UJIAN AKHIR SEMESTER KALKULUS I Senin, 8 JUNI Waktu :,5 jam SETIAP NOMOR MEMPUNYAI BOBOT. Tentukan (a) x + sin x dx (b) x x p x dx. Tentukan dy dx jika (a) y +) (x + ln x (b) y sin p x. Tentukan ln x p (ln x) + x dx: 4. Diberikan fungsi turun f dengan f(x) Keterbatasan untuk menunjukkan bahwa p : Gunakan Teorema + x p dx : + x 5. Tentukan (x + ) x (x + ) dx. Dengan menggunakan poligon luar, tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva fungsi f dengan f(x) jxj, garis x ; garis x ; dan sumbu x.
7. Temperatur T pada suatu hari memenuhi h T (t) 7 + 8 sin (t 9) i dengan t adalah waktu (jam). Tentukan temperatur rata-rata dari pukul. sampai pukul.. 8. Diberikan daerah D yang dibatasi oleh gra k fungsi f dan g dengan (a) Buatlah sketsa daerah D: (b) Tentukan luas daerah D: f (x) (x ) x + ; x < g (x) x + ; x 9. Diberikan daerah R yang dibatasi oleh kurva fungsi f (x) 4 x ; dan g (x) jxj (lihat gambar). y y 4 x - c cc cc y jxj x Tanpa menghitung nilai integralnya, tentukan rumus volume benda putar yang diperoleh jika daerah R diputar terhadap garis berikut : (a) y 5; dengan metode cincin, (b) x ; dengan metode kulit tabung, (c) y ; dengan metode kulit tabung:. Diketahui S n n : x n sin (x) dx dan n adalah bilangan bulat positif,
Tunjukkan bahwa n S n n n (n ) S n **************Selamat Bekerja**************
JAWABAN UJIAN AKHIR SMT. KALKULUS I TH. / SENIN, 8 JUNI. (a) x + sin x dx ln jx j x dx + sin xdx cos (x) + C: (b) x x p x dx x x x dx x 5 x x dx 7 x7 5 x5 x + C:. (a) y +) (x + ln x dy dx +) (x (ln ) (x) + x (x) (b) y sin p x dy dx q p (x) () x p x p x :. Misalkan u (ln x) + ; maka du (ln x) x dx: Jadi ln x du x sehingga integralnya menjadi 4. f (x) p + x u du u + C h (ln x) + i + C: merupakan fungsi turun pada [; ] : Karena f () ; f () p 5 dan f fungsi turun, maka nilai maksimum global dari f pada [; ] adalah dan nilai minimum global dari f dx; 4
pada [; ] adalah p 5 : Jadi menurut Teorema Keterbatasan Karena selang p 5 ( ) p 5 p dx ( ) + x p dx : + x p ; termuat dalam [; ] maka 5 p dx : + x 5. (x + ) x (x + ) dx x + x + x (x + ) dx x + x + x (x + ) A x + Bx + C x + A x + + (Bx + C) x x (x : + ) Jadi x + x + A x + + (Bx + C) x: x ) A x ) 4 A + B + C ) 4 + B + C ) B + C () x ) A + B C ) + B C ) B C () Dari persamaan () dan () diperoleh : B + C B C C 4 ) C ) B : Jadi integralnya menjadi : x + x dx +. Karena jxj x dx + x + dx ln jxj + tan x + C: x; x x; x < dan f (x) jika x > ; f (x) < jika x < ; maka f merupakan fungsi naik pada [,) dan turun pada ( ; ]: Jadi daerah penghitungan luas dibagi menjadi selang [ ; ] dan [; ] : 5
(a) Untuk mencari luas semua poligon luar pada selang [ ; ] : bagi selang [ ; ] menjadi n selang bagian yang sama panjang [x i ; x i ] dengan panjang 4x ( ) n n : Maka x i + i4x ) x i + (i ) 4x Sehingga luas semua poligon luar pada [ A n i ; ] adalah nx f (x i ) 4x (f fungsi turun) nx ( x i ) 4x i nx [ i4x + 4x] 4x i nx h4x (i ) (4x) i i nx i n n n n i nx (i ) n (n + ) n n (n + ) + n + n : (b) Untuk mencari luas semua poligon luar pada selang [; ] : bagi selang [; ] menjadi n selang bagian yang sama panjang [x i ; x i ] dengan panjang 4x n : Maka x i + i4x i4x Sehingga luas semua poligon luar pada [; ] adalah A nx f (x i ) 4x (f fungsi naik) i nx x i 4x i nx i (4x) i 9 X n n i i nx [i4x] 4x i 9 n n (n + ) 9 n (n + ) 9 + 9 n :
Jadi luas daerahnya adalah L lim n! + n + 9 + 9 n 5 satuan luas. 7. n h io 7 + 8 sin (t 9) dt T rata rata 7t 8 h i cos (t 9) 9 7 () cos 9 7 () 4 cos 4 9 4 cos 4 + 9 cos 4 9 4 cos 4 + 9 cos 7: 4 8. (a) Sketsa daerah D adalah : 7
(b) Dengan menggunakan x sebagai variabel pengintegralan diperoleh luas daerah D adalah : L 7 x h (x + ) (x ) i dx + x + x dx + + x + + h ( x + ) (x ) i dx x + x + dx x + + x + x 8 + + 4 + + 9. Rumus volume benda putar (a) jika R diputar terhadap garis y 5 dan dengan menggunakan metode cincin: V h (5 (jxj )) 5 4 x i dx; (b) jika R diputar terhadap garis x dan dengan menggunakan metode kulit tabung: V ( x) 4 x (jxj ) dx: (c) jika R diputar terhadap garis y metode kulit tabung: dan dengan menggunakan. V Dengan memisalkan + 4 (y + ) [(y + ) (y )] dy p p (y + ) 4 y 4 y dy S n x n sin x dx u x n ) du nx n dv sin x dx ) v cos x 8
dan dengan menggunakan pengintegralan parsial diperoleh S n [ x n cos x] + + n n x n x n nx n cos x dx cos x dx cos x dx Untuk x n cos x dx; dimisalkan u x n ) du (n ) x n dx dv cos x dx ) v sin x; maka dengan menggunakan pengintegralan parsial diperoleh Jadi x n cos x dx x n sin x S n n n (n ) n (n ) n n n (n ) S n : x n (n ) x n sin x dx x n sin x dx sin x dx! 9
UJIAN AKHIR SEMESTER KALKULUS Senin, 8 Juni (,5 jam) MASING-MASING SOAL BERBOBOT. (a) Tentukan R x p x dx (b) Hitunglah x + x dx. Daerah D dibatasi gra k fungsi y x dan x + y : Hitung luas daerah D:. Diketahui fungsi kontinu f dengan x f (x) ; x < x ; x 4 Berdasarkan Teorema Nilai Rata-rata untuk Integral, tentukan c sehingga f (c) 4 4 f (x) dx: 4. Tentukan solusi khusus persamaan diferensial berikut dy dx x + x ; y () : y 5. Tentukan integral taktentu berikut ln p x + dx:. Tentukan apakah pernyataan-pernyataan berikut ini BENAR ataukan SALAH. (Jawaban tepat: nilai ; jawaban tidak tepat: nilai ; tidak menjawab: nilai ) (a) Luas daerah yang dibatasi kurva y f (x) ; sumbu-x; garis x a; dan garis x b adalah R b a f (x) dx : (b) Jika f terintegralkan pada [a; b] ; pastilah f kontinu pada [a; b] : (c) Jika f takkontinu pada [a; b] ; pastilah tak ada c [a; b] sehingga R b f (x) dx a f (c) : b a (d) Misalkan f kontinu pada [a; b] dan x [a; b] ; maka x a f (t) dt f (x) :
7. Tentukan d B @ dx x C x sin (t) dta : 8. Tentukan x + x dx: 9. Diketahui gelas minuman setinggi h, jari-jari atas cm, jari-jari als cm (lihat Gambar ). Volume gelas tersebut dapat ditentukan dengan konsep volume benda putar dengan langkah sebagai berikut: (a) Rumuskan y f (x) pada gambar. (b) Gunakan metode cakram untuk menentukan volume gelas di atas dengan memutar daerah A:. Sebuah tim terpadu dibentuk dalam rangka penanggulangan penyakit ternak. Salah satu bagian dalam tim tersebut adalah tim "Musdelitnak" (Perumus Model Penyakit Ternak). Melalui pengamatan lapang oleh Tim pada sebuah area peternakan, diperoleh fakta bahwa masuknya seekor ternak yang telah terjangkit penyakit pada n ekor ternak yang sehat akan menyebabkan seluruh ternak pada akhirnya trjangkit penyakit. Misalnya y y (t) menyatakan banyaknya ternak yang sehat pada waktu
t, dan r adalah konstanta positif yang menyatakan laju keterjangkitan. Berdasarkan hal-hal ini, Tim mengusulkan sebuah model penyebaran penyakit ternak sebagai berikut dy dt ry (n + y) : Pada kesempatan yang baik ini, Tim Musdelitnak meminta bantuan mahasiswa TPB untuk turut berperan aktif dan kreatif dalam memecahkan dua permasalahan berikut: (a) Jika solusi khusus persamaan diferensial tersebut dapat dinyatakan sebagai A y (t) n + e Bt dengan A merupakan fungsi dari n; dan B merupakan fungsi dari n dan r; tentukanlah A dan B: (b) Misalkan semula terdapat ekor ternak sehat dengan laju keterjangkitan % per bulan. Tunjukkan bahwa waktu yang diperlukan sampai separuh dari jumlah ternak sehat ini terjangkit penyakit adalah (' 4, bulan) t ln (Catatan: Bantulah Tim Musdelitnak dengan sepenuh hati, karena keraguan atau kecerobohan hanya akan merugikan anda, bahkan dapat mengakibatkan makin merajalelanya penyakit ternak!) Soal Bonus (nilai maksimum 5) Tentukan integral taktentu berikut 5 z + ez sec z tan z + p dz z
JAWABAN UAS KALKULUS SENIN, 8 JUNI (,5 JAM). (a) Misalkan sehingga u x ) du x dx; x p x dx u du u + C x + C: (b) x + x dx x ln + 4 x4 ln + 4 ln + ln + 4 :. Titik potong kedua kurva dicari dengan cara sebagai berikut: x x x + x (x + ) (x ) x ; x Luas daerah yang dimaksud x x dx x x x 4 + 8 9 :
. f (c) 4 x dx + (x ) dx 4 ( 4 x + x x ) 4 + ( 4) ( ) 4 7 4 7 Untuk x < ; f (x) x ; sehingga f (c) c 7 ) c r 7 ; dan c r 7 r 7 Karena c [; ) dan c [; ) maka c dan c r 7 nilai c yang dimaksud TNR (meskipun [; 4]!!) r 7 bukan 4
Untuk x 4; f (x) x ; sehingga 4. f (c) c 7 ) c 49 ) c 49 4 [; 4] 4 Jadi c yang dimaksud TNR adalah 4 : dy dx x + x y y dy x + x dx y dy x + x dx y x + x + C: Nilai C ditentukan dari syarat awal y () : Jadi jika x ; maka y ; sehingga + + C ) C 7: Jadi solusi khusus dari persamaan diferensial tersebut adalah y x + x + 7: 5. ln p x + ln (x + ) ln (x + ) ; sehingga dengan memisalkan u ln (x + ) ) du x + dx dv dx ) v x; dan dengan pengintegralan parsial diperoleh ln (x + ) dx x ln (x + ) x ln (x + ) x ln (x + ) x x + dx x + x + dx + dx x + dx x ln (x + ) x + ln jx + j + C: 5
. (a) Salah (karena rumus yang benar adalah b b f (x) dx jf (x)j dx): a a b a jf (x)j dx sedangkan (b) Salah (karena fungsi takkontinu juga terintegralkan asalkan ketakkontinuannya di sejumlah hingga titik dan fungsinya terbatas, misalkan fungsi tangga). (c) Salah (karena ada fungsi takkontinu yang mempunyai nilai c yang demikian). (d) Salah (karena persamaan yang benar adalah d x f (t) dt f (x)) dx a 7. 8. 9. d dx x x sin (t) dt! d dx! x x sin (t) dt! sin (t) dt + x d dx x (di sini u x; v x + x dx x 5 x sin (t) dt) x sin (t) dt sin (t) dt + x sin x d dx x [cos t]x + x (x) sin x cos x cos + x sin x cos x + + x sin x : x 4 x + + x dx 5 x5 x + x tan x + tan tan :!
(a) Gra k fungsi y f (x) melalui titik (; ) dan (h; ) ; sehingga persamaan garisnya adalah y x h y x h y f (x) h x + (b) Dengan menggunakan metode cakram diperoleh volumenya adalah sebagai berikut V h h x + dx h h x + 4 h x + 4 dx h x + 4 h x h h + 4 h h h + h + 4h 9 h h + 4x + 4h. (a) dy ry (n + y) dt y (n + y) dy r dt R dy diselesaikan dengan menggunakan pengintegralan y (n + y) fungsi rasional: y (n + y) D y + E D (n + y) + Ey n + y y (n + y) Jadi D (n + y) + Ey 7
Jika Jadi y ; maka D (n + ) ) D n + y n + ; maka E (n + ) ) E n + y (n + y) dy n + y dy + n + n + y dy n + [ln jyj + ( ln jn + yj)] + C Karena y > ; dan diasumsikan y < n + ; maka ini berarti n + ln y rt + C n + y y ln (n + ) rt + C : n + y Jadi Karena y () n; maka y n + y Ce (n+)rt ; dengan C e C : n n + n Ce ) C n; sehingga y (n + y) ne (n+)rt (n + ) ne (n+)rt yne (n+)rt + ne (n+)rt y (n + ) ne (n+)rt Jadi y (n+)rt (n + ) ne + ne (n+)rt n (n + ) + ne (n+)rt e (n+)rt n (n + ) n (n + ) e (n+)rt + n n + e A (n+)rt n + e Bt : A n (n + ) ; dan B (n + ) r 8
(b) n (n + ) y (t) n + e (n+)rt n n (n + ) n + e (n+)rt n + e (n+)rt (n + ) n + e (n+)rt n + (n + ) rt ln (n + ) t ln (n + ) (n + ) r Jadi jika semula terdapat n dan tingkat kejangkitan r % ; maka ln () ln () t : (; ) Soal Bonus: 5 z + ez sec z tan z + p dz 5z ln jzj+e z sec z+sin z+c: z 9