MA1201 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 2013/2014 12 Februari 2014
Bab Sebelumya 8. Betuk Tak Tetu da Itegral Tak Wajar 8.1 Betuk Tak Tetu 0/0 82 8.2 Betuk Tak Tetu Laiya 8.3 Itegral Tak Wajar dg Batas Tak Terhigga 8.4 Itegral Tak Wajar dg Itegra Tak Terbatas 2/12/2014 (c) Hedra Guawa 2
MA1201 MATEMATIKA 2A BAB 9. DERET TAK TERHINGGA 2/12/2014 (c) Hedra Guawa 3
Sasara Kuliah Hari Ii 9.1 Barisa Tak Terhigga Memeriksa kekovergea suatu barisa da, bila mugki, meghitug limitya 9.2 Deret Tak Terhigga Memeriksa kekovergea suatu deret da, bila mugki, meghitug jumlahya 2/12/2014 (c) Hedra Guawa 4
MA1201 MATEMATIKA 2A 9.1 BARISAN TAK TERHINGGA Memeriksa kekovergea suatu barisa da, bila mugki, meghitug limitya 2/12/2014 (c) Hedra Guawa 5
Megapa Barisa Tak Terhigga Masih igatkah dg Metode Bagi Dua utuk medapatka hampira akar dari suatu persamaa f(x) = 0 pada suatu selag? Pada setiap lagkah, kita membagi dua selag da meaksir akar persamaa itu dega titik tegah selag tersebut. Dega metodeii, kita dapatka barisa titiktitik tegah selag x 1, x 2, x 3, yag merupaka hampira akar persamaa. 2/12/2014 (c) Hedra Guawa 6
Apa itu Barisa Tak Terhigga Barisa tak terhigga, atau sigkatya barisa, dari bilaga real, adalah suatu fugsi dega daerah asal N da daerah ilai R, yag biasaya disajika sebagai {a } atau a 1, a 2, a 3, dega a R utuk setiap N. Cotoh 1: Barisa {2 1} adalah barisa bilaga gajil 1, 3, 5, 7, 2/12/2014 (c) Hedra Guawa 7
Cotoh Lagi 2. Barisa {( 1) } adalah barisa bilaga 1, 1, 1, 1, 1, 1, Catata: Bedaka atara barisa {( 1) } da himpua {( 1) : N} = { 1, 1}. 3. Barisa {a } yag didefiisika i ik dega rumus rekursif: a 1 = 1 da a +1 = 0.5(a + 2), utuk = 1, 2, 3, adalah barisa bilaga 1, 1.5, 1.75, 2/12/2014 (c) Hedra Guawa 8
Grafik Barisa (1) Barisa dapat kita plot pada bidag koordiat x 5 x 4 3 x 2 x 1 1 2 3 4 5 2/12/2014 (c) Hedra Guawa 9
Grafik Barisa (2) Barisa dapat kita plot pada garis bilaga real x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 Cotoh: {1/} 0 1/4 1/3 1/2 1 2/12/2014 (c) Hedra Guawa 10
Kekovergea Barisa Diberika suatu barisa {a }, apa yag terjadi bila? Defiisi: Barisa {a } dikataka koverge ke suatu bilaga L, ditulis lim L, a apabila utuk tiap ε > 0 terdapat N N a L. N sehigga 2/12/2014 (c) Hedra Guawa 11
Catata. Tidak semua barisa koverge. Barisa yag tidak koverge disebut diverge. Cotoh: 1. Barisa {1/} koverge ke0, yaki lim 1 0 Utuk tiap ε > 0, dapat dipilih N > 1/ε sehigga jika N,, maka 1 0 1 1. N 2/12/2014 (c) Hedra Guawa 12
2. Barisa {( 1) } merupaka barisa yag diverge, yaki: utuk tiap L R, lim ( 1) L. Sebagai cotoh, utuk L = 1, ada ε = 1 sehigga berapapu N N yag kita pilih, selalu ada bilaga gajil N sehigga ( 1) 1 2. Ii meujukka bh bahwa lim( 1) 1. 2/12/2014 (c) Hedra Guawa 13
9.1b Beberapa Teorema Batua utuk Memeriksa Kekovergea Barisa da Meghitug Limityait 2/12/2014 (c) Hedra Guawa 14
Teorema Limit Barisa Misalka {a } da {b } barisa yag koverge, da k kostata. Maka 1. lim k k 2. lim ka k lim a 3. lim( a b ) lim 4. lim ab lim a limb 5. lim a a limb a lim lim, asalka lim b b b 2/12/2014 (c) Hedra Guawa 15 0.
Teorema Limit Barisa Jika lim f ( x) L, maka lim f ( ) L. x L 1 2 3 4 5 6 2/12/2014 (c) Hedra Guawa 16
Cotoh: 1. lim 1 1 1 1 lim 23 lim 23/ lim 23 lim 1/ 230 2. 2 4 2 2. lim... 3 31 3. lim... e 2/12/2014 (c) Hedra Guawa 17
Teorema Apit utuk Barisa Jika a b c utuk K (K N tertetu) da lim a lim c L, maka limb L. 2/12/2014 (c) Hedra Guawa 18
Cotoh: 1. lim da lim 1 0. si 0, 1 karea 1 si 2. Jika lim a 0, maka lim a 0, karea a a a N. 2/12/2014 (c) Hedra Guawa 19
Barisa Mooto Barisa {a } dikataka aik apabila a a +1 1 utuk setiap N. Barisa {a } dikataka turu apabila a a +1 utuk setiap N. Barisa aik atau turu disebut barisa mooto. Cotoh: {1/} turu, sedagka {2 } aik. 2/12/2014 (c) Hedra Guawa 20
Teorema Barisa Mooto Jika barisa {a } aik da terbatas di atas, yaki terdapat M R sehigga a M utuk tiap N, maka {a } koverge. Jika barisa {a } turu da terbatas di bawah, yaki terdapat m R sehigga apabila m a utuk tiap N, maka {a } koverge. 2/12/2014 (c) Hedra Guawa 21
Cotoh/Latiha Barisa {a } yag didefiisika dega rumus rekursif: a 1 = 1 da a +1 = 0.5(a + 2), utuk = 1, 2, 3, adalah barisa bilaga 1, 1.5, 1.75,. Buktika bahwa barisa ii aik da terbatas di atas. Jelas bahwa a 2 = 1.5 > 1 = a 1. Selajutya misalka a k+1 a k. Maka, a k+2 = 0.5(a k+1 + 2) 0.5(a k + 2) = a k+1. Jadi, berdasarka Prisip Iduksi Matematika*, a +1 a utuk tiap N, yaki {a } aik. 2/12/2014 (c) Hedra Guawa 22
Selajutya, aka dibuktika bahwa {a } ter batas di atas, persisya bahwa a 2 utuk tiap N, juga dega Prisip Iduksi Matematika. Jelas bahwa a 1 2. Selajutya misalka a k 2. Maka, a k+1 = 0.5(a 05(a k + 2) 0.5(2 05(2+ 2) = 2. Jadi, berdasarka Prisip Iduksi Matematika, kita simpulka bahwa a 2 utuk tiap N. Dega demikia {a } aik da terbatas di atas, sehigga meurut Teorema Barisa Mooto, {a } koverge. 2/12/2014 (c) Hedra Guawa 23
*Prisip Iduksi Matematika Misalka P() adalah peryataaatau kalimat matematika yag berkeaa dega N. [Sebagai cotoh, P() adalah kalimat < 2.] Jika maka (i) P(1) bear, da (ii) P(k) bear megakibatka P(k+1) bear, P() bear utuk setiap N. 2/12/2014 (c) Hedra Guawa 24
Baha Diskusi Ke maakah barisa {a } tadi koverge? Buktika! 2/12/2014 (c) Hedra Guawa 25