat keungkinan yang terjadi, yaitu : 1( Tj ) 1( H j ) j j ( ) Γ H ditolak ketika H benar 1( Tj ) ( H j 1) Γ H ditolak ketika H salah ( Tj ) 1( H j ) Γ H tidak ditolak ketika H benar

( Tj ) ( H j 1) Γ H tidak ditolak ketika H salah Maka, V 1( Tj Γ ) 1( H j ) dan i 1 E ( V R i) E 1( Tj Γ ) 1( H j ) R i i 1 karena statistik uji adalah independen dan R i berarti T 1, T 2,..., Ti Γ dan Ti + 1, Ti + 2,..., T Γ, sehingga E ( V R i) E 1( Tj Γ ) 1( H j ) T1,..., Ti Γ, Ti + 1,..., T Γ j 1 Untuk j1,2,,i sudah pasti Tj Γ sehingga, i E ( V R i) E 1( H j ) T1,..., Ti Γ, Ti + 1,..., T Γ j 1 i j 1 ( 1( j ) j ) E H T Γ 1 1 Γ ( 2 2 Γ ) ( ( i ) i Γ) ( H1 T1 ) ( H2 T2 ) Pr ( Hi Ti Γ) ( H1 T1 ) ( H 2 T2 ) ( Hi Ti ) ( ( ) ) ( ) E 1 H T + E 1 H T +...+ E 1 H T 1. Pr Γ + 1. Pr Γ +... + 1. Pr Γ + Pr Γ +... + Pr Γ karena ketika 1, terlihat jelas bahwa probabilitas terjadinya suatu kesalahan ketika hipotesis ditolak yaitu Pr ( H T ) ( j j ) Pr H T ; j 1, 2,..., i Γ aka Γ nilainya saa, yaitu Pr ( H T ) Sehingga E ( V R i) i Pr ( H T Γ ) jadi, Γ.

V pfdr Pr i 1 i ( Γ ) E R i ( R i R > ) i 1 i 1 ( Γ) i Pr H T.Pr > i ( R i R ) ( H T ) ( R i R ) Pr Γ Pr > ( H T ) ( R i R ) Pr Γ Pr > ( H T ) ( H T ) i 1 Pr Γ.1 Pr Γ pfdr dapat ditulis sebagai probabilitas posterior: ( Γ ) ( H T Γ) π Pr ( T Γ H ) pfdr Pr Pr ( T Γ) ( T Γ ) π ( T Γ H ) + π1 ( T Γ H ) diana Pr Pr Pr 1 sehingga ( Γ ) ( H T Γ) π Pr ( T Γ H ) π Pr ( T Γ H ) + π1 Pr ( T Γ H 1) pfdr Pr { } { } { } π. kesalahan tipe 1 dari Γ π. kesalahan tipe 1 dari Γ + π. power dari Γ 1 Ini enunjukkan bahwa pfdr eningkat dengan eningkatnya kesalahan tipe1 dan pfdr enurun dengan eningkatnya power.

3.4.4 Menaksir positif False Discovery Rate Misalkan dilakukan pengujian hipotesis identik dan daerah penolakan yang saa untuk setiap pengujian yaitu Г. Untuk daerah penolakan berdasarkan p-value, seua daerah penolakan dibentuk [, γ ] untuk γ, sehingga daerah penolakan Г dirubah enjadi [, γ ]. Sehingga teorea ditulis sebagai : pfdr ( γ ) ( ) ( ) ( ) Pr T Γ H π Pr P γ H π γ Pr T Γ Pr P Pr P ( γ ) ( γ ) Diana P enyatakan p-value dari pengujian dan π adalah probabilitas prior. Dala tugas akhir ini π ditetapkan terlebih dahulu. Pr ( P γ ) { p γ} R( γ ) # i 1 π γ π γ π γ. 1 1 Sehingga, ( ) pfdr γ Pr ( P γ ) R( γ ) R( γ ) Pada pfdr, bersyarat R( γ ) > dan 1 ( 1 γ ) { R( γ ) > }. Oleh karena itu, pfdr ( γ ) Pr adalah batas bawah untuk π γ { } { R( γ ) 1} 1 ( 1 γ ) Sedangkan pada FDR, tidak bersyarat R( γ ) >, aka dengan etode Storey, dapat pula dicari taksiran dari FDR, yaitu FDR ( γ ) ( γ ). π γ R 1.

3.4.5 q-value q value siilar dengan p value, q value dari suatu pengujian engukur infiu pfdr yang terjadi ketika elakukan uji signifikansi. p value biasa digunakan untuk elakukan pengujian hipotesis tunggal sedangkan q value berguna untuk elakukan pengukuran signifikansi dari setiap uji dari banyak pengujian yang dilakukan secara siultan. Definisi 1 Untuk sebuah nilai statistik uji Tt, q-value dari t didefinisikan: ( ) q t { Γ: t T } { pfdr( )} inf Γ Definisi 2 q-value dari observed p-value adalah ( ) inf { pfdr ( γ )} q p π γ Pr inf γ p γ p ( P γ ) Algorita enghitung q-value : 1. Untuk pengujian hipotesis, hitung p-value : p1, p2,..., p 2. Urutkan p-value : p( ) p 1 ( 2 )... p( ) 3. Hitung : q ɵ p( ) ( ) pfdr ( p ( ) ) { } ( ) ( ( ) ) ɵ ( ( ) ) 4. Hitung : q ɵ p( ) in pfdr p, q p ; i 1, 2,...,1 i i i+ 1

BAB IV APLIKASI PENGUJIAN HIPOTESIS BERGANDA PADA DATA DNA MICROARRAY EXPERIMENT Untuk elengkapi pebahasan engenai pengujian hipótesis berganda, pada bab ini akan ebahas contoh kasus yang dapat diselesaikan dengan etode etode pengujian untuk hipótesis berganda. 4.1 LATAR BELAKANG MASALAH Menurut WHO, 8-9% wanita akan engalai kanker payudara. Ini enjadikan kanker payudara sebagai jenis kanker yang paling banyak diteui pada wanita. Setiap tahun lebih dari 25. kasus baru kanker payudara terdiagnosa di Eropa dan kurang lebih 175. di Aerika Serikat. Masih enurut WHO, tahun 2 diperkirakan 1,2 juta wanita terdiagnosis kanker payudara dan lebih dari 7. eninggal karenanya. Belu ada data statistik yang akurat di Indonesia, naun data yang terkupul dari ruah sakit enunjukkan bahwa kanker payudara enduduki ranking pertaa diantara kanker lainnya pada wanita. Kanker payudara erupakan penyebab utaa keatian pada wanita akibat kanker.

Penyebab pasti kanker payudara tidak diketahui. Meskipun deikian, riset engidentifikasi sejulah faktor yang dapat eningkatkan risiko pada individu tertentu, yang eliputi: Keluarga yang eiliki riwayat penyakit serupa Usia yang akin bertabah Tidak eiliki anak / tidak enyusui Kehailan pertaa pada usia di atas 3 tahun Periode enstruasi yang lebih laa (enstruasi pertaa lebih awal atau enopause lebih labat) Faktor horonal (baik estrogen aupun androgen). Dari faktor risiko tersebut di atas, riwayat keluarga serta usia enjadi faktor terpenting. Riwayat keluarga yang pernah engalai kanker payudara eningkatkan resiko berkebangnya penyakit ini. Wanita yang eiliki sejarah kesehatan keluarganya engidap kanker payudara keungkinan besar ereka eiliki sejulah utasi kanker payudara 1 (BRCA 1) atau kanker payudara 2 (BRCA2). Para peneliti juga eneukan bahwa kerusakan dua gen yaitu BRCA1 atau BRCA2 dapat eningkatkan risiko wanita terkena kanker payudara 5-85%. Para peneliti enggunakan pebuktian aplifikasi dan berdasarkan etoda DNA dan RNA untuk endeteksi adanya perubahan susunan gen (utasi genetik) pada BRCA1 dan BRCA2 elalui penggunaan teknologi icroarray DNA. Pengebangan teknologi icrorarray DNA ini sangat beranfaat dala enghasilkan sejulah besar data ekspresi gen. Profiling ekspresi

gen elalui icroarray tersebut adalah teknik yang sangat efektif dala usaha enghipun ribuan tingkatan ekspresi gen secara siultan. Eksperien yang di dasarkan ekspresi gen ini dapat di lakukan dengan dua cara: (1) Pengaatan setiap gen dari beberapa kondisi yang berbeda atau (2) Mengevaluasi setiap gen dari satu kondisi tetapi dala tipe jaringan yang berbeda, khususnya jaringan sel yang engandung kanker (Furey, et. al. 2) 4.2 PERMASALAHAN Penyakit kanker payudara karena keturunan disebabkan oleh utasi kanker BRCA1 atau BRCA2. Sapel RNA diabil dari 7 pasien pebawa utasi kanker BRCA1 dan 7 pasien pebawa utasi kanker BRCA2. Dala eksperient DNA icroarray yang elibatkan 1 gen, ingin di deteksi gengen yang enunjukkan perbedaan ekspresi diantara 2 utasi kanker BRCA1 dan BRCA2 4.3. SUMBER DATA Dari National Huan Genoe Research Institute, National Institute Of Health, Bethesda.; the Departeent of Oncology. University of Lund, Lund, Sweden.

4.4 ANALISIS DATA Tujuan : Bagaiana enentukan pengaruh atau efek dari variabel independen utasi kanker terhadap variabel dependen nilai ekspresi gen. Pertaa-taa dilakukan uji secara keseluruhan yaitu enguji apakah ada pengaruh variabel independen utasi kanker terhadap ke seratus variabel gen secara sekaligus. Hipotesis : H µ 11 µ 12 µ 21 µ 22 :, µ µ 11 12 H 1: tidak deikian diana : µ µ µ 11 21 12 : ean nilai ekspresi gen1 untuk BRCA1 : ean nilai ekspresi gen2 untuk BRCA1 : ean nilai ekspresi gen1 untuk BRCA2 Tingkat signifikansi.5 Aturan keputusan : H ditolak jika α < α.5 Dengan enggunakan software SPSS 16 diperoleh output Multivariate test yang dapat dilihat pada lapiran 1: Keputusan : karena α.646 > α.5, aka H tidak ditolak.

Kesipulan : Dengan tingkat kepercayaan 95%, dapat disipulkan bahwa tidak ada pengaruh utasi kanker terhadap variabel nilai ekspresi gen 1,2,,1 Akan tetapi, ingin dilihat apakah ada pengaruh variabel independen utasi kanker terhadap asing-asing ke seratus variabel dependen nilai ekspresi gen. Keudian, dilakukan asing-asing 1 pengujian pada satu waktu secara bersaa-saa. Hipotesis : H : µ µ ; i 1, 2,...,1 i1 i2 H 1 : tidak deikian Dengan enggunakan software SPSS 16, diperoleh output test between subject yang dapat dilihat pada lapiran 2. Keudian, dengan enggunakan software q-value, dihasilkan q-value untuk asing-asing pengujian. Diberikan tabel untuk α atau p-value yang telah diurutkan dari yang terkecil ke terbesar dan q-value untuk asing-asing pengujian, dapat dilihat pada lapiran 3. Tingkat signifikansi dan Aturan keputusan : 1. Metode Bonferroni : Tingkat signifikansi untuk asing-asing pengujian dipilih α. Aturan keputusan : H ditolak jika α.5 α.5 1

2. Metode Benjain-Hochberg : Tingkat signifikansi untuk asing-asing pengujian dipilih k α. Dengan engikuti aturan berikut ini : Urutkan p-value p( ) p 1 ( 2)... p( 1). Hitung ɵ k k ax k : p( ) α k. aka H dengan p-value ( 1) ( 2) ( ) 1 k p, p,..., p ditolak. k 3. Metode Storey : Tingkat signifikansi untuk asing-asing pengujian dipilih α. Aturan keputusan : H ditolak jika q-value < α.5 Keputusan : 1. Dengan enggunakan Metode Bonferroni, dari tabel test between subject pada lapiran 2, diperoleh bahwa tidak ada nilai α.5 α <.5, sehingga tidak ada H yang ditolak. Artinya 1 tidak ada pengaruh utasi kanker terhadap nilai ekspresi gen. 2. Dengan etode Benjain-Hochberg, dari tabel pada lapiran 3, diperoleh bahwa tidak ada nilai p-value yang eenuhi ɵ k k ax k : p( ) α k, sehingga tidak ada H yang ditolak. Artinya 1 k tidak ada pengaruh utasi kanker terhadap nilai ekspresi gen.

3. Dengan enggunakan etode Storey, dipilih π.614, dari tabel pada lapiran 3, diperoleh bahwa pada gen ke 1 eiliki q-value.457<.5 aka H ditolak, artinya ada pengaruh utasi kanker terhadap nilai ekspresi gen ke 1

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 KESIMPULAN Dari hasil yang diperoleh dala penulisan skripsi ini, dapat disipulkan bahwa : 1. Metode etode pengujian untuk hipotesis berganda digunakan untuk engontrol kesalahan tipe 1 secara keseluruhan dala faily hipotesis. Ada beberapa cara untuk engukur kesalahan tipe 1 secara keseluruhan pada pengujian hipotesis berganda, diantaranya adalah Faily Wise Error Rate (FWER), False Discovery Rate (FDR), dan positif False Discovery Rate (pfdr). 2. Metode pengujian untuk hipotesis berganda diantaranya adalah Metode Bonferroni salah satu etode untuk FWER, etode Benjain-Hochberg untuk FDR yang eperbaiki etode Bonferroni, dan etode Storey untuk pfdr yang eperbaiki etode Storey. 3. Pada pengujian hipotesis berganda untuk kasus endeteksi perbedaan ekspresi gen diantara dua utasi kanker, dengan dua etode sebelunya tidak diteukan adanya perbedaan ekspresi gen, naun dengan etode Storey dapat ditunjukkan adanya perbedaan ekspresi

gen. Jadi, dengan etode storey dapat dipastikan bahwa akan selalu ada hipotesis yang ditolak bila dilakukan banyak pengujian. 5.2 SARAN 1. Agar diperoleh nilai π yang enyatakan proporsi H benar di antara seua pengujian sesuai dengan kondisi sebenarnya, disarankan untuk enaksir π 2. Ada beberapa etode yang disarankan untuk enaksir π, antara lain etode Bootstrap, polynoial Bernstein. 3. Pebahasan untuk engukur kesalahan tipe 1 pada pengujian hipotesis berganda dapat dikebangkan untuk kasus hipotesis-hipotesis dependen.

DAFTAR PUSTAKA Walpole, Ronald W. (1995): Pengantar Statistika. 3 th ed. PT Graedia Pustaka Utaa, Jakarta. Ross, Sheldon. (22): A First Course in Probability. 6 th ed. Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey. Hogg, Robert V., Joseph W.McKean, Allen T.Craig. (25): Introduction to Matheatical Statistics. 6 th ed. Pearson Prentice Hall, United States of Aerica. Benjaini, Yoav. and Hochberg, Yosef. (1995): Controlling the False Discovery Rate: a Practical and Powerful Approach to Multiple Testing, Journal of the Royal Statistic of Society, 289-3. Storey, John D. (22): A Direct Approach to False Discovery Rates, Journal of the Royal Statistic of Society, 479 498. Storey, John D. (23): The Positive False Discovery Rate: A Bayesian Interpretation and the q-value, Journal of the Annals of Statistics, 213 235. Storey, John D. (23): Statistical Significance for Genoewide Studies, Journal of Proceedings of the National Acadey of Sciences the United States of Aerica, 944 9445.

LAMPIRAN 1 Output Multivariate Test Multivariate Tests b Effect Value F Hypothesis df Error df Sig. Intercept Pillai's Trace.999 1.256E2 a 12. 1..7 Wilks' Labda.1 1.256E2 a 12. 1..7 Hotelling's Trace 1.57E3 1.256E2 a 12. 1..7 Roy's Largest Root 1.57E3 1.256E2 a 12. 1..7 BRCA Pillai's Trace.928 1.74 a 12. 1..646 Wilks' Labda.72 1.74 a 12. 1..646 Hotelling's Trace 12.889 1.74 a 12. 1..646 Roy's Largest Root 12.889 1.74 a 12. 1..646 a. Exact statistic b. Design: Intercept + BRCA

LAMPIRAN 2 Output Tests of Between-Subjects Effects Source BRCA Dependent Variable Type III Su of Squares df Mean Square F Sig. gen1.74 1.74 5.34.4 gen2.425 1.425 5.29.45 gen3.187 1.187.95.349 gen4 2.2 1 2.2 3.652.8 gen5.126 1.126.278.67 gen6.11 1.11 1.313.274 gen7.7 1.7.75.788 gen8.119 1.119 3.448.88 gen9.498 1.498 3.581.83 gen1.811 1.811 2.115.1 gen11.713 1.713 2.962.111 gen12.475 1.475 1.243.8 gen13.552 1.552 1.466.249 gen14. 1..4.953 gen15.221 1.221.62.453 gen16.22 1.22.235.636 gen17 1.1 1 1.1 3.78.78 gen18.745 1.745 13.385.3 gen19.327 1.327 2.42.146 gen2 1.27 1 1.27 3.94.72 gen21.69 1.69.334.574 gen22.58 1.58.81.386 gen23 1.591 1 1.591 3.92.14 gen24.23 1.23.75.788 gen25 7.14E-6 1 7.14E-6..993 gen26 7.14E-6 1 7.14E-6..993 gen27.172 1.172.279.67 gen28.117 1.117 1.182.298 gen29.368 1.368.643.438 gen3 1.78 1 1.78 1.671.7 gen31.31 1.31.287.62 gen32.6 1.6.197.665 gen33.117 1.117 2.372.149 gen34.3 1.3.3.957 gen35.2 1.2.12.915

gen36 2.853 1 2.853 1.99.8 gen37.9 1.9.3.594 gen38.146 1.146 3.99.14 gen39.432 1.432 2.86.12 gen4.358 1.358 1.621.227 gen41.19 1.19.95.763 gen42.43 1.43.147.79 gen43. 1..4.95 gen44.199 1.199 1.151.8 gen45.247 1.247 1.727.7 gen46 1.511 1 1.511 4.843.48 gen47 2.296 1 2.296 2.316.154 gen48.138 1.138 1.127.39 gen49.119 1.119 3.8.15 gen5.3 1.3.152.74 gen51.123 1.123 1.747.211 gen52.138 1.138 3.794.75 gen53.381 1.381 1.978.185 gen54.19 1.19.363.558 gen55.787 1.787.12.755 gen56.446 1.446.318.583 gen57 19.73 1 19.73 1.173.3 gen58.8 1.8 1.61.323 gen59.252 1.252 4.918.47 gen6.5 1.5.914.358 gen61.682 1.682 7.96.16 gen62.584 1.584 1.337.27 gen63.41 1.41.495.495 gen64.16 1.16.244.631 gen65.43 1.43.185.675 gen66.1 1.1.117.738 gen67.88 1.88.438.521 gen68.8 1.8.845.376 gen69.2 1.2.56.817 gen7.556 1.556.857.373 gen71.16 1.16.56.816 gen72.1 1.1.12.915 gen73.19 1.19.44.537 gen74.415 1.415 6.374.27 gen75.16 1.16.364.557 gen76.5 1.5.16.93 gen77.528 1.528 2.327.153 gen78.263 1.263 1.128.39 gen79.27 1.27.79.783 gen8.544 1.544 2.551.136

gen81.15 1.15.946.35 gen82 11.666 1 11.666 3.222.98 gen83.831 1.831 6.82.23 gen84 7.726 1 7.726 2.816.119 gen85.365 1.365 1.299.277 gen86.124 1.124 2.594.133 gen87.57 1.57.313.586 gen88.277 1.277.456.512 gen89 3.187 1 3.187 4.693.51 gen9 2.944 1 2.944 4.994.45 gen91.1 1.1.133.721 gen92.16 1.16.546.474 gen93 18.561 1 18.561 5.3.45 gen94.327 1.327.643.438 gen95 1.98 1 1.98 1.192.8 gen96 34.886 1 34.886 6.231.28 gen97.528 1.528 2.26.159 gen98.9 1.9.71.795 gen99.79 1.79 1.842.2 gen1.194 1.194 1.83.319

LAMPIRAN 3 Nilai p-value dan q-value yang Telah Diurutkan dari yang Terkecil ke yang Terbesar gen ke p-value q-value 1.745931.4578698 18.3275149.611816 45.6637969.611816 3.6744529.611816 12.7626529.611816 95.774273.611816 44.783186.611816 36.7952537.611816 61.15696817.17564 83.22883838.144663 74.2667779.1437946 96.28111263.1437946 1.399754.163925 93.44572966.163925 2.446948.163925 9.45215484.163925 59.46625961.163925 46.4868714.163925 89.5112784.1651761 2.7168537.2118229 52.75216818.2118229 17.78168994.2118229 4.81875.2118229 9.8282165.2118229 8.8815943.216149 82.9784932.2217254 38.1379735.2217254 23.14127157.2217254 49.14753862.2217254 11.11886155.2268817 84.119183618.2296997 39.11974768.2296997 86.133233823.2459664

8.136242112.2459664 19.145765855.2486766 33.14949356.2486766 77.1537927.2486766 47.1539484.2486766 97.158639415.2496835 53.1849667.2838422 99.199718397.29944 51.21844978.381466 4.22747295.324191 13.24932946.3478278 62.269993243.3612587 6.27422762.3612587 85.27661319.3612587 28.298294921.3722935 57.3111952.3722935 78.3982524.3722935 48.393238.3722935 1.318616666.3744343 58.32331816.3744343 3.34943121.394543 81.349856162.394543 6.358225.392419 7.3728929.3981318 68.376193724.3981318 22.38584843.414284 29.43823846.441527 94.43835516.441527 15.45281489.4482994 92.47417389.4619983 63.495124371.4748732 88.512457829.4839362 67.5281332.4843747 73.5368213.496363 75.5573361.496363 54.557834162.496363 21.573815378.496363 56.58311449.496363 87.58639112.496363 37.593655995.496363 31.61913719.496363 27.6787164.496363 5.6747777.496363 64.6351281.5836 16.636383148.5836

32.66487334.51669 65.675124384.51888 5.73737373.533954 42.78549516.533954 91.72124136.533391 66.73836235.5395524 55.75524233.54214 41.7632986.54214 79.782842883.54214 24.78824784.54214 7.78846757.54214 98.794711745.54214 71.816361554.5454185 69.817474694.5454185 76.92936518.5914121 72.91474394.5914121 35.915314798.5914121 43.94966247.5996775 14.95282217.5996775 34.957415578.5996775 25.993382673.697614 26.993382673.697614