II. M A T R I K S ... A... Contoh II.1 : Macam-macam ukuran matriks 2 A. 1 3 Matrik A berukuran 3 x 1. Matriks B berukuran 1 x 3

Transkripsi

1 11 II. M A T R I K S Untuk mencari pemecahan sistem persamaan linier dapat digunakan beberapa cara. Salah satu yang paling mudah adalah dengan menggunakan matriks. Dalam matematika istilah matriks digunakan untuk menyatakan susunan bilangan-bilangan yang berbentuk empat persegi panjang yang terdiri dari baris dan kolom. Bilangan-bilangan dalam matriks tersebut dinamakan entry atau komponen matriks. Biasanya entry atau komponenkomponen matriks tersebut dituliskan di antara dua kurung. Setiap matriks mempunyai ukuran. Ukuran matriks ini ditentukan oleh banyaknya baris dan kolom yang terdapat dalam matriks tersebut. Jadi untuk matriks yang terdiri dari m baris dan n kolom ukurannya adalah m x n. Untuk menyatakan matriks, biasanya digunakan huruf besar, sedangkan untuk menyatakan kuantitas-kuantitas numerik dari komponen (entry) matriks digunakan huruf kecil. Jadi jika A adalah sebuah matriks, maka a ij menyatakan komponen matriks yang berada pada baris ke-i dan kolom ke-j. Sebagai contoh, matriks A yang berukuran m x n dituliskan a11 a 1... a1 n a1 a... a n... A am 1 a m... amn Baris ke-1 Baris ke- Baris ke-m Kolom ke-1 Kolom ke- Kolom ke-n Contoh II.1 : Macam-macam ukuran matriks A 1 3 Matrik A berukuran 3 x 1 B = 3 1 Matriks B berukuran 1 x 3 C = 3 1 Matriks C berukuran 3 x

2 1 a b c d D = e f g h Matriks D berukuran x 4 e11 e1 e13 e1 e e 3 E e31 e3 e33 e41 e4 e43 Matriks E berukuran 4 x F Matriks F berukuran 3 x 4 Matriks A yang terdiri dari n baris dan n kolom, dinamakan matriks bujursangkar atau matriks kuadrat, dan komponen-komponen a 11, a,..., a nn dikatakan berada pada diagonal utama. a11 a 1... a1 n a1 a... a n... A an 1 a n... ann matriks n x n diagonal utama Contoh II. Macam-macam matriks bujursangkar A 5 1 matriks x c11 c1 c13 c14 c1 c c3 c 4 C c31 c3 c33 c34 c41 c4 c43 c44 matriks 4 x 4 b11 b1 b13 B b1 b b 3 b31 b3 b 33 matriks 3 x e D e matriks 5 x 5 Dua buah matriks dikatakan sama jika kedua matriks tersebut mempunyai ukuran yang sama dan juga komponen-komponen yang berkesesuaian dalam kedua matriks sama. Contoh II.3 Tinjaulah matriks-matriks berikut

3 A B C 1 3 D Matriks A = B karena keduanya mempunyai ukuran dan komponen matriks yang sama. Matriks A C karena tidak semua komponennya berkesesuaian. Matriks A D karena kedua matriks tidak mempunyai ukuran yang sama. Demikian juga halnya matriks B C, B D dan C D. Suatu matriks bujursangkar yang semua komponen pada diagonal utamanya terdiri dari bilangan satu dan komponen lainnya terdiri dari nol dinamakan matriks satuan atau matriks identitas. Matriks satuan ini biasanya dinyatakan dengan huruf I dan jika ukurannya disertakan maka dituliskan I n untuk matriks n x n seperti contoh di bawah ini I n Matriks satuan n x n 1 0 I 0 1 Matriks satuan x I Matriks satuan 3 x I Matriks satuan 4 x 4 Komponen-komponen suatu matriks dapat terdiri dari nol semuanya. Matriks semacam ini dinamakan matriks nol dan diberi simbol O seperti contoh di bawah ini O Matriks nol berukuran 3 x O Matriks nol berukuran 4 x 4 Jika komponen-komponen dalam kolom suatu matriks diubah menjadi baris maka akan diperoleh matriks baru yang dinamakan transpos A seperti yang didefinisikan di bawah ini. Definisi : Jika A adalah sebarang matriks m x n, dan apabila kolom pertamanya diubah menjadi baris pertama, kolom keduanya menjadi baris kedua dan seterusnya, maka matriks yang baru tersebut dinamakan transpos A dan diberi simbol A t dan ukurannya berubah menjadi n x m.

4 14 Contoh II.4 Matriks dan transposnya A b b b b b b B b b b b b b t A b b b b b13 b3 b33 b t B b1 b b3 b4 3 C D t C t D A. OPERASI MATRIKS Tidak setiap matriks dapat dijumlahkan atau dikalikan dengan matriks lain, karena ukuran matrik memegang peranan dalam penjumlahan dan perkalian matriks. Definisi : Jika A dan B adalah dua matriks yang berukuran sama, misalkan m x n, maka A + B adalah matriks yang diperoleh dengan menjumlahkan semua komponen yang berkesesuaian (komponen yang menempati posisi yang sama) dalam kedua matriks tersebut. Sedangkan A B adalah matriks yang diperoleh dengan mengurangkan semua komponen A dengan komponen yang berkesesuaian dari matriks B. Matriks baru hasil penjumlahan atau pengurangan tersebut, mempunyai ukuran yang sama yaitu m x n, karena itu matriks yang ukurannya berlainan tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan. Contoh II.5 Tinjaulah matriks-matriks berikut, A B C Matriks A ditambah matriks B adalah,

5 AB Matriks A + C dan B + C tidak didefinisikan karena ukurannya berbeda. Untuk pengurangan dapat dilakukan langsung seperti penjumlahan dan syaratnya pun sama yaitu kedua matriks harus berukuran sama. Jadi matriks A C dan B C tidak terdefinisi karena ukurannya berbeda, sedangkan matriks A dikurangi matriks B adalah, ( ) 5( 1) AB ( 6) 0( 3) 5( ) ( 3) Definisi : Jika k adalah sebuah skalar dan A adalah sebuah matriks, maka hasil kali ka adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan semua komponen matriks A dengan k. Contoh II.6 Jika matriks A adalah, 9 5 A maka, ( 3)( 9) ( 3)( ) ( 3)( 5) A ( 3 )( 7 ) ( 3 )( 4 ) ( 3)( 3 ) dan ( 1)A ( 1)( 9) ( 1)( ) ( 1)( 5) 9 5 ( 1)( 7) ( 1)( 4) ( 1)( 3) Teorema II.1

6 16 Andaikan matrik A, B, C dan O (matriks nol) mempunyai ukuran yang sama, dan k serta l adalah skalar. maka a. A + B = B + A (Hukum komutatif untuk penjumlahan) b. A + (B + C) = (A + B) + C (Hukum assosiatif untuk penjumlahan) c. k(a + B) = ka + k B = (A + B) k d. k(a B) = ka kb = (A B)k e. A + O = O + A = A f. A A = O g. O A = A h. (k + l)a = ka + la = A(k + l) i. (k l)a = ka la = A(k l) j. (kl)a = k(la) Definisi : Jika A adalah matriks m x r dan B adalah matriks r x n, maka hasil kali AB adalah matriks m x n yang komponen-komponennya ditentukan sebagai berikut; Untuk mendapatkan komponen dalam baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks AB, ambil baris ke-i dari matriks A dan kolom ke-j dari matriks B. Kalikan komponenkomponen yang berkesesuaian dari baris dan kolom tersebut, kemudian jumlahkan semua hasil kali tersebut. Dari definisi di atas dapat kita lihat bahwa dua matriks dapat diperkalikan jika jumlah kolom matriks pertama sama banyaknya dengan jumlah baris matriks kedua. Untuk mempermudah mengingat dapat digunakan Gambar II.1. Dari gambar tersebut, jika ukuran matriks yang berada di sebelah dalam sama, maka hasil kalinya dapat didefinisikan, dan ukuran matriks yang berada di sebelah luar memberikan ukuran hasil kali matriks tersebut. A m x r di dalam di luar B r x n = AB m x n Ukuran matriks hasil perkalian Gambar II.1 Contoh II.7 Misalkan A adalah matriks x 4, B adalah matriks 4 x 3 dan C matriks 3 x 3. Matriks A dengan matriks B dapat diperkalikan karena jumlah kolom matriks A sama dengan jumlah baris matriks B yaitu 4. Hasil kalinya yaitu matriks AB mempunyai ukuran x 3. Matriks A dengan matriks C tidak dapat diperkalikan karena jumlah kolom matriks A (4) tidak sama dengan jumlah baris matriks C (3).

7 17 Matriks B dengan matriks C dapat diperkalikan karena jumlah kolom matriks B sama dengan jumlah baris matris C yaitu 3. Hasil kalinya yaitu matriks BC mempunyai ukuran 4 x 3. Untuk mendapatkan komponen-komponen matriks hasil perkalian dapat dilihat dalam contoh di bawah ini. Contoh II.8 Diketahui tiga matriks berikut, 1 3 A B C Tentukanlah hasil kali AB, AC dan BC. Jawab : Matriks A berukuran x 3 sedangkan matriks B berukuran 3 x 4, jadi matriks A dan matriks B dapat diperkalikan dan hasilnya adalah matriks x 4 seperti di bawah ini, AB ()(-1) + (-1)(5) + (3)() ()(3) + (-1)(-3) + (3)(4) ( )( 6) ( 1)( 0) ( 3)( 1) ( )( ) ( 1)( 1) ( 3)( 5) ( 3)( 1) ( 4)( 5) ( 5)( ) ( 3)( 3) ( 4)( 3) ( 5)( 4) ( 3)( 6) ( 4)( 0) ( 5)( 1) ( 3)( ) ( 4)( 1) ( 5)( 5) Matriks A berukuran x 3 sedangkan matriks C berukuran 3 x, jadi matriks A dan matriks C dapat diperkalikan dan hasilnya adalah matriks x seperti di bawah ini, AC ( )( 3) ( 1)( 4) ( 3)( ) ( )( 1) ( 1)( 5) ( 3)( 1) ( 3)( 3) (( 4)( 4) ( 5)( ) ( 3)( 1) ( 4)( 5) ( 5)( 1) Matriks B berukuran 3 x 4 sedangkan matriks C berukuran 3 x, jadi matriks B dan C tidak dapat dikalikan, atau BC tidak terdefinisi. Hukum komutatif untuk perkalian dalam bilangan riil, tidak berlaku dalam perkalian matriks, karena AB tidak selalu sama dengan BA.

8 18 Contoh II.9 Diketahui matriks A, B dan C seperti contoh II.8. Tentukanlah BA, CA dan CB. Jawab : Matriks B berukuran 3 x 4 sedangkan matriks A berukuran x 3, jadi matriks A dan matriks B tidak dapat diperkalikan, atau BA tidak terdefinisi. Matriks C berukuran 3 x sedangkan matriks A berukuran x 3, jadi matriks C dan matriks A dapat diperkalikan dan hasilnya adalah matriks x seperti di bawah ini, AC = = = ( 3)( ) ( 1)( 3) ( 3)( 1) ( 1)( 4) ( 3)( 3) ( 1)( 5) ( 4)( ) ( 5)( 3) ( 4)( 1) ( 5)( 4) ( 4)( 3) ( 5)( 5) ( )( ) ( 1)( 3) ( )( 1) ( 1)( 4) ( )( 3) ( 1)( 5) Matriks C berukuran 3 x dan matriks B berukuran 3 x 4, jadi matriks C dan matriks B tidak dapat diperkalikan, atau CB tidak terdefinisi. Dari contoh II.8 dan II.9 tersebut dapat kita lihat bahwa AB BA dan AC CA. Teorema II. Jika matriks A, B, C dan matriks nol O mempunyai ukuran yang memenuhi untuk penjumlahan dan perkalian matriks yang diperagakan di bawah ini, dan k adalah suatu konstanta, maka a. A(BC) = (AB)C (Hukum asosiatif untuk perkalian) b. A(B + C) = AB + AC (hukum distributif) c. (A + B)C = AC + BC (hukum distributif) d. A(B C) = AB AC e. (A B)C = AC BC f. k(bc) = (kb)c = B(kC) g. AO = O ; OA = O Jika A adalah matriks m x n, I n adalah matriks satuan berukuran n x n dan I m adalah matriks satuan m x m maka AI n = A dan I m A = A. Jadi matriks satuan memegang peranan yang penting dalam perkalian matriks yang peranannya mirip dengan bilangan 1 dalam hubungan numerik a.1 = 1. a = a. Contoh II.10 Tinjau matriks-matriks berikut,

9 19 a a a A a a a I Jika matriks I dikalikan dengan matriks A hasilnya adalah, IA 1 0a a a a a a a1 a a 3 a1 a a 3 Jika matriks A dikalikan dengan matriks I 3 hasilnya adalah, AI a a a a a a a1 a a 3 a1 a a 3 A A I Dalam perkalian bilangan riil berlaku pernyataan berikut, (i) Jika ab = ac dan a 0 maka b = c (ii) Jika ad = 0 maka a = 0 atau d = 0 Dalam perkalian matriks, pernyataan ini tidak selalu benar seperti yang diberikan dalam contoh berikut. Contoh II.11 Diketahui matriks-matriks berikut, A B 1 1 C 5 D Kalikan matriks A dengan matriks B dan kalikan matriks A dan matriks C, diperoleh AB AC Dari kedua perkalian di atas didapatkan bahwa AB = AC, akan tetapi B C. Kalikan matriks A dengan matriks D, diperoleh AD Walaupun hasil perkalian di atas menunjukkan bahwa AD = O akan tetapi A O dan juga D O. Dari perkalian matriks yang telah dibahas di atas, dapat didefinisikan pangkat dalam matriks sebagai berikut, Definisi: Jika A adalah matriks bujursangkar, maka pangkat bilangan bulat tak

10 0 negatif dari matriks A ini didefinisikan sebagai berikut, A 0 = I A n = A A A... A (n >0) n buah A Perkalian matriks yang mempunyai pangkat, sama dengan perkalian bilangan riil yang berpangkat seperti ditunjukkan dalam teorema di bawah ini. Teorema II.3 Jika A adalah matriks bujursangkar, r dan s adalah bilangan bulat, maka A r A s = A r+s dan (A r ) s = A rs Contoh II.1 Diketahui matriks A = 1 A 3 = A A A = = = A 4 = A 3 A 1 = = Teorema II.4 Jika ukuran matriks seperti operasi yang diberikan dapat dilakukan, maka a. (A t ) t = A b. (A + B) t = A t + B t c. (ka) t = k A t, di mana k adalah sebarang skalar Contoh II.13. Diketahui matriks A dan B t A t B t t (A ) A 4 1 5

11 AB (A + B) T = A t t B = = Jadi (A + B) t = A t + B t A t t ( A) A B. LATIHAN II.1 1. Tentukanlah tranpos matriks-matriks berikut, 4 (i) A = 7 5 (ii) B = (iii) C = Tinjaulah matriks-matriks berikut, A = B D 8 3 E C F Hitunglah : (a) A + B (b) A + D (c) B + C (d) C + B (e) C + E (f) D + E (g) D + F (h) E + F 3. Hitunglah untuk matriks-matriks pada soal nomor.

12 (a) A B (b) A D (c) B C (d) C B (e) C E (f) D E (g) D F (h) E F 4. Untuk matriks-matriks dalam soal nomor, hitunglah, (a) AB (b) BA (c) AD (d) DA (e) BC (f) BF (g) CD (h) DC (i) DE (j) ED (k) EF (l) FE 5.Diketahui ab bc 8 1 = 3d c a4d 7 6. Tentukanlah harga a, b, c dan d Misalkan A 0. Carilah matriks B berukuran x yang memenuhi, (a) AB = 0 (b) BA = 0 7. Diketahui matriks-matriks berikut, A = 1 4 B = 1 3 C = Hitunglah, (a) B +C (b) AB (c) BA (d) AC (e) CA (f) A(B 3C) 8. Tinjaulah matriks-matriks berikut, 3 0 A 1 B = D E C Hitunglah, (a) AB (b) D + E (c) D E (d) DE (e) ED (f) 7B 9. Dengan menggunakan matriks-matriks pada soal nomor 8, hitunglah operasi-operasi di bawah ini. (a) 3C D (b) (3E)D (c) (AB)C (d) A(BC) (e) (4B)C + B (f) D + E 10. Hitunglah AB BA di mana, 0 0 A B Carilah harga a, b, c dan d yang memenuhi persamaan matriks berikut,

13 3 (i) a b c d 5 (ii) a b c d Diketahui matriks, 1 A 5 6 dan 3 B 1 5. Carilah matriks 4 3 p q C r s t u sehingga A + B C = O 13. Diketahui matriks-matriks berikut, A B C a. Tunjukkanlah bahwa AB = OA = O, AC = A, CA = C b. Gunakanlah hasil pada bagian a untuk memperlihatkan bahwa ACB = CBA dan A B = (A B)(A + B) 14. Diketahui matriks-matriks berikut, 1 3 A B I Buktikanlah bahwa, (a) (A t ) t = A (b) (5A) t = 5A t (c) (AB) t = B t A t (d) (AI) t = A t 15. Dengan menggunakan matriks-matriks pada soal 14, hitunglah, (a) A t B (b) B t A (c) (AI)B (d) A(IB) C. REPRESENTASI MATRIKS DALAM SISTEM PERSAMAAN LINIER Pada waktu membahas mengenai sistem persamaan linier, telah diperkenalkan bentuk umum sistem persamaan linier, yaitu a x a x... a x b a x a x... a x b a x a x... + a x b n n n n m1 1 m mn n m Apabila kita buat sebuah matriks yang komponen-komponennya terdiri dari koefisienkoefisien sistem persamaan linier di atas maka akan diperoleh matriks berikut,

14 4 a11 a 1... a1 n a1 a... a n am 1 a m... amn Matriks ini disebut matriks koefisien dari sistem persamaan linier. Jika konstanta b i (i = 1,,..., m) disertakan dalam matriks ini, maka matriksnya menjadi, a11 a 1... a1n b1 a1 a... an b a m1 a m... amn bm atau tanpa garis pemisah a11 a 1... a1 n b1 a1 a... an b am 1 a m... amn bm Matriks yang menyertakan konstanta b i ini disebut matriks yang diperbesar. Contoh II.14 Diketahui sistem persamaan linier yang terdiri dari tiga persamaan linier dan tiga bilangan yang tidak diketahui berikut, x1 x x3 x1 4x 3x x 6x 5x Matrik koefisien dari sistem persamaan linier ini adalah, Sedangkan matriks yang diperbesarnya adalah, atau Perkalian matriks mempunyai penerapan yang penting dalam sistem persamaan linier. Tinjaulah suatu sistem yang terdiri dari m persamaan linier dan n bilangan tidak diketahui.

15 5 a x a x... a x b n n 1 a x a x... a x b 1 1 n n a x a x... + a x b m1 1 m mn n m Karena dua matriks dikatakan sama jika dan hanya jika komponen-komponen yang berkesesuaiannya sama, maka sistem persamaan linier di atas dapat dituliskan dalam persamaan matriks tunggal berikut, a x a x... a x b n n 1 a1x1 ax... anx n b a x a x... + a x b m1 1 m mn n m Matriks di ruas kiri adalah matriks m x 1 dan matriks di ruas kanan juga matriks m x 1. Matriks di ruas kiri dapat dituliskan sebagai hasil kali yang memberikan, a a... a x b n 1 1 a1 a... a n x b a m1 a mn... amn x n b m A X B Jika matriks dengan komponen-komponennya a ij diberi nama matriks A (matriks m x n), matriks yang komponen-komponennya x i (matriks n x 1) diberi nama matriks X dan matriks dengan komponen-komponennya b i (matriks m x 1) diberi nama matiks B, maka perkalian matriks di atas dapat dituliskan menjadi, AX = B Dengan demikian sistem persamaan linier dapat dituliskan dalam bentuk perkalian matriks. Untuk sistem persamaan linier homogen, bentuk perkalian matriksnya adalah AX = O, di mana O adalah matrik nol berukuran m x 1. Contoh II.15 Tinjaulah sistem persamaan linier berikut,

16 6 3x1 x x3 5x1 3x x3 3x1 x 3x x 7x 30 1 Matriks ini dapat dituliskan sebagai perkalian matriks AX = B, di mana x1 A X x B x 3 30 Matriks A berukuran 4 x 3 dan matriks X berukuran 3 x 1, jadi menurut peraturan perkalian matriks, matriks A dapat dikalikan dengan matriks X dan hasilnya yaitu matriks B berukuran 4 x 1. Dari matriks B di atas, dapat kita lihat bahwa matriks B betul berukuran 4 x 1. Jika kita coba kalikan lagi matriks A dengan matriks X maka akan diperoleh, AX 3 1 3x x x x 5x13x x 3 x x 1 x 3x 3 x x1 7x karena AX = B, maka diperoleh, 15 0 B AX 3x1x x3 15 5x13x x 3 0 B 3x 1 x 3x x1 7x 30 atau 3x x x x 3x x x x 3x x 7x 30 1 D. LATIHAN II. Buatlah sistem-sistem persamaan linier pada soal nomor 1 sampai dengan 7 menjadi bentuk perkalian matriks. 1. x 3y 4z. x y 3z 3. 3x1 x3 x y z x y 4z 1 5x1 3x 4x 5y 6z y z 7x1 4x 5x3 x 6x 3

17 7 4. x y 5z 4w 1 x 3y z 3w 3 x 5y 3z w x 4y 6z 5w x 7x 6x 1 3 x 3x x x 1 x 4x 3x 1 x 4x 6. 4x y w 0 3x 5y z 3w 0 x 7y 6z 0 8x z 5w x 5x x x 1 3x 7x x 1 x 6x 5x 3x 1 x x 4x 6x 1 4x 3x x 8x 1 Tentukanlah bentuk sistem persamaan linier dari perkalian matriks dalam soal nomor 8 sampai dengan x x x 0 3 y x z x 4 x x x y z w x y z w x 0 x x x E. ELIMINASI GAUSS-JORDAN Dalam contoh I.3 pada bab I, telah diberikan pemecahan sistem persamaan linier dengan menggunakan operasi baris elementer (OBE). Operasi baris elementer ini dapat dilakukan langsung pada matriks yang diperbesar dari suatu sistem persamaan linier. Sebagai contoh kita ulangi lagi contoh I.3 tetapi sekarang OBE dilakukan langsung pada matriks yang diperbesarnya. Contoh II.16 (Soal sama dengan contoh I.3) Carilah pemecahan atau jawab sistem persamaan linier berikut,

18 8 x y z 9 x4y3z 1 3x6y5z 0 Jawab : Matriks yang diperbesar dari system persaman linier di atas adalah, Eliminasi Gauss-Jordan untuk matriks ini adalah,