BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bagan n akan dbrkan konsp dasar graf dan blangan kromatk lokas pada suatu graf sbaga landasan tor pada pnltan n 21 Konsp Dasar Graf Bbrapa konsp dasar yang dgunakan dalam pnltan n dambl dar Do (1989) Graf G adalah hmpunan trurut ( V ( G), E( G)), dngan V (G) mnyatakan hmpunan ttk yang tak kosong dar G dan E (G) mnyatakan hmpunan ss yakn pasangan tak trurut dar V (G) Banyaknya hmpunan ttk V (G) dsbut ord dar graf G Msalkan v dan w adalah ttk pada graf, jka v dan w dhubungkan olh ss, maka v dan w dkatakan brttangga (adjacnt) Ss = (v,w) dkatakan mnmpl (ncdnt) dngan ttk v dan w dmkan juga ttk v dan w mnmpl pada ss ngkungan (Ngborhood) dar suatu ttk v, dnotaskan dngan N(v) adalah hmpunan ttk-ttk yang brttangga dngan v
6 v 1 1 v v 5 4 5 2 6 v v 1 2 7 v 4 Gambar 1 Contoh graf dngan 5 ttk dan 7 ss Pada Gambar 1 Graf (V, E) dngan V(G) = v, v, v, v v dan G E 1, 2,, 4, 5, 6, 7 Ttk 1 2 4, v brttangga dngan ttk v 1, v 2, dan v4 sdangkan v 1 dan v mnmpl dngan 1 Sbalknya, ss 1 mnmpl pada ttk v 1 dan ttk v ( v ) v v N 1 2, 5 Drajat suatu ttk v pada graf G adalah banyaknya ss yang mnmpl pada ttk v, dnotaskan dngan d(v) Daun (pndant vrtx) adalah ttk yang brdrajat 1 Pada Gambar 1 d ( v 1 ) 2, d ( v 2 ) 5, d ( v ), d( v 4 ) dan v5 adalah daun karna brdrajat satu oop adalah ss yang mmlk ttk awal dan ttk akhr yang sama Ss parall adalah ss yang mmlk dua ttk ujung yang sama Graf yang tdak mmpunya ss ganda atau loop dsbut graf sdrhana Graf pada Gambar 1 bukan mrupakan graf sdrhana karna pada graf trsbut trdapat loop yatu d ttk v 2
7 Pada graf trhubung G, jarak dantara 2 ttk x dan y adalah panjang lntasan trpndk dantara kdua ttk trsbut, dnotaskan dngan d(x, y) Istlah lan yang srng muncul pada pmbahasan graf adalah jalan (walk), lntasan (path) dan srkut (crcut) Jalan (walk) adalah barsan brhngga dar ttk dan ss dmula dan dakhr sdmkan shngga stap ss mnmpl dngan ttk sblum dan ssudahnya Contoh jalan brdasarkan Gambar 1 adalah v v v v v v 1 4 2 4 2 5 2 4 6 v5 ntasan (path) adalah jalan yang mlwat ttk yang brbda-bda Graf G dkatakan graf trhubung jka trdapat lntasan yang mnghubungkan stap dua ttk yang brbda ntasan brdasarkan graf pada Gambar 1 adalah v 1 v1 4 v2 v4 5 v5 Sdangkan srkut (crcut) adalah lntasan trtutup (closd path), yatu lntasan yang mmlk ttk awal dan ttk akhr yang sama Srkut dbdakan mnjad dua macam, yatu srkut gnap dan srkut ganjl Srkut gnap adalah srkut dngan banyaknya ttk gnap, dan srkut ganjl adalah srkut dngan banyaknya ttk ganjl Contoh srkut brdasarkan gambar pada Gambar 1 adalah v1 4 v2 5 v 1 v1
8 Msalkan G adalah suatu graf Graf H dkatakan subgraf dar graf G jka dan hanya jka V( H) V( G) dan E( H) E( G) 22 Bbrapa Klas Graf Pohon Brkut n akan dbrkan bbrapa klas graf pohon : Graf pohon (tr) suatu graf trhubung yang tdak mmuat sklus Gabungan dar bbrapa pohon dsbut hutan (forst) Gambar 2 Graf pohon Gambar Contoh hutan (forst)
9 Suatu graf bntang K 1, n (star) adalah suatu graf trhubung yang mmpunya satu ttk brdrajat n yang dsbut pusat dan ttk lannya brdrajat satu (Chartrand dkk, 1998) Gambar 4 Contoh graf bntang K 1, 6 Graf pohon dsbut graf bntang ganda (doubl star) jka graf pohon trsbut mmpunya tpat dua ttk x dan y brdrajat lbh dar satu Jka x dan y brturut-turut brdrajat a+1 dan b+1, dnotaskan dngan S a, b (Chartrand dkk, 1998) Gambar 5 Contoh graf bntang ganda S, 2 Graf ulat (catrpllar graf) adalah graf pohon yang mmlk sfat apabla dhapus smua daunnya akan mnghaslkan lntasan (Chartrand dkk, 1998) Gambar 6 Contoh graf ulat C(,, )
10 2 Blangan Kromatk okas Pada bagan n akan dbrkan dfns yang brkatan dngan blangan kromatk lokas pada suatu graf Chartrand dkk, mmula pnltan tntang blangan kromatk lokas graf pada tahun 2002, dngan mngmbangkan dua konsp dalam graf yatu pwarnaan ttk dan dmns parts pada graf Pwarnaan ttk pada graf adalah c V( G) 1, 2,,, k : dngan syarat untuk stap dua ttk yang brttangga harus mmlk warna yang brbda Mnmum banyaknya warna yang dgunakan untuk pwarnaan ttk pada graf G dsbut blangan kromatk, yang dnotaskan dngan (G) 1 2 2 1 Gambar 7 Contoh blangan kromatk Slanjutnya akan dbrkan dfns dan torma yang brkatan dngan blangan kromatk lokas pada suatu graf mnurut Chartrand dkk (2002) Msalkan c suatu pwarnaan ttk pada graf G dngan c( u) c( v) untuk u dan v yang brttangga d G Msalkan C adalah hmpunan ttk-ttk yang dbr warna, yang slanjutnya dsbut klas warna, maka C C, 1, 2, adalah hmpunan yang trdr dar klas-klas warna dar V(G) Kod warna C k
11 c (v) dar v adalah k-pasang trurut d ( v, C ), d ( v, C ),, d( v, C )) dngan C ( 1 2 k d( v, C ) mn d ( v, x) x untuk 1 k Jka stap ttk d G mmpunya kod warna yang brbda, maka c dsbut pwarnaan lokas dar G Banyaknya warna mnmum yang dgunakan pada pwarnaan lokas dsbut blangan kromatk lokas dar G, dan dnotaskan dngan (G) Karna stap pwarnaan lokas juga mrupakan suatu pwarnaan, maka ( G) ( G) Brkut n adalah torma dasar tntang blangan kromatk lokas pada graf yang dambl dar Chartrand dkk 2002 Torma 21 Msalkan c adalah pwarnaan lokas pada graf G Jka u dan v adalah dua ttk yang brbda d G sdmkan shngga d ( u, w) d( v, w) untuk smua w V( G) u, v maka c( u) c( v) Scara khusus, jka u dan v ttk-ttk yang tdak brttangga d G sdmkan shngga N(u) = N(v), maka c( u) c( v) Bukt : Msalkan c adalah suatu pwarnaan lokas pada graf trhubung G dan msalkan C C,,, 1 2 C k adalah parts dar ttk-ttk G kdalam klas warna C Untuk suatu ttk u, v V( G), andakan c( u) c( v) sdmkan shngga ttk u dan v brada dalam klas warna yang sama, msal C dar Akbatnya, d ( u, C ) d ( v, C ) 0 Karna d ( u, w) d ( v, w) untuk stap
12 w V( G) u, v maka d u, C ) d ( v, C ) untuk stap j, ( j j 1 j k Akbatnya c ( u) c ( v) shngga c bukan pwarnaan lokas Jad, c( u) c( v) Akbat 21 Jka G adalah graf trhubung dngan suatu ttk yang brttangga dngan k daun, maka ( G) k 1 Bukt : Msalkan v adalah suatu ttk yang brttangga dngan k daun x 1, x2,, x k d G Brdasarkan Torma 21, stap pwarnaan lokas dar G mmpunya warna yang brbda untuk stap x, = 1, 2,, k Karna v brttangga dngan smua x Akbatnya ( G) k 1 v 1 v 2 v v 4 v 5 v 6 v 7 v 8 v 9 v 10 G Gambar 8 Pwarnaan lokas mnmum pada graf G Dbrkan graf G sprt yang trlhat pada Gambar 8 untuk mnntukan mnmum pwarnaan lokas pada graf trsbut akan dlakukan dua tahap : 1 Akan dtntukan trlbh dahulu batas bawah blangan kromatk lokas pada graf G Karna trdapat ttk v5 yang mmpunya daun, maka brdasarkan Akbat 21, ( G) 4
1 2 Slanjutnya akan dtntukan batas atas blangan kromatk lokas pada graf G Ttk-ttk pada V(G) dparts sbaga brkut : C v, v, v ; C v, v, v ; C v, v, v C v 1 1 8 2 2 5 6 4 7 9 ; Kod warnanya adalah : c ( v 1 ) (0, 2,1,) ; c ( v ) (2,0,1, ) ; ( ) (0,1,1, ) 2 c v ; c ( v 4 ) (1,1,0, 2) ; c ( v 5 ) (1,0,1,1) ; c ( v ) (1,0,2,4 ) ; c ( v ) (1,0,2,4 ) 6 7 ; c ( v ) (0,1,2,2 ); 8 c ( v 9 ) (2,1,0,2) ; c ( v ) (2,1,2,0 ) 10 4 10 Torma 22 Msalkan k adalah drajat maksmum d graf G maka ( G) 1 k Torma2 Blangan kromatk lokas pada graf lntasan P n ( n ) adalah Bukt : Prhatkan bahwa ( P 1 ) 1dan ( P 2 ) 2 Jlas bahwa ( P n ) untuk n Brdasarkan Torma 22 ( G)1 k, dngan k drajat ttk maksmum Karna pada P n, k = 2 maka ( ) 1 2 Akbatnya ( ) Jad trbukt ( ) P n P n P n Torma 24 Untuk blangan bulat a dan b dngan 1a b dan b2 (, ) b1 S a b
14 2 1 2 a b+1 1 b a+1 Gambar 9 Pwarnaan lokas mnmum pada S a, b Bukt : Brdasarkan Akbat 21, dprolh batas bawah yatu (, ) b1 Slanjutnya, akan dtntukan batas atasnya, yatu S a b (, ) b1 Msalkan c adalah pwarnaan ttk mnggunakan (b+1) S a b warna sbagamana trlhat pada Gambar 9 Prhatkan bahwa kod warna dar stap ttk S a, b brbda, akbatnya c adalah pwarnaan lokas Jad (, ) b1 S a b Chartrand dkk (200) tlah mndapatkan bntuk graf pohon brord n5 yang mmlk blangan kromatk lokas dar sampa n, kcual n-1, sbagamana torma brkut n Torma 25 Trdapat pohon dngan brord n 5 yang mmpunya blangan kromatk k jka dan hanya jka k (,4,, n 2, n)
15 Pwarnaan pada Torma 25 dapat dbrkan sbaga brkut : u 1 1 u 2 2 k 1 2 1 2 v 1 v 2 v v 4 v 5 v n-k+1 u k-1 k-1 Gambar 10 Pohon T dar ord n dngan ( T) k Slanjutnya akan dbrkan bbrapa dfns tntang ttk domnan dan clar path yang dambl dar Asmat dkk (201) Msalkan c adalah k-pwarnaan lokas pada graf G(V,E) dan msalkan C C, V(G) yang dnduks olh c Ttk d v, C = 1, jka v C,, 1 2 C k adalah parts dar v V G dkatakan suatu ttk domnan jka Suatu lntasan yang mnghubungkan dua ttk domnan d graf G dsbut clar path, jka smua ttk ntrnalnya bukan mrupakan ttk domnan v 1 1 v 2 2 v 4 1 v 5 v 6 2 v 7 v v 5 v 8 1 Gambar 11 Graf G dngan ttk domnan
16 Ttk domnan pada Gambar 11 adalah v 2, v 4, dan v 7 Clar path pada Gambar 11 adalah lntasan yang mnghubungkan v 4 dan v 7 dmana tdak trdapat ttk domnan dalam ttk ntrnalnya Karna graf G pada Gambar 11 mmpunya blangan kromatk lokas tga, maka panjang clar path dar graf G ganjl mma 21 Dbrkan graf G dngan G k, maka trdapat palng banyak k ttk domnan d G dan masng-masng ttk domnan mmlk warna yang brbda Bukt : Msalkan v G mrupakan ttk domnan dan G adalah graf trhubung, maka d ( v, C ) 0 untuk vc dan d ( v, C ) 1untuk v C Karna ( G) k, maka klas parts mmuat k klas warna, katakan C, C,, 2 C dan stap xg mmlk kod warna yang brbda Olh 1 k karna tu, G palng banyak mmuat sbanyak k ttk domnan dan masngmasng ttk domnan pada G mmlk kod warna yang brbda mma 22 Msalkan graf G dngan G clar path d G adalah ganjl, maka panjang dar stap Bukt : Msalkan G adalah graf trhubung dan P adalah clar path yang mnghubungkan 2 ttk domnan x dan y d G Asumskan c(x) = 1 dan c(y)=2 Karna P adalah clar path maka warna dar ttk ttk ddalamnya harus 1 dan 2 brturut-turut Msalkan x dan y akan mmbntuk barsan
17 altrnatng Karna banyaknya ttk dalam clar path P harus gnap, maka panjang P ganjl mma 2 Msalkan G adalah graf trhubung dngan G Jka mmuat ttk domnan maka trdapat ttk domnan dalam suatu lntasan Bukt : Msalkan G adalah graf trhubung dan x, y dan z adalah tga ttk domnan dar graf G P adalah lntasan yang mnghubungkan x dan z Asumskan y tdak trdapat dalam lntasan P Karna G adalah graf trhubung maka trdapat ttk dalam u, shngga u mmlk jarak trpndk (dbandngkan dngan ttk dalam lannya) k y ntasan 1 mnghubungkan x k u kmudan k y Shngga lntasan 1 adalah clar path Olh karna tu, panjangnya lntasan trsbut adalah ganjl Skarang, prtmbangkan lntasan 2 yang mnghubungkan y k u kmudan k z Maka, 2 mrupakan clar path Olh karna tu, panjangnya adalah ganjl Kdua fakta trsbut mnyatakan panjang dar lntasan yang mnghubungkan x k u dtambah panjang lntasan yang mnghubungkan u k z panjangnya adalah gnap, kontradks