Pelabela E-cordial pada Gra Hasil Cartesia Product Kholis Widyasmedi, R. Heri Soelistyo Program Studi Matematika Jurusa Matematika Fakultas Sais da Matematika Uiversitas Dipoegoro Email: widyasmedi@gmail.com ABSTRAK Diberika sebuah gra G = V, E). Pelabela e-cordial adalah pemetaa bier : E {,} yag megiduksi pelabela titik yag dideiisika dega = uvεe uv mod ) ; sehigga memeuhi e e ) da v v ). Syarat perlu utuk sebuah gra G, utuk memeuhi sebuah pelabela e-cordial adalah mod 4). Sedagka Gra K adalah e- cordial utuk semua mod 4) da gra W adalah e-cordial jika da haya jika mod 4. Gra G merupaka gra hasil cartesia product utuk beberapa gra yag dioperasika dega gra path P yaitu K P da P P adalah e-cordial utuk geap serta W P da K, P adalah E-cordial utuk gajil. Kata kuci : Pelabela E-cordial, cartesia product. Pedahulua Pelabela E-Cordial adalah sebuah pelabela bier pada sisi yag megiduksi pelabela pada titik dalam sebuah gra, dimaa pelabela E-cordial merupaka perluasa materi dari pelabela Cordial yag dikealka oleh Cahit 987) da bersama Yilmaz memperkealka pelabela E-cordial 997).. Dasar Teori Permasalaha dibatasi megeai pelabela e-cordial dega gra sederhaa, berhigga, terhubug da tak berarah. Da beberapa deiisi sebagai berikut. Deiisi. Sebuah Pemetaa V G {,}dari gra G disebut pemetaa titik bier dari G da v) adalah pelabela pada titik v dimaa ugsi pemetaa tersebut megiduksi pelabela pada sisi e = uvyag diyataka dega E G {,} da memeuhi rumus pelabela sisi e = uv = u v), sehigga didapatka v i) meyataka bayakya titik yag dilabelka dega i da e i) meyataka bayakya sisi yag dilabelka dega i dimaa i berbobot da. Deiisi. Sebuah pelabela titik bier dari gra G disebut pelabela cordial jika v v ) da e e) terpeuhi da sebuah gra G disebut gra cordial jika kodisi diatas terpeuhi. Deiisi.3 Hasilkali kartesiaatarahimpuaadahimpuab,ditulisaxbadalahsemuapasagaterurut a,b) utuka Adab B. 38
3. Pelabela E-cordial 3. Pelabela e-cordial pada Gra Deiisi 3.. Misalka adalah sebuah pelabela sisi bier dari gra G=V,E) yag memeuhi :EG) {,} da megiduksi pelabela pada titik yag dideiisika sebagai v = uvεe uv mod ), dimaa v V da uv) E. Fugsi disebut ugsi pemetaa E-Cordial dari G jika memeuhi kodisi sebagai berikut: ) e e ) ; ) v v ) ; Dimaa e, e berturut-turut meyataka bayakya sisi yag berlabel da, v, v ) berturut-turut meyataka bayakya titik yag berlabel dega da. Lemma 3.. Jika dalam sebuah pelabela dari beberapa gra memeuhi e e ), maka v ) mod ). Diberika sebuah pelabela, jika dalam pelabela sisi dari sebuah gra G diberika label, maka label sisi tersebut aka megiduksi dua titik yag iside terhadap garis tersebut. Titik yag dilabelka dega, aka selalu berjumlah geap jika pada pelabela sisiya memeuhi e e ) tapa memperhatika bayak titik yag dilabelka dega. Sehigga bayakya titik yag dilabelka dega adalah v ) mod ). Cotoh v 5 v v v v 5 v v 5 v v v v v v 3 4 3 v4 3 v4 v ) mod ) ) 4 mod ) ) 4 mod ) v Gambar Teorema 3..3 Syarat cukup dari pelabela e-cordial, diberika Gra G dega VG)=. Jika mod 4), maka Gra G memeuhi pelabela e-cordial. Diberika sebuah gra G yag memiliki titik sebayak mod 4). Utuk memeuhi sebuah pelabela e-cordial dibutuhka titik yag memiliki pelabela v 39
dega pelabela yag sama yaitu v = v =. Didapatka v = v = = mod ), sehigga kotradiksi dega Lemma 3... Jadi Gra G memeuhi Pelabela e-cordial jika mod 4). v v v v4 3 v 5 v 4 v mod4) mod4) mod4) 3mod4) Gambar Akibat 3..4 Jika G adalah sebuah gra dega mod 4) da adalah sebuah pelabela e-cordial dari G maka v = v + Diberika sebuah gra G dega titik sebayak mod 4. Utuk memeuhi pelabela e-cordial, v ) da v ) haruslah memeuhi v v da meurut Lemma 3.. bayakya titik yag diberi label adalah v mod. Agar memeuhi syarat tersebut, dimisalka bahwa titik =a+b, dimaa a adalah jumlah titik yag berlabel da harus mempuyai bayak pelabela geap sehigga ilai a = = mod da b adalah titik yag berlabel sebayak b = a = + didapatka ilai b = v = v + di maav = a da v = b. = v v 3 v v v 3 = + = +, sehigga + = a +. Dari pejabara tersebut didapatka Akibat 3..5 Jika G adalah sebuah gra dega titik sebayak 3mod 4), da adalah sebuah pelabela e-cordial dari G maka v = v + Diberika sebuah gra G dega titik sebayak 3mod 4).. Utuk memuhi pelabela e-cordial, v ) da v ) harus memeuhi v v ) da meurut Lemma 3.. ilai titik yag berlabel adalah v ) mod ). Agar memeuhi syarat tersebut, dimisalka bahwa titik =a+b, dimaa a adalah jumlah titik yag berlabel da harus mempuyai bayak pelabela geap sehigga ilai a = + = mod ) da b adalah titik yag berlabel berilai b = a = + + = =, sehigga didapatka ilai b = = = a. Dari pejabara tersebut didapatka v = v atau v = v + di maa v = a da v = b. v v 4
3. Pelabela E-cordial pada gra komplit K da gra Roda W Teorema 3..[7] Gra komplit K adalah E -Cordial utuk semua mod 4) Dari Teorema 3..3 terbukti bahwa utuk memeuhi pelabela E-cordial dari gra G adalah mod 4) dimaa adalah bayakya titik dari G. Pada teorema 3.. aka dibuktika dega iduksi matematika dega meambahka sebuah titik v + yag adjacet terhadap semua titik pada gra K yag meghasilka sebuah gra komplit K +, bahwa ketika sebuah gra komplit K + mempuyai titik sebayak + mod 4, tidak memeuhi pelabela E-cordial yag disajika pada tabel. Utuk kasus Titik K Sisi K Titik K + Sisi K + v e ) e ) v ) v ) e ) e ) 3mod4) ) v ) mod4) ) v ) v e ) e ) v ) v ) e ) e ) v e ) e ) v ) v ) e ) e ) mod4) ) v ) v e ) e ) v ) v ) e ) e ) mod4) ) v ) Teorema 3..[7] Gra Roda W adalah e-cordial jika da haya jika mod 4) Diketahui W e-cordial. Aka dibuktika dega kotraposisi, gra W merupaka gra yag e-cordial ketika mod 4). Diberika gra rodaw dega mod 4). Dari deiisi gra rodaw, gra tersebut memiliki titik sebayak +. Yag berakibat ketika mod 4), bayakya titik pada gra roda W adalah + mod 4) da dari Teorema 3..3, gra roda W buka merupaka pelabela e-cordial. Aka dibuktika gra roda W E-Cordial jika mod 4), mod 4), 3mod 4), kecuali utuk mod 4). Diberika v, v, v, v + sebagai titik peyusu dari gra W, dimaa + adalah 4
bayakya titik yag ada pada gra W dimaa e, e, e sebagai sisi peyusu dari sisi sikel ke titik pusat gra W da e,, e,3, e, sisi luar sikel dari gra C, dimaa C W. Dideiisika pemetaa dari titik pada sisi sikel ke titik pusat dari gra roda W sebagai berikut jika i + e i = jika i da dideiisika pemetaa sisi dari titik sikel dari gra roda W sebagai berikut jika i mod ) e i,i+ = jika i mod ) Dari deiisi tersebut aka dibuktika bahwa gra roda W memeuhi pelabela e- cordial melalui 4 kasus sebagai berikut. Jika mod 4) maka didapatka v = v +, Jika mod 4) maka didapatka v = v +, Jika 3 mod 4) maka didapatka v = v. Sehigga, W adalah e-cordial jika mod 4). 3.3 Pelabela e-cordial pada Gra Hasil Cartesia Product Teorema 3.3. Gra Cartesia ProductK P adalah E-cordial utuk bilaga geap. Misalka G adalah sebuah gra hasil cartesia product dari K P dimaa V G = {v ij i =,,, da j =,} adalah titik dari gra G. Pemetaa sisi pada gra K P utuk i, k dideiisika sebagai berikut v i v k = v i v k = ; i mod) v i v i = ; yag lai Selajutya aka dibuktika pelabela titik pada gra cartesia productk P memeuhi rumus v = uv E uv mod ). Sesuai deiisi utuk pelabela sisi, diperoleh perhituga utuk pelabela titik gra K pertama sebagai berikut, v i = v i v i + i k k= v i v k ) mod k =,,, 4
Aalog dega gra K pertama, pelabela titik gra v i = v i v i + i k k= K kedua sebagai berikut v i v k ) mod k =,,, Kodisi sisi da titik Gra Cartesia ProductK P yag e-cordial disajika pada tabel. Kodisi titik Kodisi sisi v = v = v = v = Illustrasi 3.3. v 6 v v 5 v 4 v v 3 v 3 v v Gambar 3 Teorema 3.3.3 Gra Cartesia Product W P adalah E-Cordial utuk bilaga gajil Misalka G adalah sebuah gra hasil cartesia product dari W P dimaa V G = {v ij i =,,,, + da j =,} adalah titik dari gra G. Pemetaa sisi pada gra W P utuk i, k + dideiisika sebagai berikut v i v k = v i v k = ; i mod) v i v i = ; yag lai Selajutya aka dibuktika pelabela titik pada gra cartesia productw P memeuhi rumus v = uv E uv mod ). Sesuai deiisi utuk pelabela sisi, diperoleh perhituga utuk pelabela titik gra W pertama sebagai berikut, v 4 v 5 v 6 43
i+ v i = v i v i + v i v k i k k k=i + v i v p mod k =,,.. mod ) k k = = Aalog dega gra W pertama, pelabela titik gra W kedua sebagai berikut i+ v i = v i v i + v i v k Utuk titik pusat i k k k=i + v i v p mod k =,,.. mod ) k k = = v p = v p v p + v p v k )) k= v p = v p v p + v p v k )) k= mod mod k =,,, k =,,, Kodisi sisi da titik Gra Cartesia Product W P yag e-cordial disajika pada tabel 3 Kodisi titik Kodisi sisi v = v = + v = v = 5 + Illaustrasi 3.3.4 v v v 5 v v v 5 v p v p v v4 3 Gambar 4 v v3 4 44
Teorema 3.3.5 Gra Cartesia ProductL = P P dikeal sebagai gra tagga) adalah E- Cordial utuk bilaga geap. Misalka G adalah sebuah gra hasil cartesia product dari P P dimaa V G = {v ij i =,,, da j =,} adalah titik dari gra G. Pemetaa sisi pada gra P P utuk i, k dideiisika sebagai berikut v i v k = v i v k = ; i mod) v i v i = ; yag lai Selajutya aka dibuktika pelabela titik pada gra cartesia productp P memeuhi rumus v = uv E uv mod ). Sesuai deiisi utuk pelabela sisi, diperoleh perhituga utuk pelabela titik gra P pertama sebagai berikut, i+ v i = v i v i + i k v i v k )mod ) k = i, i + k=i Aalog dega gra P pertama, pelabela titik P kedua sebagai berikut i+ i k k=i v i = v i v i + v i v k )mod ) k = i, i + Kodisi sisi da titik Gra Cartesia ProductP P yag e-cordial disajika pada tabel 4. Illustrasi 3.3.6 Kodisi titik Kodisi sisi v = v = v = v = 3 v v v 3 v 4 v 5 v6 v v v 3 v 4 v 5 v 6 Gambar 5 45
Teorema 3.3.7 Gra Cartesia ProductB = K, P dikeal sebagai gra buku) adalah E- Cordial utuk bilaga gajil. Misalka G adalah sebuah gra hasil cartesia product dari K, P dimaa V G = {v ij i =,,, + da j =,} adalah titik dari gra G. Pemetaa sisi pada gra K, P utuk i, k + dideiisika sebagai berikut v i v k = v i v k = ; i mod) v i v i = ; yag lai Selajutya aka dibuktika pelabela titik pada gra cartesia productk. P memeuhi rumus v = uv E uv mod ). Sesuai deiisi utuk pelabela sisi, diperoleh perhituga utuk pelabela titik gra K, pertama sebagai berikut, v i = v i v i + v i v p )mod ) p = + Aalog dega gra K, pertama, pelabela titik K, kedua sebagai berikut v i = v i v i + v i v p )mod ) p = + Sedagka utuk titik pusat v p Utuk titik pusat pertama v p = v p v p + j = v p v j ))mod ) j =,, Utuk titik pusat pertama v p = v p v p + j = v p v j ))mod ) j =,, Kodisi sisi da titik Gra Cartesia ProductK, P yag e-cordial disajika pada tabel 5 Kodisi titik Kodisi sisi v = v = v = v = 3 + 46
Illustrasi 3.3.8 v v v v v p v p v 3 v 3 v 5 v 5 v 4 v 4 Gambar 6 4. Kesimpula Sebuah gra merupaka gra e-cordial bila memeuhi syarat pelabela pada sisi e e ), pelabela titik teriduksi dari pelabela sisi da diperoleh v v ), da memiliki titik sebayak mod 4).Gra Komplit K merupaka e-cordial bila mod 4) da gra Roda W merupaka e- cordial bila mod 4).Gra hasil operasi cartesia product yag dioperasika dega gra path P merupaka e-cordial bila memiliki jumlah titik mod ) pada gra peyusu utamaya. 5. Datar Pustaka [] Wilso, Robi J. da Joh J Watkis. 99. GraPegatar. Terjemaha oleh Theresia da Tirta Seputro. Surabaya: Uiversity Press IKIP Surabaya. [] Chartrad, G. ad Lesiak, L. 996. Graphs & Digraphs, 3 rd ed, Lodo: Chapma & Hill. [3] Muir, Rialdi. 7. Matematika Diskrit. Badug: Iormatika Badug. [4] Lipschutz Seymour da Lipso, Marc Lars.. Seri Peyelesaia Soal Schaum Matematika Diskrit. Terjemaha oleh Tim Editor Peerbit Salemba Tekika. Jakarta: Salemba Tekika. [5] Kumala, F. Z.. Pelabela Cordial pada Gra C C ). Fakultas Sais da Matematika, Uiversitas Dipoegoro.. Semarag : Udip. [6] Vaidya S. K., ad N. B. Vyas.. "E-Cordial Labellig or Cartesia Product o Some Graphs. CSCaada, Vol 3, No., -5,. [7] Yilmaz, R. Ad Cahit, I. 997). E-Cordial Graphs, Ars.Combiatoria, No. 46, 5-66. 47