Jural Matematika UNAND Vol. 3 No. 4 Hal. 52 59 ISSN : 233 29 c Jurusa Matematika FMIPA UNAND PENDUGAAN PARAMETER DARI DISTRIBUSI POISSON DENGAN MENGGUNAKAN METODE MAXIMUM LIKEHOOD ESTIMATION (MLE) DAN METODE BAYES MEUTIA FIKHRI, FERRA YANUAR, YUDIANTRI ASDI Program Studi Matematika, Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam, Uiversitas Adalas, Kampus UNAND Limau Mais Padag, Idoesia, fikhrimeutia@ymail.com Abstrak. Pedugaa titik dari sebuah parameter populasi adalah sebuah ilai yag diperoleh dari cotoh da diguaka sebagai peduga dari parameter yag ilaiya tidak diketahui. Pedugaa titik dapat ditetuka dega beberapa metode pedugaa, yaitu metode Mome, metode Maksimum Likelihood Estimatio (MLE) da metode Bayes. Tujua dari peelitia ii adalah utuk meetuka pedugaa titik pada distribusi Poisso utuk satu parameter dega metode Maksimum Likelihood Estimatio (MLE) da metode Bayes da membadigka kedua metode dalam meduga parameter distribusi Poisso. Distribusi Prior utuk metode Bayes yag diguaka pada peelitia ii adalah distribusi prior Gamma. Perbadiga kedua metode dilakuka melalui simulasi data pada berbagai kodisi parameter da ukura sampel, kemudia dilihat ketakbiasa, kekosistea, da keefisiea. Hasil simulasi data meujukka bahwa metode Bayes lebih kosiste dibadigka dega metode Maksimum Likelihood Estimatio (MLE) dalam meduga parameter distribusi Poisso. Kata Kuci: Distribusi Poisso, Distribusi Gamma, Metode Mamum Likelihood Estimatio (MLE), Metode Bayes, Metode Evaluasi Pedugaa. Pedahulua Statistika adalah suatu ilmu yag berisi sejumlah atura da prosedur utuk megumpulka data, meyajika data, megaalisa data, serta megiterpretasikaya. Metode statistika terbagi dua, yaitu statistika deskriptif da statistika iferesi. Statistika iferesi dapat dikelompokka ke dalam dua bidag utama, yaitu pedugaa parameter da pegujia hipotesis. Pedugaa parameter merupaka suatu cara utuk memprediksi karakteristik dari suatu populasi berdasarka cotoh yag diambil. Terdapat dua jeis pedugaa parameter dalam statistika, yaitu pedugaa titik da pedugaa selag. Pedugaa titik dari sebuah parameter populasi adalah sebuah ilai yag diperoleh dari cotoh da diguaka sebagai peduga dari parameter yag ilaiya tidak diketahui. Beberapa metode pedugaa titik yag diguaka utuk meduga parameter diataraya metode mome, metode Mamum Likelihood Estimatio (MLE) da metode Bayes. Metode mome meduga parameter dega cara meyamaka mome cotoh ke-k dega mome populasi ke-k da meyelesaika sistem persamaa 52
Pedugaa Parameter dari Distribusi Poisso dega Metode MLE da Bayes 53 yag dihasilka. Selajutya metode MLE merupaka suatu metode pedugaa parameter yag memaksimumka fugsi kemugkia. Kemudia metode Bayes merupaka metode pedugaa yag meggabugka distribusi prior da distribusi cotoh. Distribusi prior adalah distribusi awal yag memberi iformasi tetag parameter. Distribusi cotoh yag digabug dega distribusi prior aka meghasilka suatu distribusi baru yaitu distribusi posterior yag selajutya mejadi dasar utuk pedugaa parameter di dalam metode Bayes. Pada saat sekarag ii, telah bayak peelitia yag dilakuka megeai pedugaa parameter dega megguaka berbagai metode dari berbagai distribusi. Dalam peelitia ii dilakuka pegkajia megeai pedugaa parameter dari distribusi Poisso dega metode Mamum Likelihood Estimatio (MLE) da metode Bayes. Hasil pedugaa parameter dari distribusi Poisso dega metode MLE da metode Bayes ii aka dibadigka dega megguaka simulasi, kemudia dilihat ketakbiasa, keefisiea da kekosistea pada kedua metode. 2. Pedugaa Parameter Distribusi Poisso Megguaka Metode Mamum Likelihood Estimatio (MLE) Misalka X, X 2,..., X adalah cotoh acak Poisso (µ), maka fugsi kemugkia-ya adalah L(µ) f(x, x 2,, x ; µ) f(x i ; µ) i e µ µ i x i! e µ µ x i Logaritma atural dari fugsi kemugkiaya adalah l L(µ) l e µ µ x i l e µ + l µ x i l x i! i µ l e + x i l µ l x i! i
54 Meutia Fikhri dkk. Dega mediferesialka terhadap µ, maka diperoleh d l L(µ) dµ + µ µ µ. Selajutya aka dilakuka uji turua kedua utuk meujukka bahwa µ bearbear memaksimumka fugsi kemugkia L(µ) d 2 l L(µ) d 2 µ µ 2 <. Karea µ memaksimumka fugsi kemugkia L(µ), maka peduga utuk parameter µ megguaka metode Mamum Likelihood Estimatio (MLE) adalah µ MLE. (2.) 3. Pedugaa Parameter Distribusi Poisso Megguaka Metode Bayes Misalka X, X 2,, X adalah peubah acak dari distribusi Poisso (µ). Fugsi kemugkia dari distribusi Poisso (µ) adalah L(µ) f(x, x 2,, x ; µ) f(x i ; µ), L(µ) i e µ µ i x i! e µ µ x i i x. i! Prior sekawa utuk distribusi Poisso dega parameter µ aka memiliki betuk yag sama sebagai fugsi kemugkia, yaitu memiliki betuk L(µ) e µ µ Σ. Distribusi yag memiliki betuk seperti ii adalah distribusi Gamma (α, ), yag memiliki betuk fugsi kepekata peluag : f(µ; α, ) α Γ(α) µα e dega α Σx i, da α Γ(α) adalah faktor yag dibutuhka utuk membuat fugsi kepekata peluag tersebut. µ,
Pedugaa Parameter dari Distribusi Poisso dega Metode MLE da Bayes 55 Dalam teorema Bayes setelah data diambil da prior telah ditetuka, maka kemudia dicari distribusi posteriorya, yaitu f(µ x) f(µ)f(x µ) f(µ)f(x µ)dµ. (3.) Jika X P oisso(µ) da distribusi prior µ GAM(α, ), maka distribusi posterior dapat diyataka sebagai fugsi bersyarat dari µ dega x diketahui, sehigga berdasarka Defiisi 2.2.2 dapat ditulis dega f(µ x) f(µ, x) f(x). (3.2) Karea f(µ, x) dapat diyataka dega f(x)f(µ x) atau f(µ)f(x µ), maka f(µ)f(x µ) µα e µ e µµσx i α Γ(α) µ α +Σ e µ(+ ) α Γ(α) (3.3) Selajutya perhatika f(x), dimaa f(x) merupaka fugsi margial dari x, sebagai berikut. f(x) f(µ, x)dµ f(µ)f(x µ)dµ µ α +Σ e µ(+ ) α Γ(α) i x dµ i! α Γ(α) i x µ α +Σ e µ(+ ) dµ i! α Γ(α) Γ(α + Σx i)(( + ) ) α+σx i (3.4) Dega persamaa (3.2), (3.3), da (3.4), distribusi posterior dapat ditulis sebagai f(µ x) f(µ x) f(µ)f(x µ) f(µ)f(x µ)dµ µ α +Σ e µ(+ ) α Γ(α) Γ(α + Σx i )(( + ) ) α+σ α Γ(α) e µ(+ ) µ α +Σ Γ(α + Σx i )(( + ) ) α+σ (3.5) Berdasarka persamaa (3.5) dapat diketahui bahwa distribusi posterior diatas merupaka distribusi Gamma dega parameterya α + Σx i da ( + ) atau µ GAM(α + Σx i, ( + ) ).
56 Meutia Fikhri dkk. Nilai rata-rata posterior dijadika sebagai peduga parameter µ dalam metode Bayes [8]. Berdasarka Teorema diyataka bahwa jika X GAM(α, ) maka µ E(X) α. Dega demikia peduga Bayes utuk parameter µ, yag diyataka dega µ B adalah µ B α + Σx i + (3.6) 4. Evaluasi Sifat Peduga 4.. Sifat Tak Bias dari Nilai Dugaa µ dega Megguaka metode Mamum Likelihood Estimatio (MLE) Jika X, X 2,, X adalah cotoh acak Poisso (µ) da diketahui peduga MLE ya adalah µ MLE Σ, maka ilai harapa µ adalah E( µ MLE ) E( ΣX i ) E(ΣX i) ΣE(X i) Σµ µ µ Karea E( µ MLE ) µ, maka µ MLE merupaka peduga tak bias bagi µ. 4.2. Sifat Tak Bias dari Nilai Dugaa µ dega Megguaka Metode Bayes Misalka X, X 2,, X adalah cotoh acak Poisso (µ). Diketahui µ B α+σ + merupaka pedugaa Bayes utuk parameter µ, maka ilai harapa dari pedugaa Bayes µ B adalah E( µ B ) E( α + ΣX i + ) + E(α + ΣX i ) + E(α) + E(ΣX i ) + E(α) + ΣE(X i ) + (α + µ)
Pedugaa Parameter dari Distribusi Poisso dega Metode MLE da Bayes 57 Karea E( µ B ) µ, maka µ B merupaka peduga bias bagi µ. Tetapi secara asimtotik tidak bias karea lim E( µ) µ lim + α + µ (α + µ) lim + lim lim µ µ α + µ + / α + µ + 5. Membadigka sifat peduga parameter µ atara metode Mamum Likelihood Estimatio (MLE) da metode Bayes Peduga yag diperoleh dega megguaka metode Mamum Likelihood Estimatio (MLE) da metode Bayes aka dibadigka megguaka simulasi. Simulasi data dilakuka dega program R, yaitu membagkitka data berdistribusi Poisso dega µ.5, µ.5, µ, serta lima macam ukura sampel yaitu 25,5,,5,. Kemudia dilakuka perulaga sebayak 5 kali. Selajutya dihitug ilai rata-rata da ilai Mea Square Error (MSE) dari kedua metode. Nilai rata-rata da ilai Mea Square Error (MSE) ditampilka pada tabel da tabel 2 Tabel. Rata-rata ilai dugaa dega Metode Mamum Likelihood Estimatio (MLE) da Metode Bayes Tabel da 2 meujukka ilai rata-rata da ilai MSE yag berbeda dari
58 Meutia Fikhri dkk. Tabel 2. Nilai Mea Square Error (MSE) dega Metode Mamum Likelihood Estimatio (MLE) da Metode Bayes masig-masig metode. Terlihat bahwa semaki besar ukura cotoh, ilai ratarata pada kedua metode semaki medekati ilai µ, da ilai MSE yag dihasilka semaki kecil da medekati. Metode Bayes meghasilka ilai MSE yag lebih kecil dibadigka dega metode MLE. 6. Kesimpula Kesimpula yag dapat diambil dari peelitia yag telah dilakuka atara lai:. a. Peduga parameter µ dega metode Mamum Likelihood Estimatio (MLE) utuk distribusi Poisso (µ) jika diyataka sebagai µ dapat dirumuska sebagai µ b. Peduga parameter µ dega metode Bayes utuk distribusi Poisso (µ) jika diyataka sebagai µ B dapat dirumuska sebagai µ B α + Σx i + 2. Secara teoritis, pedugaa parameter dega metode MLE adalah peduga tak bias da metode Bayes adalah peduga bias bagi parameter µ dari distribusi Poisso. Namu peduga Bayes adalah peduga tak bias asimtotik bagi parameter µ. Karea kedua peduga adalah peduga tak bias da peduga bias, sehigga tidak bisa dibadigka keefisiea dari peduga kedua metode, karea keefisiea peduga berlaku utuk peduga yag tak bias. Pada tabel da 2, terlihat bahwa semaki besar ukura cotoh, ilai rata-rata pada kedua metode semaki medekati ilai µ, da ilai MSE yag dihasilka semaki kecil da medekati. Metode Bayes meghasilka ilai MSE yag lebih kecil dibadigka dega metode MLE. Sehigga pedugaa parameter µ dari distribusi Poisso dega metode Bayes lebih kosiste dibadigka dega metode MLE.
Pedugaa Parameter dari Distribusi Poisso dega Metode MLE da Bayes 59 7. Ucapa Terima kasih Peulis megucapka terima kasih kepada Bapak Dr. Dodi Deviato, Ibu Dr. Maiyastri, da Ibu Dr. Lyra Yuliati yag telah memberika masuka da sara sehigga paper ii dapat diselesaika dega baik. Daftar Pustaka [] Al-Kutubi HS, Ibrahim NA. 29. Bayes Estimator for Expoetial Distributio with Extesio of Jeffrey Prior Iformatio. Malaysia Joural of Mathematical Scieces. 3(2): 297-33. [2] Bai, L.J ad Egelhardt, M. 992. Itroductio to Probability ad Mathematical Statistics Secod Editio. Duxbury Press, Califoria. [3] Bolstad, W.M. 27. Itroductio to Bayesia Statistics Secod Editio. A Joh Wiley da Sos Ic Publicatio, America. [4] Casella, G ad R.L. Berger. 2. Statistical Iferece Secod Editio. Pacific Grove, Califoria. [5] Nurlaila Dwi, Dada Kusadar, da Evy Sulistiaigsih. 23. Perbadiga Metode Mamum Likelihood Estimatio (MLE) da Metode Bayes dalam Pedugaa Parameter Distribusi Ekspoesial. Buleti Ilmiah Mat.Stat da terapaya. [6] Pradha B, Kudu D. 28. Bayes Estimatio ad Predictio of the Two- Parameter Gamma Distributio. Applied Mathematical Scieces. 2(5):252-253. [7] Walpole, R.E. 993. Pegatar Statistika Edisi ke-3. PT Gramedia Pustaka Utama, Jakarta. [8] Walpole, R.E da Myers, R.H. 995. Ilmu Peluag da Statistika utuk Isiyur da Ilmuwa. ITB, Badug.