GESERN TRNSLSI Ketentuan dan Sifat-sifat Dalam Bab setena putaran, bawa setena putaran dapat ditulis sebaai asil kali dua pencerminan, aitu kalau sebua titik an diketaui dan dan dua aris an teak lurus di maka asil kali dua pencerminan pada dua aris an sejajar. S M M. Dalam Bab ini akan dibaas Teorema 0. ndaikan dan dua aris an sejajar. pabila ada dua titik danb Bukti: maka ' " BB denan " M M Y dan B" M M B B N B B X mbil titik dan B sebaran denan B dan,,, ndaikan a, a dan Bb, b kan dibuktikan S N B denan N adala titik tena. ndaikan persamaan aris adala, k 0. mbil titik P,, P Diperole M PP, seina memoton di titik Q. Karena :k, dan P, maka titik poton Qk, denan Q adala titik tena Karena Qk, dan P,,maka dimisalkan P, maka diperole
, Q,, k Seina : k k k Jadi, M PP k-, Karena aris adala sumbu koordinat maka M PP -, Jadi ] [ p M M p M M,, ], [ k k M Karena, a a dan, b b B Maka M M,, ] [ a a k a a M M M B B M M,, ] [ b b k b b M B M M
Maka Karena N titik tena, N k a! b b a, Jika k a b a b N, dan a, a maka S N k a b a b a, a k b b B ", Denan demikian maka Jadi setiap ruas berara, denan pankal sebuq titik dan berakir di titik petana ole M M adala ekivalen denan setiap aris berara seperti di atas. Jadi asil transformasi M M adala seakan-akan meneser setiap titik sejau jarak an sama dan seara. Transformasi demikian dinamakan translasieseran. Teorema 0. pabila maka Bukti: Dipunai B CD mbil sebaran Misalkan G B dan G CD Maka B dan CD Karena B CD maka Ini berarti bawa Jadi G G B CD
Teorema 0.3 ndaikan dan dua aris an sejajar dan sebua aris berara teak lurus pada denan C dan D. pabila maka G B M M Bukti: mbil titik P sebaran Misal P G B P dan P M M P kan dibuktikan P P Menurut definisi eseran Karena, maka Berubun C maka M M C M [ M M C " c c] Ini berarti D titik tena, seina Berdasarkan teorema 0. diperole Jadi, maka P P Jadi G B PM M P Karena P titik sebaran maka G B M M Catatan. Dari teorema di atas dapat disimpulkan bawa setiap eseran G B dapat ditulis sebaai asilkali dua refleksi pada dua aris an teak lurus pada dan berjarak ½ B.. Jika sebua aris dan M titik tena sedankan, dan n tia aris masin-masin teak lurus di, di M dan di B pada maka G B M M M n M. 3. Karena setiap eseran sebaai asilkali dua reflei sedankan reflei adala suatu transformasi maka suatu eseran adala suatu transformasi an merupakan isometri. Jadi suatu reflei adala suatu isometri. Suatu eseran adala suatu isometric lansun sebab setiap reflei adala suatu isometri lawan.
Teorema 0.4 Jika G B sebua eseran maka G B - G B Bukti: Geseran adala asil kali dua refleksi Teorema 0.3 Refleksi adala trasformasi Teorema 3. Tiap transformasi memiliki balikan Teorema 6. Maka setiap eseran memiliki balikan Peratikan ambar berikut: n B C Dari uraian diatas Diperole G B M M M [M ] M B G B M n M M n [M ] M n B B Jadi G B M M M n M atau G B M M M n M Sedankan G B BM M n B M [M n B] M B G B BM M B M [M B] M Jadi G B B M M n B M M B atau G B M M n M M
Seina G B - M n M - M - - M n M M n G B Jadi G B - G B Teorema 0.5 Jika G B sebua eseran sedankan C dan D adala dua titik seina maka Bukti : G B S C S D ndaikan, k ± di C, m ± di D ambar 0.5 B C D Gambar 0.5 k m Maka ruas aris berara dari k ke m. Ole karena maka G B M m M k sedankan S D M m M Teorema 0.3 Menurut Teorema 7. andaikan D sebua titik serta dan m dua aris teak lurus an berpotonan di D, maka S D M m M D dan S C M M k m Menurut Teorema 7. andaikan C sebua titik serta dan m dua aris teak lurus an berpotonan di C, maka S C M M k
C Jadi : k S C S D M m M M M k M m M M M k Sifat asosiatif asil kali transformasi Transformasi identitas M m I M k Denan demikian maka M m M k G B S C S D Teorema 0.6 Komposit suatu eseran dan suatu setena putaran adala suatu setena putaran Bukti: ndaikan G B suatu eseran. mbil titik C sebaran dan misal ada titik E an tunal seina. mbil titik D seina D merupakan titik tena, berarti. Menurut teorema 0. 5, G B S D S C G B S C S D S C S C G B S C S D [S C S C ] G B S C S D I G B S C S D Jadi komposit suatu eseran dan suatu setena putaran adala suatu setena putaran.
kibat : ndaikan S, S B, dan S C masin-masin setena putaran, maka S C S B S S D denan D sebua titik seina DBC Bukti : Diperole berturut-turut S C S B G ZBC S C S B S G ZBC S mbil titik X sebaran Misal G ZBC S S X Seina diperole atau Karena titik X sebaran, Jadi bisa diuba menjadi sebaran titik, kita misalkan titik D maka diperole G ZBC S S X S C S B S S D denan DBC Jadi, jika S, S B, dan S C masin-masin setena putaran, maka S C S B S S D denan D sebua titik seina D BC Teorema 0.7 Bukti : Hasil kali dua translasi adala sebua translasi ndaikan dua bua eseran aitu B dan E C E E Diperole dan Jika dikomposisikan denan melalui maka didapa
ndaikan titik E sebaran Diperole Berarti Berarti Jika dikomposisikan denan melalui titik E, maka diperole Berarti seina diperole G E E" " G EE C Jadi tau Pembuktian menunakan teorema 0.5 mbil titik P, Q sebaran seina dan titik R seina Diperole Jika dikomposisikan denan maka diperole assosiatif Identitas transformasi Identitas transformasi Karena maka diperole Jadi Teorema 0. 8 Jika G O sebua translasi an ditentukan ole titik-titik O0,0 dan a,b dan T transformasi an didefinisikan untuk semua titik P, sebaai TPa,b maka TG O. Bukti : mbil titik P, denan TP a,b
Missal G O P P, berarti Diperole P a-0,b-0 a,b Jadi TP P G O P, P V Ini berarti T G O. Untuk membuktikan denan koordinat-koordinat teorema 0. 7 Peratikan dua bua translasi G EF dan G KH ndaikan a,b dan B c,d denan dan mbil titik P, sebaran seina diperole G O P P a,b dan G OB P P c,d Karena maka G O P G EF P a,b Karena maka G OB P P G KH c,d Jika G KH dikomposisikan denan G EF melalui titik P maka diperole G KH G EF P G KH [G EF P] G KH a,b ac,bd ac,bd Ini berarti bawa G KH G EF adala translasi an membawa titik O0,0 ke titik ac,bd.
. Diketaui titik, B, C ann tak searis. a. Lukisla SOL TUGS b. Lukisla c. Lukisla aris aris dan denan dan d. Lukisla dan seina C dan seina. Diketaui titik titik dan B dan aris seina.lukisla : a. Garis seina b. Garis k seina c. Garis m seina m d. Titik C seina 3. Diketaui aris aris dan an sejajar dan sebua titik tidak pada aris aris trersebut. a. Lukisla titik B seina b. Lukisla titik C seina 4. Diketaui titik, B, C, D, P dan aris seperti anda liat pada ambar B D Lukisla : a. P C
b. Garis seina c. d. 5. Natakanla P denan R dalambentuk an palin sederana : a. R b. R c. R 6. paka unkapan unkapan di bawa ini benar atau sala : a. Jika maka b. Setiap translasi adala suatu involusi c. denan d. pabila M titik tena, maka e. pabila, maka // 7. Jika,3 dan B -4,7 tentukan persamaan aris dan seina 8. Diketaui titik titik -,3, B -5,- dan C,4 a. Tentukan C b. Tentukan persamaan aris aris dan seina C dan seina 9. Diketaui titik titik, dan B 5,-3.G sebua eseran an membawa ke B. a. Jika C 4, tentukanla GC b. Jika P, tentukanla GP
0. Jika, dan B 3,4 sedankan tentukanla : a. jika P, b. Titik D seina c. Sebua persamaan untuk aris denan
SOL TUGS. Diketaui ruas aris berara B dan titik-titik C dan P a. Tentukan G B S C P b. Tentukan S C G B P c. Tentukan semua titik X seina G B S C X X. Diketaui titik-titik, B, C an tak searis a. Tentukan D seina S D S C G B b. Tentukan E seina S S B S C S E c. Tentukan F seina G B S C S F 3. Diketaui empat titik, tiap tia titik tak searis,, B, C dan D. Lukisla : a. Titik E seina G CD G B G E b. Semua titik X seina S S B S C X X 4. a. Untuk semua titik P,, S ditentukan sebaai SP a, b. Tentukan S - P b. Jika G dan G adala eseran-eseran, selidiki apaka G G G G 5. paka impunan-impunan berikut tertutup teradap operasi an bersankutan? a. Himpunan semua kelipatan tia teradap penuranan b. Himpunan semua bilanan anjil teradap penjumlaan c. Himpunan semua refleksi teradap operasi perkalian komposisi d. Himpunan semua transformasi teradap perkalian komposisi e. Himpunan -, 0, - teradap perkalian dan teradap penjumlaan 6. G adala eseran an ditentukan sebaai berikut : Jika P, maka GP, 3 Diketaui C, -7. Tentukan koordinat D seina S D S C G
7. Jika, 0, B, 5 dan C -3, 8 titik-titik an diketaui, tentukan koordinatkoordinat titik D seina G CD S B S. 8. ndaikan a, a dan B b, b. Denan menunakan koordinat- koordinat, buktikan : a. S B S adala suatu translasi b. Jika P sebua titik dan P S B S P, maka 9. Buktikan sifat-sifat berikut : a. Jika G B suatu eseran, maka G B tidak memiiki titik-titik tetap b. Komposit empat setena putaran adala suatu translasi c. pabila, B, C titik-titik an diketaui, maka S S B S C S C S B S a 0. Diketaui, dan B -3, 5 a. Jika P, tentukan S S B P b. L. Tentukan persamaan impunan L S S B L JWBN TUGS. Diketaui Titik-titik, B, dan C an tak searis C B
a. Lukisla G B dan G B B BG B G B B b. Lukisla G B C C C G B C B c. Lukisla aris-aris dan denan dan G B M M G B B M M B } G B M M B d. Lukisla aris-aris dan seina C dan seina G B M M C B. Diketaui : Titik-titik, B, dan aris seina B. a. Lukisla aris seina M M G B B C B }
G B B M M M M M BB } M M G B b. Lukisla aris k seina M M k G B k B G B B M M k M M k M B } M M k G B c. Garis m seina m G B m m m G B m B m B m G B m B d. Titik C seina G B C B B C G B C B
3. Diket: Garis-aris // dan titik tidak pada aris-aris tersebut. a. Lukisla titik B seina M M G B Jelas G B M M M B M B M b. Lukisla titik C seina M M G C Jelas G C M M M C C M M 4. Diketaui titik, B, C, D dan aris B D P C Lukisla!
a G CD G B P P G B P P G CD P P b G CD G B P P P P P P dimana PP B dimana P P CD G B P P dimana PP B G CD PP P dimana P P CD c Garis seina G B G CD G DC G B G DC d G 3 B P P G 3 B P
P P P 5. Natakanla P denan R dalam bentuk an palin sederana: a. G B G CD PR b. S G BC PR c. G B - M PR Penelesaian: 6. paka unkapan-unkapan di bawa ini benar atau sala: a. Jika G B M M maka G B M M..Sala Bukti: Dipunai G B M M. Jelas M M M M asil kali pencerminan tidak bersufat komutatif. Jadi G B M M. Jadi jika G B M M maka G B M M b. Setiap translasi adala suatu involusi.sala Bukti:
Misal: G B M M. Maka diperole G B - M M - M - - M M M G B. Jadi G B bukan suatu involusi. c. G B G B G CD denan Benar Bukti: mbil sembaran titik P. Jika G B G B PP 4 dan G CD PP 5, maka akan dibuktikan P 4 P 5. Karena G B PP maka G B P P 4 maka dan G B G B PP 4 maka Seina, akibatna P 4 P 5. Jadi G B G B P G CD P. Karena P sembaran maka G B G B G CD. d. pabila M titik tena, maka Benar e. pabila, maka // Benar 7. Jika,3 dan B4,-7 tentukan persamaan aris dan seina Jawab : Jelas dan dan jarak antara dan Persamaan aris
Jadi Misal maka persamaan aris Jarak antara dan, maka melalui c seina C midpoint B Jadi C-,5 Persamaan aris B dan melalui C-,5
Jadi : : 8. Diket: Titik-titik -,3, B-5,-, dan C,4. a. Tentukan. ' C G C B Penelesaian: Karena ' C G C B maka Jelas Seina 4 dan. 0 4 4 Jadi.,0 ' C G C B b. Tentukan persamaan aris-aris dan seina C dan seina M M G B. Penelesaian: Jelas. 4 4 5 3 m B ar M M G B maka arusla // dan., B B Seina diperole Karena // maka m m. Misal aris melalui titik D maka Seina diperole. B m m m m 4 4 4 4 4 4 4 3 5 4 ] [ B CD B CD 4 4 4 3 5 4 ' ' B CC B CC
Jadi 4 0 dan 4. Jadi titik D0,. 4 Jadi persamaan aris an melalui titik C,4 denan m adala m 4 4 6 dan persamaan aris an melalui titik D0, denan m adala m 0. 9. Diket,, B5,-3 Ditanakan a. misal seina maka dan Jadi C 7,- b. denan misal maka seina dan Jadi 0. Diket: Titik-titik,-, B3,4, dan {,\4}.
a. Tentukan G B P jika P,. Jawab: Jelas G B B G B, 3,4 a, b 3,4. Seina a 3 a dan b 4 b 5. Jadi G P G,, 5. B B b. Tentukan titik D seina G B D,3. Jawab: Misal titik D, maka G B G D,3 B,,,3 5,3. Seina 0 dan 3. Jadi titk D0,-. 5 c. Tentukan sebua persamaan untuk aris seina G. Jawab: G B G B 5 4 5 4 3. 4 B JWBN TUGS. Diketaui ruas aris berara dan titik-titik C dan P a Tentukan G B S C P Penelesaian : G B S C PG B [S C P] G B P denan C adala titik tena P denan b Tentukan S C G B P
Penelesaian : S C G B PS C [G B P] S C P denan P denan C titik tena c Tentukan semua titik X seina G B S C XX Penelesaian : Menurut teorema 0. 6 diperole G B S C S D mbil titik X sebaran G B S C XS D X Diperole S D XX, berartti X mbil titik E dimana dan titik D adala titik tena berarti Diperole G B S C X G B S C D G B [S C X] G B D denan C titik tena D, berarti D denan X Jadi titik X adala titik tena dimana. Diketaui titik-titik, B, C an tak searis a Tentukan D seina S D S C G B Penelesaian : Berdasarkan teorema 0. 5 titik C dan titik D terletak pada satu aris dimana, b Tentukan E seina S S B S C S E Penelesaian : Berdasarkan akibat dari teorema 0. 6 diperole titik E searis denan titik C dimana, c Tentukan F seina G B S C S F
Penelesaian : Berdasarkan teorema 0. 6 diperole titik F adala titik tena berarti dimana, 3. Diketaui empat titik, tiap tia titik tak searis,, B, C dan D. lukisla : a Titik E seina G CD G B G E b Semua titik X seina S S B S C XX 4. a Untuk semua titik P,, S ditentukan sebaai SPa,b. Tentukan S - P. Penelesaian : Menurut teorema 7. 3 S - PSP a,b b Jika G dan G adala eseran-eseran, selidiki apaka G G G G. Penelesaian : mbil titik P sebaran Misal G G B dan G G CD G G PG [G P] G P denan P denan Jadi, G G PG [G P] G P denan P denan Jadi, Berdasarkan dan berlaku G B G CD G CD G B G G G G 5. paka impunan-impunan berikut tertutup teradap operasi an bersankutan? a Himpunan semua kelipatan tia teradap penuranan. Penelesaian :
b Himpunan semua bilanan anjil teadap penjumlaan Penelesaian : c Himpunan semua reflei teradap operasi perkalian komposisi Penelesaian : d Himpunan semua transformasi teradap perkalian komposisi Penelesaian : e Himpunan {-,0,} teradap perkalian; dan teradap penjumlaan. Penelesaian : 6. G adala eseran an ditentukan sebaai berikut : Jika P, maka GP,3. Diketaui C,-7. Tentukan koordinat D seina S D S C G Penelesaian : S D S C PGP S D [-,-4-],3 Misalkan Da,b [a--,b--4-],3 a-- a- a4 a b--4-3 b3-4- b- b-5,5 Jadi titik D,-5,5 7. Jika,0, B,5 dan C-3,8 titik-titik an diketaui, tentukan koordinatkoordinat titik D seina G CD S B S.
Penelesaian : ndaikan maka E[3],0[-8] pabila B titik tena 4,-8 maka, - 8 Jadi koordinat D-,8 8. ndaikan a,a dan Bb,b. Denan menunakan koordinat-koordinat. Buktikan : a S B S adala suatu translasi Penelesaian : mbil titik P, sebaran S B S PS B [S P] S B a -,a - b -a,b -a [b -a,b -a ] b Jika P sebua titik dan P S S B P, maka Peneleesaian : mbil titik P, sebaran Dari asil a diperole P [ b -a,b -a ] b a,b -a [ b -a -,b -a -] [ b -a,b -a ] b a,b -a
Jadi terbukti 9. Buktikan sifat-sifat berikut : a Jika G B suatu eseran, maka G B tidak memiliki titik-titik tetap Penelesaian : b Komposit empat setena putaran adala suatu translasi Penelesaian : c pabila, B, C titik-titik uan diketaui, maka S S B S C S C S B S Penelesaian : 0. Diketaui, dan B-3,5 a Jika P, tentukan S S B P Penelesaian : S S B PS.-3-,.5- S -6-,0-.--6-,.-0-0,-8 Jadi S S B P 0,-8 b L{, 4}. Tentukan persamaan impunan L S S B L. Penelesaian : L 4 berarti linkaran denan pusat 0,0 denan jari-jari S S B LS [.-3-0,.5-0] S -6,0 [.--6,.-0] 0,-8 Jadi L {, -0 8 4}