DIKTAT KULIAH ANALISIS NUMERIK ( CIV

DIKTAT KULIAH ANALISIS NUMERIK ( CIV 8 Oleh : Agus Setawan S.T. M.T. PROGRAM STUDI TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNOLOGI & DESAIN UNIVERSITAS PEMBANGUNAN JAYA TANGERANG SELATAN 6

DAFTAR ISI KATA PENGANTAR DAFTAR ISI BAB I PENGANTAR METODA NUMERIK. Pendahuluan. Model Matematka Sederhana. Solus Analts Permasalahan Penerjun Payung 5.4 Solus Numerk Permasalahan Penerjun Payung 6.5 Kesalahan Absolut dan Kesalahan Relatf 7.6 Truncaton Error 9.7 Perambatan Kesalahan (Error Propagaton.8 Sumber Sumber Error Yang Lan 5 BAB II PENYELESAIAN PERSAMAAN NON LINEAR 6. Pendahuluan 6. Metoda Grafk 6. Metoda Interval Tengah (Bsecton Method 8.4 Metoda Interpolas Lnear 9.5 Metoda Secant.6 Metoda Newton Raphson.7 Metoda Iteras Satu Ttk : Metoda = g(.8 Penerapan Dalam Bdang Rekayasa Teknk Spl.8. Bdang Rekayasa Struktur 6.8. Bdang Rekayasa Transportas 4.8. Bdang Rekayasa Sumber Daya Ar 4 BAB III SISTEM PERSAMAAN LINEAR 46. Metoda Elmnas Gauss 46. Metoda Elmnas Gauss Jordan 5. Metoda Matrks Invers 5.4 Iteras Jacob 54.5 Iteras Gauss Sedel 57.6 Dekomposs LU.6. Dekomposs LU Metoda Elmnas Gauss 6.6. Dekomposs LU Metoda Crout 6.7 Dekomposs Cholesky 65.8 Sstem Persamaan Lnear Dalam Bdang Teknk Spl.8. Bdang Rekayasa Struktur 66.8. Bdang Manajemen Konstruks 7 BAB IV INTERPOLASI 74 4. Polnom Interpolas Newton 4.. Interpolas Lnear 75 4.. Interpolas Kuadrat 75 4.. Interpolas Orde n 76 4. Polnom Interpolas Lagrange 79 4. Interpolas Dalam Bdang Teknk Spl

4.. Bdang Rekayasa Struktur 8 4.. Bdang Rekayasa Sumber Daya Ar 8 DAFTAR PUSTAKA 84 v

BAB I PENGANTAR METODA NUMERIK. Pendahuluan Metoda Numerk adalah suatu teknk penyelesaan yang dformulaskan secara matemats dengan cara operas htungan/artmatk dan dlakukan secara berulang ulang dengan bantuan komputer atau secara manual ( hand calculaton. Dalam analsa suatu permasalahan yang ddekat dengan menggunakan metoda numerk pada umumnya melbatkan angka angka dalam jumlah banyak dan proses perhtungan matematka yang cukup rumt. Perhtungan secara manual akan memakan waktu yang panjang dan lama ( consumng tme namun dengan munculnya berbaga software komputer masalah n dapat dselesakan dengan mudah. Beberapa bahasa pemrograman yang dapat dpaka dalam metoda numerk sepert C++ Fortran Turbo Pascal Basc dan lan lan.. Model Matematka Sederhana Sebuah model matematka dapat ddefnskan secara kasar sebaga sebuah formulas atau persamaan yang mengekspreskan suatu sstem atau proses dalam stlah matematka. Sebaga bentuk yang umum model matematka dapat drepresentaskan dalam hubungan fungsonal dalam bentuk : Varabel terkat = f (varabel bebas parameter fungs gaya. Varabel terkat pada umumnya mencermnkan perlaku dar sstem sedangkan varabel bebas serng berupa waktu atau ruang. Parameter merupakan propert dar sstem (msalnya koefsen gesekan sstem dan fungs gaya adalah pengaruh luar yang bekerja pada sstem. Ekspres matematka dalam persamaan. dapat berupa suatu persamaan aljabar sederhana namun dapat pula berupa satu set persamaan dferensal yang kompleks. Hukum gerak Newton II yang menyatakan bahwa Catatan Kulah Analss Numerk CIV-8

laju perubahan momentum pada suatu sstem adalah sama dengan resultan gaya yang bekerja padanya. Ekspres matematka atau model dar Hukum Newton II adalah suatu persamaan yang cukup terkenal yatu: F = m.a. Dengan F adalah gaya luar yang bekerja pada sstem (dalam Newton atau klogram-meter per detk m adalah massa dar objek (dalam klogram dan a adalah percepatan (dalam m/s. Hukum Newton II dapat dbentuk sepert persamaan. dengan membag kedua ss persamaan. dengan m sehngga dperoleh bentuk: F a. m Dengan a adalah varabel terkat yang mencermnkan perlaku sstem F adalah fungs gaya dan m adalah parameter yang merepresentaskan propert dar sstem. Sebaga catatan dalam kasus sederhana n tdak djumpa varabel bebas sebab kta tdak mempredkskan perubahan percepatan dalam waktu atau uang. Karena bentuk aljabar yang sederhana maka solus dar persamaan. dapat dperoleh dengan mudah. Namun model matematka yang lan dar fenomena fsk dapat lebh kompleks dan pada umumnya tak bsa dselesakan secara eksak atau memerlukan teknk matematka yang canggh untuk mendapatkan solusnya. Untuk menglustraskan model yang lebh kompleks n Hukum Newton II dapat juga dgunakan untuk menentukan kecepatan akhr sebuah benda jatuh bebas d dekat permukaan bum. Pemodelan matematka dar seorang penerjun payung dalam gambar. dapat dturunkan dengan mengekspreskan percepatan sebaga laju perubahan kecepatan (dv/dt. Substtuskan dv/dt kedalam persamaan. akan dperoleh dv m F.4 dt Dengan v adalah kecepatan (dalam m/s. Sehngga massa dkalkan laju perubahan kecepatan adalah sama dengan resultan gaya yang bekerja pada sstem. Jka resultan gaya adalah postf maka sstem bergerak dpercepat. Jka resultan gaya negatf sstem akan bergerak dperlambat. Sedangkan bla resultan gaya sama dengan nol kecepatan sstem akan tetap. Catatan Kulah Analss Numerk CIV-8

Selanjutnya kta akan mengekspreskan resultan gaya dalam bentuk varabel dan parameter terukur. Untuk seorang penerjun payung yang jatuh d sektar bum (gb.. resultan gaya terdr dar dua gaya yang berlawanan: gaya tark kebawah dar gravtas F D dan gaya angkat dar tahanan udara F U. F = F D + F U.5 F U = c.v F D = m.g Gambar. Gaya Yang Bekerja Pada Payung Jka gaya kebawah dber tanda postf Hukum Newton II dapat dgunakan untuk memformulaskan gaya akbat gravtas sebaga F D = m.g.6 Dengan g adalah konstanta gravtas yang besarnya adalah 98m/s. Tahanan udara dapat dformulaskan melalu berbaga macam cara. Pendekatan yang palng sederhana adalah dengan mengasumskannya proporsonal lnear terhadap kecepatan dan bekerja dalam arah ke atas. F U = c.v.7 Dengan c adalah koefsen gesekan udara dalam kg/s. Catatan Kulah Analss Numerk CIV-8

Gaya resultan adalah selsh antara gaya ke atas dan gaya ke bawah. Oleh karena tu persamaan.4 sampa.7 dapat dkombnaskan sehngga dperoleh dv m m. g c. v.8 dt Membag kedua ss persamaan.8 dengan m dperoleh: dv dt c g v.9 m Persamaan.9 adalah sebuah model yang menghubungkan percepatan benda jatuh bebas dengan gaya yang bekerja padanya. Persamaan n adalah sebuah persamaan dferensal sebab drumuskan dalam bentuk laju perubahan (dv/dt dar varabel yang ngn kta tentukan. Namun solus eksak dar persamaan.9 tak dapat dperoleh melaluperhtungan aljabar sederhana. Teknk lanjutan dar kalkulus harus dterapkan untuk mencar solus eksak atau analts dar.9 dengan ntal condton (v = saat t = maka solus eksaknya adalah : g. m ( c / m. t v( t e. c Perhatkan bahwa v(t adalah varabel terkat t adalah varabel bebas c dan m adalah parameter dan g adalah fungs gaya. Persamaan. dsebut sebaga solus eksak atau solus analts dar persamaan.9. Namun banyak model matematka yang tak dapat dselesakan secara eksak sehngga alternatf penyelesaannya adalah melalu solus numerk yang merupakan hampran bag solus eksak. Sebaga lustras laju perubahan kecepatan dalam Hukum Newton II dapat ddekat sebaga berkut : dv dt v v( t v( t t t t. Dengan v dan t adalah perubahan kecepatan dan waktu yang dhtung dalam suatu selang. Sedangkan v(t adalah kecepatan pada waktu t dan v(t + adalah kecepatan pada waktu t +. sebaga pendekatan dferens hngga ( fnte dfference. Persamaan. serng dsebut Catatan Kulah Analss Numerk CIV-8 4

Bla. dsubsttuskan ke dalam persamaan.9 maka akan dperoleh : v( t v( t g t t c m. v( t Persamaan..a dapat datur sehngga dperoleh bentuk :..a c v( t v( t g. v( t t t m..b V(t + v Slope sebenarnya (dv/dt Slope pendekatan v v( t v( t t t t v v(t t t t + t Gb.. Penggunaan Fnte Dfference Untuk Pendekatan Terhadap dv/dt. Solus Analts Permasalahan Penerjun Payung Berkut n akan dberkan contoh penyelesaan analts dar problem penerjun payung. Jka seorang penerjun payung dengan massa 68 kg melakukan suatu terjun bebas htung kecepatannya setelah detk sebelum payung terbuka. Htung pula kecepatan akhrnya. Asumskan koefsen gesekan udara c = 5 kg/s. Gunakan selang waktu t = detk. Solus : Dar persamaan. dengan mensubsttuskan harga harga g m dan c : 98.(68 (5 / 68 t v. e 5 v 59 e 855. t Catatan Kulah Analss Numerk CIV-8 5

Hasl perhtungan dtamplkan dalam tabel berkut : t(detk v(m/s 64 4 777 6 564 8 49 4487 4749 ~ 59.4 Solus Numerk Permasalahan Penerjun Payung Selanjutnya permasalahan dalam sub bab. akan ddekat secara numerk yatu dengan menggunakan persamaan..b. Dengan memasukkan konds awal yatu pada saat t = detk kecepatan v(t = m/s maka pada saat t + = detk kecepatan akan menjad : 5 v 98.(.( 68 = 96 m/dt Untuk perhtungan selanjutnya dengan t = detk t + = 4 detk dan v(t = 96 m/dt maka v(t + adalah : 5 v 96 98.(96.(4 68 = m/dt Perhtungan selanjutnya dapat dtabelkan sebaga berkut : t v(t 96 4 6 986 8 448 4797 4996 ~ 59 Plot grafk hasl perhtungan secara analts dan numerk dtamplkan dalam gambar. berkut n. Catatan Kulah Analss Numerk CIV-8 6

kecepatan ( vm/detk Solus Analts dan Numerk Permasalahan Penerjun Payung 6 5 4 4 5 6 w aktu (t detk Solus Numerk Solus Analts Gb.. Grafk Solus Analts dan Numerk Permasalahan Penerjun Payung Dar gambar. nampak bahwa terdapat sedkt perbedaan hasl antara solus analts ( eksak dengan solus numerk. Perbedaan n yang dsebut dengan stlah error ( kesalahan. Adanya error dalam pendekatan secara numerk dapat dmnmalsas dengan mengambl selang nterval perhtungan yang lebh kecl. Sebaga pembandng coba lakukan perhtungan ulang secara numerk dengan menggunakan nterval waktu yang lebh kecl. Semsal dambl t = detk atau bahkan t = 5 detk. Namun dengan makn keclnya nterval n akan makn melbatkan angka yang banyak sehngga proses perhtungan secara manual akan memakan waktu. Denagn adanya banyak bahasa program yang dapat dgunakan permasalahan n akan dapat dmnmalsr. Ada kalanya semakn kecl nterval yang kta ambl akan memberkan solus yang jauh dar kenyataan. Pada suatu batas nterval tertentu justru akan terjad suatu konds yang serng dsebut ll condton..5 Kesalahan Absolut dan Kesalahan Relatf Penyelesaan suatu model matematka secara numerk memberkan hasl aproksmas/pendekatan yang berbeda dengan penyelesaan secara analts. Adanya perbedaan nlah yang serng dsebut sebaga error Catatan Kulah Analss Numerk CIV-8 7

( kesalahan. Hubungan antara nla eksak nla perkraan dan error dapat drumuskan sebaga berkut : Nla eksak = aproksmas + error. a Dengan menyusun kembal persamaan. a maka akan dperoleh defns dar kesalahan absolut (absolute error yatu : Kesalahan absolut (E t = nla eksak aproksmas. b atau E t = p p*. c Dan selanjutnya kta defnskan kesalahan relatf (Relatve error sebaga : Kesalahan relatf ( t = E t % p.4 Persamaan. hngga.4 hanya dapat dhtung bla nla eksak dketahu. Dalam metode numerk nla eksak hanya akan dketahu bla fungs yang djumpa dapat dselesakan secara analts. Sehngga dalam metode numerk aproksmas sekarang dtentukan berdasarkan aproksmas sebelumnya. n p p a %.5 n p n Tanda untuk persamaan. hngga.5 dapat postf atau negatf. Jka aproksmas lebh besar darpada nla eksak (atau aproksmas sebelumnya lebh besar darpada aproksmas sekarang maka errornya negatf. Dan sebalknya jka aproksmasnya lebh kecl dar nla eksak maka errornya postf. Basanya dalam metode numerk nla mutlak kesalahan relatf dsyaratkan lebh kecl dar suatu tolerans s. a s.6 Contoh : Sswa A mengukur panjang suatu jembatan hasl pengukurannya menunjukkan panjang jembatan 9999 cm ( panjang jembatan sesungguhnya adalah cm. Sswa B mengukur panjang suatu penggars hasl pengukurannya menunjukkan bahwa penggars tersebut panjangnya adalah 9 cm ( panjang sesungguhnya dar penggars adalah cm. Htung kesalahan absolut dan kesalahan relatf dar kedua sswa tersebut! Catatan Kulah Analss Numerk CIV-8 8

Jawab : a. Masalah panjang jembatan : E t = 9999 = cm t % = % b. Masalah panjang penggars E t = 9 = cm t % = % Dar hasl d atas dapat dsmpulkan bahwa sswa A ternyata lebh telt dalam melaksanakan pengukurannya..6 Truncaton Error Truncaton error muncul sebaga hasl penggunaan aproksmas (metoda numerk untuk menggantkan prosedur matematka (analts. Deret Taylor dapat memberkan nla hampran bag suatu fungs pada suatu ttk berdasarkan nla fungs dan dervatfnya pada ttk yang lan. Selanjutnya Deret Taylor akan kta bangun suku dem suku suku pertama dar Deret Taylor adalah : f( + f(.7 Hubungan dalam.7 kta sebut aproksmas orde nol hubungan n hendak menunjukkan bahwa nla fungs f pada ttk yang baru f( + adalah sama dengan nla fungsnya pada ttk yang lama f(. Namun.7 hanya akurat bla fungs yang ddekat adalah suatu konstanta. Bla fungs mengalam perubahan dalam suatu selang nterval maka perlu penambahan suku dar persamaan.7 sehngga dkembangkan aproksmas orde dua : f( + f( + f / ( ( +.8 Suku tambahan dalam.8 terdr dar kemrngan (slope fungs f / ( dkalkan dengan jarak antara + dan. Persamaan.8 hanya cocok untuk fungs lnear saja. Selanjutnya dkembangkan aproksmas orde dua yatu : f( + f( + f / ( ( + + f // (!.(.9 Catatan Kulah Analss Numerk CIV-8 9

Dan secara umum Deret Taylor adalah : f( + f( + f / ( ( + + f // (!.( /// ( n f ( n + f (.(....( Rn! Suku tambahan R n untuk menyertakan semua suku dalam selang n+ sampa tak hngga ddefnskan sebaga : R n ( n ( n.( f ( n! n!.. Indeks n menyatakan aproksmas orde ke-n dan adalah suatu nla dalam selang nterval hngga +. Pada umumnya Deret Taylor dsederhanakan dengan mensubsttuskan h = + sehngga : f( + f( + f / ( ( + + // f (. h! /// ( n f ( f ( n +. h.... h Rn! Dan suku tambahan R n adalah : R n ( n ( n f ( n!. h n!.. Contoh : Gunakan aproksmas hngga orde 4 dar Deret Taylor untuk menghampr fungs berkut : f( =. 4 5. 5. 5. + Dar = dan h = predkskan nla pada + =! Karena telah dketahu maka dapat kta htung nla fungs dalam selang hngga. Dar gambar.4 tampak fungs dmula dar f( = dan kurva turun hngga f( =. Dar sn hendak dtunjukkan bahwa nla eksak yang hendak kta predks adalah namun nla n akan ddekat dar Deret Taylor. Aproksmas Deret Taylor dengan n = adalah : ( persamaan.7 f( + Catatan Kulah Analss Numerk CIV-8

Dalam gambar.4 aproksmas orde nol adalah sebuah fungs konstan dengan : E t = = pada =. Untuk n = dervatf pertama harus dtentukan dan devaluas pada = : f / ( = 4.( 45.(.( 5 = 5 Sehngga aproksmas orde satu adalah : ( persamaan.8 f( + 5.h Dan dapat dgunakan untuk menghtung f( 95 dengan : E t = 95 = 75 pada = Untuk n = dervatf kedua devaluas pada = f // ( =.( 9.( = Sesua persamaan.9 : f( + 5h 5.h Substtuskan h = dperoleh f( 45 dengan E t = 45 = 5 Dan untuk aproksmas orde keempat dperoleh : f( + 5.h 5.h 5.h.h 4 Dengan suku ssa : (5 f ( 5 R4. h 5! Karena dervatf kelma dar polnomal orde 4 adalah nol maka R 4 = atau dengan kata lan aproksmas orde 4 dar Deret Taylor memberkan nla eksak pada + = yatu : f( = 5.( 5.( 5.(.( 4 = Dar contoh d atas secara umum dapat dsmpulkan bahwa aproksmas orde ke n dar Deret Taylor akan memberkan nla eksak bag polnomal orde n. Namun untuk fungs kontnu dan terdferensal yang lan ( sepert fungs snus cosnus atau fungs eksponen aproksmas dengan Deret Taylor tak akan memberkan harga yang eksak. Dengan menggunakan suku suku dar Deret Taylor yang lebh banyak maka nla aproksmas akan cukup dekat dengan nla eksak. Untuk mengetahu seberapa banyak suku yang dperlukan untuk Catatan Kulah Analss Numerk CIV-8

f( memberkan hasl cukup dekat dengan nla eksak tergantung pada suku ssa dar Deret Taylor ( persamaan.. 5 Aproksmas Dengan Deret Taylor Orde nol Orde satu 5 Orde dua 5 5 Gambar.4 Aproksmas Orde Nol Satu Dan Dua Dengan Deret Taylor Namun persamaan n memlk dua kelemahan utama pertama bahwa nla tak dketahu secara past dan terletak antara dan +. Kedua untuk mengevaluas. kta perlu mengetahu dervatf ke (n+ dar polnomal sehngga f( harus dketahu. padahal bla f( dketahu kta dapat menghtung nla eksaknya. Walaupun demkan persamaan. mash dapat kta gunakan untuk menghtung truncaton Error. Hal n dsebabkan kta mash dapat mengontrol suku h n+ dalam persamaan tersebut. Atau dengan kata lan kta dapat menentukan seberapa dekat nla aproksmas kta dan banyaknya suku yang kta sertakan dalam htungan. Persamaan. serng juga dungkapkan sebaga : R n = (h n+.4 Penulsan (h n+ mempunya art bahwa truncaton error mempunya orde h n+ atau bahwa error tersebut sebandng dengan ukuran langkah h dpangkatkan n+. Contoh : Gunakan ekspans Deret Taylor dengan n = hngga 6 untuk mencar hampran terbak dar fungs f( = cos pada + = / berdasarkan nla f( dan dervatfnya pada = /4. Dalam soal n h = / /4 = /. Catatan Kulah Analss Numerk CIV-8

Karena fungs telah dketahu dapat dhtung nla eksak f(/ = 5. Aproksmas orde nol memberkan : f cos = 77678 4 Dengan kesalahan relatf sebesar : 5 77678 t % = 44% 5 Aproksmas orde pertama adalah : f cos sn. = 5986659 4 4 Dengan t = 44% Dan aproksmas orde kedua adalah : cos( / 4 f cos sn.. = 49775449 4 4 Dan t = 449%. Perhtungan dapat dlanjutkan terus dan haslnya dtabelkan dalam tabel berkut : Orde n f (n ( f(/ t cos 77678 44 sn 5986659 44 cos 49775449 449 sn 49986947 6-4 cos 5755 5-5 sn 54 68-5 6 cos 499999988 4-6 Perhatkan bahwa dervatf fungs tak pernah sama dengan nol sepert halnya contoh kasus polnomal sebelumnya. Namun semakn banyak suku dar Deret Taylor yang dsertakan maka kesalahan relatfnya juga semakn mengecl. Catatan Kulah Analss Numerk CIV-8

Suku Ssa Dar Ekspans Deret Taylor Msalkan kta memotong Deret Taylor setelah orde satu maka dperoleh : f( + f( Maka suku ssanya adalah terdr dar deret tak hngga : // / f ( f ( R f (. h. h. h...!! Namun dapat juga suku ssa kta potong menjad : R f / (.h /// f( R Orde Satu f( + h Gambar.5 Tnjauan Grafs Aproksmas Orde Nol Dan Suku Ssa Deret Taylor Teorema nla rata rata dervatf ( mean value dervatve theorem menyatakan bahwa jka fungs f( dan turunan pertamanya kontnu dalam selang dan + maka akan terdapat palng sedkt satu ttk yang mempunya kemrngan f / ( yang sejajar dengan gars yang menghubungkan antara f( dan f( +. Parameter menunjukkan nla d mana kemrngan n terjad (gambar.6. Catatan Kulah Analss Numerk CIV-8 4

f( kemrngan = f / ( Slope = R /h R + h Gambar.6 Teorema Nla Rata Rata Dervatf Dengan mengkutsertakan teorema n akan nampak bahwa kemrngan (slope f / ( adalah sama dengan kenakan R dbag dengan panjang h sepert dalam gambar.6. atau : f / ( = R /h Dan bla dsusun kembal memberkan : R = f / (.h.5 Dengan demkan vers orde nol dar persamaan. telah dturunkan. Dan secara analog orde pertama dar. adalah : // f ( R =. h.6! Demkan seterusnya dapat dkembangkan dar persamaan.. Penggunaan Deret Taylor Untuk Menaksr Truncaton Error Kembal ke masalah penerjun payung dalam contoh sebenarnya maka kecepatan penerjun payung v(t dapat dhampr dengan menggunakan ekspans Deret Taylor sesua persamaan.. v(t + = v(t + v / (t.(t + t + // v ( t.( t! t + + R n.7 Catatan Kulah Analss Numerk CIV-8 5

Jka.7 kta potong setelah suku turunan pertama : v(t + = v(t + v / (t.(t + t + R.8 Persamaan.8 dapat dselesakan untuk : / v( t v( t R v ( t.9 t t t t Dar persamaan. dan.9 dperoleh hubungan : ( ( // / v t v t v ( v ( t.( t t. t t! v( t v( t (. t t / atau v t t t Dar persamaan. dapat dkatakan bahwa truncaton error nya berorde t + t. Atau dengan kata lan jka ukuran langkah kta bag dua maka truncaton error-nya akan menjad setengahnya. Contoh : Gambar.7 merupakan plot fungs dar f( = m untuk m = 4 dar selang = hngga. Gunakan Deret Taylor untuk menghampr fungs n untuk beragam nla m dan ukuran langkah h. Fungs f( = m dapat ddekat dengan ekspans Deret Taylor orde satu : f( + f( + m. m.h. Dengan suku ssa : R // /// (4 f ( f ( f ( 4. h. h. h!! 4! Untuk m = nla eksak f( =. Deret Taylor pada. memberkan : f( = +.( = Dan R =..... Catatan Kulah Analss Numerk CIV-8 6

m=4 5 m= 5 m= m= 75 75 Gambar.7 Grafk Fungs f(= m Untuk m = 4 Untuk m = maka nla eksak f( = 4. Aproksmas Deret Taylor orde adalah : f( = + ( = Dan R =.( + + +.. = Aproksmas Deret Taylor orde satu n tak memberkan nla eksak namun perhatkanlah bahwa dengan menambahkan suku ssanya akan memberkan nla eksak. Untuk m = maka f( = 8. Aproksmas Deret Taylor orde : f( = +.(. = 4 6 Serta R =. ( 6 +. ( + + +.. = 4 6 Sekal lag suku ssa memberkan nla penympangan yang eksak.!! Untuk m = 4 f( = 6 dan aproksmas Deret Taylor orde adalah : Dan R = f( = + 4.(. = 5 4 4 4.(.(.( +. = 6 4 Catatan Kulah Analss Numerk CIV-8 7

Dar tnjauan m = 4 nampak bahwa nla R akan makn bertambah besar dengan makn tak lnearnya fungs. Selanjutnya akan dpelajar bagamana pengaruh ukuran langkah h terhadap R untuk m = 4. f( +h = f( + 4..h Jka f( = maka : f( +h = + 4.h Dan suku ssa sebesar : R = 6.h + 4.h + h 4 h Eksak Orde R 6 5 5 565 65 5 4446 4446 5 687 5 87 65 7449 5 449 5 98 5 598 565 698 65 48 Dar persamaan suku ssa nampak bahwa penympangan akan makn kecl serng dengan mengeclnya nla h ( untuk nla h cukup kecl maka errornya akan sebandng dengan h. Atau dkatakan bla h dparuh maka errornya akan menjad seperempatnya. Dan akhrnya kta dapat mengambl kesmpulan bahwa error ( kesalahan dar aproksmas Deret Taylor orde akan berkurang serng dengan mengeclnya nla m dan mengeclnya nla h (ukuran langkah. Namun tentu saja nla m sangat tergantung dar fungs yang kta tnjau sehngga untuk mendapatkan keakuratan yang bak nla h harus kta perkecl. Dferensas Numerk Dalam metoda numerk persamaan.9 dnamakan sebaga persamaan dferens hngga ( fnte dfference yang secara umum : / f ( f ( f (..a atau / f f ( ( h h..b Catatan Kulah Analss Numerk CIV-8 8

Persamaan..a dan b hendak menggunakan data ke dan + untuk menghampr turunan pertama dar f(. Oleh karena tu persamaan n dsebut sebaga Aproksmas Dferensas Maju Dar Turunan Pertama. Selanjutnya Deret Taylor dapat dperluas mundur untuk menghtung nla sebelumnya berdasarkan pada suatu nla sekarang yatu : // / f ( f ( f ( f (. h. h.....a! Dan bla dpotong setelah suku turunan pertama maka dperoleh : f / ( f ( f ( h h f h h..b Dengan error (h dan f dsebut sebaga beda mundur pertama dan persamaan..b dsebut Aproksmas Dferensas Mundur Dar Turunan Pertama. Bla kta kurangkan persamaan..a dar deret maju Taylor (. ddapat : /// / f ( f ( f (. f (. h. h....4 / f ( f ( f ( Atau f (. h....5. h 6 / f ( Atau f ( f ( h. h ///.6 Persamaan.6 adalah merupakan Aproksmas Dferensas Tengah dar Turunan Pertama. Coba bandngkan persamaan..a..b dan.6 apa kesmpulan anda? Contoh : Gunakan Aproksmas Dferensas Maju dan Mundur orde (h dan Aproksmas Dferensas Tengah orde (h untuk menghampr turunan pertama dar : f( =. 4 5. 5. 5 + Pada ttk = 5 dengan ukuran langkah h = 5. Ulang perhtungannya untuk h = 5. Catatan Kulah Analss Numerk CIV-8 9

f( turunan sebenarnya aproksmas h + f( turunan sebenarnya aproksmas h - f( turunan sebenarnya aproksmas h - + Gambar.8 Grafk Aproksmas Dferensas Maju Mundur Dan Tengah Catatan Kulah Analss Numerk CIV-8

Turunan dar f( dapat dhtung secara langsung yakn : f / ( = 4. 45.. 5 Dan nla eksak f / (5 = 95. Untuk h = 5 maka : = f( = = 5 f( = 95 + = f( + = Dan Aproksmas Dferensas Maju dar persamaan..a : f / (5 = 95 5 = 45 t = 589 % Aproksmas Dferensas Mundur dar persamaan..b : f / (5 95 5 = 55 t = 97% Aproksmas Dferensas Tengah dar persamaan.6 : f / (5 = t = 96% Untuk h = 5 maka : = 5 f( = 556 = 5 f( = 95 + = 75 f( + = 668 Dan Aproksmas Dferensas Maju : f / (5 = 668 95 5 = 55 t = 65 % Aproksmas Dferensas Mundur : f / (5 95 556 5 = 74 t = 7% Aproksmas Dferensas Tengah : f / (5 668 556 5 = 94 t = 4% Dar hasl d atas nampaknya aproksmas dferensas tengah memberkan nla hampran bag turunan pertama f( d ttk 5 dengan error yang kecl. Perhatkan pula bahwa pengeclan ukuran langkah h juga memperkecl error. Catatan Kulah Analss Numerk CIV-8

Aproksmas Dferensas Hngga Dar Turunan Yang Lebh Tngg Ekpans Maju Deret Taylor untuk f(+ dapat dtulskan sebaga : // / f ( f ( f ( f (.(h.(h....7! Bla persamaan Deret Taylor dalam. dkalkan dan dkurangkan dar persamaan.7 akan memberkan bentuk : f( +.f( + = f( + f // (.h +.8 Atau dapat dtulskan sebaga : // f (. f ( f ( f ( + (h.9 h Hubungan n dsebut Dferensas Hngga Maju Kedua ( Second Forward Fnte Dffrence. Selanjutnya dapat dturunkan vers dferensas mundurnya : // f (. f ( f ( f ( + (h.4 h Dan dferensas tengahnya adalah : // f (. f ( f ( f ( + (h.4 h Masalah Fnte Dfference akan dpelajar lebh lanjut dalam topk bahasan tentang penyelesaan suatu persamaan dferensal secara numerk..7 Perambatan Kesalahan ( Error Propagaton Dalam sub bab n akan dbahas bagamana error (kesalahan dapat merambat melalu fungs matemats. Sebaga contoh bla kta mengalkan dua buah blangan yang mempunya error maka akan kta taksr berapa error yang dhaslkannya. Fungs Dengan Satu Varabel Bebas Msalkan fungs f( tergantung pada perubah bebas. Asumskan bahwa adalah aproksmas dar. Selanjutnya kta akan mennjau pengaruh penympangan antara dan terhadap fungs. Atau dengan kata lan kta ngn mengestmaskan : f ( f ( f (.4 Catatan Kulah Analss Numerk CIV-8

Masalah dalam mengevaluas f( adalah bahwa f( tak dketahu sebab juga tak dketahu. Kta dapat mengatas masalah n jka cukup dekat dengan dan f( adalah kontnu dan terdferensal. Jka konds n terpenuh maka dengan Deret Taylor akan dperoleh : // / f ( f ( f ( f (.(.(....4! Dengan menghlangkan orde kedua dan yang lebh tngg maka.4 dapat dbentuk menjad : f( f( f / (.(.44 Atau f( = f / (..45 Dengan f ( f ( f ( merepresentaskan estmas error dar fungs dan = merepresentaskan estmas error dar. Persamaan.45 memberkan jalan untuk mengaproksmas error dalam f( jka dberkan dervatf dar suatu fungs dan taksran error dar varabel bebasnya.gambar.9 memberkan gambaran grafs dar permasalahan n. f( f / (. error sebenarnya estmas error Gambar.9 Perambatan Error Orde Satu Catatan Kulah Analss Numerk CIV-8

Contoh : Dketahu nla = 5 dengan error = taksrlah error yang dhaslkan dalam fungs f( =. Dar persamaan.45 dperoleh : f( = f / (..(5. = 875 Karena nla f(5 = 565 maka dapat dramalkan bahwa : f(5 = 565 + 875 Atau dapat dkatakan bahwa nla eksak terdapat antara 5475 dan 585. Dalam kenyataannya jka sebenarnya adalah 49 maka nla fungsnya adalah 548. Dan jka nla adalah 5 maka nla fungsnya adalah 58. Dalam kasus n tampaknya analsa error orde satu memberkan taksran cukup dekat dengan error sebenarnya. Kestablan Dan Konds Dar Deret Taylor pertama : f( f( + f / (.( Hubungan n dapat dgunakan untuk menaksr kesalahan relatf dar f( : [ f( ] = f ( f ( f ( / f (.( f (.49 Kesalahan relatf dar adalah : ( =.5 Raso/perbandngan dar kedua kesalahan relatf n dsebut blangan konds yang drumuskan sebaga : Blangan konds =. f / ( f (.5 Blangan konds merupakan suatu ukuran sejauh mana ketdakpastan dar dperbesar oleh f(. Nla menandakan bahwa kesalahan relatf fungs dentk dengan kesalahan relatf. Nla yang lebh besar dar menandakan bahwa kesalahan relatf tu dperkuat sedangkan nla yang lebh kecl dar menandakan bahwa kesalahan relatfnya dperlemah. Fungs dengan nla nla yang sangat besar dsebut konds sakt ( ll condton. Catatan Kulah Analss Numerk CIV-8 4

.8 Sumber Sumber Error Yang Lan Beberapa penyebab lan yang serng menmbulkan adanya kesalahan (error dalam metoda numerk adalah :. Round-Off Error : kesalahan yang terjad akbat adanya pembulatan. Sebaga contoh adalah pembulatan untuk blangan 7 e dan lan lan.. Kesalahan akbat data yang tdak akurat. Blunder : yang dmaksud dengan blunder d sn adalah kesalahan akbat kecerobohan manusa msalnya kesalahan dalam pembuatan program atau perhtungan matemats 4. Kesalahan Pemodelan : kesalahan yang tmbul akbat pemodelan yang salah terhadap suatu kasus. Catatan Kulah Analss Numerk CIV-8 5

. Pendahuluan Telah cukup lama kta kenal rumus ABC : b b 4 a. c a untuk menyelesakan persamaan : f( = a. + b. +c = BAB II PENYELESAIAN PERSAMAAN NONLINEAR Hasl htungan dar rumus ABC merupakan akar akar bag persamaan tersebut. Akar akar tersebut memberkan nla nla yang menjadkan persamaan tu sama dengan nol. Namun untuk bentuk bentuk persamaan non-lnear dengan derajat lebh dar dua terkadang akan dtemu kesultan untuk mendapatkan akar akarnya. Untuk tu dalam bab n dbahas mengena metoda metoda yang serng dgunakan untuk mencar akar bag persamaan non-lnear tersebut.. Metoda Grafk Metoda sederhana untuk mendapatkan akar perkraan dar persamaan f( = adalah dengan membuat plot dar fungs dan mengamatnya d mana fungs tersebut memotong sumbu. D ttk n yang merepresentaskan nla yang membuat f( = memberkan hampran kasar bag akar persamaan tu. Contoh : Dengan menggunakan metoda grafk tentukan koefsen gesek udara c yang dperlukan agar penerjun payung dengan massa m = 68 kg mempunya kecepatan 4 m/s setelah terjun bebas selama t = detk. ( g = 98 m/s Jawab : Dengan mensubsttuskan nla nla t = g = 98 v = 4 dan m = 68 : Atau : 98.(68 f ( c. c ( c / 68. e 4 Catatan Kulah Analss Numerk CIV-8 6

6678 f ( c. c 4684. c e 4 Beberapa harga c dapat dsubsttuskan ke ss kanan persamaan sehngga dperoleh : c f(c 4 45 8 765 667 6-69 -84 Dan dapat dgambarkan grafknya : 4 f(c 5 5 5 5-5 4 8 6 4 - -5 c Dar grafk nampak bahwa akar persamaan terletak antara dan 6. Perkraan kasar dar akar adalah 475. Bla kta substtuskan c = 475 ke dalam f(c maka : 4684(475 e 4 6678 f (475. = 59 475 Yang memberkan hasl cukup dekat dengan nol. Bla nla c kta substtuskan ke dalam persamaan. : 98.(68 (475 / 68. v. e = 459 475 Hasl n cukup dekat dengan kecepatan yang dsyaratkan 4 m/s. Kesultan dalam metoda n barangkal adalah usaha untuk membuat plot grafk fungsnya. Namun dengan tersedanya beberapa software ( yang Catatan Kulah Analss Numerk CIV-8 7

sederhana sepert MS Ecell dapat membantu kta. Hanya saja metoda n tdak cukup akurat karena bsa saja tebakan akar bag orang yang satu berbeda dengan yang lan.. Metoda Interval Tengah ( Bsecton Method Jka fungs f( bernla rl dan kontnu dalam selang [ l u ] serta f( l dan f( u berlawanan tanda yakn : f( l.f( u < maka past akan terdapat palng sedkt satu buah akar rl antara l dan u. Langkah langkah dalam menjalankan metoda nterval tengah : Langkah : Plh l sebaga batas bawah dan u sebaga batas atas untuk taksran akar sehngga terjad perubahan tanda fungs dalam selang nterval tersebut. Atau dapat dperksa apakah benar bahwa f( l.f( u < Langkah : Taksran nla akar baru r dperoleh dar : r l u. Langkah : Lakukan evaluas berkut untuk menentukan dalam selang nterval mana akar berada a jka f( l.f( r < akar berada pada bagan nterval bawah maka u = r dan kembal ke langkah b jka f( l.f( r > akar berada pada bagan nterval atas maka l = r dan kembal ke langkah. c Jka f( l.f( r = akar setara dengan r hentkan perhtungan Iteras dapat dhentkan apabla kesalahan relatf-nya ( a sudah lebh kecl dar syarat yang dberkan ( s atau : baru r r a.%. baru r lama Contoh : Carlah salah satu akar dar persamaan berkut : y = + Dsyaratkan bahwa batas kesalahan relatf a < %. Hasl htungan dtabelkan dalam tabel berkut : Catatan Kulah Analss Numerk CIV-8 8

Iteras l u r f( l f( u f( r f( l.f( r a(% 5-4 -875 75 5 75-875 7875-656 48574 5 75 65-875 7875-94594 7687988-76977 4 65 75 6875-94594 7875-4948 868 777 5 6875 75 7875-4948 7875-47864 595 8888 6 7875 75 7475-47864 7875 99-749 999 7 7875 7475 76565-47864 99-57554 64584-454887 8 76565 7475 74688-57554 99-4957 774 576 9 74688 7475 749-4957 99 57-554E-5 796 74688 749 7445-4957 57-578 8568E-5-5646 7445 749 796-578 57-9 654E-6 898 796 749 7777-9 57 -E-6 4944 796 7777 7557-9 4596E-5-598E-8-7477 Dar hasl htungan menunjukkan bahwa akar persamaan adalah 7557. Bandngkan dengan akar eksaknya yang nlanya adalah = 758756....4 Metoda Interpolas Lnear Kekurangan dar metoda nterval tengah adalah pembagan selang mula dar l hngga u yang selalu sama nla fungs f( l dan f( u tak dperhtungkan. Msalkan jka f( l jauh lebh dekat ke nol darpada f( u kemungknan besar akar lebh dekat ke l darpada u. Metoda Interpolas Lnear dlakukan dengan menark gars lurus antara f( l dan f( u ttk potong gars n dengan sumbu kemudan kta jadkan sebaga r. f( f( u r l u f( l Gambar. Metoda Interpolas Lnear Catatan Kulah Analss Numerk CIV-8 9

Metoda Interpolas Lnear serng juga dsebut Metoda False-Poston atau Metoda Regula Fals. Dengan menggunakan hubungan segtga sebangun dar gambar. maka dperoleh hubungan : f ( l f ( u. r l r u Kalkan slang persamaan. maka akan dperoleh : f( l.( r u = f( u.( r l.4 Bla suku sukunya dkumpulkan kembal : r.[f( l f( u ] = u.f( l l.f( u.5 Bag dengan f( l f( u : u. f ( l l. f ( u r.6 f ( l f ( u Atau dapat dbentuk menjad : f ( u.( l u r u.7 f ( l f ( u Persamaan.7 merupakan rumus bag Metoda Interpolas Lnear n. Langkah berkutnya sama dengan metoda Interval tengah. Contoh : Htung kembal akar dar persamaan : y = + Dengan menggunakan Metoda Interpolas Lnear. Dsyaratkan bahwa batas kesalahan relatf a < %. Iteras l u r f( l f( u f( r f( l f( r a (% 5749-4 -644 545776 5749 754-644 -4775 8 78564 754 7788-4775 -94 9746 546 4 7788 745-94 -6 4 47 5 745 795-6 -95 578E-6 54 6 795 75-95 -5 8E-7 4878 Nampak hasl teras dengan menggunakan Metoda Interpolas Lnear lebh cepat konvergen dbandngkan dengan Metoda Interval Tengah. Catatan Kulah Analss Numerk CIV-8

.5 Metoda Secant Msalkan kta asumskan bahwa f( adalah lnear d sektar akar r. Sekarang kta plh ttk lan yang dekat dengan dan juga dekat dengan r ( yang sebelumnya kta belum tahu lalu kta gambarkan gars lurus melewat dua ttk tu. Gambar. menglustraskan hal n. f( f( akar r Gambar. Ilustras Grafs Metoda Secant Jka f( benar benar lnear gars lurus tu akan memotong sumbu tepat pada r. Namun kenyataannya f( jarang berupa fungs lnear sebab kta tak akan menggunakan metoda n pada fungs lnear. Hal n berart bahwa perpotongan gars lurus tad dengan sumbu tdak pada = r namun letaknya cukup berdekatan. Dar persamaan segtga sebangun : ( (.8 f ( f ( f ( Atau bla dselesakan untuk akan memberkan bentuk : ( f (..9 f ( f ( Contoh : Htung kembal akar dar persamaan : y = + Dengan menggunakan Metoda Secant. Dsyaratkan bahwa batas kesalahan relatf a < %. Catatan Kulah Analss Numerk CIV-8

Hasl : Iteras f( f( a (% 5749-4 5749 754-644 78564 5749 754 756-644 -4775 79 4 754 756 7996-4775 955-86 5 756 7996 75 955-5 7 6 7996 75 75-5 -E-6 64E-6 Bagamana perbedaannya dengan Metoda Interpolas Lnear???.6 Metoda Newton Raphson Metoda n adalah metoda yang palng banyak dgunakan. Dar terkaan nla akar pertama ( dengan nla fungs f( maka dapat dtark suatu gars snggung yang melewat ttk [ f( ]. Secara gometrs hal n dtamplkan dalam gambar.. Gars snggung n akan memotong sumbu dan merupakan taksran akar bag teras berkutnya. f( Kemrngan = f / ( f( f( - X + + Gambar. Peluksan Grafs Metoda Newton Raphson Turunan pertama d setara dengan kemrngan : / f ( f (. Catatan Kulah Analss Numerk CIV-8

Persamaan. dapat dsusun kembal menjad : f (. / f ( Persamaan. nlah yang dsebut rumus Newton-Raphson. Contoh : Gunakan Metoda Newton-Raphson untuk menghtung akar dar persamaan : y = + Hasl htungan dtabelkan sebaga berkut : Iteras f( f / ( a (% 769 649 998994-45 794 867 94749-95 4 75 47E-6 94648-57 5 75 54E- 9464-9E-5 Dperoleh akar persamaan = 75.7 Metoda Iteras Satu Ttk : Metoda = g( Metoda yang dkenal sebaga metoda teras satu ttk ( dkenal juga sebaga metoda = g( adalah metoda yang sangat berguna untuk mencar akar dar f( =. Untuk menggunakan metoda n kta susun f( menjad bentuk lan yang ekuvalen yakn = g(. Bentuk teras satu ttk n dapat dtulskan dalam bentuk : n+ = g( n n =....4 Contoh : Gunakan metoda Iteras Satu Ttk untuk mendapatkan akar dar : = Hal pertama yang harus dkerjakan adalah menyusun kembal persamaan tersebut dalam bentuk = g(. Ada beberapa macam cara yang dapat dtempuh antara lan :. = (+ /. = Catatan Kulah Analss Numerk CIV-8

. = 4. = ( + / / Dar rumusan pertama dapat dnyatakan persamaan terasnya sebaga : n+ = (. n + / dengan n =... Jka dambl nla awak = 5 maka : = ( 5 + / = 766 = ( 766 + / = 77 Dan seterusnya haslnya dtabelkan sebaga berkut : Iteras X g( a (% 5 766 766 77-5497 77 8956-5778 4 8956 88-687 5 88 888-64 6 888 886-68 Selanjutnya hal yang sama dlakukan terhadap persamaan yang kedua ketga dan keempat. Hasl teras dtamplkan dalam tabel berkut : Iteras pers. pers. pers.4 5 999 64575 485-95 4956 97E+ 44894 5687 4 6E+5-6866 5 4648 7444 6-77767 89 7 4 897 8-7669 8 9 877 889 Dar hasl d atas nampaknya persamaan dan memberkan hasl yang tdak konvergen. Dan persamaan 4 sepert halnya persamaan mampu memberkan nla akar yang kta car. Selanjutnya perhatkan gambar.5 berkut yang menunjukkan bagamana sebenarnya grafk masng masng fungs tersebut. Catatan Kulah Analss Numerk CIV-8 4

5 g(=/( - 5 g(=( -/ g(= 5 g(=(+ / g(=(+/ 5 4 6 8-5 - Gambar.5 Beberapa Bentuk Fungs = g( Dar gambar.5 nampaknya grafk g( = /( dan g( = ( / memlk kemrngan yang lebh tajam darpada g( = d dekat nla akar. Sedangkan untuk g( = (+/ 5 dan g( = ( + / memlk kemrngan yang tak setajam kemrngan y = d dekat nla. Atau secara / matemats hal n berart g ( < d dekat nla akar. Dengan demkan kekonvergenan dar metode teras satu ttk dapat dlacak dar perlaku dervatf pertama fungs. Dalam gambar.6 dervatf g( berada pada nla < g / ( < untuk hasl teras yang konvergen. Catatan Kulah Analss Numerk CIV-8 5

f( f( = f(=g( Gambar.6 Dervatf Fungs g / ( <.8 Penerapan Dalam Bdang Rekayasa Teknk Spl.8. Bdang Rekayasa Struktur Contoh : Frekuens alam dar getaran bebas (free vbraton balok unform yang terjept pada salah satu ujungnya dan bebas pada ujung yang lan dapat dcar dar persamaan berkut cos(lcosh(l = ( balok jept L Dengan : n = a = L n a E.I.A = panjang elemen balok = meter = berat jens elemen balok = frekuens alam balok (rad/dt Catatan Kulah Analss Numerk CIV-8 6

EI = kekakuan lentur balok Tetapkan nla n dar persamaan (a untuk mode yang pertama (n = dan kemudan gunakan nla untuk menentukan frekuens alam balok. Gunakan metode Secant untuk menyelesakannya! Htungan untuk mode pertama dsajkan dalam tabel berkut : Mode pertama (n = : Iteras f( f( f( Error 96565-565658 -684985-888 96565 9589-684985 -888-855 -565 96565 9589 9854-888 -855-459 -49 4 9589 9854 9756-855 -459-77E-5-556 5 9854 9756 9755-459 -77E-5-5697E-8-6 9756 9755 9755-77E-5-5697E-8-787E- -7E-7 7 9755 9755 9755-5697E-8-787E- -E- 8 9755 9755 9755-787E- Dperoleh = 9755 Mode kedua (n = : Iteras f( f( f( Error 79657-684985 94686-5856 79657 4889 94686-5856 -86454 96 79657 4889 65564-5856 -86454 4994949 85745 4 4889 65564 57-86454 4994949-84497 -658 5 65564 57 5576 4994949-84497 -4844 789 6 57 5576 5685-84497 -4844 7574 7554 7 5576 5685 468-4844 7574-959 -45475 8 5685 468 479 7574-959 -8 68 9 468 479 4746-959 -8 67E-6 78 479 4746 4746-8 67E-6 -E- -E-6 4746 4746 4746 67E-6 -E- 648E-4 445E- 4746 4746 4746 -E- 648E-4 648E-4 Dperoleh = 4746 Mode ketga (n = : Iteras f( f( f( Error 4 474 94686-586477 479 4 474 88854-586477 479 665 9549 474 88854 4865 479 665-4958 9789 4 88854 4865 87744 665-4958 64495-955 Catatan Kulah Analss Numerk CIV-8 7

5 4865 87744 95498-4958 64495 548658 7885 6 87744 95498 9979 64495 548658-656477 6898 7 95498 9979 977 548658-656477 7988-64 8 9979 977 9778-656477 7988 46 745 9 977 9778 9779 7988 46-99E-7 E-5 9778 9779 9779 46-99E-7-868E-4-9E-9 9779 9779 9779-99E-7-868E-4-868E-4 Dperoleh = 9779 Selanjutnya nla frekuens alam balok n dperoleh dar persamaan : n = n a Sehngga dperoleh : n = n.a = (9755.a / E.I = 879..A / rad/det = (4746.a / E.I = 5586..A / rad/det = (9779.a / E.I = 544..A / rad/det Contoh : Dar model lumped mass bangunan lanta dperoleh persamaan karakterstk sbb : (4 ( 5 ( Penyelesaan persamaan n mengambl bentuk persamaan non lnear dar nla determnan =! Pertanyaan : a. Berapa derajat polnomal dar determnan persamaan? b. Selesakan persamaan untuk memperoleh! ( selanjutnya dsebut egen value c. Dar hasl egen value tentukan egen vector atau mode dar persamaan. Msalkan nla = sehngga besaran besaran dan dapat dnyatakan sebaga fungs perbandngan! Catatan Kulah Analss Numerk CIV-8 8

Catatan Kulah Analss Numerk CIV-8 9 Selesakan nla dengan mengambl determnan persamaan sama dengan nol sebaga berkut : 5 4 5 4 5 4 5 5 6 4 85 5 4 6 55 5 8 4-5 + 455 8 + 7 = f ( = -5 + 455 8 + 7 f / ( = - 45 + 9 I 8 + = f f / Mencar egen value pertama : Dperoleh = 566 Mencar egen value kedua : Iteras f( f / ( a(%.5 -.5 -.75 -.6667 4.66667-54.467 4.859.55645-9.6 6.47 4.56.5846-9.87 54.865 5.5449. -7.767.5695 6.56 9.85E-5-7.6449.6649 7.566.6E-9-7.6445.8 8.566-7.6445.4E-8 9.566-7.6445 Iteras F( f / ( a(% -.5 8.65 -.7 7.88679 5.885

.677 -.E-7 7.88574.9 4.677 7.88574.E-6 5.677 7.88574 Dperoleh = 677 Mencar egen value ketga : Iteras f( f / ( a(% -7-6.85556 -.57 -.958 -.769.7847 -.556-5.57-4.4597 4.7494 -.59-4.84 -.79 5.7449-5.4E-6-4.579 -.4 6.7449-4.6E- -4.578 -.E-5 7.7449 -.4E-4-4.578 -.9E- 8.7449-4.578-5.E-4 9.7449-4.578 Dperoleh = 7449 Mencar egen vektor mode : = 566 6 59685 487748 6 =.( + 59685 =.( + 487748 =.( = + 487748 ( =.( = 487748 6-487748 = ( = 59 egen vektor mode : 59 487748 Mencar egen vektor mode : = 677 Catatan Kulah Analss Numerk CIV-8 4

Catatan Kulah Analss Numerk CIV-8 4 544 475 8849 48849 =..( + 475 =..( 544 =.( = 544 (=.( = -544 8849 (-544=..( = -866 egen vektor mode : 544 866 Mencar egen vektor mode : = 7449 4898 865 447 447 =.( 865 =.( 4898 = ( = 4898 ( =..( = 4898 447 (4898 =.( = 4 egen vektor mode : 4898 4 Selanjutnya mode shape dar tap tap mode dapat dgambarkan sebaga berkut :

487748 544 4898 59 866 4 = 566 = 677 = 7449.8. Bdang Rekayasa Transportas Perhtungan panjang lengkung / busur jalan dengan parameter parameter : PC = ttk kurvatur PT = ttk tangensal PI = ttk perpotongan. PI I Kurva mempunya 7 elemen : PC T R E L M L c I T R PT. Radus kurva R. Sudut lengkung I. Jarak tangensal T 4. Panjang kurva L 5. Panjang busur Lc 6. Ordnat tengah M 7. Jarak luar E Hubungan antara kelengkungan dan jar jar : R = L c R E RE E dan R = L c 9 L sn R Dengan nla E = 95 m L c = 65 m car : harga R dan L! R = L c R E RE E 65 R 95 = 9R 85 Gunakan metode = g( dalam hal n : R = g(r Catatan Kulah Analss Numerk CIV-8 4

R = R g(r 5 467.949 467.949 458.89-6.857 458.89 456.86 -.9866 456.86 455.48 -.574 455.48 455.58 -.658 455.58 455.5 -.4768 455.5 455.5 -.75 455.5 455. -.96 455. 455.85 -.4 455.85 455.8 -. 455.8 455.79-9.5E-5 455.79 455.79 -.7E-5 Dperoleh nla R = 45579 m L c 45579 9 L sn * R 65 = 9 L sn * 45579 9 L sn 486997 * 45579 Jka dselesakan akan ddapatkan L = 79466 m = 794 m.8. Bdang Rekayasa Sumber Daya Ar Contoh : Hubungan antara debt ar Q penampang saluran terbuka berbentuk trapesum terhadap parameter geometr penampang adalah : Q = b zy y. n b y z dengan : b y z S N.S. b zy. y = lebar dasar penampang = ketnggan ar = kemrngan dndng = kemrngan saluran = angka Mannng jka S = 9 n = 5 z = 5 b = 5 cm dan Q rencana = 8 m /dt. Htung besarnya y! Catatan Kulah Analss Numerk CIV-8 4

Q = b zy y. n b y z.s. b zy. y Substtuskan nla nla yang dketahu ke dalam persamaan tersebut : 8 = y = 5 5 y y. 5 5 y 5 5 5y y 5 447659y 75. 9. 5 5 y * 9486898* 5 5y Gunakan metode = g( dalam soal n y = g(y y g(y.85768.85768.9567-6.67.9567.8966 7.447.8966.984 -.875.984.954.856.954.9475 -.9964.9475.995.444775.995.968 -.95.968.9589.785.9589.985 -.5.985.979.64.979.9766 -.85.9766.978.6.978.975 -..975.9745.5.9745.9748 -.75.9748.9747.7.9747.9748 -.8.9748.9747 8.97E-5.9747.9747-4.4E-5 Dperoleh ketnggan ar y = 9747 m 9 m Contoh :Koefsen gesek untuk alran turbulen dalam sebuah ppa dberkan oleh persamaan berkut : Catatan Kulah Analss Numerk CIV-8 44

Dengan : f e 95 4 log f D Re. f = Koefsen gesek alran R e = blangan Reynolds = 5 4 e = kekasaran ppa = D = dameter ppa = m Persamaan dapat dtulskan kembal dalam bentuk : f 4 log e D 95 Re. f Dengan mensubsttuskan nla nla yang dketahu dperoleh : f 4 log 674 f Gunakan Metoda Iteras Satu Ttk dengan nla awal f = Iteras g( (% 5786 5786 5795 4695 5795 57946-86 4 57946 57946 64E-5 Jad dperoleh koefsen gesek ppa = 57946. Catatan Kulah Analss Numerk CIV-8 45

BAB III SISTEM PERSAMAAN LINEAR Dalam bab n akan dbahas tentang Sstem Persamaan Lnear yang secara umum dapat dtulskan sebaga : a. + a. + + a n. n = c a. + a. + + a n. n = c. a n. + a n. + + a nn. n = c n Dengan a adalah koefsen konstan dan c adalah konstan. Persamaan. dapat dtulskan dalam bentuk notas matrks sebaga berkut : a a... an a a... an............ an c a n c......... ann n cn Berbaga cara untuk mencar nla.. n akan djelaskan dalam bab n... Metoda Elmnas Gauss Prnsp dalam penyelesaan sstem persamaan lnear dengan Metoda Elmnas Gauss adalah memanpulas persamaan persamaan yang ada dengan menghlangkan salah satu varabel dar persamaan persamaan tersebut sehngga pada akhrnya hanya tertnggal satu persamaan dengan satu varabel. Akbatnya persamaan yang terakhr n dapat dselesakan dan kemudan haslnya dsubsttuskan ke persamaan lannya untuk memperoleh penyelesaannya pula. Msalkan dketahu SPL berkut sebaga berkut : a. + a. + a. + + a n. n = c..a a. + a. + a. + + a n. n = c..b. a n. + a n. + a n. + + a nn. n = c n..c Catatan Kulah Analss Numerk CIV-8 46

Dan bla dsajkan dalam notas matrks a a... an a a... an a a... an............ an c a n c......... ann n cn Tahap pertama adalah membuat matrks yang memuat koefsen koefsen SPL menjad sebuah matrks segtga atas ( upper trangular langkah pertama adalah dengan mengelmnas blangan anu pertama dar dar persamaan kedua hngga ke-n ( a a a n. Untuk melakukan hal n maka kalkan persamaan..a dengan a /a untuk memberkan : a. + a a.a. +. + a.a n. n = a.4 a.c.5 a Persamaan n kemudan dkurangkan dar persamaan..b untuk mendapat : Atau a a a. a. +.. + a n. a n. n a a a = c.c.6 a a /. +. + a n /. n = c / Prosedur dulang untuk persamaan selanjutnya msalkan persamaan..a dkalkan dengan a /a dan haslnya dkurangkan dar persamaan..b. Dan akhrnya bla prosedur dlaksanakan terhadap seluruh persamaan yang lannya akan dperoleh bentuk : a. + a. + a. +. + a n. n = c a /. + a /. +. + a / n. n = c / a /. + a /. +. + a / n. n = c / a / n. + a / n. +. + a / nn. n = c / n.7.a.7.b.7.c.7.d Dalam langkah d atas persamaan..a dsebut persamaan tumpuan (pvot equaton dan a dsebut sebaga koefsen tumpuan. Langkah selanjutnya kalkan persamaan.7.b dengan a / /a / dan kurangkan haslnya dar persamaan.7.c. Lakukan langkah serupa untuk persamaan lannya sehngga dapat dperoleh : Catatan Kulah Analss Numerk CIV-8 47

a. + a. + a. +. + a n. n = c a /. + a /. +. + a / n. n = c / a //. +. + a // n. n = c // a // n. +. + a // nn. n = c // n.8.a.8.b.8.c.8.d Jka langkah n dlanjutkan hngga akhrnya dperoleh suatu bentuk sstem segtga atas sebaga berkut : a. + a. + a. +. + a n. n = c.9.a a /. + a /. +. + a / n. n = c /.9.b a //. +. + a // n. n = c //.9.c a (n- nn. n = c (n- n.9.d Dar persamaan.9.d akhrnya dapat dperoleh solus bag n. ( n cn n. ( n ann Hasl n kemudan dsubsttuskan mudur (backward substtuton ke persamaan yang ke (n dan seterusnya yang drumuskan : n ( ( c aj. j j. ( a Untuk = n n. Contoh : Gunakan Elmnas Gauss untuk menyelesakan :... = 785 (. + 7.. = 9 (.. +. = 74 ( Langkah pertama adalah kalkan persamaan ( dengan (/ dan kurangkan haslnya dar persamaan ( sehngga ddapat : 7. 9. = 9567 Catatan Kulah Analss Numerk CIV-8 48

Selanjutnya kalkan persamaan ( dengan (/ dan kurangkan haslnya dar persamaan ( untuk memberkan hasl : 9. +. = 65 Setelah langkah kedua n maka SPL akan berubah menjad :... = 785 (.a 7. 9. = 9567 (.a 9. +. = 765 (.a Langkah berkutnya kalkan persamaan (.a dengan (9/7 lalu kurangkan haslnya dar persaman (.a. Dan bla telah dlaksanakan maka SPL akan menjad suatu bentuk segtga atas sebaga berkut :... = 785 (.b 7. 9. = 9567 (.b. = 784 (.b Selanjutnya dengan susbsttus mundur dperoleh : 784 9567 (9 7 = 5 7 785 ( 7 ( 5 = Untuk menguj hasl n maka substtuskan dan ke persamaan persamaan d atas : ( (5 (7 = 784999 785 ( 7(5 (7 = 9 ( (5 (7 = 74 74 Pvotng Jka elemen pvot adalah sama dengan nol maka akan muncul pembagan dengan nol untuk menghndar hal n maka harus dlakukan proses pvotng yatu dengan mempertukarkan bars bars yang ada dalam SPL sehngga elemen pvot adalah elemen terbesar. Catatan Kulah Analss Numerk CIV-8 49

Contoh : Selesakan SPL berkut n dengan elmnas Gauss :. +. =. +. = Perhatkan bahwa elemen pvotnya adalah a = yang sangat dekat dengan nol maka harus dlakukan pvotng dengan mempertukarkan barsnya. (perhatkan bahwa penyelesaan eksak = / dan = /. Tanpa pvotng : Normalkan persamaan pertama : +. = 6667 Yang dapat dpaka untuk menghlangkan dar persamaan kedua. 9999. = 6666 = / Substtuskan ke persamaan satu untuk memperoleh : ( / Hasl sangat tergantung pada pembulatan yang dlakukan : Angka benar Relatf Error 667-4 6667 5 66667 6 666667 7 6666667 Dengan pvotng :. +. =. +. = Dengan penormalan dan elmnas dperoleh : ( / Ternyata dengan melakukan pvotng banyaknya angka benar tdak senstf dalam perhtungan sepert contoh sebelumnya. Catatan Kulah Analss Numerk CIV-8 5

Angka benar Relatf Error 667 4 6667 5 66667 6 666667 7 6666667 Jad dengan melakukan pvot cukup memberkan keuntungan dalam perhtungan.. Metoda Elmnas Gauss-Jordan Metoda Elmnas Gauss-Jordan adalah merupakan pengembangan dar Metoda Elmnas Gauss. Dalam metoda Elmnas Gauss-Jordan matrks koefsen drubah hngga menjad matrks denttas. Contoh : Selesakan SPL berkut dengan Elmnas Gauss-Jordan : + y z = 5 4 + 7y z = y + 5z = SPL d atas dapat dtuls dalam bentuk matrks : 5 4 7 y 5 z Baglah bars petama dengan elemen pvot yatu sehngga : 6666 4 7 y 5 z Kalkan persamaan pertama dengan elemen pertama dar persamaan kedua lalu kurangkan haslnya dar persamaan kedua lakukan hal serupa untuk persamaan ketga sehngga : 6666 56668 6668 y 6 6666 56666 z 66668 Catatan Kulah Analss Numerk CIV-8 5

Catatan Kulah Analss Numerk CIV-8 5 Bars kedua dar persamaan tersebut dbag dengan elemen pvot yatu 56668 sehngga dperoleh : 66668 59 6666 56666 6666 94 z y Kalkan persamaan kedua dengan elemen kedua dar persamaan pertama ( kemudan kurangkan dar persamaan pertama. Lakukan hal serupa untuk persamaan ketga untuk mendapatkan : 94 59 884 4884 94 5 z y Persamaan ketga dbag dengan elemen pvot yatu 4884 sehngga persamaan menjad : 655 59 884 94 5 z y Kalkan persamaan ketga dengan elemen ketga dar persamaan pertama haslnya kemudan dkurangkan dar persamaan pertama. Hal serupa dlakukan terhadap persamaan kedua sehngga SPL menjad : 655 4 56 z y Jad penyelesaan SPL tersebut adalah : = 56 y = 4 z = 655. Metoda Matrks Invers Jka [A] adalah seuatu matrks bujursangkar dengan ukuran m m maka akan terdapat matrks nvers [A] sehngga dperoleh hubungan : [A].[A] = [I]. Maka jka terdapat suatu SPL dalam notas matrks : [A].{X} = {C} Jka ruas kr dan kanan kta premultply dengan [A] maka :

[A].[A].{X} = [A].{C} [I].{X} = [A].{C} {X} = [A].{C}. Banyak cara dapat dgunakan untuk mencar matrks nvers salah satunya adalah dengan menggunakan Metoda Elmnas Gauss-Jordan. Untuk melakukan hal n matrks koefsen dlengkap dengan suatu matrks denttas. Kemudan terpakan Metoda Gauss-Jordan untuk mengubah matrks koefsen menjad matrks denttas. Jka langkah n telah selesa maka ruas kanan matrks tu akan merupakan matrks nvers. Atau secara lustras proses tersebut adalah sebaga berkut : a a a a a a a a a [A] [I] a a a a a a a a a [I] [A] Contoh : Ulang contoh soal pada halaman 5 namun dengan menggunakan metoda matrks nvers. Langkah pertama yang dlakukan adalah melengkap matrks koefsen dengan matrks denttas sehngga menjad matrks lengkap sebaga berkut : 7 Normalkan persamaan pertama kemudan gunakan elemen pertamanya untuk menghlangkan dar bars yang lannya : Catatan Kulah Analss Numerk CIV-8 5