MAKALAH GEOMETRI TRANSFORMASI

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "MAKALAH GEOMETRI TRANSFORMASI"

Dewi Kurnia
7 tahun lalu
Tontonan:

1 MAKALAH GEOMETRI TRANSFORMASI MATERI SETENGAH PUTARAN DISUSUN OLEH : Nama : Bing Ahmad ( ) Budi Sutrisno ( ) Chandra ( ) Dessi Alsury ( ) Melia Sartika ( ) Rahmawati ( ) Wahono ( ) Yulianti ( ) Program Studi : Pend. Matematika Dosen Pengampu : Fadli, S.Si SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN PERSATUAN GURU REPUBLIK INDONESIA (STKIP-PGRI) LUBUKLINGGAU TAHUN AJARAN 2009/2010

2 SETENGAH PUTARAN Ketentuan: Suatu involusi adalahn suatu setengah putaran mengelilingi titik. Suatu setengah putaran mencerminkan setiap titik bidang pada sebuah titik tertentu. Oleh karena itu, setengahn putaran juga dinamakan pencerminan pada suatu titik atau refleksi pada suatu titik. S A (E) F Definisi: E A S A (F) Sebuah setengah putaran pada suatu titik A adalah suatu padanan (pasangan) S A yang didefinisikan untuk setiap titik pada bidang sebagai berikut : 1. Apabila P A maka S A (P) = P ' sehingga A titik tengah ruas garis PP ' 2. S A (P) = A Contoh Soal: 1. Diberikan A, B dan C adalah titik-titik pada bidang ecluid V dan A adalah titik tengah, lukislah: a) Titik D sehingga D = S A (B) b) Titik C sehingga C = S A (E) Penyelesaian: A 180 Menurut definisi B A, maka S A (B) = D, dimana D diperoleh perpanjangan BA sepanjang AB sehingga A titik tengah BD.

3 Teorema 7.1 Andaikan A sebuah titik dan g dan h dua garis yang tegak lurus yang berpotongan di A, maka S A = Mg. Mh. Karena g h, maka kita dapat membuat sebuah sistem sumbu ortogonal dengan g, sehingga sumbu x dan h snebagai sumbu T dan A sebagai titik asal. y P(x, y) g A x P"(-x, -y) h Harus dibuktikan bahwa untuk setiap P berlaku S A (P) = Mg. Mh. Andaikan P(x,y) A dan andaikan pula bahwa S A (P) = P'(x 1, y 1 ) oleh karena A titik tengah PP " maka (0,0) = x + x y1 +, y dan y 1 = -y jadi S A (P) = (-x, -y). sehingga (x 1 + x = 0 dan y 1 + y = 0) atau x 1 = -x 2 Perhatikan komposisi pencerminan (Mg. Mh) (P) = Mg [Mh(P)] = Mg [(-x, y)] = (-x, -y) Jadi kalau P A maka S A (P) = Mg Mh (P) Jika P = A maka Mg Mh (P) = Sg (A) = A Sedangkan S A (A) = A, jadi juga Mg Mh (A) = S A (A) maka untuk setiap P pada bidang berlaku Mg Mh (A) = S A (P), Ini berarti: Mg Mh = S A

4 Teorema 7.2 Jika g dan h garis yang tegak lurus maka Mg Mh = Mh. Mg Kalau P = A maka MgMh (A) = Mg(A) = A juga MhMg (A) = Mh(A) = A, sehingga MgMh (A) = MhMg (A) untuk P A, maka MgMh = S A selanjutnya MhMg (P) = Mh (x, -y) = (-x, -y) = S A (P). Jadi MhMg = S A sehingga diperoleh MgMh = MhMg. Catatan : Bahwa komposisi pencerminan terhadap dua garis yang tegak lurus adalah komutatif. Teorema 7.3 Jika S A setengahn putaran, maka S A -1 = S A Andaikan g dan h dua garis yang tegak lurus maka MgMh = S A dengan A titik potong antara g dan h. Jadi (MgMh) -1 = Mh -1. Mg -1 = S -1 A. Dimana misalkan (MgMh) -1 = Mh -1. Mg -1-1 = S A Mg = Mg Teorema 6.3 Mh -1 = Mh S -1 A = (Mg. Mh) -1 = Mh -1. Mg -1 teorema 6.4 [(T o S) -1 = S -1 o T -1 ] = Mh. Mg teorema 6.3 {Mg -1 = Mg, Mh -1 = Mh} = Mg. Mg teorema 7.2 {MhMg = MgMh} Jadi, S -1 A = Mg. Mh = S A

5 Teorema 7.4 Jika A = (a, b) dan P (x, y) maka S A (P) = (2a x, 2b y) P(x, y) A(a, b) g P'(x 0, y 0 ) maka : Misalkan P' (x 0, y 0 ) adalah S A (P) maka A pertengahan / titik tengah A (a, b) a = x + x 0 2 b = y + y 0 2 PP ' 2a = x + x 0 2b = y + y 0 2a x = x 0 2b y = y 0 Maka : P' (2a x, 2b y) Jadi : S A (P) = (2a x, 2b y) Definisi : A dinamakan titik tetap (invarian) transformasi T apabila berlaku T(A) = A. Definisi : Sebuah transformasi T yang bersifat bahwa sebuah garis petanya juga dinamakan kalineasi. Definisi : Suatu kalineasi A dinamakan suatu dilatasi apabila untuk setiap garis g berlaku sifat A(g) // g. Salah satu contoh adalah setengah putaran.

6 Teorema 7.5 Andaikan S A suatu setengah putaran dan g sebuah garis. Apabila A g, maka S A (g) // g'. Q P g g' = S A (g) S A (P) = P' S(Q) = Q' Andaikan P g' maka A titik tengah ruas Andaikan Q g' maka A titik tengah ruas garis PP ' dengan P' = S A (P) QQ ', dengan Q' = S A (Q), maka APQ AP'Q'. Sehingga PQP'Q' sebuah jajaran genjang, ini berarti bahwa PQ // P 'Q', jadi g // S A (g). Teorema 7.6 Hasil kali dua setengah putaran dengan pusat-pusat yang berbeda, tidak memiliki titik tetap. Andaikan A dan B pusat-pusat setengah putaran tersebut. Andaikan g = AB dan andaikan h dan k garis-garis tegak lurus AB di A dan di B, maka berturut-turut kita peroleh : S A S B = (Mh Mg) (Mg Mk) = [(Mh Mg) Mg] Mk = [Mh (Mg Mg)] Mk Teorema 6.3 = Mg. Mg = I = Mh I Mk Ini berarti tidak memiliki titik invarian

7 Jika g dan h dua garis yang tegak lurus maka Mg Mh = Mh. Mg Lihat gambar di atas. Kalau P = A maka MgMh (A) = Mg(A) = A juga MhMg (A) = Mh(A) = A, sehingga Mg Mh (A) = MhMg (A) untuk P A, maka MgMh = S A = (Mh I Mk) = Mh Mk. g A B h k Teorema 7.7 Jika A B adalah dua titik maka hanya ada satu setengah putaran yang memetakan A ke B. Andaikan ada dua setengah putaran S D dan S E sehingga S D (A) = B dan S E (A) = B. Jadi S D (A) = S E (A) maka S -1 D [S D (A)] = S -1 D [S E (A)], maka S -1 D = S D. Sehingga A = S D [S E (A)] A D B Teorema 7.8 Suatu setengah putaran adalah suatu dilatasi yang bersifat involutorik Andaikan P pusat setengah putaran S P. Harus dibuktikan dua hal : 1. Kalau g sebuah garis maka S P (g) // g 2. SP. S P = I dengan I transformasi identitas

8 B A P A B S P (g) = g' 1. Jelaskan bahwa S P (g) = g' suatu garis, andaikan A g', B g maka A' g', B' g' dan PA = PA' : PB = PB' sedangkan n ( APB) = n ( A'PB') sehingga PAB PA'B. Jadi n ( B'A'P), ini berarti g // S P (g). Jadi S P disebut dilatasi. 2. Oleh karena S P. S P (A) = S P (A') = A untuk setiap titik A g maka S P. S P = I. Ini berarti S P bersifat innvolutorik. Teorema 7.9 Apabila T suatu transformasi H himpunan titik-titik dan A sebuah titik maka A T(H) jika dan hanya jika T -1 (A) H. 1. Andaikan A T(H), jadi ada x H sehingga A = T(x). Maka T -1 (A) T -1 [T(x)] = (T -1. T) (x) = I (x) = x. Jadi T -1 (A) H. 2. Andaikan T -1 (A) H, ini berarti bahwa T[T -1 (A)] T(H) atau A T(H).

9 Soal : 1. Apabila A = (2, 3), tentukanlah : a) S A (C) apabila C = (2, 3) b) S A (D) apabila D = (-2, 7) c) S -1 A (E) apabila E = (4, 1) d) S A (P) apabila P = (x, y) Penyelesaian : a) Diket : A = (2, 3) C = (2, 3) Ditanya : S A (C)....? S A (C) = (2a x, 2b y) A = (2, 3) = (a, b) C = (2, 3) = (x, y) S A (C) = (2(2) 2, 2(3) 3) = (4 -, 6 3) = (2, 3) Jadi, S A (C) = (2, 3) b) Diket : A = (2, 3) = (a, b) D = (-2, 7) = (x, y) Ditanya : S A (D)....? S A (D) = (2a x, 2b y) = (2(2) (-2), 2(3) 7) = (4 + 2, 6 7) = (6, -1) Jadi, S A (D) = (6, -1)

10 c) Diket : A = (2, 3) = (a, b) E = (4, -1) = (x, y) Ditanya : S A (E)....? S A (E) = (2a x, 2b y) = (2(2) 4, 2(3) (-1)) = (4-4, 6 + 1) = (0, 7) Jadi, S A (E) = (0, 7) d) Diket : A = (2, 3) = (a, b) P = (x, y) = (x, y) Ditanya : S A (P)....? S A (P) = (2a x, 2b y) = (2(2) x.x, 2(3) y.y) = (4 x 2, 2 y 2 ) = (x 2 4, y 2 6) 2. Jika D = (0, -3) dan B = (2, 6) tentukanlah : a) S D S B (B) b) S D S B (K) apabila K = (1, -4) c) S B S D (B) d) (S D S B ) -1 (K) e) S D S B (P) apabila P = (x, y) Penyelesaian : a) Diket : D (0, -3) B (2, 6) Dit : S D S B (B)...?

11 S D S B (B) = (2.(0) 2), 2(-3) 6) = (0 2, -6 6) = (-2, -12) Jadi S D S B (B) = (-2, -12) b) Diket : D (0, -3) B (2, 6) K (1, -4) Dit : S D S B (K)...? S D S B (K) = (2.(0) (2) 1, 2(-3) (6) 4) = (0.2 1, -6 (6) 4) = (0 1, -36 4) = (-1, -40) Jadi S D S B (K) = (-1, -40) c) Diket : D (0, -3) B (2, 6) K (1, -4) Dit : S B S D (K)...? S B S D (K) = (2.(0) (0) 1, 2(-3) (6) 4) = (0 1, -6 (6) 4) = ( 1, -36 4) = (-1, -40) Jadi S B S D (K) = (-1, -40) d) Diket : D (0, -3) B (2, 6) K (1, -4) Dit : (S D S B ) -1 (K)...?

12 (S D S B ) -1 (K) = (2.(0) (2) 1, 2(-3) (6) 4) = (0 1, -6 (6) 4) = ( 1, -36 4) = (-1, -40) (S D S B ) -1 (K) = (-1), -40) = (1, -40) Jadi (S D S B ) -1 (K) = (1, -40) e) Diket : D (0, -3) B (2, 6) P (x, y) Dit : S D S B (P)...? S D S B (P) = (2.(0) (2) x.x, 2(-3) (6) y.y) = (0 x 2, -6 (6) y 2 ) = ( x 2, -36 y 2 ) Jadi S D S B (P) = (-x 2, -36 y 2 ) 3. Jika B = (1, -3) tentukanlah : a) S B (D) apabila D = (-3, 4) b) S B (P) apabila P = (x, y) Penyelesaian : a) Diket : B = (1, -3) D = (-3, 4) Dit : S B (D)...? Dijawab : S B (D) = (2 (1) 3, 2 (-3) 4) = (2 3, - 6 4) = (-1, -10) Jadi, S B (D) = (-1, 10) b) Diket : B = (1, -3) P = (x, y) Dit : S B (P)...? Dijawab : S B (P) = (2 (1) x.x, 2 (-3) y.y) = (2 x 2, - 6 y 2 )

dokumen-dokumen yang mirip

GEOMETRI TRANSFORMASI SETENGAH PUTARAN

GEOMETRI TRANSFORMASI SETENGAH PUTARAN Disusun Oleh : Kelompok Empat (V1 A) 1. Purna Irawan (4007178 ) 2. Sudarsono (4007028 p) 3. Mellyza Vemi R. (4007217 ) 4. Kristina Nainggolan (4007013 ) 5. Desi Kartini